2025高考数学复习必刷题：椭圆及其性质（学生版）

第64讲椭圆及其性质

知识梳理

知识点一：椭圆的定义

平面内与两个定点耳，耳的距离之和等于常数2〃（2〃>|耳居|）的点的轨迹叫做椭圆，

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,定义用集合语言表

示为：｛尸||尸耳|+1尸耳|=2aQa>|FXF2|=2c>0）｝

注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；

当2a<2c时，点的轨迹不存在.

知识点二：椭圆的方程、图形与性质

椭圆的方程、图形与性质所示.

焦点的位

焦点在工轴上焦点在y轴上

置

A

图形

4HlO

w

2222

标准方程二十斗=1（々>〃〉0）

a2b2v）a2b2V）

统一方程mx2+ny2=l（m>0,n>0,机w〃）

[x=acos0人3,,、[x=acosO”./、

参数方程,为参数（匹[0,2加）\7为参数（。£[0,2扪）

[y=bsmO[y=Z?sin。

第一定义到两定点耳、区的距离之和等于常数2a,^\MFt\+\MF2\=2a（2“>|耳耳|）

范围-a<x<a^-b<y<b-b<x<b5.-a<y<a

A】、A2(«,0)A】（0,—。）、A2（0,〃）

顶点

B](O,询、B2(O,/7)B1（-b,O）、B2（Z7,0）

轴长长轴长二-2a,短轴长=2b长轴长=2a,短轴长=2〃

对称性关于X轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点耳（-G。）、8（c,0）耳（0,-。）、K（O,c）

222

焦距FXF2\=2C(c=a-b)

\a2-b21-4(0<£<1)

离心率7

a2Ia2

一

准线方程

C

点和椭圆>1,外生+詈1=1o点（%，%）在椭圆<外

=lo点5,%)在椭圆上2上

a2b2ab

的关系<1内<1内

=1（（X。,%）为切点）2^+^^=i（（%,%）为切点）

a2b2ab

切线方程对于过椭圆上一点（%,%）的切线方程，只需将椭圆方程中f换为X/,/换为

为了可得

切点弦所

在的直线誓+浮=i（点（%,%）在椭圆外）浮+等=1（点（X。,%）在椭圆外）

abab

方程

2b2

a)cos6=-J,…圈,(B为短轴的端点）

)sinO3an"

c%1,焦点在无轴上.Fpp.

焦点三角(2)SkPRF?~

c天|,焦点在y轴上

形面积四乂(4，%)

J嚏

<JO

③当尸点在长轴端点时，(耳.血口=从

当P点在短轴端点时，(皿)max="

焦点三角形中一般要用到的关系是

(\MFi\+\MF2\=2aC2a>2c)

=1|P^HP^|sinZJF；PF2)

22

||£工|=|PF^+\PF21-21PFt||PF°|cosZFtPF2

左焦半径：\MFX\=a+exQ上焦半径：吗二〃一00

焦半径又焦半径：|孙|=4-%下焦半径：\MF1\=a+eyQ

焦半径最大值a+c,最小值

h2

通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2幺(最短的过焦点的弦)

a

设直线与椭圆的两个交点为Aa，x),B(x2,j2),kAB=k,

2

则弦长=J1+左2|石_引=&+k2-%2)-4XJX2

弦长公式

(其中a是消y后关于x的一元二次方程的x2的系数，A是判别式)

【解题方法总结】

(1)过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其

长为匕

a

①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端

点.

②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.

距离的最大值为a+c,距离的最小值为a-c.

(2)椭圆的切线

22

①椭圆二+与=1(“>6>0)上一点产(%,为)处的切线方程是笔+理=i；

abab

22

②过椭圆二+斗=1（“>6>o）外一点尸❷，为）,所引两条切线的切点弦方程是

ab

%。%।=1

/b2~

③椭圆二+々=1(“>6>0)与直线Ac+By+C=O相切的条件是A2a2+3252=。2.

ab

必考题型全归纳

题型一：椭圆的定义与标准方程

例1.（2024•高二课时练习）已知椭圆C上任意一点P（x,y）都满足关系式

*2*4

7（%-1）+/+#+吁+/=4,则椭圆C的标准方程为.

例2.（2024•山东青岛・统考三模）已知椭圆C的长轴长为4,它的一个焦点与抛物线

y=9入2的焦点重合，则椭圆C的标准方程为____.

