2025年初中数学专项复习突破：全等三角形中的常见五种基本模型（含答案及解析）

大招全等三角形

的常见五种模型

模型介绍

全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解,

这里就不在重复.

模型一、截长补短模型

①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF上截取BM=DF,易证aBMC义ADFC(SAS),则MC=FC=FG,ZBCM=ZDCF,

可得△MCF为等腰直角三角形，又可证NCFE=45°,ZCFG=90°,

ZCFG=ZMCF,FG〃CM,可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF,于是BF=BM+MF=DF+CG.

②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，延长GC至N,使CN=DF,易证4CDF出Z\BCN(SAS),

可得CF=FG=BN,ZDFC=ZBNC=135°,

又知NFGC=45°,可证BN〃FG,于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG,

所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.

模型二、平移全等模型

A

模型三、对称全等模型

模型四、旋转全等模型

模型五、手拉手全等模型

B

例题精讲

模型一、截长补短模型

【例1】.如图，ADLBC,AB+BD=DC,NB=54°,则NC=

A变式训练

【变式1-1].如图，点尸是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、ZACB

D.90°

【变式1-2].如图，在四边形ABC。中，BOBA,AD=CD,8。平分NA8C,

求证：ZA+ZC=180°.

【变式1-3].如图，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC,ZBAC=90°,点D在线段AB

上，连接。，ZADC=60°,A£)=2,过C作CE_LCD,且CE=C。，连接DE,交.BC

于足

(1)求△(?£>£的面积；

(2)证明：DF+CF=EF.

模型二、平移全等模型

【例2].如图，在四边形ABC。中，E是的中点，AD//EC,ZAED=ZB.

(1)求证：△AED0△EBC.

(2)当AB=6时，求CD的长.

AEB

A变式训练

【变式2-1].如图1,A,B,C,。在同一直线上，AB=CD,DE//AF,5.DE^AF,求证:

△AFC名ADEB.如果将2。沿着4。边的方向平行移动，如图2,3时，其余条件不变,

结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.

【变式2-2].如图，AD,BF相交于点。，AB//DF,AB^DF,点E与点C在8F上，且

BE=CF.

(1)求证：AABC咨ADFE；

(2)求证：点。为BE的中点.

D

【变式2-3].如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，/AO2=NCOD=90°,。在

AB±.

(1)求证：△AOC四△20。；

(2)若AO=1,ZADC=60°,求C。的长.

模型三、对称全等模型

【例3】.如图，AD//BC,/。=90°,ZCPB=30°,/D42的角平分线与NCA4的角平

分线相交于点P，且。，P,C在同一条直线上.

(1)求的度数；

(2)求证：尸是线段CD的中点.

D

/

C

AB

A变式训练

【变式3-1].如图，AB^AC,D、E分别是A3、AC的中点，AM_LCZ）于M,AN1BE干N.

求证：AM=AN.

【变式3-2].如图，已知点£、P分别是正方形A2CD中边A3、BC上的点，且AB=12,

AE=6,将正方形分别沿。E、。尸向内折叠，此时D4与。C重合为。G,求CT的长度.

【变式3-3].如图，44。2=90°,0M平分NAOB,将直角三角板的顶点尸在射线0M上

移动，两直角边分别与02相交于点C、。，问PC与尸。相等吗？试说明理由.

模型四、旋转全等模型

【例4].如图，已知：AD=AB,AE=AC,AD±AB,AE±AC.猜想线段CD与BE之间的

数量关系与位置关系，并证明你的猜想.

A变式训练

【变式4-1].已知△A8C和△ADE均为等腰三角形，且AB=AC,AD=

AE.

(1)如图1,点E在BC上，求证：BC=BD+BE；

(2)如图2,点E在的延长线上，求证：BC=BD-BE.

【变式4-2].如图所示，已知尸是正方形ABC。外一点，且B4=3,PB=4,则PC的最大

模型五、手拉手全等模型

【例5】.如图，ZVIBC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AZ）=AE,AB=AC,

ZDAE=ZCAB=90°,且线段8£＞、CE交于F.

（1）求证：AAEC丝AADB.

（2）猜想CE与DB之间的关系，并说明理由.

A变式训练

【变式5-1].如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三角

形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,

连接尸Q.以下五个结论：®AD=BE-,@AP=BQ；③DE=DP；④NAO8=60°.恒成

立的结论有几个（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式5-2].如图，NBAD=NCAE=90°，AB=AD,AE^AC,AF±CB,垂足为足

(1)求证：AABC^AADE；

(2)求的度数；

(3)求证：CD=2BF+DE.

