2025高考数学复习必刷题：弦长问题（学生版）

第70讲弦长问题

知识梳理

1、弦长公式的两种形式

①若A,5是直线、=区+机与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去y后得到一元二

2

次方程px°+qx+r=0,则|PQ|=记也-x2|=yll+k■—.

②若A,3是直线*=〃9+〃与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去x后得到一元二

必考题型全归纳

题型一：弦长问题

例1.（2024•陕西西安.西安市大明宫中学校考模拟预测）己知直线/与圆0:/+/=1相

切，且交椭圆C:3+q=l于4（/乂）乃（尤2，%）两点，若%%=-微，贝力40=

2兀

例2.（2024•全国•高三对口高考）已知椭圆一r+「=1,过左焦点尸作倾斜角为二的直线交

96

椭圆于A、8两点，则弦AB的长为.

22

例3.（2024・全国•高三专题练习）已知椭圆C:=+2=1（。＞人＞0）,C的上顶点为A,两

ab

个焦点为片，F2,离心率为3.过耳且垂直于A居的直线与C交于D,E两点，VADE的

周长是13,则回国=—.

变式1.（2024.全国•高三专题练习）已知双曲线C：--y2=l,若直线/的倾斜角为

3

60°,且与双曲线C的右支交于N两点，与x轴交于点P,若|MN卜孝，则点尸的坐

标为

变式2.（2024•贵州・统考模拟预测）已知双曲线C：Y—g?=i（机＞o）的左、右焦点分别为

F\,B，点A,5分别在双曲线C的左支与右支上，且点A,B与点居共线，若

忸胤=2:2:3,贝.

变式3.(2024・四川巴中•高三统考开学考试)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛

物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经

抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线V=4x的焦点为厂，一条平行于x轴的光线

从点4(5,4)射出，经过抛物线上的点8反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则

忸___________..

变式4.(2024•河南郑州•高三郑州外国语学校校考阶段练习)已知抛物线/=8x的焦点为

F,准线与*轴的交点为C,过点C的直线/与抛物线交于A,8两点，若

ZAFB=ZCFB,贝“A尸1=.

变式5.(2024•新疆喀什•校考模拟预测)已知双曲线C两条准线之间的距离为1,离心率

为2,直线/经过C的右焦点，且与C相交于A、8两点.

(1)求C的标准方程；

(2)若直线/与该双曲线的渐近线垂直，求的长度.

变式6.(2024.湖南邵阳.高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习)已知抛物线

V=2Px(p>0)的准线方程是尤=.

(1)求抛物线的方程；

⑵设直线、=依彳-2)(人0)与抛物线相交于/,N两点，^\MN\=2s/10,求实数4的值.

题型二：长度和问题

22

例4.（2024.宁夏银川・银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆G：.+方=1”0）和两

个半圆G：（x+l『+y2=l（y20）、C3：（xT『+V=1（、20）组成曲线C:"x,y）=0,其中

点A，&依次为G的左、右顶点，点8为C1的下顶点，点不与依次为C1的左、右焦点.若

点月，月分别为曲线C2,C3的圆心.

⑴求G的方程；

⑵若过点K,F2作两条平行线分别与CPC2和C„C3交与M,N和P,。，求|MN|的

最小值.

例5.（2024•河南安阳・安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当彳>0且2x1时，我们

2222

把方程一=4（。〉匕〉0）表示的椭圆Ci称为椭圆一^+/"=1（〃>Z?>0）的相似椭圆.已

知椭圆C:土+y2=l,椭圆C/（4>0且入片1）是椭圆C的相似椭圆，点P为椭圆C/上异

4

于其左、右顶点",N的任意一点.

⑴当4=2时，若与椭圆C有且只有一个公共点的直线。4恰好相交于点尸，直线4,4的

斜率分别为左，耳，求女网的值;

⑵当4=e2（e为椭圆C的离心率）时，设直线PY0与椭圆C交于点43,直线PN与椭圆

C交于点D,E,求|A@+|DE|的值.

22

例6.(2024•江西九江・统考一模)如图，已知椭圆0邑+与=l(a>b>0)的左右焦点分

ab

别为耳，尸2,点A为G上的一个动点(非左右顶点)，连接A4并延长交G于点B,且

△AB月的周长为8,AAK居面积的最大值为2.