4

22

例3.（2024•全国•高二专题练习）已知椭圆—+当=1（〃〉人>0）的左、右焦点为

ab

片（-1,0）,鸟（1,0）,且过点尸则椭圆标准方程为.

22

变式1.（2024.浙江绍兴.绍兴一中校考模拟预测）已知椭圆R=+2=1

ab

（a>b>0）,尸是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的

斜率为-石，△树的面积为走，则E的标准方程为.

22

变式2.（2024.全国•高二专题练习）已知椭圆焦点在x轴，它与椭圆工+匕=1有相同离心

43

率且经过点（2,-6）,则椭圆标准方程为.

变式3.（2024.北京.高二北大附中校考期末）与双曲线4y2-3/=12有相同焦点，且长轴

长为6的椭圆标准方程为.

变式4.（2024•福建福州•高二福建省福州屏东中学校考期末）已知椭圆E：

22

・+当=1（。>6>0）的左、右焦点分别为耳，B，过坐标原点的直线交E于P,0两点,

ah

且产乙，乙Q,且'%2=；］,|尸局+|g0=8,则E的标准方程为.

22

变式5.（2024.山东青岛.高二青岛二中校考期中）过点（6-⑹，且与椭圆2+5=1有

相同的焦点的椭圆标准方程是.

变式6.（2024•浙江丽水•高三校考期中）我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的

椭圆叫做“相似椭圆若椭圆E:二+.=1,则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆尸的标准

1612

方程为.

22

变式7.（2024.全国•高三专题练习）已知椭圆C：二+4=1（。>6>0）的左、右焦点分别

ab

为Fi,F2,左、右顶点分别为M,N,过尸2的直线/交C于A,3两点（异于M、N）,

的周长为4石，且直线AM与AN的斜率之积为则椭圆C的标准方程

为.

变式8.（2024.高二课时练习）已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A（-62）和

5（-273,1）两点，则椭圆C的标准方程为.

【解题方法总结】

（1）定义法：根据椭圆定义，确定。2,/的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.

（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然

后根据条件列出6,c的方程组，解出/，廿，从而求得标准方程.

注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为4V2+By2=］（A>o,B>o,AwB）.

2222

②与椭圆一+—=1共焦点的椭圆可设为——+——=l（k>-m,k>—n,mwn）.

mnm+kn+k

2222

③与椭圆会+我=l（〃〉b〉O）有相同离心率的椭圆，可设为1r+%=勺（匕〉0,焦

Y2V2

点在x轴上）或=+4=匕（笈2>。，焦点在y轴上）.

b~~

题型二：椭圆方程的充要条件

例4.（2024・全国•高三对口高考）若6是任意实数，方程fsine+y2cos9=5表示的曲线不

可能是（）

A.圆B.抛物线C.椭圆D.双曲线

例5.（2024•上海徐汇•位育中学校考三模）已知〃zeR,则方程（2-m）/+（m+1力2=］所

表示的曲线为C,则以下命题中正确的是（）

A.当时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆

B.当曲线C表示双曲线时，加的取值范围是（2,+8）

C.当〃?=2时，曲线C表示一条直线

D.存在meR,使得曲线C为等轴双曲线

例6.（2024•全国•高三专题练习）已知方程-2+6/+3+.+及尸尸=0,其中

A>B>C>D>E>F.现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：

甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；

丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程.

其中，真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

变式9.（2024•全国•高三专题练习）0<3<1”是“方程分2=1_勿2表示的曲线为

椭圆”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

22

变式10.（2024・云南楚雄•高三统考期末）已知曲线C：L+」^=1,则“4>o”是“曲线C

4。3。+2

是椭圆”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2

变式11.（2024・全国•高三专题练习）设。为实数，则曲线C：/一—之不可能是

\-a2

（）

A.抛物线B.双曲线C.圆D,椭圆

22

变式12.（2024•广西钦州•高三校考阶段练习）"1<左<5"是方程“'+二二=1表示椭圆

k—15—k

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条

【解题方法总结】

22

土+上=1表示椭圆的充要条件为：m>0,n>0,m^n；

mn

22

上+乙=1表示双曲线方程的充要条件为：nm<0；

mn

22

匕+二=1表示圆方程的充要条件为：m=n>Q.