【变式5-3].(1)如图1,等腰△A8C与等腰△DEC有公共点C,S.ZBCA=ZECD,连接

BE、AD,若8C=AC,EC=DC,求证：BE=AD.

(2)若将△£>£(：绕点C旋转至图2、图3、图4情形时，其余条件不变，8E与A。还相

等吗？为什么？

图3图4

o

实战演练

1.如图，已知=BC=DE,且NC4D=10°,ZB=ZD=25°,ZEAB=120°,

则NEGb的度数为（

c.115°D.125°

2.如图，在AAOB和△CO。中，0A=08,OC=OD,OA<OC,ZAOB=ZCOD=36°.连

接AC,BD交于点M,连接。M.下列结论：

①NAM8=36°,®AC=BD,③0M平分/AOD,④MO平分/AMO.其中正确的结论

个数有（）个.

3.如图，在△ABC中，ZBAC=30°,MAB=AC,P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的

最小值为46，则BC2=

4.正方形48。中，AB=6,点E在边CD上，CE=2DE,将△?1£)£沿4E折叠至△APE,

延长跖交8C于点G,连接AG,CF.下列结论：①AABG咨AAFG；@SAFGC=6；

③EG=DE+BG；@BG=GC.其中正确的有(填序号).

5.如图，在矩形ABC。中，AB=8,BC=4,将矩形沿对角线AC折叠，点。落在处.

(1)求证：AF=CF

(2)求AF的长度.

D'

6.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,延长AB至点£>,DB=AB,连接C£>,

以CO为直角边作等腰三角形CDE,其中/OCE=90°,连接BE.

(1)求证：AACD2ABCE；

(2)若AB=3c〃z,则cm.

(3)BE与有何位置关系？请说明理由.

7.如图，在△ABC中，ZBAC=90°，AB=AC,点D是42的中点，连接CD过B作

交C。的延长线于点E,连接AE,过A作A尸，AE交C。于点足

(1)求证：AE^AF；

(2)求证：CD=2BE+DE.

8.如图：在等腰直角三角形中，AB=AC,点。是斜边BC上的中点，点、E、尸分别为A8,

AC上的点，5.DE1DF.

(1)若设BE=a,CF=b,满足-5|=在亚+日益，求BE及C尸的长.

(2)求证：B呼+CF2=EF2.

(3)在(1)的条件下，求△£)£厂的面积.

BD

9.如图1,点C为线段AB上任意一点（不与点A、8重合），分别以AC、BC为一腰在A2

的同侧作等腰△AC。和△BCE,CA^CD,CB=CE,/ACD=/BCE=30°,连接AE

交CO于点连接8。交CE于点N,AE与BD交于点P,连接CP.

（1）线段AE与DB的数量关系为；请直接写出NAPD=；

（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的

数量关系，并说明理由；求出此时NAPO的度数；

（3）在（2）的条件下求证：ZAPC=ZBPC.

10.阅读与理解:

折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如，在△ABC中，AB>AC(如图),

怎样证明呢？

分析：把AC沿/A的角平分线翻折，因为A8>AC,所以点C落在A8上的点C处，

即AC=AC,据以上操作，易证明△AC。丝△AC。，所以/ACD=NC,又因为NAC。

>ZB,所以

感悟与应用：

(1)如图(a),在△ABC中，NACB=90°,NB=30°,C。平分NAC8,试判断AC

和A。、BC之间的数量关系，并说明理由；

(2)如图(6),在四边形ABCZ)中，AC平分/BA。，AC=16,AD=8,DC=BC=U,

①求证：ZB+ZD=180°；

②求A8的长.

11.如图甲，在等边三角形ABC内有一点P,且B4=2,PB=氏,PC=1,求/8PC的度

数和等边三角形ABC的边长.

(1)李明同学作了如图乙的辅助线，将△2PC绕点2逆时针旋转60°,如图乙所示，

连接PP',可说明△人「「是直角三角形从而问题得到解决.请你说明其中理由并完成问题

解答.

(2)如图丙，在正方形ABC。内有一点P,且AP=遥，BP=®PC=1：类比第一

小题的方法求N2PC的度数，并直接写出正方形A3。的面积.