⑴求椭圆C］的标准方程；

⑵若椭圆C2的长轴端点为片,心，且C?与G的离心率相等，尸为A3与C之异于《的交点,

直线P8交G于M，N两点，证明：IABI+IAWI为定值.

丫2«1

变式7.(2024.全国.高三专题练习)已知椭圆，+斗=l(a>b>0)的离心率为且点

ab/

(1)求椭圆的方程;

(2)过椭圆右焦点尸2作两条互相垂直的弦A8与CD,求|AB|+|CD|的取值范围.

题型三：长度差问题

例7.（2024•浙江•高三校联考阶段练习）已知抛物线C：V=2px经过点直线

（：y=h+优0—0）与C交于A,B两点（异于坐标原点0）.

（1）若。4・。8=0,证明：直线4过定点.

（2）已知％=2,直线4在直线4的右侧，〃〃2，4与4之间的距离1=如，4交C于/,N

两点，试问是否存在机，使得|4〃V|-|AB|=10?若存在，求加的值；若不存在，说明理

由.

例8.（2024•云南保山.高三统考阶段练习）已知抛物线C|：V=4x的焦点为椭圆c?：

22

二+1=1（〃＞。＞0）的右焦点F,点尸为抛物线C1与椭圆C?在第一象限的交点，且

ab

I”.

⑴求椭圆C2的方程；

⑵若直线/过点F交抛物线G于A，c两点，交椭圆c?于8,。两点（A,B,C,。依次

排序），且|AC|-忸。|=五，求直线/的方程.

题型四：长度商问题

例9.（2024・重庆•校联考模拟预测）已知双曲线C：W-《=l（a＞0,10）的离心率是出，点

ab

厂是双曲线C的一个焦点，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离是2.

(1)求双曲线C的标准方程.

⑵设点M在直线V上，过点M作两条直线//,直线4与双曲线C交于两点‘直

MAME

线与双曲线交于。两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明:

4cEABDE~MD~MB

例10.(2024.全国•高三专题练习)已知圆A：(x+2)2+y2=9,圆B：(x-2)2+y2=l,

圆C与圆A、圆3外切，

⑴求圆心C的轨迹方程E；

⑵若过点3且斜率％的直线与E交与M、N两点，线段的垂直平分线交x轴与点p,

证明\扁MN的\值是定值.

例11.(2024.全国•高三专题练习)已知双曲线-讶=l(a>0,b>0)的右焦点为

网后0),过点尸与x轴垂直的直线4与双曲线C交于跖N两点，B.\MN\=4.

(1)求C的方程；

⑵过点人(0,-1)的直线6与双曲线C的左、右两支分别交于D,E两点，与双曲线C的两条

渐近线分别交于G,”两点，若求实数4的取值范围.

变式8.（2024•全国•高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为y=±JL,右焦点

产9,0）到渐近线的距离为旨.

（1）求双曲线C的方程;

（2）过P作斜率为左的直线/交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于。，求

证：|FO|为正值，

22

变式9.（2024•河南郑州•郑州外国语学校校考模拟预测）已知椭圆C:[=l（a>b>0）

ab

的左、右焦点分别为月,B，且寓阊=4.过右焦点尸2的直线/与c交于48两点，AM的

周长为8c.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过原点。作一条垂直于/的直线小4交c于P,。两点，求剪的取值范围.

22

变式10.（2024・陕西・统考一模）在椭圆C：下方=1（a>6>0）,c=2,过点（0,6）与

（。,0）的直线的斜率为

⑴求椭圆C的标准方程；

（2）设尸为椭圆C的右焦点，尸为直线x=3上任意一点，过尸作尸尸的垂线交椭圆C于

\MN\

N两点，当/取最大值时，求直线MN的方程.

变式IL（2024.广东佛山.华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆

C：W+q=l（a>6>0））中，c=2,过点（0,6）与（4,0）的直线的斜率为一逅.

ab3

（1）求椭圆c的标准方程；

⑵设厂为椭圆C的右焦点，P为直线x=3上任意一点，过尸作PF的垂线交椭圆C于

M,N两点,求黑的最大值.