mn

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题

22

例7.（2024•贵州黔东南•高三校考阶段练习）已知点A,B是椭圆C:土+2=1上关于原

94

点对称的两点，耳,工分别是椭圆C的左、右焦点，若|A耳|=2,则忸同=（）

A.1B.2C.4D.5

22

例8.（2024.北京•高三强基计划）如图，过椭圆?+g=l的右焦点B作一条直线，交椭

例9.（2024•江西•高三统考阶段练习）已知椭圆C:*+y2=l（a>l）,片，工为两个焦点，P

a

为椭圆c上一点，若△尸耳后的周长为4,则〃=（）

35

A.2B.3C.—D.一

24

22

变式13.（2024・河南•高三阶段练习）已知月,区分别为椭圆0q+匕=1（"26）的两个

a12

焦点，且C的离心率为为椭圆C上的一点，则的周长为（）

A.6B.9C.12D.15

22

变式14.（2024•全国•校联考模拟预测）已知椭圆E:=+二=1（。>6>0）的左顶点为A,上

ab

顶点为2,左、右焦点分别为耳，B，延长8K交椭圆E于点P.若点A到直线88的距离

为至1,耳的周长为16,则椭圆£的标准方程为（）

3

2222

A.——+—=lB.工+匕=1

25163632

炉十九1炉y,2

cD.----+--1----=-1

494810064

x2,2

变式15.（2024.广东梅州.统考三模）已知椭圆C:—+匕=1的左、右焦点分别为月,

95

尸2,过点尸2的直线/与椭圆C的一个交点为A,若|A乙|=4,则耳心的面积为（）

A.273B.如C.4

22

变式16.（2024.广东广州.高三华南师大附中校考开学考试）椭圆£:3+（=l（a>8>0）的

两焦点分别为与F2,A是椭圆片上一点，当△耳4工的面积取得最大值时，ZF,AF2=

()

n-2〃

A.—cD.—

6-t3

,2

变式17.（2024・河南开封・统考三模）已知点尸是椭圆工+上=1上一点，椭圆的左、右焦

259

点分别为耳、B，且cos/耳则心的面积为(

「9A/2

A.6B.12D.2A/2

2

,2

变式18.（2024•全国•高三专题练习）设片为椭圆C:5+y2=l的两个焦点，点尸在C

上，若丽•朋=0,则|/讣|尸闾=（）

A.1B.2C.4D.5

22

变式19.（2024・全国•高三专题练习）设。为坐标原点，耳，居为椭圆C:土+匕=1的两个

96

3

焦点，点尸在。上,cosZ^P^=-,则|OP|二()

A.乜R730n扃

LJ.--------

522

22

变式20.（2024•湖南长沙•长郡中学校考模拟预测）若椭圆c：=+2=l（a>6>0）的离心

ab

率为g，两个焦点分别为耳（-c，0）,乙（c,0）（c>0）,M为椭圆C上异于顶点的任意一点，

“\PM\

点尸是△MKB的内心，连接"P并延长交于点。，则胃=（）

A.2B.±C.4D.-

24

变式21.（2024・云南昆明・昆明一中校考模拟预测）已知椭圆c：二+《=l的左、右焦点分

259

别为小尸2,直线尸丘与椭圆。交于A,8两点，若|人却=闺闾，则，明的面积等于

（）

A.18B.10C.9D.6

22

变式22.（2024贵州黔西校考一模）设椭圆C:[+马=l（a>b>0）的左、右焦点分别为

ab

耳，F2,离心率为1.尸是C上一点，且可尸，丹P.若△尸的面积为2,则4=

2

（）

A.1B.2C.&D.4

22

变式23.（2024・云南昆明・昆明市第三中学校考模拟预测）己知椭圆C:]+齐=1（0<6<3）

的左、右焦点分别为0耳，尸为椭圆上一点，且/耳尸耳=60。，若可关于/耳P瑞平分线的对

称点在椭圆C上，则鸟的面积为（）

A.6石B.3A/3C.273D.色

变式24.（2024・四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在椭圆中，已知焦距

为2,椭圆上的一点P与两个焦点0B的距离的和等于4,且/尸£6=120。，则△尸

的面积为（）

「石

A3A/3R2A/336n3

7545

变式25.（2024.河北唐山・统考三模）已知椭圆C:,+V=l的两个焦点分别为片,后，点加

/耳次,的角平分线交线段片乙于点N,则阴=

为C上异于长轴端点的任意一点,

|甲V|

()