12.在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,以CA为边在/ACB的另一侧作

ACB,点。为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE=2。，连接A。、DE、AE.

(1)如图1,当点。落在线段BC的延长线上时，N4DE的度数为.

(2)如图2,当点。落在线段BC(不含边界)上时，AC与。E交于点凡请问(1)中

的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，若A8=12,求CF的最大值.

大招全等三角形

的常见五种模型

O

W)模型介绍

全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解,

这里就不在重复.

模型一、截长补短模型

①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。

如图所示，在BF上截取BM=DF,易证^BMC之4DFC(SAS),则MC=FC=FG,ZBCM=ZDCF,

可得AMCF为等腰直角三角形，又可证NCFE=45°,ZCFG=90°,

ZCFG=ZMCF,FG〃CM,可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF,于是BF=BM+MF=DF+CG.

②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。

如图所示，延长GC至N,使CN=DF,易证4CDF出Z\BCN(SAS),

可得CF=FG=BN,ZDFC=ZBNC=135°,

又知NFGC=45°,可证BN〃FG,于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG,

所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.

模型二、平移全等模型

A'

模型三、对称全等模型

模型四、旋转全等模型

模型五、手拉手全等模型

E

o

例题精讲

模型一、截长补短模型

解：在。。上截取连接AE,

VADXBC,DE=BD,

・・・AO是的垂直平分线，

：.AB=AE,

：.ZB=ZAEB=54°,

'：AB+BD=DC,DE+EC=DC,

：.AB=EC,

：.AE=EC,

：.ZC=ZEAC,

VZC+ZEAC=ZAEB=54°,

：.ZC=ZEAC=—ZAEB=27°,故答案为：27°.

2

A变式训练

【变式1-1].如图，点尸是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP,ZACB

=60°,且CA+A尸=3。，则NC48的度数为（）

A.60°B.70°C.80°D.90°

解：如图，在BC上截取CE=AC,连接PE,

VZACB=60°,

：.ZCAB+ZABC^120°

•..点尸是AABC三个内角的角平分线的交点，

/.ZCAP=ZBAP=—ZCAB,ZABP=ZCBP=—ZABC,ZACP=ZBCP,

22

ZABP+ZBAP=60°

'：CA^CE,ZACP=ZBCP,CP=CP

:.AACP*AECP(SAS)

：.AP=PE,ZCAP=ZCEP

'：CA+AP=BC,MCB=CE+BE,

：.AP=BE,

:.BE=PE,

EPB=/EBP,

：.ZPEC=NEBP+NEPB=2/PBE=ZCAP

：.ZR\B=2ZPBA,S.ZABP+ZBAP=60°,

：.ZPAB=40°,

AZCAB=80°故选：C.

【变式1-2].如图，在四边形A8C£)中，BC>BA,AD=CD,3。平分NABC,

求证：ZA+ZC=180°.

证明：在线段BC上截取连接。E,如图所示.

：8。平分/ABC,

ZABD=ZEBD.

'AB=EB

在△AB。和△EB。中，，NABD=NEBD，

BD=BD

:.△ABD/4EBD(.SAS),：.AD=ED,NA=NBED.

"：AD=CD,

:.ED=CD,：.ZDEC=ZC.

VZBED+ZDEC=180°,ZA+ZC=180°.

【变式1-3].如图，ZkABC为等腰直角三角形，AB=AC,NA4c=90°，点。在线段A5

上，连接CD,ZAZ)C=60°,AD=2,过C作CEJ_C。，且CE=CD,连接。交,BC

于足

(1)求△CDE的面积；

(2)证明：DF+CF=EF.

(1)解：在RtZXAOC中，U：AD=2,ZADC=60°，

：.ZACD=30°,

：.CD=CE=2AD=4,

9：ECLCD,

：.ZECD=90°,

/.SAECD=—•CD-CE=AX4X4=8.

22

(2)证明：在EF上取一点M,使得

■:EC=CD,ZE=ZCDF=45°,

・••△ECM妾LDCF,

：.CM=CF,

VZAZ)C=60°,

ZFZ)B=180°-60°-45°=75°,

ZDFB=ZCFM^180°-75°-45°=60°,

•••△C厂M是等边三角形，

:・CF=MF,

：.EF=EM+MF=DF+CF.

模型二、平移全等模型

【例2].如图，在四边形ABC。中，£是AB的中点，AD//EC,NAED=NB.

