2025高考数学复习必刷题：数列的通项公式

第43讲数列的通项公式

知识梳理

类型I观察法：

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根

据规律写出此数列的一个通项.

类型n公式法：

若已知数列的前“项和S”与知的关系，求数列｛an｝的通项a,可用公式

S

an=['-5=)构造两式作差求解.

I'』,(〃")

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为

一”，即q和％合为一个表达，(要先分〃=1和2两种情况分别进行运算，然后验证能否

统一).

类型III累加法：

形如an+i=an+f5)型的递推数列(其中/(«)是关于〃的函数)可构造：

%=/(〃T)

-4-2=/("-2)

a2-=/(I)

将上述恤个式子两边分别相加，可得：an=f(n-1)+/(??-2)+.../(2)+/(I)+^,(n>2)

①若/(〃)是关于"的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

②若/(〃)是关于〃的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

③若/(")是关于"的二次函数，累加后可分组求和；

④若/(〃)是关于"的分式函数，累加后可裂项求和.

类型IV累乘法：

形如an+l=an-f(n)型的递推数列(其中/(〃)是关于”的函数)可构造:

an-l

ai

—=/(H-2)

<%.2

将上述恤个式子两边分别相乘，可得：%=/02-1)"("-2)...."(2)〃1)4，(心2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

类型V构造数列法：

(-)形如%M=pa“+q(其中均为常数且pwO)型的递推式：

(1)若p=l时，数列｛4｝为等差数列；

(2)若q=0时，数列｛4｝为等比数列；

(3)若pwl且qwO时，数列｛*｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比

数列来求.方法有如下两种：

法一：设an+1+2=p(an+2),展开移项整理得an+1=pan+(p-1)2,与题设

%+i=/%,+0比较系数(待定系数法)得X=",(pw0)n%+i+”)

p-1p-1p—1

-%+>二=双%|+，二)，即构成以a#，—为首项，以p为公比的等比数

P-1pTIpTJP-1

列.再利用等比数列的通项公式求出卜“+高｝的通项整理可得为.

法二：由an+i=pan+q得=p%+q｛n>2)两式相减并整理得———=p,即

｛4+1-4｝构成以出为首项，以〃为公比的等比数列•求出｛。用-4｝的通项再转化为类

型III(累加法)便可求出4.

(二)形如=pan+f(n)(pw1)型的递推式：

(1)当/(〃)为一次函数类型(即等差数列)时：

法一：^an+An+B=p[an_x+A(n-1)+B],通过待定系数法确定A、5的值，转化成以

Vl\

%+A+8为首项，以4"=—^―为公比的等比数列｛%+An+B｝,再利用等比数列的通项

[n-my.

公式求出｛%+An+B｝的通项整理可得an.

法二：当/(〃)的公差为d时，由递推式得：an+i=pan+f(n),=p%_]+/(九一1)两式

相减得：4+i-q=p(an-%)+d,令包=〃得:bn=pbn_x+d转化为类型V㈠求出bn,

再用类型III(累加法)便可求出％.

(2)当/(〃)为指数函数类型(即等比数列)时：

法一：设为十九/(〃)=夕[4_1+4/(〃-1)],通过待定系数法确定4的值，转化成以

4+A/X1)为首项，以父=/不为公比的等比数列也+犷⑺｝,再利用等比数列的通项

公式求出｛4+4/5)｝的通项整理可得为.

法二:当f(n)的公比为4时,由递推式得：an+i=pan+于(ri)①，an=pan_x+f｛n-1),

两边同时乘以q得anq=pqan_x+qf(n-l)②，由①②两式相减得

an「a〃q=p(an_qanT),即%,在转化为类型V㈠便可求出4.

法三：递推公式为%+i=U4"(其中p,q均为常数)或%+i=+/"(其中p,q,

r均为常数)时，要先在原递推公式两边同时除以q"M,得：等引入辅助数

列也｝(其中6“=之)，得：时广“2+工再应用类型V㈠的方法解决.

Qqq

(3)当/(")为任意数列时，可用通法：

在*=pa“+/(〃)两边同时除以p向可得到雪=之+坐，令之=2，则

pppP

bn+l=2+坐，在转化为类型III(累加法)，求出“之后得a,=p"bn.

p

类型VI对数变换法：

a

形如n+\=〃相＞0)型的递推式：

在原递推式%=p屋两边取对数得Ig.=qlg%+lgp，令2=Iga〃得：%=西+lgp,

化归为a〃+i=〃4+4型，求出4之后得。〃=10'.（注意：底数不一定要取10,可根据题意选

择）.