I产"

变式12.（2024.安徽•高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）平面直角坐标系

xOy中，尸为动点，24与直线X=6y垂直，垂足A位于第一象限，P3与直线x=

垂直，垂足5位于第四象限，NAP3>90。且|AP|忸P|=],记动点尸的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）已知点M（-2,0）,N（2,0）,设点T与点尸关于原点。对称，/M7N的角平分线为直线

I,过点P作/的垂线，垂足为H,交C于另一点Q,求居的最大值.

变式13.（2024・四川南充.高三四川省南充高级中学校考阶段练习）己知耳，居为椭圆

22

CJ+j=l（a>6>0）的两个焦点.且寓阊=4,P为椭圆上一点，附|+附|=2后

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵过右焦点F2的直线/交椭圆于A3两点，若A3的中点为M，。为坐标原点，直线交

AB

直线X=3于点N.求扁\的\最大值.

变式14.(2024•海南海口•高三统考期中)设。为坐标原点，点M,N在抛物线C:/=4y

上，且OM-ON=-4.

⑴证明：直线过定点；

\MN\

(2)设C在点M,N处的切线相交于点P,求裾■的取值范围.

变式15.(2024・四川绵阳.统考三模)过点4(2,0)的直线/与抛物线C:y2=2px(p>0)交于

点、M,N在第一象限)，且当直线/的倾斜角为:时，|MN|=3人.

(1)求抛物线的方程；

(2)若3(3,0),延长"8交抛物线C于点尸，延长PN交x轴于点Q,求耨的值.

变式16.(2024•全国•高三专题练习)已知抛物线C：犬=2刀(夕>0)上的点(2,%)到其焦

点尸的距离为2.

(1)求抛物线C的方程；

⑵已知点。在直线/：丫=-3上，过点。作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B,直线

A8与直线/交于点过抛物线C的焦点F作直线的垂线交直线/于点M当也W|最

变式17.(2024.广东揭阳•高三校考阶段练习)已知抛物线£：丁=2/(2>0)的焦点为R

点/关于直线y=]%+(的对称点恰好在y轴上.

(1)求抛物线E的标准方程；

⑵直线/：y=M尤-2)(人句与抛物线E交于A,8两点，线段的垂直平分线与x轴交

于点C,若。(6,0),求而的最大值.

变式18.(2024・四川内江.高三四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知椭圆与抛物线

丁=2px(p>0)有一个相同的焦点区(1,0),椭圆的长轴长为2P.

(1)求椭圆与抛物线的方程;

(2*为抛物线上一点，耳为椭圆的左焦点，直线尸瓦交椭圆于A,8两点，直线尸鸟与抛物

\AB\

线交于P,Q两点，求，j的最大值.

题型五：长度积问题

例12.(2024.山东.高三校联考阶段练习)已知抛物线C:/=2处(p>0),尸为C的焦点，

过点尸的直线/与c交于反，/两点，且在H,/两点处的切线交于点T,当/与y轴垂直

时，|m1=4.

(1)求C的方程；

(2)证明：|77|・|切|=|FT『.

例13.(2024•浙江•校考模拟预测)已知抛物线：y2=2px(p>0),过其焦点厂的直线与抛

物线交于A、B两点，与椭圆/+丁=1(。>1)交于C、。两点，其中。4.02=-3.

(1)求抛物线方程;

(2)是否存在直线AB,使得是|胡|与|/词的等比中项，若存在，请求出A8的方程及

。；若不存在，请说明理由.

例14.（2024・全国.高三专题练习）已知椭圆£:二+当=l（a>6>0）的离心率为I，且直

ab2

线4：=1被椭圆G截得的弦长为不.

ab

⑴求椭圆G的方程；

⑵以椭圆G的长轴为直径作圆C?,过直线yy=4上的动点M作圆C2的两条切线，设切点

为4,8,若直线Afi与椭圆G交于不同的两点C,D,求的取值范围.

22

变式19.（2024•全国•高三专题练习）已知椭圆C：・+2=l（a>0）的左、右焦点分别为

CL8

K，F2,尸为C上一点，且当P与，X轴时，|P^|=y.

（1）求c的方程；

（2）设C在点尸处的切线交J轴于点。,证明：\PF\-\QF^=\PF^-\QF\.