(1)求证：4AED义AEBC.

(2)当AB=6时，求CD的长.

AEB

(1)证明：\'AD//EC,：.ZA=ZBEC,

是A3中点，：.AE=EB,

:NAED=NB,:.△AEDWMBC.

(2)解：:AAED冬AEBC,：.AD=EC,

'：AD//EC,，四边形AECO是平行四边形，:.CD=AE,

；A2=6,,\CD=AAB=3.

A变式训练

【变式2-1].如图1,A,B,C,。在同一直线上，AB=CD,DE//AF,且。E=AR求证:

△AFgADEB.如果将BD沿着边的方向平行移动，如图2,3时，其余条件不变,

结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.

g/\

B/CD~/BDBD

F

⑵

解：-：AB=CD,

：.AB+BC=CD+BC,

即AC=BD.

,JDE//AF,

'AF=DE

在△Af'C和△DEB中，＜NA=/D，

AC=DB

AAAFC^AZ)£B(SAS).

在(2),(3)中结论依然成立.

如在(3)中，'：AB=CD,

；.AB-BC=CD-BC,

即AC=BD,

,JAF//DE,

ZA=ZD.

'AF=DE

在△ACF和△DEB中，<ZA=ZD>

AC=DB

:.AACF出ADEB(SAS).

【变式2-2].如图，AD,8F相交于点O,AB//DF,尸，点E与点C在8尸上，且

BE=CF.

(1)求证：△ABC丝△。/E；

(2)求证：点。为的中点.

ZB=NF,

•；BE=CF,

：.BC=EF,

在△ABC和△DFE中，

'AB=DF

<ZB=ZF>

BC=EF

...△ABg^DFE(SAS)；

(2)■:XABgXDFE,

：.AC=DE,ZACB=ZDEF,

在△ACO和△DEO中，

,ZACB=ZDEF

<ZAOC=ZDOE-

AC=DE

.,.△AC。注△DE。(A4S),

：.EO=CO,

.,.点。为8尸的中点.

【变式2-3].如图，ZkAOB和△<%>/)均为等腰直角三角形，ZAOB^ZCOD^90°,。在

AB上.

(1)求证：△AOC义△800；

(2)若AZ)=1,ZA£)C=60°,求。的长.

(1)证明：•••△AO8和△C。。均为等腰直角三角形,

/.ZA0B=ZC0D=9Q°,OA=OB,0C=0D,

：.ZBOD+ZAOD=90°,ZAOC+ZAOD=90°,

ZBOD=ZAOC,

在△AOC和△8。。中，

'CO=DO

<NBOD=/AOC，

OA=OB

.♦.△AOC丝△BO£>(SAS)；

(2)解：VAAOC^ABOD,

：.ZCAO^ZDBO^45°,

又/BAO=45°,

.\ZCA£>=90°,

'：AD=1,ZADC=6Q°,：.CD=2AD=2.

模型三、对称全等模型

【例3】.如图，AD//BC,ZD=90°,/CP8=30°,的角平分线与NCB4的角平

分线相交于点P，且DP,C在同一条直线上.

(1)求NB4。的度数；

(2)求证：尸是线段C£>的中点.

DD

PP

⑴解：\9AD//BC,

AZC=180°-Zr>=180°-90°=90°,

'：ZCPB=30°,

：.ZPBC=90°-ZB=60°,

,.・尸8平分NABC,

AZABC=2ZPBC=120°,

■:AD//BC,

：.ZDAB+ZABC=\S0°,

：.ZDAB=1SO°-120°=60°,

〈AP平分ND48,

ZPAD=^ZDAB=30°；

2

(2)证明：过尸点作PELAB于E点，如图，

〈AP平分NDA5,PDLAD,PELAB,

：.PE=PD,

•・・8尸平分NABC,PCLBC,PE_LAB,

：.PE=PC,

：.PD=PC,

・・・尸是线段CO的中点.

A变式训练

【变式3-1].如图，AB=AC,D、E分别是A3、AC的中点，AMJ_C。于M,AN1BE干N.

求证：AM=AN.

B

解：-：AB=AC,D、E分别是A3、AC的中点,

J.AD^BD^AE^EC,NB=NC,

在△£>2C和△E2C中

'BD=EC

-ZB=ZC

BC=CB

，ADBC^AEBC,

，ZBDC=ZBDE,

ZBDC=ZADM,ZBEC=ZAEN,

：.ZADM=ZAEN,

在△AMD和中

，ZAHD=ZANE=90°

ZADM=ZAEN

AD=AE

AAMD^AAZVE

：.AM=AN.