类型vn倒数变换法：

形如为T-%=P4_1%（2为常数且P。。）的递推式：两边同除于为_汹〃，转化为

，=—二+0形式，化归为%+4型求出工的表达式，再求％;

a

„%an

还有形如%M=一丝」的递推式，也可采用取倒数方法转化成二一='，+'形式，化

pa”+qan+lqanp

归为an+l=pan+q型求出工的表达式，再求«„.

an

类型VID形如限=pa,I+l+qan型的递推式：

用待定系数法，化为特殊数列的形式求解.方法为：设

4+21她+1=皿4+1-她），比较系数得//+左=°,-碗=4，可解得无、左，于是｛%+1-3”｝是

公比为h的等比数列,这样就化归为«„+1=pa“+q型.

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法

求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式应.

必考题型全归纳

题型一：观察法

例1.（2024•湖南长沙•长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算

法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第

二层有3个球，第三层有6个球，……，则第十层有（）个球.

A.12B.20C.55D.110

【答案】C

【解析】由题意知:

“1=1,

%=%+2=1+2,

%=%+3=1+2+3,

an=an_x+〃=1+2+3++n,

以qio=1+2+3++10=55.

故选：C

例2.（2024•全国•高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传

教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森

指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国

剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整

数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{%},则4=

（）

A.17B.37C.107D.128

【答案】C

【解析】“能被3除余2且被7除余2,.•.q-2既是3的倍数，又是7的倍数，

即是21的倍数，且4>0,=一1）,

gpan=21n-19,=21x6-19=107.

故选：C.

例3.（2024•全国•高三专题练习）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变

换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所

示，若图1中正六边形的边长为1,图〃中正六边形的个数记为所有正六边形的周长

之和、面积之和分别记为Cn,Sn,其中图“中每个正六边形的边长是图〃-1中每个正六边形

边长的;，则下列说法正确的是（）

C.存在正数加，使得C"V机恒成立

【答案】D

【解析】A选项，图1中正六边形的个数为1,图2中正六边形的个数为7,

由题意得｛4｝为公比为7的等比数列，所以4=7"、故4=73=343,A错误;

B选项，由题意知G=6,C2=-x6=14,C3=（g）x6=>B错误;

7n-1

C选项，｛G｝为等比数列，公比为:，首项为6,故G,=6x7

7

因为;＞1,所以G单调递增，不存在正数优，使得恒成立，c错误;

D选项，分析可得，图〃中的小正六边形的个数为=7"T个，每个小正六边形的边长为

,故每个小正六边形的面积为

则5'=7"-56义¥、U=乎＞＜出，D正确.

故选：D

变式1.（2024•海南•海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤

谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数

列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列

题，其各项规律如下：0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,...,记此数列为｛凡｝,则

（%—%）+（。4一/）++（々5。—〃49）=（）

A.650B.1050C.2550D.5050

【答案】A

【解析】由条件观察可得：4-%=2,4-%=4,4-%=6,即生”一出,一1=2"，所以

他“-％1｝是以2为首项，2为公差的等差数列•

=25X2+25X24X2=650,

故(%一4)+(。4—生)++(%()—。49)

2

故选：A

变式2.（2024•吉林•统考三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”

的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍

生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道

数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列的第25项与

第24项的差为（）

A.22B.24C.25D.26

【答案】B

【解析】设该数列为｛%｝,

当n为奇数时，q=121=。,4=321=4,%=521=12,%='2—24,…

所以%=1，”为奇数；

当n为偶数时,a?=g=2,%=g=8,&=3*=18,%=*=32,

所以区,=[,〃为偶数数；

252-1742

所以出5一=---------=24>

故选:B.

变式3.（2024•全国•高三专题练习）若数列｛%｝的前4项分别是:,则该数

列的一个通项公式为（）

【答案】D

【解析】因为数列｛%｝的前4项分别是-g,正负项交替出现，分子均为1,分母

依次增加1,

所以对照四个选项，氏=w二正确.

"n+\

故选：D

变式4.(2024•全国•高三专题练习)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由

每一行的第三个数，，，

“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起,1,!LL

3610

构成数列{q},其前〃项和为S“，则邑。=()

1

11

1i1

1ii1

.iii.

