2025高考数学复习必刷题：立体几何中的压轴小题

第55讲立体几何中的压轴小题

必考题型全归纳

题型一：球与截面面积问题

例L（2024•湖南长沙•高二长郡中学校考开学考试）已知三棱锥尸-ABC的四个顶点在球

。的球面上，PA=PB=PC,AABC是边长为60的正三角形，PA=3PE>BA=3BF，

ZCEF=90°,过点E作球。的截面，截面面积最小值为（）

A.8兀B.16KC.27兀D.40兀

【答案】A

【解析】VPA=PB=PC,为边长为6也的等边三角形，，P-ABC为正三棱锥，

取AC的中点连接由公PM,则PMcBM=M,

PM、BMu平面所以AC_L平面PBu平面PBM,所以P5_LAC,

又丙=3而，~BA=iBF>EF//PB,：.EF1AC,又EFLCE,CE^\AC=C,

CE、ACu平面B4C,；.上平面抬C,平面RIC,

ZBPA=90°-APA=PB=PC=6,

尸—ABC为正方体尸8DC-A4RG的一部分，

可得外接球的半径为R=-736+36+36=3也，

2

取AP的中点“，连接。8、AR,

可得O"=；A£>i=30,EH=1,所以O£2=i9,

过点E作球。的截面，设截面与棱R4、PC、PD的交点分别为区Q、G,

当OE垂直EQG时截面面积最小，此时E即为截面圆的圆心，

截面圆半径为户=尺2-0石2=8,截面面积为87t.

故选：A.

例2.（2024・四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）四面体A3。的四个顶

点都在球。的球面上，AB=BC=CD=DA=4,AC=2D=2拒，点E，F,G分别为棱

BC,CD,的中点，现有如下结论：①过点E,F,G作四面体A8CZ）的截面，则该截

面的面积为2；②四面体A8CD的体积为电I；③过E作球。的截面，则截面面积的最大

3

值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】选项①中，如图（1）所示，找的中点”，过点E,F,G做四面体ABCO的

截面即为面EfHG,

则EGHACHFH,EG//BD//GH,所以四边形EFHG为平行四边形，

找AC的中点0,连接8,因为AB=8C=CD=ZM=4,所以

DO±AC,BO_LAC,DO^\BO=O,DO,80u平面BOD,

所以AC_L平面BOD,BDu平面3QD,

所以AC13D,所以EGLEF,

所以四边形EEHG为矩形，EF=>BD=及,EG=LAC=6,

22

所以截面的面积S=0x&=2,故①正确；

选项②中，RMCOD中,由勾股定理得：OD=\JCD2-OC2=V16-2=V14-

同理02=0D=&?,过点。作0M则。〃=：。2=忘，所以由勾股定理得：

OM=ylOD2-DM2=V14-2=24,

所以S"所=-xBDxOM=-x2y/2x2y/3=2y/6,

由选项①可得：CO，平面80。，

所以忆“=k“=+2nx0=华，VD_ABC=VC_BOD+VA_BOD=^,故②错误；

选项③中，可以将四面体放入如图（2）所示的长方体中，由题可求得，

AP=PC=2,尸8=2百，

所以外接球的半径R=3+4+12=J,截面面积的最大值为5万；平面尸CQB截得的面积

2

为最小面积，

半径尺=也好土也=更运=2,截面积最小为4*所以截面面积的最大值与最小值的

22

比为5：4,故③正确.

D

B

图⑴

A

图（2）

例3.（2024・四川内江•四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球。是正三棱锥

A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=y/3,

48=0，点E是线段A3的中点，过点E作球。的截面，则所得截面面积的最小值是

（）

,兀一兀一乃一兀

A.一B.—C.—D.一

2346

【答案】A

【解析】如图，。I是A在底面的射影，

由正弦定理得，ABCD的外接圆半径=C*J=1,

sin—

3

A

由勾股定理得棱锥的高|AOj=7（72）2-（1）2=1,

设球。的半径为R,则忸o「=|oq「+忸Q「即尺2=（1一区了+仔，解得R=1,

所以|。q=0,即点。与。1重合,

在RtZ\A03中，点E■是线段A8的中点，\AO\=\BO\=l,

所以|OE|=lxsin4=比，当截面垂直于0E时，截面面积最小，

II42

此时半径为JR2-OE2=£,截面面积为兀X（¥）2='.