【变式3-2].如图，已知点E、尸分别是正方形ABC。中边A8、8C上的点，且48=12,

AE=6,将正方形分别沿。E、向内折叠，此时。A与。C重合为。G,求CT的长度.

解：设CF=x,则FG=x,FB^\2-x,

'：AB=n,AE=6,

:.BE=6,EG=6,

.\EF=6+x,

在RtZ\3跖中，

B号+BF?=EF2,

62+(12-x)2=(尤+6)2,

x=4,即CF的长为4.

【变式3-3].如图，ZAOB=90°,0M平分/A08,将直角三角板的顶点尸在射线0M上

移动，两直角边分别与。4、08相交于点C、。，问PC与PD相等吗？试说明理由.

AM4M

M°DR0MFDB

解：PC与尸。相等.理由如下：

过点P作PE±OA于点E,PFLOB于点F.

平分/AOB,点尸在上，PELOA,PF±OB,

:.PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）

又；NAOB=90°,ZPEO=ZPFO=90°,

四边形O“尸为矩形，

AZEPF=9Q°,

：.ZEPC+ZCPF=90°,

又•.•/CP£>=90°,

：.ZCPF+ZFPD=90°,

ZEPC=ZFPD=90°-ZCPF.

在△「（?£•与中，

，ZPEC=ZPFD

••••PE=PF，

ZEPC=ZFPD

：./\PCE^/\PDF（ASA）,:.PC=PD.

模型四、旋转全等模型

【例4].如图，已知：AD=AB,AE=AC,AD±AB,AE±AC.猜想线段CD与BE之间的

数量关系与位置关系，并证明你的猜想.

BC

解：猜想：CD=BE,CDA.BE,

理由如下：'：AD±AB,AE±AC,

：.ZDAB=ZEAC=90°.

：.ZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBAC,即/C4£>=NEAB,

在△AC。和△AEB中，

，AD=AB

•ZCAD=ZEAB>

AC=AE

AAACD^AAEB(SAS),

:.CD=BE,NADC=NABE,

"：ZAGD=ZFGB,

：.ZBFD^ZBAD^9Qa,BPCDLBE.

A变式训练

【变式4-1].已知△ABC和△AOE均为等腰三角形，且N8AC=ND4E,AB=AC,AD

AE.

(1)如图1,点E在BC上，求证：BC=BD+BE；

(2)如图2,点E在CB的延长线上，求证：BC=BD-BE.

(1)证明：,：ZBAC=ZDAE,

：.ZBAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE,

即NDAB=ZEAC,

5L'：AB=AC,AD=AE,

：./\DAB^/\EAC(SAS),

：.BD=CE,

：.BC=BE+CE=BD+BE；

(2)证明：VZBAC=ZDAE,

：.NBAC+/EAB=ZDAE+ZEAB,

即/D4B=NE4C,

又：AB=AC,AD^AE,

：./\DAB^/\EAC(SAS),

：.BD=CE,

：.BC=CE-BE=BD-BE.

【变式4-2].如图所示，己知尸是正方形ABC。外一点，且B4=3,PB=4,则PC的最大

值是3+4、万

则PE=42PB=4-/2,

VZABE=ZABP+900,ZCBP=ZABP+9G0,

ZABE=ZCBP,

在AABE和△CBP中，

'AB=BC

，ZABE=ZCBP>

BE=PB

.,.△ABE<ACBP(SAS),

：.AE=PC,

由两点之间线段最短可知，点A、P、E三点共线时AE最大,

止匕时AE=AP+PE=3+4&,

所以，PC的最大值是3+4a.故答案为：3+4V2.

模型五、手拉手全等模型

【例5】.如图，△ABC与△AOE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AZ)=AE,AB^AC,

ZDAE^ZCAB^90°,且线段8。、CE交于F.

(1)求证：AAEC^AADB.

(2)猜想CE与。8之间的关系，并说明理由.

(1)证明：VZBAC^ZDAE,

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

在△8AO与△CAE中，

，AB=AC

•ZBAD=ZCAE>

AD=AE

:.ABAD2ACAE(SAS)；

(2)解：CE=DB,CE±DB.