14641

13TOTO31

A.史4041419

B「.—C.D.

2021212W

【答案】B

【解析】由题意可知,

1_2

3-2^3

1_2

6~3^4

1_2

10-4^5

2

H(H+1)

所以其前〃项和为:

Sn=%+%+%+

=2」+」+3+2n

(22334〃+1

贝监。喘40

故选：B.

变式5.(2024•新疆喀什•高三统考期末)若数列｛%｝的前6项为1,-事|,-｝|,-£

则数列｛%｝的通项公式可以为为=()

nn

A.------B.

n+12n-l

C.(-1)〃・」一D.(7严

2n-l2n-l

【答案】D

【解析】通过观察数列｛%｝的前6项，可以发现有如下规律:

且奇数项为正，偶数项为负，故用(-1)向表示各项的正负；

各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数，

而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，

故第"项的绝对值是1,

2«-1

所以数列｛4｝的通项可为4=(-i)"”F4，

Zn-i

故选：D

【解题方法总结】

观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通

项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(-1)"或者

(-1)"一部分.②考虑各项的变化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、

正偶数列、自然数的平方｛/｝、｛2"｝与(-1)”有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们

组成的数列.

题型二：叠加法

例4.(2024•全国•高三对口高考)数列1,3,7,15,……的一个通项公式是()

nl

A.an=TB.an=2+lC.D.an=2"-

【答案】C

23

【解析】依题意得=2,a3-a2=2,-a3=2,

所以依此类推得an-%=2"T(n>2),

i-2n

以=q+%—%+%—％+%—%+…+。〃一］=1+2+22+2^+...+2"।--------=2”-1•

1-2

又％=2「1=1也符合上式，所以符合题意的一个通项公式是。〃=2〃-1.

故选：C.

例5.(2024•新疆喀什•校考模拟预测)若。〃=氏_1+〃—1,%=1贝U〃io=()

A.55B.56C.45D.46

【答案】D

【解析】由氏=。〃_1+〃—1,

%=4+1,〃3=〃2+2,

〃4=%+3,L,an=an_x+n-\{n>2),

累力口得，a〃=q+l+2+3++n-l

11i

=—n2——n+l,

22

当〃=1时，上式成立，

所以aio=；xlOO-；xlO+l=46.

故选：D

例6.（2024•陕西安康•陕西省安康中学校考模拟预测）在数列｛。“｝中，4=1,

111

%+1=%+〃+1，则一+—+-+——=(

^^2^^2022

,2021404420212022

A.B.-------

10112023-20222023

【答案】B

【解析】因为4+1=%+〃+1,故可得。2-6=2,%-%=3,…，册一%=n,及%=1

累力口可得一〃“T+〃〃-12+=1+2+3++n,

则为=1+2+3++n=-------

2

羡-嬴H「募卜黑

故选：B.

变式6.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛风｝满足4=（，〃用=%+一一，则

2n+n

｛为｝的通项为（）

A.——,H>1,HGN―+―,n>l,neN*

n2

313

C.---------,H>1,nGN*—,n>l,neN*

2n2n

【答案】D

【解析】因为%+1=。〃+三---，所以。用一。〃=方---=-------，则当几22,几wN*时,

n+n

将n—1个式子相力口可得-%=1-----1---------1-H-----------=1—,

223n-1nn

11131311

因为％=彳，则。〃=1——+彳=大__，当〃=1时，卬=彳―；：:；符合题意,

2n22n212

31*

所以4=彳——

故选：D.

变式7.（2024•全国•高三专题练习）已知S”是数列｛凡｝的前〃项和，且对任意的正整数

11cC1C

n,都满足：-------=2〃+2,若％=彳，贝US2023=（）

2023202220211010

2024202320242023

【答案】A

【解析】当时，由累加法可得：

T1f11）/11）CC//C,小

-----------+---------------++-----------=2〃+2（〃-1）++（2x]+2）,

所以------=几+n-2(n>2),

an《

1

所以4=丽而S2）,

11

当〃=1时，a\~lx（l+l）一］，符合，

1

所以为而而（〃eN*）,

111

所以〃〃二

+n〃+1'

1-3+11112023

所以,^2023++=1---

232023202420242024

故选：A.

变式8.（2024•四川南充•四川省南充高级中学校考模拟预测）已知数列｛见｝满足:

3

an+2~an-^,an+6~an—91,3,则%023=（

空+3q2023q

A.B.--+-

2282

32023

C.D.

