2025高考数学复习必刷题：立体几何解答题（学生版）

第56讲立体几何解答题

必考题型全归纳

题型一：非常规空间几何体为载体

例1.(2024.全国•高三专题练习)已知正四棱台ABC。-44GA的体积为竺也，其中

3

AB=24再=4.

(1)求侧棱AA与底面ABCD所成的角；

(2)在线段cq上是否存在一点P,使得BPJ.A,。？若存在请确定点尸的位置；若不存在,

请说明理由.

例2.(2024•全国•高三专题练习)在三棱台ABC-丽中，G为AC中点，AC=2DF,

B

⑴求证：3。1平面。石6；

(2)若AS=3C=2,CF1AB,平面EFG与平面ACED所成二面角大小为求三棱锥

E-DFG的体积.

例3.(2024・重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)如图，在正四棱台

ABCD-AgG"中，AB=24旦，A4,=g,M,N为棱Bg,G2的中点，棱A3上

存在一点E,使得〃平面3MZVD.

4AE

⑴求常

(2)当正四棱台ABCD-44GA的体积最大时，求8s与平面BMZVD所成角的正弦值.

变式1.(2024・湖北黄冈•流水县第一中学校考模拟预测)如图，在三棱台44G-ABC中,

JT

BB[=3,ZBAC=-.

(1)证明：平面4ACC1，平面A3C；

⑵设。是3C的中点，求平面4Acq与平面AA0夹角的余弦值.

变式2.(2024・安徽•高三安徽省定远中学校考阶段练习)如图，圆锥尸。的高为3,是

底面圆。的直径，四边形ABCD是底面圆。的内接等腰梯形，且AB=2CD=2,点E是母

线PB上一动点.

(1)证明：平面ACEJ_平面尸OD；

(2)若二面角A—EC—3的余弦值为《亶，求三棱锥A-ECD的体积.

130

变式3.(2024.云南.云南师大附中校考模拟预测)如图，尸为圆锥的顶点，A,3为底面圆

2元

。上两点，ZAOB=y,£1为尸8中点，点F在线段A8上，且=

(1)证明：平面AOPL平面OEF；

(2)若OP=AB,求直线AP与平面所成角的正弦值.

变式4.(2024•内蒙古赤峰•校联考三模)如图，尸为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心,

四边形ABCD是圆。的内接四边形，3。为底面圆的直径，M在母线网上，且

AB=BC=BM=2,BD=4,MD=273.

⑴求证：平面4WC_L平面ABCD；

(2)设点E为线段尸。上动点，求直线CE与平面ADM所成角的正弦值的最大值.

变式5.(2024•山东潍坊・统考模拟预测)如图，线段9是圆柱的母线，ASC是圆柱

下底面。。的内接正三角形，AAt=AB=3.

(1)劣弧BC上是否存在点。，使得。I。“平面AAB?若存在，求出劣弧8D的长度；若不

存在，请说明理由.

(2)求平面CBOt和平面BAAX所成角的正弦值.

题型二：立体几何存在性问题

例4.(2024・全国•高三对口高考)如图，如图1,在直角梯形ABCD中，

ZABC=NDAB=90°,ZCAB=30°,BC=2,AD=4.把ADAC沿对角线AC折起到APAC

的位置，如图2所示，使得点尸在平面A3C上的正投影X恰好落在线段AC上，连接

图1图2

(1)求证：平面平面BBC；

(2)求直线HE与平面PH3所成角的正弦值；

(3)在棱9上是否存在一点使得M到点P,〃,A,尸四点的距离相等？请说明理由.

例5.(2024・上海长宁•上海市延安中学校考三模)己知ABC和VAZm所在的平面互相垂

直，AD±AE,AB=2,AC=4,/R4c=120。，。是线段BC的中点，AD=B

(1)求证：AD±BE；

(2)设AE=2,在线段AE上是否存在点尸(异于点A),使得二面角A-族-C的大小为

45°.