丫2v21

变式20.（2024・全国•模拟预测）已知椭圆C：》+会=1（〃〉6>0）的离心率为（过点

P（l,0）作X轴的垂线，与C交于A,8两点，且|4用=丝1.

a

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若直线4与椭圆C交于。，E两点,直线4与椭圆c交于M,N两点，且4，

4交于点P，求的取值范围.

22

变式21.（2024・湖南岳阳•高三校考阶段练习）已知椭圆C:1+与=1（。>6>0）经过点

ab

尸卜，寺],左，右焦点分别为％F],0为坐标原点，且怛用+俨用=4.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵设A为椭圆C的右顶点，直线,与椭圆C相交于M,N两点,以为直径的圆过点

A,求的最大值.

22

变式22.（2024.广东.高三校联考阶段练习）已知椭圆<?9+/=1（°>6>0）的焦距为2,

且经过点尸[I].

⑴求椭圆c的方程；

⑵经过椭圆右焦点尸且斜率为左化中。）的动直线/与椭圆交于A、6两点，试问尤轴上是否

存在异于点尸的定点T，使•忸7|=忸4|AT|恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存

在，说明理由.

题型六：长度的范围与最值问题

例15.（2024・全国•高三专题练习）已知抛物线G：V=4尤的焦点厂也是椭圆

G：4+4=i（«>^>0）的一个焦点，G与Q的公共弦长为境.

ab3

⑴求椭圆C?的方程;

（2）过椭圆G的右焦点口作斜率为左（左HO）的直线/与椭圆C?相交于A,8两点，线段A8的

中点为尸，过点尸作垂直于A3的直线交x轴于点。，试求阳的取值范围.

\AB\

22

例16.（2024.黑龙江佳木斯.高三校考开学考试）已知椭圆G：++当=l（a>6>0）的两个

焦点6，F2,动点尸在椭圆上，且使得/可尸用=90。的点尸恰有两个，动点尸到焦点月的

距离的最大值为2+0.

⑴求椭圆G的方程；

⑵如图，以椭圆G的长轴为直径作圆C2,过直线％=-2行上的动点T作圆C2的两条切

线，设切点分别为A,B,若直线与椭圆C］交于不同的两点C,D,求弦ICDI长的取

值范围.

例17.（2024・陕西咸阳•校考三模）已知双曲线C:与-==1（。>0力>0）的离心率为0,

ab

过双曲线C的右焦点F且垂直于X轴的直线I与双曲线交于A,B两点，且|AS1=2.

⑴求双曲线C的标准方程；

⑵若直线a：y=履-1与双曲线c的左、右两支分别交于P,。两点，与双曲线的渐近线分

别交于两点，求繇^的取值范围.

变式23.(2024・湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习)设椭圆

222

E:1+%=l(a>b>0)的左右焦点《，B分别是双曲线亍-;/=1的左右顶点，且椭圆的

右顶点到双曲线的渐近线的距离为2叵.

5

⑴求椭圆E的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点且

OALQB?若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.

22

变式24.(2024.安徽滁州.安徽省定远中学校考模拟预测)已知椭圆C:=+与=l(a>b>0)

ab

的左、右焦点分别为月,居，离心率为正，过左焦点4的直线/与椭圆C交于4,8两点

2

(4,8不在x轴上)，ZXAB巴的周长为8行.

(1)求椭圆C的标准方程;

IOPI2

⑵若点尸在椭圆C上，且8,AB（。为坐标原点），求三十的取值范围.

\AB\

变式25.（2024・全国•高三专题练习）已知椭圆E:1+/=1,>6>0）的离心率为等，焦

距为2,过E的左焦点尸的直线,与E相交于A、8两点，与直线x=-2相交于点

⑴若M（-2,-1）,求证：|阿•忸同=|乂4|”|；

⑵过点/作直线/的垂线〃7与E相交于C、。两点，与直线x=-2相交于点N.求

1111

商+画+西+网的最大值•

变式26.（2024・全国•高三专题练习）如图，已知椭圆口：工+工=1的两个焦点为月，

84

F2,且耳，F2的双曲线一的顶点，双曲线上的一条渐近线方程为>=-%设尸为该双曲

线口上异于顶点的任意一点，直线P月，尸工的斜率分别为K，k2,且直线尸耳和尸工与

椭圆口的交点分别为A,B和C,D.

（1）求双曲线上的标准方程;

（2）证明：直线尸招，尸工的斜率之积发•心为定值;

AB

(3)求五的取值范围.