82

【答案】C

3

an+2~an~^,

8

+

••。〃+4—an+2-3，an+6-an+,<y\

•••%+6—q=（2+6一%4）+（%+4一q+2）+口+2一4）+3-+2+3"=3"04+3?+1）=913,

又。“+6-42913,故见+6-。“=9卜3",

a

所以4+2n=3"，4+4-«„+2=S'"?，an+6-an+4

一。“=3",q=|

所以4-=3,%-。3=3^,…,区

'n+2o

故a2n+l-^1=出〃+1-a2n-l+1一。2“-3++%一〃3+。3一%=3+3^+3,+...+,

2rt1

则%〃+1=%+3+3,+3,++3,

35202132023

所以。2023=-+3+3+3+...+3=2+i

881-98

故选：c.

【解题方法总结】

数列有形如4+1+/（〃）的递推公式，且/⑴+/（2）++/（〃）的和可求，则变形为

an+l-an=f（n）,利用叠加法求和

题型三：叠乘法

例7.（2024•河南•模拟预测）已知数列｛。〃｝满足%1+u.

-----=2n,q=l,贝I]a2023

an+l

A.2024B.2024C.4045D.4047

【答案】C

【解析】3^:2几,

aa

n+l-n

BP(1-2n)册+i=(—2〃-l)an,

,a,2n+l

可得n+

.c_°20237.2022〜“2021~

..=----------X-----------X-----------X...X------X------XCl.

%02202021”2020。2%

40454043404153

xxx-x-xl=4045.

40434041403931

故选：C.

〃〃+1n

例8.（2024•全国•高三专题练习）数列｛%｝中，q=l,（〃为正整数），则

n+1

出022的值为（）

202£2022

ABD.

-盛-+'20222021

【答案】A

因为%1n

【解析】

an〃+1

a„a_4%a2_«-23211

所以二nxvX—X—X—=—

an_xan_2a3a2axnn-\432〃

所以〃2022=蔡^

故选：A

n+1

例9.（2024•天津滨海新•高三校考期中）已知q=2,“用=—贝！1a2022=(

n

A.506B.1011C.2022D.4044

【答案】D

n+1n+1

【解析】an+i=%，'

nn

%_2%_3%_4

—,—,—4一心2,

a1a2a3

x23an-in-1

n

•刍=—=nn>2,

ax1

ax=2,an=2TJ,n>2,

显然，当〃=1时，q=2满足%=2〃,

an=In,〃£N",

。2。20=2x2022=4044

故选：D.

变式9.(2024•全国•高三专题练习)己知％=1,«„=n(a„+1-«„)(«eN+),则数列｛《｝

的通项公式是％=()

A.2n-lB.[3)C.ft?D.n

【答案】D

【解析】由%="(%+「()，得5+1)%="4+1，

a.,n+1

BP-n=——,

ann

川刍_=」_"1也="2"=2,n>2

an_xn-1an_2n-2an_3n-3ax1

由累乘法可得，=〃，所以凡=%n>2,

又%=1,符合上式，所以。,=〃.

故选：D.

变式10.(2024•全国•高三专题练习)已知数列｛风｝中，4=1,

叫用=2(4+%+…+a,J(〃eN*),则数列｛%｝的通项公式为()

A.%=〃B.an=2n-1

D.an

【答案】A

【解析】由nt*=2(G+%+…+%)①

得("-1)q=2(4+%+…+凡一1)②

①-②得：na„+l-(n-l)an^2an,

%〃+1

即：mn+i=(n+\)an,

所以a”=M〃WN*)

故选：A.

变式11.(2024•全国•高三专题练习)已知数列｛氏｝满足5+2)%+]=5+1)〃〃，且

%=1,则。〃=()

n-1

2n-l

【答案】D

【解析】数列｛%｝满足(〃+2)%+I=(〃+1)%，且％=；，

.14+1n+1

•・4=5,三K，

.an_na”-n-1a2_2.

,,«„-in+1'an_2n'q3'

故选：D.

变式12.(2024•全国•高三专题练习)已知数列｛凡｝满足卬=?，4=三二

weN*),则数列｛%｝的通项%=()

A.zB

W-1-春

11

C(2n-l)(2n+3)D。(n+l)(n+3)

【答案】A

【解析】数列｛%｝满足4=g，2〃一3_..