故选：A

变式L（2024.宁夏银川•校联考二模）2022年第三十二届足球世界杯在卡塔尔举行，第一

届世界杯是1930年举办的，而早在战国中期，中国就有过类似的体育运动项目：蹴鞠，又

名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米

糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5

月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名

录.已知半径为3的某鞠（球）的表面上有四个点A,B,C,P,AC1BC,

AC=BC=4,PC=6,则该鞠（球）被平面皿所截的截面圆面积为（）

2325

A.7兀B.—71C.8兀D.—7i

33

【答案】D

【解析】因为三棱锥P-ABC的外接球的半径R=3,而尸C=6,所以PC为外接球的直

径，

如图，将三棱锥P-ABC放入如图所示的长方体，则AC=BC=4,

设长方体的另一棱长为。，所以2尺=6=，42+42+/，解得a=2,即PD=2,

设外接球的球心为。，所以尸A=PB=V?1不=26，AB=V42+42=4A/2>

上缁+人卤一尸产32V10

设AB45的外接圆的半径为r则cos/P4B=

2PAAB2X2A/5X4A/2-5

贝UsinNPAB=y/1-cos2ZPAB=手,

2丫PB_2出「10坦Q

所以sinNPABy/153，贝Ur=------，

-----3

5

25

所以该鞠（球）被平面上钻所截的截面圆面积s=无产=—71

3

故选：D

变式2.（2024.全国・高三专题练习）在正方体ABCD-ABCA中，48=2,M,N分别为

A28C的中点，该正方体的外接球为球0,则平面AMN截球。得到的截面圆的面积为

（）

A.&B.乂C.西c14兀

D.——

5555

【答案】D

【解析】如图，连接耳N,由题意易知MN||A百，

MN=AB、,故四边形A瓦M0为平行四边形.

设BCcB£=",取的中点K,连接NK,

在RtA用KN中，卧=#>耶=1那=2,

故点K到与N的距离为孚，故点H到B、N的距离为。，

因此圆心0到平面AMN的距离为£.由题易知球0的半径R=6，

故平面AMN截球。得到的截面圆的半径r==等，故截面圆的面积S=兀/=£花.

故选：D

变式3.（2024.四川遂宁.射洪中学校考模拟预测）己知球O内切于正方体

ABCD-A^C^,p,Q,M,N分别是4G，GR,CD,3c的中点，则该正方体及其内切

球被平面MNPQ所截得的截面面积之比为（）

A.4A/2:itB.2>/2:itC.30:兀D.4:兀

【答案】A

【解析】如图，易知正方体ABCO-AgGA的内切球的球心。为的中点，

设球。切上下底面中心于点E,F,则球。的半径R=:跖，

又易知球心。到平面MNP。的距离等于E到平面MNP。的距离，

设EG交0P于点G,则易证EG，平面MNPQ,

球心0到平面MNPQ的距离d=EG=^ECl,

设正方体ABC。-4月£"的棱长为20，

贝=：斯=&,d=EG=^ECl=1,

球。被平面MNPQ所截的小圆半径厂=正一筋=厅j=1,

•••球。被平面脑VP。所截的小圆面积为兀/=兀，

又易知NM=2,PN=2y/2，

/.该正方体被平面MNP。所截得的截面面积为2x0=40,

该正方体及其内切球被平面MNPQ所截得的截面面积之比为4后:兀，

故选：A

uuniuun

顶点均在球心为。的球面上，点E在AB上，AE=-AB,过点E作球。的截面，则截面

面积的最小值为（）

A.8兀B.10兀C.16KD.24兀

【答案】A

【解析】如图，因为三棱锥的棱长均为6,所以点尸在平面A5C内的射影H是疑。的中

心，

2

取的中点。，连接A。，则点H在上，且

所以瓦）=；3c=3,ADNABZ-BU=3日AH=三AD=26,贝|

PH=NAP2-AH?=2A/6-

设三棱锥P-ABC的外接球半径为R,则OP=OA=R,

在△AO"中，AH2+（PH-R）2=R2,解得R=±&.