变式27.(2024•江苏南京•校考二模)在平面直角坐标系中，已知点尸到点尸(①,0)的距离

与到直线x=2后的距离之比为日.

⑴求点P的轨迹C的方程；

⑵过点(0,1)且斜率为彳;WkV2)的直线/与C交于A,8两点，与x轴交于点线段

AB的垂直平分线与x轴交于点N,求^^的取值范围.

变式28.(2024.江苏南通・统考模拟预测)已知椭圆G：］+V=l的左、右顶点是双曲线

Q：^-4=Ka>0,。>0)的顶点，G的焦点到C?的渐近线的距离为3.直线/：y=kx+t

a1b23

与C2相交于A,B两点,OAOB=-3.

(1)求证：8/+产=1

(2)若直线/与G相交于P,。两点，求|尸0的取值范围.

变式29.(2024.广东深圳.高三校联考期中)已知点Af(x,y)在运动过程中，总满足关系

式:J（无―6）+尸+J（X+⑹+y2=4.

⑴点/的轨迹是什么曲线？写出它的方程；

⑵设圆O：x2+y2=l,直线/:、=履+，”与圆。相切且与点/的轨迹交于不同两点

当4=0408且六时，求弦长|A4的取值范围.

22

变式30.（2024・四川遂宁.统考三模）已知椭圆Cilyf京=1（。＞6＞。）的左、右顶点为

A，4,点G是椭圆C的上顶点，直线4G与圆x2+y2=g相切，且椭圆c的离心率为专

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若点。在椭圆C上，过左焦点月的直线/与椭圆C交于A8两点（AB不在x轴上）且

2后WM

OQ-AB=0,（O为坐标原点），求的取值范围.

1。。「

22

变式31.（2024.江西宜春校联考模拟预测）已知椭圆C:1r+%=1（。＞。＞0）过点

（0,73）,且离心率为

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点P（-l,l）且互相垂直的直线4,4分别交椭圆C于M,N两点及s,T两点.求爵款

的取值范围.

变式32.(2024•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xQy中，动

点M(x,y)到定点F(V2,0)的距离与动点M(x,y)到定直线：x=20的距离的比值为变，

2

记动点M的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的标准方程.

⑵若动直线/与曲线C相交于A,2两点，且。(。为坐标原点)，求弦长IA例的取

值范围.

变式33.(2024・湖北•校联考模拟预测)已知椭圆石：提+，=1(4>6>0)过点｛1,日］

⑴若椭圆£的离心率，求6的取值范围；

(2)已知椭圆£的离心率e=Y3,M,N为椭圆E上不同两点，若经过M,N两点的直线与

2

圆丁+/=廿相切，求线段的最大值.

变式34.(2024•黑龙江哈尔滨・高三哈师大附中校考期末)已知椭圆

22

E:1+%=l(a>b>0)的左、右焦点分别为K(TO)、耳(1,0),点P在椭圆E上，

PF"F2,且归凰=3怛闾.

(1)求椭圆的标准方程；

⑵直线/：x="»+l(机eR)与椭圆E相交于A,2两点，与圆尤?+)/=2相交于。，。两

点，求的取值范围.

22

变式35.（2024・全国.高三专题练习）已知椭圆C：=+二=1（a＞万＞0）的短轴长为

ab

4,离心率为或.点尸为圆M：Y+y2=i6上任意一点，。为坐标原点.

3

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）记线段。尸与椭圆C交点为。，求|尸0的取值范围.

题型七：长度的定值问题

例18.（2024・辽宁沈阳・高三沈阳二中校考阶段练习）如图，已知椭圆G：；+y2=i,C,

的左右焦点可，工是双曲线Q的左右顶点，C?的离心率为0.点E在C,上（异于耳,工两

点），过点E和用月分别作直线交椭圆G于RG和M,N点.

（1）求证：勺G.KMN为定值；

11

⑵求证：西+西为定值•

例19.（2024.北京顺义.高三牛栏山一中校考期中）椭圆「上+y2=i.

4

⑴点C是椭圆「上任意一点，求点C与点。（0,2）两点之间距离d的最大值和最小值；

（2）A和8分别为椭圆r的右顶点和上顶点.p为椭圆「上第三象限点.直线BI与y轴交于

点直线PB与X轴交于点N.求［蹴］+［募］

例20.（2024・吉林松原•高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知椭圆C的右焦点与抛物

线E：丁=8》的焦点B重合，且椭圆C的离心率为g.