2〃+1%(九.2,〃£N*),

a2n—3a,2n—5

整理得j-=-------=-------。2_1

建埋母4T2〃+1'*271-1q5

1x3

所有的项相乘得:

%(2〃+1)(2〃-1)

1

整理得：4=

4n2-T

故选：A.

在数列｛%｝中，q=；且("+2)a“+i=7/，则它的

变式13.(2024•全国-高三专题练习)

前30项和$3。=()

A.史2928c19

B.C.D.—

31302929

【答案】A

%n

【解析】(〃+2)4+1=叫

n+2

c_c%"3册12n-1111

an~a\---------------

“1〃21234n+1+nn+1

130

因止匕，5=1——+———++L

30223303131

故选：A.

【解题方法总结】

数列有形如为=/(〃)•的递推公式，且/⑴"(2>"(〃)的积可求，则将递推公式

变形为'=/(〃)，利用叠乘法求出通项公式与

an-l

题型四：待定系数法

例10.(2024•全国•高三专题练习)已知：4=1,2时，=万册_1+2n—l,求｛〃〃｝

的通项公式.

［角军析】设a〃+A〃+3=；［a“_i+A(n_l)+3］,所以Q,=；〃〃_］一；A〃_；A—,

乙乙乙乙乙

f=2，

A=—4

7，解得:

B=6

--A--B=-1,

I22

又卬-4+6=3,；.｛q-4"+6｝是以3为首项，1为公比的等比数列,

n—\

%-4"+6=3出=三+4"-6

2"-1

例11.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛aJ,4=2,且对于〃>1时恒有

4=:。1+1，求数列的通项公式•

【解析】因为a“=ga,i+l,所以4-2=：47-2）,又因为％-2=0,

所以数列｛%-2｝是常数列0,所以4-2=0,所以%=2.

例12.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛““｝满足：a"+[=-ga.-2,“eN*，4=4,求

an-

【解析】因为。"+1=-：。,-2,〃eN*,q=4,

...........331311

所以两边同时加上不得：an+i+-=--an-2+-=--an--,

所以。“+1+；=一：“"_；=_；(%+；］，当4=4时，a,+-|=y-

3

3。〃+1+弓1

故％+万工0,故----y-

3

一个5

所以数列是以％+|=£为首项,一为公比的等比数列.

曰

于T是。“十3万=

变式14.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝是首项为4=2,%+i=ga“+2〃+g.

⑴求｛%｝通项公式;

(2)求数列｛4｝的前几项和S”.

【解析】(1)4+1=+2"+§,设4+1+A(〃+l)+3=](a〃+A〃+3),

一

1922A=—3

即Q”+]=§Q“一]A"_A_§3，即＜，解得

B=2

4-3+2=1,故｛q_3〃+2｝是首项为1,公比为;的等比数列.

n-1n-1

a-3〃+2=+3n—2.

nI

0n-l

n-l+4++0

⑵风+3九一2,则5.+1+I+3rl—2

on-l(l+3〃-2)x〃

+(1+4++3〃-2)=lx

2

3313

x+—n2——n+—.

I222

+1

变式15.(2024•全国•高三专题练习)已知数列｛〃〃｝中，ai=2,a.〃+i_3,求求J的

通项.

2x+l

【解析】因为｛%｝的特征函数为：f(x)=

3

।x.、2x+1

由f(zx)=~=%—x=ij

22+112/八

%na〃+iT=](a〃T)

3

数例J｛4,-1］是公比为］的等比数歹U,

变式16.(2024•江苏南通•高三江苏省通州高级中学校考阶段练习)已知数列｛%｝中,

6=l,满足凡+i=2%+2〃—设S〃为数列｛4｝的前〃项和.

⑴证明：数列｛4+277+1｝是等比数列;

(2)若不等式加2"+S“+4>0对任意正整数n恒成立，求实数A的取值范围.

【解析】（1）因为*=2q,+2〃-l（〃eN*）,

所以%+i+2（〃+1）+1=2（a*+2〃+1）,

所以｛q+2〃+1｝是以q+2xl+l=4为首项，公比为2的等比数列，

所以4+2〃+1=4x2"T=2”+1所以为=2"+1-2n-l.