理由：由(1)知，ABAD^ACAE,

AZABD=ZACE,BD=CE,

'：ZBAC=90°,

：.ZCBF+ZBCF^ZABC+ZACB^90Q,.\ZBFC=90°,：.CE±BD.

A变式训练

【变式5-1].如图，C为线段AE上一动点(不与点A,E重合)，在AE同侧分别作正三角

形ABC和正三角形CDE.AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点。，

连接尸。.以下五个结论：®AD=BE；@AP=BQ；③DE=DP；④NAO8=60°.恒成

立的结论有几个()

A.1个B.2个C.3个D.4个

解：①；正△ABC和正△(?£)£,

：.AC^BC,CD=CE,NACB=NDCE=60°,

:ZACD=ZACB+ZBCD,NBCE=ZDCE+ZBCD,

：.ZACD=ZBCE,

.♦.△ADgABEC（SAS）,

；.AD=BE,NDAC=NEBC,（故①正确）;

②又：AC=2C,ZACP=ZBCQ=6Q°,ZDAC=ZEBC,

：./\CDP^/\CEQ（ASA）.

：.AP=BQ,（故②正确）；

③:△ACP四△BC。，

：.AP=QB,

'：△ADC"ABEC

J.AD^BE,

：.AD-AP^BE-QB,

:.DP=EQ,

'：DE>QE,S.DP=QE,

：.DE>DP,（故③错误）；

④/AOB=NZM£+NAEO=/ZME+/Ar>C=N£）CE=60。,（故④正确）.

正确的有：①②④.故选：C.

【变式5-2].如图，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF±CB,垂足为凡

(1)求证：△ABC会△AOE；

(2)求/耳IE的度数；

(3)求证：CD=2BF+DE.

E

证明：(1)ZBAD=ZCAE=90°,

：.ZBAC+ZCAD^9Q°,ZCAD+ZDAE^9Q°,

：.ZBAC=ZDAE,

在△BAC和△ZME中，

，AB=AD

-ZBAC=ZDAE>

AC=AE

/.ABAC^ADAE(SAS)；

(2)VZCA£=90°,AC^AE,

.•.Z£=45°,

由(1)知△BACgZkDAE,

.•./BCA=/E=45°,

'JAFLBC,

：.ZCFA^90°,

：.ZCAF=45°,

：.ZFAE^ZFAC+ZCAE^45°+90°=135°；

(3)延长BF1到G,使得FG=FB,

'JAFLBG,

：.ZAFG=ZAFB=90°,

在△AFB和△APG中，

'BF=GF

<ZAFB=ZAFG>

AF=AF

(SAS),

：.AB=AG,ZABF=ZG,

,.,△BAC^ADAE,

J.AB^AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED,

J.AG^AD,ZABF^ZCDA,

：.ZG=ZCDA,

'：ZGCA=ZDCA=45°,

在△CG4和△CDA中，

，ZGCA=ZDCA

-NCGA=NCDA，

AG=AD

.".△CGA^ACDACAAS),

ACG=CD,

'：CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

【变式5-3].（1）如图1,等腰△ABC与等腰△DEC有公共点C,且NBCA=NEC。，连接

BE、AD,若8C=AC,EC=DC,求证：BE=AD.

（2）若将△£»£（:绕点C旋转至图2、图3、图4情形时，其余条件不变，8E与A。还相

等吗？为什么？

证明：(1),:NBCA=NECD,

：.ZBCA-NECA=NECD-ZECA,

：.ZBCE=ZACD,

在△BCE和△AC。中，

'BC=AC

<ZBCE=ZACD>

EC=CD

:.△BCE/XNCD(SAS),

:.BE=AD.

解：（2）图2、图3、图4中，BE和AD还相等,

理由是：如图图2、图3、图4,,：ZBCA=ZECD,ZACD+ZBCA=180°,ZECD+

ZBCE=180°,

ZBCE=ZACD,

在△BCE和△AC£)中，

，BC=AC

-ZBCE=ZACD>

<E=CD

/.ABCE^AACD(SAS),

：.BE=AD.

o

0s)实战演练

1.如图，已知A3=AD,BC=DE,且NC4T>=10°,ZB=ZD=25°,Z£AB=120°,

则NEG歹的度数为（)

A.120°B.135°C.115°D.125°

AB=AD

在13ABe和EMDE中(NB=ZD0蜘BCEBADE(SAS)^BBAC=WAE

BC=DE

1

^3\EAB=SBAC+WAE+SCAD=120°WAC=^DAE=一x(120。-10。)=55。

2

EB8AF=I38AC+[3CAD=65°团在幽FB中，EMFB=18O°-0B-0B/IF=9OO[3[3GFD=9O"

在国FGD中，E1EGF=I3D+I3GFD=1：15°故选：C

2.如图，在△AOB和△C。。中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,ZAOB^ZCOD=36°.连

接AC,BD交于点M,连接。M.下列结论：

①N4WB=36°,②AC=BD,③OM平分/AO。，④/。平分/AMD.其中正确的结论

个数有（）个.