（1）求椭圆C的标准方程.

⑵过点F的直线/交椭圆C于N两点，交抛物线E于P,。两点，是否存在实数几，

22

使得网一网为定值？若存在，求出这个定值和力的值；若不存在，说明理由.

变式36.（2024・河南•校联考模拟预测）己知抛物线氏9=2加（°>0）的焦点关于其准线

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的对称点为P（-3,0）,椭圆C：二+与=1（。>6>0）的左，右焦点分别是月，F2,且与E

ab

有一个共同的焦点，线段P片的中点是c的左顶点.过点片的直线/交C于A,8两点，且

线段AB的垂直平分线交x轴于点M.

⑴求C的方程；

（2）证明:M=i

\AB\

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变式37.(2024.天津红桥.统考一模)设椭圆C:二+当=1(。>匕>0)的左、右焦点分别为

ab

耳、F2,离心率e=g,长轴为4,且过椭圆右焦点F?的直线/与椭圆C交于“、N两点.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵若OM-ON=-2,其中。为坐标原点，求直线/的斜率；

⑶若A3是椭圆C经过原点0的弦，豆MNHAB,判断黑是否为定值？若是定值，请

求出，若不是定值，请说明理由.

变式38.(2024・全国•高三专题练习)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线

丫=也彳与椭圆C:=+£=l(a>b>0)交于尸，。两点(P在x轴上方)，且尸。=?。，设

点P在X轴上的射影为点N,VPQN的面积为平，抛物线£:产=2°工(°>0)的焦点与椭

圆C的焦点重合，斜率为人的直线/过抛物线E的焦点与椭圆C交于A,8两，点，与抛物线

E交于C,D两点.

⑴求椭圆C及抛物线E的标准方程；

(2)是否存在常数几，使正+4-为常数？若存在，求2的值；若不存在，说明理由.

\AB\\CD\

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变式39.（2024•河南•校联考模拟预测）已知双曲线C:十三=1（。>0）的左、右焦点分别

为月，F?.过F?的直线/交C的右支于M,N两点，当/垂直于x轴时，M,N到C的一条

渐近线的距离之和为2&.

⑴求C的方程；

⑵证明：因图为定直

变式40.（2024.安徽淮北.统考二模）已知抛物线G：y2=2px（p>0）的焦点和椭圆C2：

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=+3=l（a>6>0）的右焦点尸重合，过点尸任意作直线,分别交抛物线G于交

ab

椭圆C,于尸,Q.当/垂直于x轴时|ACV|=4,|P@=3.

⑴求G和C2的方程；

1m

⑵是否存在常数7”，使河+西为定值？若存在，求出7〃的值；若不存在，请说明理

由.

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变式41.（2024•全国•高三专题练习）已知椭圆C:=+々=1（。>6>0）的左右焦点分别为

ab

耳，鸟，山区|=2,连接椭圆C的四个顶点所成的四边形的周长为4近.

（1）求椭圆C的方程和离心率；

⑵已知过点K的直线4与椭圆交于P,Q两点，过点F2且与直线/,垂直的直线12与椭圆交于

MN两点，求\P汨Q\+/\M的N\值.

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变式42.（2024•北京顺义・高三北京市顺义区第一中学校考期中）已知椭圆C：=+1=1

ab

（a>b>0）的长轴长为4,且离心率为g.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点尸（1,0）且斜率为左的直线/与椭圆C交于48两点，线段的垂直平分线交x

AB

轴于点D求证：—为定值.

DF

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变式43.（2024•天津河北•高三统考期末）已知椭圆。:£+卓=1点3（0,0）,且离心率

e=g,尸为椭圆C的左焦点.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设点7（-3,根），过点尸的直线/交椭圆C于P,。两点，TF11,连接OT与P。交于点

H.

①若吁庭,求|尸。|;

②求f的值.

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变式44.（2024・全国•高三专题练习）已知椭圆E：=+与焦距为2c,

ab

£=正，左、右焦点分别为耳，F2.在椭圆E上任取一点尸，△片尸居的周长为

a2

4（拒+