（2）因为。“=2同-2w-1,

所以幺=卬+出++%=（2~—3）+（2,—5）++[2"+’—（2〃+1）]

=（22+23++2'用）一（3+5+7++2〃+1）—2-（1一2"）〃（3+2〃+1）_”+？*2n仔

1-22

若九2"+'+4>。对于VweN*恒成立，即/-2"+2,,+2-n2-2n-4+4>0,

可得A-2">«2+In-2-2即X>匚2-4对于任意正整数n恒成立，

2"

ll―cn2+2n.n（n+2]„,3-H2

所以彳>F一一4，令2=—m-------4，则6“+「2=方丁，

——max

72-I-?X?

所以仿<仇>4>”>…，可得（或）厘=4=/苗义/一4=-2,所以；1>-2,

所以几的取值范围为（-2,也）.

变式17.（2024•四川乐山•统考三模）已知数列｛%｝满足。用=2%+2,%=1,贝U

【答案】3X2'T—2

【解析】由。“+1=2。“+2得a“+]+2=2（a〃+2）,又q+2=3,

62,,+2

所以上/=2,即｛。“+2｝是等比数列，

所以4+2=3x2修，即％=3x2"-1-2.

故答案为：3X2"T-2.

变式18.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝中，%=1,。用=3凡+4,则数列

｛«„）的通项公式为.

【答案】«„=3--2

【解析】因为。向=3%+4,

设an+l+1=3（%+t）,即an+l=3an+2t,

根据对应项系数相等则2r=4,解得t=2,故见+i+2=3（q+2）,

所以｛%+2｝是3为首项，3为公比的等比数列，

所以a,+2=3x3"T=3",即a“=3"-2.

故答案为：an=T-2

变式19.（2024•全国•高三对口高考）已知数列｛4｝中，q=1,且％=2%_1+3

（/7>2,且〃eN*）,则数列｛%｝的通项公式为.

【答案】2"+1-3

【解析】由凡=2%+3,得%+3=2（的+3）,即乌三=2

an-\+J

由所以4+3=1+3=4,

于是数列｛4+3｝是以首项为4,公比为2的等比数列,

因止匕4+3=4*2"-，即。"=2"|—3,

当“=1时，4=2|+1_3=],此式满足。[,

所以数列｛q｝的通项公式为4=2向-3.

故答案为：2角-3.

【解题方法总结】

a

形如=Pn+q（p,q为常数，pqwO且"1）的递推式,可构造4+i+2=p[an+2）,

转化为等比数列求解.也可以与类比式4+q作差，由为+1-4=p（a“-a”―），构造

｛%+1-0｝为等比数列，然后利用叠加法求通项・

题型五：同除以指数

例13.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足%+1=2%+3-2",弓=2,求数列

｛"”｝的通项公式.

［解析1将%=2%+3•2"两边除以2同,

得％!_=&+3，贝|］4i1__氏=3,

1才2"+i2n22"+12"2

故数列［黑］是以*=］=1为首项，以|■为公差的等差数列，

则2=1+a（〃_1）=9〃」，

2〃222

31

数列应｝的通项公式为an=（|n--）-2"=（3"-1）.2-

例14.（2024•全国•高三专题练习）在数列｛七｝中，6=-l,a.M=2a"+4-3"T,求通项公

式凡.

n

【解析】。用=2q,+4・3"T可化为：«n+1-4-3=2（«„-4-3^）.

Xaj-4-31-1=-1-4=-5

则数列｛4-4守7｝是首项为-5,公比是2的等比数列.

a“一4・3"—=-5•，则a“=4-3"i-5•2"T.

所以数列｛凡｝通项公式为«„=4-3-1-5-2-1

例15.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足凡+i=2a“+3-5",q=6,求数列

他“｝的通项公式.

【解析】由=2a“+3-5”,可得'-52=2（4-5"）

又a—=6-5=1*0,

则数列｛q-5"｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

则a“-5"=12。故a“=2"T+5".

则数列｛%｝的通项公式为双=2-1+5".

变式20.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛"“｝满足。“M=2a“+4x3"T,%=1,求

数列｛%｝的通项公式.

【解析】解法一：因为a“M=2a,+4x3"T,

设。,用+加3"=为(a“+2・3"T),

所以g+i=M•3"一一4・3"=；!2a“+(猊一3X)-3"一,

即%+「4X3"=2（%-4X3"T）,

则数列｛（-4x3"—｝是首项为q-4x3-=-3,公比为2的等比数列,

所以一4x3"T=—3x2"一，即a"=4x3"-1-3x2片；

解法二：因为a“M=2a“+4x3"T,两边同