2

uuniuun

因为=所以AE=2,取AB的中点尸，则口=1,且。尸，AB,

所以0万2=£厂2+0尸2=石尸2+042_4尸2=12+［乎］-32=.

当过点E的球。的截面与OE垂直时，截面面积最小，

设截面圆的半径为r,则r'N-OE』,

所以截面面积为S=7t/=8兀.

故选：A.

p

题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题

例4.（2024・福建三明.高一校考阶段练习）如图，在正方体ABCD-AqGR中，AB=2,

M,N分别为AA，qG的中点，E,尸分别为棱A3,8上的动点，则三棱锥

M-NE产的体积（）

Q

A.存在最大值，最大值为］B.存在最小值，最小值为:

4

C.为定值:D.不确定，与E,尸的位置有关

【答案】C

【解析】如下图，连接在正方体中，M,N分别为AA，

百G的中点;，可得MV〃AB〃CD,DC"平面MEN,所以当尸在棱移动时，尸到平面

MEN的距离为定值，当E在棱AB移动时，E到的距离为定值，所以硒为定值,

则三棱锥M-NE户的体积为定值.平面MEN即平面M4BN,作CH工BN于H,由于

AB1CH,可得CH_L平面MABN,由ABB^N~ACHB,可得

BB.CH2CH4>/5-j-„1....D..1./r/r

---==>—尸==>CZ/=，而SMEN=—xMNXBN=—X2XA/5=，5,

BNBC425△22

xCH=

VM-NEF二§SyMENi-

故选：c.

例5.（2024・四川成都•校考模拟预测）如图，在四棱柱ABCO-ABC。中，底面ABC。为

正方形，底面A5CD,M=2AB,M、N分别是棱3片、上的动点，且

DV=4”,则下列结论中正确的是（）

A.直线AC与直线MN可能异面

B.三棱锥4-的体积保持不变

C.直线AC与直线所成角的大小与点〃的位置有关

7T

D.直线AD与直线MN所成角的最大值为］

【答案】B

【解析】连接NC,MC,因为四棱柱ABCD-A耳CR中，

DN=B、M,底面ABC。为正方形，44,，底面ABCO

显然四边形CM41M为平行四边形，

所以直线4C与直线MN一定相交，A错误;

连接NC1,MC],取AG的中点。，连接NO,M0,

因为NG=M41,MG=2，由三线合一可知：NO±AG-MO^AG，

因为MOcNO=O,所以AG，平面MON,

DN=B1M,

设四边形D84A的面积为S,贝IJS.MON=；s为定值，

故9-GMN=J-OMN+"G—OMN=为定值，

三棱锥A的体积保持不变，B正确;

ClBi

连接80,BQ,

因为四边形ABCD为正方形，所以

又DD,±底面ABCD,ACu平面ABCD,

所以。RLAC,

因为BD^DD^D,所以AC,DBBR,

因为MNu平面DBBR,

所以ACLMN,

直线AC与直线所成角的大小与点M的位置无关，C错误;

过点N作NH//AD交4A于点H,连接HM,

则为直线AQ与直线MN的夹角，且4HM=90。，

其中tan/HMW=O叫，其中为定值，

NH

故要想直线AD与直线MN所成角的最大，只需最大，

设正方形边长为m则HN=a,

显然当N与点2重合，M与8重合时，HM最大,最大值为后不了=氐,

HMl

此时tanN/ZMWu——=>/5,故D错误.