RM旦D.72

52

【解题方法总结】

焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦

点将距离问题常用定义，即|P耳|+|尸名|=2人

题型四：椭圆上两点距离的最值问题

22

例10.（2024.湖南•校联考二模）已知斗鸟分别为椭圆C:二+匕=1的两个焦点，尸为椭

62

圆上一点，则|尸耳|2+怛囚2—2怛司|产阊的最大值为（）

A.64B.16C.8D.4

22

例11.（2024.云南.高三校联考阶段练习）已知A（3,0）,3（-3,0）,p是椭圆夫+夫之上的任

2516

意一点，贝力夫川・|。团的最大值为（）

A.9B.16C.25D.50

例12.（2024・河南•高三期末）已知尸是椭圆C:'+±=1上的动点，且与C的四个顶点不

1612

重合，耳,且分别是椭圆的左、右焦点，若点M在/可尸乙的平分线上，且函.称=0,则

|0加|的取值范围是（）

A.（0,2）B.（0,273）C.（0,4一2⑹D.（0,1）

22

变式26.（2024•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）已知月,月是椭圆C:三+匕=1

43

的两个焦点，点尸在C上，则|尸£「+|尸乙「的取值范围是（）

A.[1,16]B.[4,10]C.[8,10]D.[8,16]

22

变式27.（2024・全国•高三专题练习）若椭圆C：土+匕=1,则该椭圆上的点到焦点距离

43

的最大值为（）

A.3B.2+73

C.2D.G+1

22

变式28.（2024・全国•高三专题练习）已知点/在椭圆上+匕=1上运动，点N在圆

189

V+（y-炉=1上运动，则|MV|的最大值为（）

A.1+Vi?B.1+275C.5D.6

【解题方法总结】

利用几何意义进行转化.

题型五：椭圆上两线段的和差最值问题

22

例13.（2024・北京•高三强基计划）设实数x,y满足工+二=1,则

54

*2

J尤2+/一2丫+1+Qx+/一2无+1的最小值为（）

A.2&B.2A/5-2

C.2V5-V2D.前三个答案都不对

22

例14.（2024・甘肃定西•统考模拟预测）已知椭圆C：\_+g=l的左、右焦点分别为耳,

F2,A是C上一点，5（2,1）,则|AB|+|4周的最大值为（）

A.7B.8C.9D.11

2

例15.（2024•江苏•统考三模）已知尸为椭圆C：三r+丁=1的右焦点，p为C上一点，Q

4'

为圆M：d+（y_3）2=l上一点，则PQ+PF的最大值为（）

A.3B.6

C.4+2>/3D.5+26

变式29.（2024•河北•高三河北衡水中学校考阶段练习）若平面向量口瓦^满足

\a\=\b\=l,\a+b\=\a-b\,^\c-a\+\c-^/3b\=4,则卜一”同+忸-回|的取值范围为

（）

A.[2,6]B.[2,4]C.[4,6]D.[3,5]

22

变式30.（2024・广东•高三校联考阶段练习）已知椭圆C:土+匕=1的左焦点为£尸是。上

167

一点，M（3,l）,则归M|+|P可的最大值为（）

A.7B.8C.9D.11

22

变式31.（2024・全国•高三专题练习）已知点尸为椭圆土+匕=1上任意一点，点M、N分

43

别为（X-琰+丁2=1和（％+l）2+y2=i上的点，则PM+|7W|的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

变式32.（2024.全国•高三专题练习）已知耳，B分别为椭圆c：5+y2=l的两个焦点，P

为椭圆上一点，则归胤-归局的最大值为（）

A.2B.2A/3C.4D.

r22

变式33.（2024.全国.高三专题练习）已知椭圆夫+3=1外一点45,6）,/为椭圆的左准

2516

3

线，P为椭圆上动点，点P到/的距离为d,贝+的最小值为（）

A.8B.10C.12D.14

22

变式34.（2024•全国•高三专题练习）已知椭圆C：L+工=1的右焦点为p,尸为椭圆C上

43

一动点，定点42,4）,贝||PA|-|PF|的最小值为（）

A.1B.-1C.V17D.-V17

【解题方法总结】

在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义.求解最值问题

的过程中，如果发现动点尸在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃

而解.