例6.(2024•湖南邵阳・邵阳市第二中学校考模拟预测)如图，在ABC中，?B90?,尸为

43边上一动点，PDHBC交AC千点、D,现将PO4沿尸。翻折至

(1)证明：平面CBA'_L平面尸BA；

(2)若PB=CB=2PD=4,且A/LAP,线段AC上是否存在一点E(不包括端点)，使得

锐二面角E-Q-C的余弦值为宜区,若存在求出逃的值，若不存在请说明理由.

14EC

变式6.(2024.福建厦门.统考模拟预测)筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边

形.如图，四边形A3CD为筝形，其对角线交点为O,AB=拒,BO=8C=2,将△ABD沿

80折到aA2D的位置，形成三棱锥A—BCD.

D

(1)求8到平面AOC的距离；

⑵当AC=1时，在棱AD上是否存在点P,使得直线&V与平面POC所成角的正弦值为

f

1Ap

4?若存在，求黑的值；若不存在，请说明理由.

4AD

变式7.（2024・湖北襄阳・襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱ABC-4旦C的各棱长都为

4,^A,AB=60，点A在下底面ABC的投影为AB的中点0.

B\

（1）在棱8片（含端点）上是否存在一点。使AOL4G?若存在，求出3。的长；若不存

在，请说明理由;

⑵求点4到平面BCQBi的距离.

变式8.（2024.全国・高三专题练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面E4。，△

山。为等边三角形，AD//BC,AD=CD=2BC=2,平面P8C交平面必。直线/,E、

分别为棱PD,PB的中点.

⑴求证：BC//1；

⑵求平面AE尸与平面B4D所成锐二面角的余弦值;

（3）在棱PC上是否存在点G,使得。G〃平面AEF?若存在，求花的值，若不存在，说

明理由.

变式9.（2024.湖北襄阳.襄阳四中校考模拟预测）在三棱锥中，若已知P4_L3C,

「3LAC,点尸在底面ABC的射影为点H,贝U

B

（1）证明：PCLAB

Q）设PH=HA=HB=HC=2,则在线段PC上是否存在一点M,使得2M与平面E4B所成

4CM

角的余弦值为,，若存在，设器=彳，求出2的值，若不存在，请说明理由.

变式10.（2024•浙江•校联考模拟预测）在四棱锥E-A8CD中，底面A3CD为矩形,

AD=2AB=2,E4£＞为等腰直角三角形，平面E4D_L平面ABCD,G为BC中点.

BGC

⑴在线段4。上是否存在点Q,使得点Q到平面的的距离为出若存在，求出丑的

值；若不存在，说明理由;

(2)求二面角EC-B的正弦值.

变式11.(2024・全国•高三专题练习)如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAC是边长为2的

正三角形，BC=4,AB=245,分别为PC,尸8的中点，平面A跖与底面ABC的交

线为/.

E；”、

/\F

(1)证明：///平面尸BC

(2)若三棱锥P-ABC的体积为逑，试问在直线/上是否存在点Q,使得直线尸。与平面

3

AE厂所成角为a,异面直线P。,跖所成角为夕，且满足1+尸=方？若存在，求出线段

A。的长度；若不存在，请说明理由.

变式12.(2024.安徽淮北.统考二模)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ASCD为菱

5

形，ZABC=60,PC1BD,PA=AB=—PB.

2

⑴证明：上4，面458；

⑵线段尸£＞上是否存在点E,使平面ACE与平面R钻夹角的余弦值为叵？若存在，指

13

出点E位置；若不存在，请说明理由.

题型三：立体几何折叠问题

例7.（2024•河南・洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在图1中，ABC为等腰直角三

角形，?B90?,AB=2日ACD为等边三角形，。为AC边的中点，E在2C边上，且

EC=2BE,沿AC将ACD进行折叠，使点。运动到点尸的位置，如图2,连接FO,

FB,FE,使得FB=4.

图1图2

⑴证明：FOmABC.

（2）求二面角E-E4-C的余弦值.

例8.（2024・广东深圳•校考二模）如图1所示，等边ASC的边长为2a,CD是AB边上的

高，E,尸分别是AC,8c边的中点.现将ABC沿8折叠，如图2所示.

(2)折叠后若4?="，求二面角A-BD-E的余弦值.