例6.（多选题）（2024•福建三明•统考三模）如图，正方体A3。-A4q。的棱长为2,

点E是AA的中点，点尸是侧面A844内一动点，则下列结论正确的为（）

A.当尸在48上时，三棱锥歹-CRE的体积为定值

B.CE与B尸所成角正弦的最小值为1

C.过2作垂直于CE的平面。截正方体ABC。-AqGR所得截面图形的周长为6后

D.当3/LCE时，△3CF面积的最小值为半

【答案】ABD

【解析】对于A选项，连接C2、AtB,如下图所示:

在正方体ABCD-AqCR中，\DJIBC且A2=BC,

故四边形A8C2为平行四边形，所以，A、BHCD\,

因为42<2平面。。4，CRu平面CRE,所以，48〃平面CRE,

当歹在4出上时，点尸到平面CD、E的距离等于点A到平面CRE的距离,

1112

所以，％-c*=5-<?*=匕-&*=§S2Ml*,C£>=§X5x2x1x2=3,A对;

对于B选项，连接BE,

因为Bbu平面AA由8,所以，CE与即所成的最小角为直线CE与平面A4由8所成的

角，

因为8cl平面9瓦3,所以，CE与平面①瓦B所成角为N3EC,

因为BEu平面,所以，BC1.BE,

因为鹿=JAB2+AE2=&+产=若,BC=2,

所以，CE=yjBC2+BE2=74+5=3>

所以，sinZBEC=g=3,故CE与跖所成角正弦的最小值为B对;

CE33

对于C选项，分别取线段48、AD的中点M、N,连接AC、AG、BR、

BD、MN,D\N、BXM,

因为四边形A4GR为正方形，则四2±AG,

又因为A4,±平面A4G2,4。u平面aqGA,则用。±M,

因为A41cAG=a，4C|U平面AAGC,所以，与2,平面441c0,

因为CEu平面A41GC,则CEL与2，

在RtAABE和RuBBtM中，AE=BM,AB=BB},NBAE=/gBM=90°,

所以,RtAABE^RtABBjM,则ZBMBt=ZAEB,

所以，ZABE+ZBMBl=ZABE+ZAEB=90°,则NBOM=90。，即4M，BE,

因为3C工平面4/^^平面的百氏则用WL8C,

因为BCnBE=E,BC、BEu平面BCE,所以，与加，平面BCE,

因为CEu平面BCE,所以，CE±B.M,

因为Af、N分别为AB、A£＞的中点，则MM/皿，

因为BBJ/DR且BB]=DR,故四边形3BQ。为平行四边形，所以，B.DJ/BD,

所以，MNHBR,则N、M、耳、2四点共面，

因为CE_LBQ,CE±B.M,B.Mr\BxD}=B},B}M、BRu平面BRNM,

所以，。石，平面瓦。加0,

过2作垂直于CE的平面a截正方体ABCD-AqG。所得截面，则截面为梯形片2M0,

由勾股定理可得B[M=y]BB；+BM2=722+12=卡,

同理可得=MN=e，B\D\=2叵,

所以，截面周长为4R+MN+4M+RN=20+0+6+石=3夜+2有，C错；

对于D选项，由C选项可知，CE，平面4RM0,则点F的轨迹为线段用M,

因为平面A44B,防u平面A41百2,则8C_L3R,

当时，4M时，即当点尸与点。重合时，8尸的长取最小值，

kBM-BB,BM-BB.1x22小

此时，BFnin=„..=/~

BMJBM'BB；Vl+45

所以，S&BCF=BFN半,口对・

故选：ABD.

变式5.（多选题）（2024•广东梅州•统考三模）已知正方体的棱长为2,

。1为四边形AAGQ的中心，P为线段AQ上的一个动点，。为线段CQ上一点，若三棱

锥。-尸皿的体积为定值，则（）

A.DQ=2QC]B.DQ=QCX

C.O\Q=0D.0,2=73

【答案】BC

【解析】连接AC,交BD于点0,连接。G，

队G

AB

因为。1为四边形AAG。的中心，所以AQ//OG,

又OGu平面BDG，AQO平面BDG，所以A。"/平面BDG，

因为三棱锥的体积等于三棱锥尸-。应＞的体积，且为定值,

所以AQ//平面所以平面。8。与平面BDG为同一平面，

所以。为CR与DG的交点，所以。Q=QG，故A错误，B正确；

因为正方体的棱长为2,所以qQ=jF+『=0.故C正确，D错误.