题型六：离心率的值及取值范围

方向1：利用椭圆定义去转换

例16.（2024・四川成都・高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）如图，某同

学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条的尸

处钻一个小孔，可以容纳笔尖，各在一条槽内移动，可以放松移动以保证R4与P3的

长度不变，当各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知|R4|=2|AB|,且

尸在右顶点时，B恰好在。点，则E的离心率为（）

22

例17.（2024.全国•高三专题练习）设椭圆+的一个焦点为-2,0）,

点A（-2,l）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点尸，使得|必+「典=8,则椭圆E的离心

率的取值范围是（）

'441（441「22、「22

|_97」（97」L97）\_97」

例18.（2024・安徽•高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C的左右焦点分别为

耳，F2,p,。为C上两点，2%=3月。，若M工期,则C的离心率为（）

「713V17

,亏

变式35.（2024・湖北•高三孝感高中校联考开学考试）如图，已知圆柱底面半径为2,高为

3,A3CD是轴截面，瓦尸分别是母线AB,8上的动点（含端点），过E尸与轴截面A8C。

垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆，当此交线是椭圆时，其离心率的取值范围是

;

a-H]B.[°q]c.]|“D.

22

变式36.（2024・湖北.高三校联考阶段练习）已知小入分别是椭圆c：A+2=l

（a>6>0）的左，右焦点，M,N是椭圆C上两点，且砒=2鼻犷，MF^MN=0,

则椭圆C的离心率为（）

「V5

22

变式37.（2024・重庆巴南•统考一模）椭圆C:三+a=1（〃>6>0）的左右焦点为B,

点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M,N满足封=砺，2ON=OP+OF^,若四边

形MONP的周长等于46,则椭圆C的离心率为e=（）

A.|B.正C.正D.显

2223

变式38.（2024.黑龙江哈尔滨.哈尔滨市第六中学校校考三模）已知N是椭圆

22

上关于原点。对称的两点，P是椭圆C上异于M,N的点，且

两.两的最大值是:则椭圆C的离心率是（）

A.-B.|C.—D.且

3223

方向2：利用a与c,建立一次二次方程不等式

22

变式39.（2024・四川绵阳•高三盐亭中学校考阶段练习）椭圆广二+2=1（”>6>0）的左、

ab

右焦点分别为用B，焦距为2c,若直线y=5（x+c）与椭圆7的一个交点为M在x轴上

3

方，满足/々"二^/仍用，则该椭圆的离心率为（）

A.73-1B.在匚

2

C.41D.3二1■

22

变式40.（2024•广东深圳.高三校考阶段练习）己知椭圆风5+与=1（。>6>0）的右焦点

ab

为B，左顶点为A，若E上的点尸满足轴，tanNPA,居=g，则E的离心率为

（）

A.JB.—C.—D.—

2545

变式41.（2024・广东广州.高三华南师大附中校考阶段练习）己知。为坐标原点，P（为％）

22

是椭圆E:=+与=1（。>6>0）上一点（西>0）,尸为右焦点.延长PO,尸尸交椭圆E于。，

ab

G两点，DF.FG=0,\DF\=4\FG\,则椭圆E的离心率为（）

A逐RVi7「后nVio

3565

22

变式42.（2024•河南开封•校考模拟预测）已知椭圆C:=+2=l（a>6>0）,A,2分别是

ab

C的左顶点和上顶点，尸是C的左焦点，若tanNE钻=2tanNEB4,则C的离心率为

（）

A.|B.立

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Q3-小D布一、

•~2-•2

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变式43.（2024.山东泰安・统考模拟预测）已知椭圆c：5+2=l（〃>h>0）的左、右焦点分

ab

别是月，工，斜率为1的直线经过左焦点月且交C于A3两点（点A在第一象限），设^

的内切圆半径为？月6的内切圆半径为马，若；=2,则椭圆的离心率的值为

（）

QTD-T

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变式44.（2024•全国•模拟预测）已知椭圆二+1=1（。>6>0）的左顶点为A,右焦点为

ab

12

F,8为椭圆上一点，AFBF=0,cosZBAF=—,则椭圆的离心率为（）

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变式45.（2024.湖北荆州•沙市中学校考模拟预测）已知椭圆C：3+多=l（a>b>0）,F