C.2D.1

解：VZAOB=ZCOD=36°,

ZAOB+ZBOC^ZCOD+ZBOC,

即ZAOC=ZBOD,

在△AOC和△BOD中，

rOA=OB

-ZA0C=ZB0D

OC=OD

.♦.△AOC2△20。（SAS）,

：.ZOCA=ZODB,AC=BD,故②正确;

"：ZOAC=ZOBD,

由三角形的外角性质得：

ZAMB+ZOBD=ZOAC+ZAOB,

/.ZAMB=ZAOB=36°,故①正确；

法一：作OGL4M于G,08_Lr>M于H,如图所示,

△AOC四△BO。，

OG=OH,

.♦.MO平分NAMD,故④正确;

法二：VAAOC^ABOD,

：.ZOAC=ZOBD,

...A、B、M,。四点共圆，

/.ZAMO=ZAB0=12°,

同理可得：D、C、M、。四点共圆，

ZDMO=ZDC0=12°=AAMO,

.♦.MO平分NAAffl,

故④正确；

假设MO平分NA。。，则ZDOM=ZAOM,

在△AMO与ADMO中，

,ZAOM=ZDOM

"OM=OM，

ZAMO=ZDMO

/.AAMO^ADMO(ASA),

.\AO=OD,

•・•OC=OD,

：.OA=OC,

而OA<OC,故③错误；

正确的个数有3个；故选：B.

3.如图，在△ABC中，ZBAC=30°,且AB=AC,尸是△ABC内一点，若AP+2P+CP的

最小值为4衣，则BC?=32-16百

解：如图将绕点A顺时针旋转60°得到△AMG.连接PG,CM,

A,■B

\\::

W:/

、、，*

\'：G/

*••«、・•

*•»、・•

W：

・**

"・•»

则AB=AC=AM,MG=PB,AG=AP,ZGAP=60°,

△GA尸是等边二角形，

：.PA=PGf

：.PA+PB+PC=CP+PG+GM,

・••当/，G,P,。共线时，R1+P5+PC的值最小，最小值为线段CM的长，

•JAP+BP+CP的最小值为4近,

:.CM=4近,

VZBAM=6Q°,ZBAC=30°,

：.ZMAC=90°,

：.AM=AC=4,

作BNLAC千N.贝I)BN=/AB=2,AN=2f,CN=4-2«,

：.BC2=BN2+CN2=21+(4-2A/3)2=32-16我，

故答案为：32-16次.

4.正方形ABCD中，42=6,点E在边CD上，CE=2DE,将△?1£)£■沿AE折叠至△APE,

延长EF交8C于点G,连接AG,CF.下列结论：①△ABGgzXAFG；②S"GC=6；

③EG=DE+BG；®BG=GC.其中正确的有①③④(填序号).

解：•.•正方形ABCD的边长为6,CE=2DE,

：.DE=2,EC=4,

:将△ADE沿AE折叠至△Af'E,

：.AF=AD=6,EF=ED=2,ZAFE=ZD=90°,ZFAE=ZDAE,

在RtZ\ABG和RtZ\APG中，AB^AF,AG=AG,

RtAABG^RtAAFG(HL),

.•.①正确;

：.GB=GF,ZBAG=ZFAG,

设BG=x,贝ij：

GF=x,CG=BC-BG=6-x,

在RtACGE中，

GE=x+2,EC=4,CG=6-x,

VCG2+CE2=GE2,

(6-x)2+42=(X+2)2,

解得：x=3,

・・・5G=G尸=3,CG=6-3=3,

:.BG=CG,

・••④正确；

•：EF=ED,GB=GF,

：.GE=GF+EF=BG+DE,

・••③正确；

S^GCE=—GC9CE=AX3X4=6,

22

,:GF=3,EF=ED=2,ZiGFC和△bCE等高,

S/\,GFC：S/\FCE=3：2,

SAGFC=旦X6=越■W3,

55

②不正确，故答案为：①③④.