故选：BC.

变式6.（多选题）（2024•山西大同•高三统考阶段练习）如图，正方体ABCD-AgGR的

棱长为2,线段瓦。上有两个动点及/，且EP=0,以下结论正确的有（）

B.A.CLAE

C.正方体ABCD-4BC0的体积是三棱锥A-2EF的体积的12倍

D.异面直线AE,BR所成的角为定值

【答案】ABC

【解析】A：易知。G〃AB,/CQ4=45°,所以京.旗=7^X2XCOS45O=2，正确;

B：建立如图空间直角坐标系，则C（0,0,0）,A（2,2,2）,A（2,2,0）,〃（2,0,2）,

4（022）,

所以再=（2,2,2）,AD；=（O,-2,2）,=（-2,0,2）,

所以离•值=0,"•折=0,即揖，肛，CA^IAB,',

因为AQcA瓦=A,AQ,A与u平面A。4,

所以4CL平面AR用，又AEu平面所以ACLAE,正确;

C：连接B£）,AC,交于。，则AC13O,

因为。R_1_平面ABCD,ACu平面ABCD,所以。2-LAC,

又2。口001=，BD、。2（=平面叫乌£）,所以AC,平面BBQ。，

所以匕.BEF=gSaBEFXAO=^x^xEFxBB1XABxsin45°=^x^X5/2x2x2x^-=-1,又

CDABXX

%-1Gq=222=8,

所以正方体ABCD-AQG。的体积是三棱锥A-BEF的体积的12倍，正确；

D：当点E在2处，尸为3百的中点时，由正方体性质易知AE〃8G，异面直线AE,8尸所

成的角是/EBG，

由2月J.面AUGA,FGu面A4ca，则即，FG，正方形中显然用。JFG，

BB[cBR=B[,且BB]、耳。1<=面口用瓦），故/G，面2瓦2£>,Mu面AAB。，

当E在42的中点时，尸在耳的位置，由正方体性质易知回//84，异面直线AE,8尸所成

的角是/EM，

由四，面4耳。2，昭<=面44。。|,则故tan/EAAL^3

/i/L

综上，户C[=S，BF>BBt=A4,,即tan/FBC尸tanZEAA，即两个角不相等，错误.

变式7.（多选题）（2024•广东深圳•高三红岭中学校考期末）已知正三棱柱ABC-A/8/G的

底面边长为1,AA/=1,点P满足而=4前+”西，其中下列选项正确

A.当2=1时，△AB/P的周长为定值

B.当必=1时，三棱锥P-48C的体积为定值

C.当时，有且仅有两个点尸，使得A/PJ_BP

D.当〃=g时，有且仅有一个点P,使得48,平面AB/尸

【答案】BCD

【解析】因为点尸满足丽=4就+〃函，其中；le[0』],〃e[0,l],

所以点P在矩形BCGq内部（含边界）.

对于A项，当2=1时，丽=祝+〃瓯=丽=〃瓯.

即此时Pe线段CG，

因为AP+4尸为变值,

故AABi尸的周长不是定值，故A项错误；

对于B项，当〃=1时，BP=ABC+BB^=BB^+AB^,

故此时尸点的轨迹为线段BG，而4G〃BC,所以用£〃平面A8C,

则点尸到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B项正确;

1—.1—..

对于C项，当2=5时，BP=-BC+]LiBBi,

取3C,8G的中点分别为。，H,则丽=苑+〃函，

所以尸点的轨迹为线段Q",

不妨建系解决，以Q4方向为x轴，QB方向为丁轴，方向为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A倬,0,11,P(0,0,〃)，

I2)\2J

所以郎=[一《,0,〃_11,而

【2J<2>

所以〃=。或〃=1,故”，。均满足，故C项正确；

对于D项，当〃=!时，BP=XBC+-BB.,

22

取B耳，CG的中点为M,N,BP=BM+AMN，

所以尸点的轨迹为线段肱V,

设P(0,y。,，，因为A[#,O,OJ,

—.(J31)—►(J31,

所以AP=---,y09-,AB二一--,-,-1,

I2k227

311八1

所cr以tI]+a%_]=0n%=_]，

此时点P与N重合，故D项正确.