例9.(2024・四川南充.高三阖中中学校考阶段练习)如图甲所示的正方形AA'AA中，

44,=12,AB=44=3,=8|G=4,对角线AA,分别交BB{,CQ于点P,。，将正方形

A4AA沿期，CQ折叠使得AA,与A4重合，构成如图乙所示的三棱柱ABC-4AG.

甲乙

⑴若点M在棱AC上，且证明：〃平面APQ；

(2)求二面角\-PQ-A的余弦值.

变式13.(2024・重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知如图甲所示，直角三角形

SA8中，NABS=90。，AB=BS=6,C,D分别为SB,SA的中点，现在将SCD沿着CD

进行翻折，使得翻折后S点在底面ABC。的投影H在线段8c上，且SC与平面A8CQ所

(1)证明：DM//平面SBC；

(2)求平面ADS与平面SBC所成锐二面角的余弦值.

变式14.(2024・全国•高三专题练习)如图1,在直角梯形8CDE中，BC//DE,

BC1CD,A为OE的中点，且DE=2BC=4,BE=2霹,将JIBE沿48折起，使得点

E到达P处(尸与。不重合)，记尸。的中点为M,如图2.

(1)在折叠过程中，尸8是否始终与平面ACM平行？请说明理由；

(2)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求CQ与平面ACM所成角的正弦值.

变式15.(2024•全国•高三专题练习)如图，四边形ABCD中,

AB±AD,AD//BC,AD=6,BC=2AB=4,E,E分别在BC,AD上，EF//AB,现将四

边形ABC。沿所折起，使BE_LEC.

⑴若3E=3,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,使得CP〃平面AB£F?若存在，求

Ap

出器的值；若不存在，说明理由.

(2)求三棱锥A-CD尸的体积的最大值，并求出此时点尸到平面ACD的距离.

变式16.(2024•全国•高三专题练习)如图，四边形MABC中，ABC是等腰直角三角形,

ZAC8=9(F,,M4C是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将AM4c向一方折叠到

△ZMC的位置，使。点在平面ABC内的射影在上，再将4c向另一方折叠到

E4c的位置，使平面E4c_L平面A3C,形成几何体ZMBCE.

(1)若点F为BC的中点，求证：叱〃平面£AC；

(2)求平面AC。与平面BCE所成角的正弦值.

变式17.(2024•四川泸州•泸县五中校考三模)如图1,在梯形ABCD中，AB//CD,且

AB=2CD=4,ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边.若把,ACD沿AC边折叠到

△ACP的位置，使平面R4CL平面ABC,如图2.

图1图2

(1)证明：AB±PA；

(2)若E为棱BC的中点，求点8到平面E4E的距离.

变式18.(2024・湖南长沙•长沙一中校考一模)如图1,四边形ABC。为直角梯形,

AD//BC,ADJ.AB,ZBCD=6O°,AB=26,BC=3,E为线段CD上一点，满足

BC=CE,尸为助的中点，现将梯形沿3E折叠(如图2),使平面3CEJL平面ABED.

(1)求证：平面ACE_L平面3CE；

(2)能否在线段上找到一点尸(端点除外)使得直线AC与平面PCb所成角的正弦值

为如？若存在，试确定点尸的位置；若不存在，请说明理由.

4

题型四：立体几何作图问题

例10.(2024.云南昆明•高三校考阶段练习)已知正四棱锥P-ABCD中，O为底面ABC。

的中心，如图所示.

(1)作出过点。与平面出。平行的截面，在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，写

出简要作图过程及理由；

⑵设的中点为G,PA=AB,求AG与平面所成角的正弦值.

例11.(2024.贵州•校联考模拟预测)如图，已知平行六面体ABCO-44CR的底面

7T3

ABCD是菱形，CD=CCX=ACi=2,ZDCB^-,且cosNGC£)=cosNC]C3="

(1)试在平面ABC。内过点c作直线/,使得直线/〃平面G2。，说明作图方法，并证明:

直线/〃用2；

(2)求平面8G。与平面ABQ所成锐二面角的余弦值.