5.如图，在矩形A3C。中，AB=8,BC=4,将矩形沿对角线AC折叠，点。落在处.

(1)求证：AF=CF

(2)求AF的长度.

(1)证明：依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有:

ZD1=ZB=9Q°,ZAFD1=ZCFB,BC=AD',

.♦.△AD'F^ACBF(AAS),

CF=AF；

(2)解：设Ab=CF=尤，

.'.BF=8-x,

在RtABCF中有BC2+BF2=FC2,

即42+(8-x)2=x2,

解得尤=5,

：.AF的长度为5.

6.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,延长AB至点D®DB=AB,连接CD

以CD为直角边作等腰三角形C£)E,其中/OCE=90°,连接BE.

(1)求证：AACD2ABCE；

(2)^AB=3cm,贝!jBE=6cm.

(3)BE与有何位置关系？请说明理由.

(1)证明：•••△ACB和aocE都是等腰直角三角形,

:.CD=CE,CA=CB,

VZACB=90°,ZDCE=90°,

NECD+NDCB=ZDCB+ZACB,即NECB=ZACD,

在CD和△BCE中，

rCD=CE

<ZACD=ZBCE>

CA=CB

AACD^ABCE(SAS)；

(2)解：VAACD^ABCE,

：.AD=BE,

DB=AB=3cm,

BE=2X3cm=6cm；

(3)解：BE与A。垂直.理由如下：

,/AACD^ABCE,

.\Z1=Z2,而/3=/4,:.NEBD=NECD=90°,：.BE±AD.

7.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,4B=AC,点D是AB的中点，连接CO,过B作

交CO的延长线于点E,连接AE,过A作AFLAE交。于点尸.

(1)求证：AE^AF；

(2)求证：CD=2BE+DE.

E,

D

证明：(1)如图，VZBAC=90°,AFLAE,

：.ZEAB+ZBAF=ZBAF+ZFAC=90°,

：.ZEAB=ZFAC,

VBE±CZ),

：.ZBEC=90°,

・・・ZEBD+ZEDB=ZADC+ZACD=90°,

*：ZEDB=ZADC,

：.ZEBA=ZACF,

rZEAB=ZFAC

・・・在AAEB与△AFC中,AB=AC，

ZEBA=ZACF

AAAEB^AAFC(ASA),

：.AE=AF；

(2)如图，过点A作AG_LEC,垂足为G.

VAGXEC,BE_LCE,

：.ZBED=ZAGD=90°,

•・•点。是AB的中点，

：.BD=AD.

'ZBED=ZAGD

・••在43即与△AGO中，NBDE二NADG，

BD=AD

:.ABEDQAAGD(A4S),

：・ED=GD,BE=AG,

'：AE=AF

：.ZAEF=/AFE=45°

：.ZFAG=45°

：.ZGAF=ZGFAf

：・GA=GF,

：・CF=BE=AG=GF,

'：CD=DG+GF+FC,

/.CD=DE+BE+BE,

8.如图：在等腰直角三角形中，AB=AC,点。是斜边BC上的中点，点E、尸分别为A8,

AC上的点，MDELDF.

(1)若设CF=b,满足5/a-12+|bT|=V^+&M，求BE及CF的长.

(2)求证：BEr+CF^^EF1.

(3)在(1)的条件下，求△QEE的面积.

解得m=2,

则Ja-12+步-5|=。

所以a-12=0,b-5=0,

6f==12,6=5,

即BE=12,CF=5；

(2)证明：延长E£>到P,使DP=DE,连接FP,CP,

在ABED和△0>£>中,

'ED=PD

<ZEDB=ZPDC，

BD=CD

:.ABED”ACPD(SAS),

：.BE=CP,ZB=ZDCP,

在△矶m'和△■?£)/中，

fDE=DP

<ZEDF=ZPDE=90°-

DF=DF

/.AEDF^APDF(SAS),

:.EF=FP,

'：ZB=ZDCP,ZA=90°,

：.ZB+ZACB^90°,

：.ZACB+ZDCP=90°,即/FCP=90°,

在Rt△尸CP中，根据勾股定理得：CF2+CP2=PF2,

,:BE=CP,PF=EF,

.•.BF+C尸2=石尸；

(