ZJ

故选：BCD

变式8.（多选题）（2024•福建厦门•统考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体

ABCO-A4G2中，点尸满足丽=九豆心+〃瓯，其中则（）

B.当几=；时，有且仅有一个点尸，使得AP工平面A3。

C.当〃=：时，有且仅有一个点P,使得4尸〃AB

D.当彳+〃=；时，三棱锥尸-A3。的体积为定值

【答案】AD

【解析】如图建立空间直角坐标系，

贝”(1,0,。)出(1,O,1),C(1,1,。),

因为丽=2配+〃函，Ae[o,l],//e[o,l],所以(与-l,yp,Zp)="0,1,0)+〃(0,0,1)

所以「

对于选项A,则2(1,4〃),4(0,0,0),所以1?=(1,4〃),9=Jl+力+),

因为Xe[0,l],〃e[0,l],所以|心区后,故A答案正确;

对于选项B,4(0,0,1),5(1,0,0),D(0,1,0),48=(1,0,-1),4D=(0,1,-1),

11-1

当4=5时，,AP=(LQ,〃),设面A^BD的法向量为力=(%,y,z),

n-AiB=0fx—z=0

令y=i,所以3=(1』,i)，

n-A^D=0[y-z=0

若AP工平面4肛则而=苏，=无解，所以不存在点尸，使得AP2平

面48。,故选项B错误;

对于选项C,当〃=g时，P(l,4g)，4P=(l,4-f,通=(1,0,0),

若A尸〃AB,则率=加丽，(l,A,-1)=m(l,0,0),无解，所以不存在点P,使得

\P//AB,故C错误；

对于选项D,AA加为边长为夜的等边三角形，所以S“=gx0x后xg咚,

点P到平面\BD的距离为盟J=|1+”〃|,当2+〃=(时，

l«lV32

点P到平面4出。的距离为定值，则三棱锥尸一的体积为定值，故D选项正确.

故选：AD.

变式9.(多选题)(2024•湖南•校联考模拟预测)如图，ABCD-AB'C'D'为正方体.任作平

面a与对角线AC'垂直，使得a与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形

的面积为S,周长为/.则()

A.S为定值B.S不为定值C./为定值D./不为定值

【答案】BC

【解析】将正方体切去两个正三棱锥4-ABD与C'-OFC后，得到一个以平行平面A3。

与DB'C为上、下底面的几何体V,

在上取一点E',作E7〃3'D,E'S//AB,再作7M//AD,MR//CD',QSI/B'C,

则六边形E'TMRQS即为平面a,

V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边

平行,

将V的侧面沿棱A的剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形A2坦A,

而多边形卬的周界展开后便成为一条与A'A平行的线段（如图中£骂），显然E£=A4,

故/为定值.

当£位于A0中点时，多边形W为正六边形，而当E移至A处时，W为正三角形,

易知周长为定值/的正六边形与正三角形面积分别为刍2与今2,故S不为定直

BfCDf

EZS；

f

A^——BDA]