例12.（2024.全国•高三专题练习）如图，已知平行六面体ABCD-ABCR的底面ABC。

jr3

是菱形，CD=CC1=AC1=2,/。。8=；且＜：05/00)=85/608="

（1）试在平面ABC。内过点C作直线/,使得直线///平面C8O,说明作图方法，并证明:

直线〃/瓦2;

（2）求点C到平面48。的距离.

变式19.（2024・全国•高三专题练习）如图多面体ABCDE尸中，面£钻，面ABC。，_FAB

3

为等边三角形，四边形A3CD为正方形，EF//BC,且所=]g=3，H,G分别为

CE,C。的中点.

（1）求二面角C-F”-G的余弦值；

AP

（2）作平面MG与平面ABC。的交线，记该交线与直线AB交点为P,写出二b的值（不

需要说明理由，保留作图痕迹).

变式20.(2024・全国•高三专题练习)四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱

形，ZZMB=y.ACi=且尸平面ABC。，尸。=代，点尸,G分别是线段尸

上的中点，E在丛上.且B4=3PE.

(I)求证：BD//平面EFG；

(II)求直线A8与平面£FG的成角的正弦值；

(III)请画出平面跳G与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.

变式21.(2024.安徽六安.安徽省舒城中学校考模拟预测)如图，已知多面体EABC0E的底

面ABC。是边长为2的正方形，应1，底面ABCD,FD//EA,且尸。=!胡=1.

2

（1）记线段2C的中点为K,在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECT平行，要求保留

作图痕迹，但不要求证明；

（2）求直线£B与平面ECP所成角的正弦值.

变式22.（2024・广西•高三统考阶段练习）如图，三棱柱ABC-A用£中，侧面2瓦£（7为菱

形.

（1）（如图1）若点尸为JRC内任一点，作出C/与面ACB1的交点M（作出图象并写出简

单的作图过程，不需证明）；

⑵（如图2）若面，面=,求二面角

A-A四一G的余弦值.

变式23.（2024・四川成都・成都七中校考模拟预测）ABC是边长为2的正三角形，P在平

面上满足CP=C4,将△ACP沿AC翻折，使点P到达P'的位置，若平面P3CL平面

ABC,^.BCIP'A.

(1)作平面。，使得AP'ua,且说明作图方法并证明;

⑵点M满足MC=2PM,求二面角尸—AB—M的余弦值.

变式24.(2024・四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)已知四棱锥

尸-ABCD的底面ABCO是平行四边形，侧棱平面ABCD,点M在棱£＞尸上，且

£＞A/=2MP,点N是在棱PC上的动点(不为端点).(如图所示)

⑴若N是棱PC中点，

(i)画出△尸3£＞的重心G(保留作图痕迹)，指出点G与线段AV的关系，并说明理由；

(ii)求证：尸3〃平面AM/V；

(2)若四边形ABCD是正方形，且AP=AD=3,当点N在何处时，直线R4与平面AMN所

成角的正弦值取最大值.

题型五：立体几何建系繁琐问题

例13.(2024.福建福州.福建省福州格致中学校考模拟预测)如图，在四棱台ABCQ-

TTTT

中，底面ABCD是菱形，ZABC=-,ZBiBD=-,ZB.BA=AB^BC,

36

AB=2AiBl=2,BlB=3

(1)求证：直线ACJ_平面8DS；

(2)求直线48/与平面ACQ所成角的正弦值.

例14.(2024•全国•模拟预测)如图，在直三棱柱4BC-A由G中，侧面BCG比为正方形,

M,N分别为8C，AG的中点，AC1B.M.

⑴证明：ACV〃平面4即A；

(2)若BC=2,三棱锥月MN的体积为2,求二面角A-甲W-N的余弦值.

例15.（2024•江西抚州•高三校联考阶段练习）如图，在几何体ABCDE中，

AB=BC,AB1BC,己知平面ABC1平面AC。，平面平面BCE,DE〃平面

ABC,AD±DE.

⑴证明：DE2平面ACD；

⑵若AC=2CD=2,设Mr为棱BE上的点，且满足=求当几何体ABCDE的体

积取最大值时，A"与8所成角的余弦值.