故选：BC

变式10.（多选题）（2024•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）已知三棱锥

P-ABC,PA=BC=2,PB=AC=PC=AB=3,。为棱PC上一点，且尸£>=XOC,过点

。作平行于直线外和BC的平面。，分别交棱尸氏AB,AC于耳尸,G.下列说法正确的是

B.四边形OE/G的周长为定值

C.四边形的DEFG面积为定值

D.当4=1时，平面a分三棱锥尸-ABC所得的两部分体积相等

【答案】ABD

【解析】取BC的中点连

因为AB=AC,PB=PC,所以AHJ_3C,PHIBC,

因为AHcPH=H,A",尸"u平面PA”，

所以3cl平面PAH,因为Blu平面PAH,所以3cle4,

因为上4〃c,PAu平面PAC,平面P4Cna=DG,

所以R4//DG,同理可得RV/EF,BC//DE,BC//FG,

又因为所以DELDG,EF±DE,EFLFG,DGLFG,

所以四边形DEFG为矩形，故A正确；

因为PA—BC=2,PB=AC=PC—AB—3,PD=ADC,

2

所以PC=(4+1)DC,因为ZJG〃巴4,所以上4=(2+1)DG,所以防=OG=——,同理

2+1

可得。石=尸6=——,

丸+1

442

所以四边形。EFG的周长为2跖+2。石=「+-=4为定值，故B正确；

2+11+2

92夕A1

四边形的DEFG面积为EFDE=——=C一;不是定值，故C不正确；

当4=1时，D,E,F,G分别为棱PC,PB,AB,AC的中点，

多面体BCDEFG的体积为眩-BCF+^C-DEFG=P-BCF^C-DEFG=~^P-ABC^C-DEFG，

多面体PADEFG的体积为VA.PDE+VA_DEFG=A-PBC+VA.DEFG，

因为％-ABC=Kl-PBC，Vc-DEFG=^A-DEFG，

多面体BCDEFG的体积等于多面体PADEFG的体积，即平面a分三棱锥P—ABC所得的两

部分体积相等，故D正确.

故选：ABD

变式1L（多选题）（2024•重庆•统考模拟预测）在正方体中，点P满足

BP=XBC+/JBBX,其中2«0』],^e[0,l],则下列说法正确的是（）

A.当彳=〃时，AP〃平面ACQ

B.当〃=1时，三棱锥尸-A5C的体积为定值

C.当2=1时，△P2D的面积为定值

TTTT

D.当彳+〃=1时，直线与2P所成角的取值范围为y,-

【答案】ABD

【解析】对于A选项，如下图，当九=〃时，P点在面对角线BG上运动，

又Pe平面AGB,所以APu平面AGB,

在正方体4BCO-A耳GR中，•.•43〃62且43=62,则四边形为平行四边形,

所以，M//BG，•.•/12cz平面ABC，26匚平面426，，42〃平面42（?1,

同理可证AC//平面426，

VAr>,nAC=A,所以，平面AGB〃平面AC2，

•••A/U平面ABG，所以，4尸〃平面AC2,A正确;

对于B选项，当〃=1时，如下图，尸点在棱4G上运动，

三棱锥尸-ABC的体积=〃“BC=：S躅c-Aq为定值，B正确;

对于C选项，当；1=1时，如图，尸点在棱CQ上运动，过尸作PELBD于E点,

则其大小随着PE的变化而变化，C错误;

对于D选项，如图所示，当几+〃=1时，P,C,q三点共线,

因为A片〃C。且=8,所以四边形44CD为平行四边形，所以

所以NDJBi或其补角是直线\D与2P所成角,

TT1T

在正△A4C中，/R尸4的取值范围为y,-,D正确.

故选：ABD.

题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题

例7.（2024福建福州•福州四中校考模拟预测）在如图所示的试验装置中，两个正方形框

架A3C2ABE尸的边长均为2,活动弹子N在线段A3上移动（包含端点），弹子M,。分

别固定在线段石尸，AC的中点处，且“0,平面ABCD,则当/MNO取最大值时，多面体

M-BCQN的体积为（）

A6R3石「有26

A•D.U.Un.-------

2233

【答案】A

【解析】因为MOL平面A3CD,ONu平面A5CO,所以MOLON,

所以AAWO为直角三角形，所以当NO最短时，/MNO取最大值，

即NOJ_AB时，/MNO取最大值，

因为"，。分别固定在线段所，AC的中点处，

所以ON=1,M7V=2,所以cos/M2Vo=丝=,，

MN2

因为/MNO为锐角，所以NMNO=60。，所以OM=百，

所以多面体M-BCON的体积为V=；x；（l+2）xlx石=#,

故选：A

例8.（2024.山东青岛.高三统考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体

积为36兀，则该正四棱锥的体积最大值为（）

A.18B.—C.—D.27

34

【答案】B

【解析】如图，设正四棱锥的底面边长AB=2a,高PO=h,外接球的球心为则

0D=\/2a，

4

因为球的体积为1无36无，所以球的半径为R=3,

在中，MD2=OD2+OM2,即3?=2/+（〃-3）2,

所以正四棱锥的体积为卜=；S〃=gx4a2/2=g[9-（/7-3）2]/7

2

整理得丫=一§〃+4/（〃>0）,则1，=-2/+8//=-2/2（/7-4）,

当0<力<4时，V>0,当/z>4时，V'<0,

9

所以V=一§川+4*（〃>0）在（0,4）上递增，在（4,+co）上递减,

所以当场=4时，函数取得最大值-2x43+4x4?=空，

33

故选：B

例9.（2024.陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测）已知正方体ABCD-A耳£0的棱

长为2拒，尸是正方形（含边界）内的动点，点尸到平面A出。的距离等于冥1,则

3

2P两点间距离的最大值为（）

A.2x/3B.3C.38D.276

【答案】D

【解析】由题意可知：BIC=AB=AD=BD=4,BQ=2遍,

设三棱锥用-A2D的高为"

因为！.4皿=%一4q8，贝1］工文/7义工义4义4义也=」义2应、工义2&、2后，

32232

解得场=芈，即点用到平面ABD的距离等于越，

33

又因为44〃co,且44=CD,则四边形4四8为平行四边形，则A。〃4C,

AOu平面ABD,4Cu平面AB。，所以qc〃平面4以九

即点p的轨迹为线段与c,

因为平面24GC,4Cu平面BqGC,所以CO,4C,

在Rt△耳CD中，D,P两点间距离的最大值为。4=2#.

故选：D.

变式12.(2024・河南•校联考模拟预测)点P是圆柱上底面圆周上一动点，AABC是圆柱下

底面圆的内接三角形，已知在AASC中，内角A、B、C的对边分别为。、b、c,若

c=2,C=60°,三棱锥P-ABC的体积最大值为gg,则该三棱锥外接球的表面积为

()

,19r28-53r43

A.—71B.-71C.—71D.—71

3393

【答案】B

【解析】在AABC中，由余弦定理可得

4=c2=a2+b2—2aoeosC=a2-^-b2—ab>2ab—ab=ab,

即次?W4,当且仅当a=Z?=2时，等号成立，

所以，S.ABr=—absinC=^-ab<^-x4=y/3，

△ABC244

设圆柱的高为3则%ABC4且力，

1—/loC3Z\/1DC3

/II

/II

1/I•I\

I\

/I

/\B\

/居二於J

c

因为三棱锥的P-A3c体积的最大值为述，则走〃=2叵，所以，h=2,

333

222r

圆柱底面圆半径厂=o.60=F=、3,

2sin60733

设三棱锥尸-ABC的外接球的半径为H,则该三棱锥的外接球和圆柱的外接球为同一个

球，

则★='1+/=]+[¥]=Z,因此，三棱锥外接球的表面积为4兀尺2=事兀.

故选：B.

变式13.（2024.贵州毕节.校考模拟预测）如图，A3是半球的直径，。为球心，AB=2,P

为此半球大圆弧上的任意一点（异于A8）,P在水平大圆面493内的射影为。，过。作

QR_LA5于R,连接尸尺。尸，若二面角P-钻-。的大小为三，则三棱锥尸-OQR的体积

的最大值为（）

【答案】A

【解析】由P。/平面ABQ,ABu平面AB。，得尸。工A8,

又「。口。尺=。，尸。，。氏匚平面尸。尺，于是平面PQR,

7T

PRu平面PQR,有因此ZPR。为二面角尸一AB-Q的平面角，即/PRQ=§,

设PR=2a,则PQ=#a,QR=a,在RtZ\OPQ中，0尸=1,OQ=y]l-3a2;在RtVORQ

中，<77?=V1-4a2>

则V