变式25.（2024•黑龙江佳木斯•高一建三江分局第一中学校考期末）如图，已知三棱柱

A3C-4与£的底面是正三角形，侧面B3CC是矩形，M,N分别为BC,与G的中点，尸为

AM上一点，过31G和尸的平面交A3于E,交AC于F.

（1）证明：平面AAMN±EB£F；

（2）设。为△AB1G的中心，若AO〃平面E8[C]F,且AO=AB,求直线耳£与平面

4AMN所成角的正弦值.

变式26.（2024•黑龙江哈尔滨・哈九中校考三模）如图，已知三棱柱48。-4月6的底面是

正三角形，侧面8片C。是矩形，M,N分别为BC,的中点，尸为4〃上一点，过

BG和尸的平面交A5于交AC于尸.

（1）证明：AA.HMN,且平面平面EBCIF；

rr

（2）设。为△&圈G的中心，若AO=AB=12,AO//平面EBCP，且NMPN=§,求四

棱锥B-EBCZ的体积.

变式27.（2024•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考期中）如图，在平行六面体

4BCD-A吕G4中，每一个面均为边长为2的菱形，平面A3瓦底面A5CD,

/ZMS=60。，M,N分别是AA，8月的中点，P是8眼的中点.

(2)若侧棱AA与底面ABC。所成的角为60°,求平面。尸片与平面所成锐二面角的余

弦值.

变式28.(2024•全国•高三专题练习)已知四棱锥尸-中，上4,平面ABCD,

AD//BC,BC1AB,AB=AD=^BC,BD=6，PD=#.

(1)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；

(2)线段PB上是否存在一点使得CM,平面P6D?若存在，请指出点"的位置；若不

存在，请说明理由.

变式29.(2024•全国•模拟预测)如图，三棱柱ABC-A瓦G的底面为等边三角形,

4\=AC,点。，E1分别为AC,CG的中点，ZCED=30°,AB=6BD=娓.

⑴求点4到平面BDE的距离;

(2)求二面角A.-BE-D的余弦值.

变式30.(2024・全国•高三专题练习)已知两个四棱锥与鸟-A8C£＞的公共底面

是边长为4的正方形，顶点4，G在底面的同侧，棱锥的高6a=£Q=2,Ox,•分别

为AB,CO的中点，与£A交于点£,月C与£8交于点?

⑴求证：点E为线段2A的中点;

(2)求这两个棱锥的公共部分的体积.

变式31.(2024•全国•高一专题练习)《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经

十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上

最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中

将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖席”，已知在三棱锥尸-ABC中，24,平面

ABC.

(1)从三棱锥尸-ABC中选择合适的两条棱填空：1,则三棱锥

尸-AFC为“鳖腌”；

(2)如图，已知垂足为。，AE1PC,垂足为E,ZABC=90°.

(i)证明：平面APE_L平面PAC；

(ii)设平面ADE与平面ABC交线为/,若PA=2百，AC=2,求二面角E-/-C的大小.

变式32.(2024•浙江金华・高一浙江金华第一中学校考期末)如图，四面体ABC。中,

ABC等边二角形，AB±AD,AB=AD=2.

(1)记AC中点为若面ABC1面求证：3M上面AOC；

5兀

(2)当二面角D-AB-C的大小为二时，求直线与平面8。所成角的正弦值.

变式33.(2024•河北衡水•高二校考开学考试)已知四面体ASCD,AD=CD,

ZADB=ZCDB=nO°,且平面ABDJ_平面BCD.

(1)求证：BD1AC；

(2)求直线CA与平面MD所成角的大小.

题型六：两角相等(构造全等)的立体几何问题

例16.(2024•全国•高三专题练习)如图，在三棱锥A-BCD中，ABC是等边三角形,

NBAD=NBCD=90,点尸是AC的中点，连接8P,DP

(1)证明：平面ACD_1_平面BDP；

⑶若BD=&,cosZBPD=-^~,求三棱锥A-BCD的体积.

例17.(2024•高二校考单元测试)如图，在三棱锥A-3CD中是等边三角形,

/BAD=ZBCD=90。,点尸是AC的中点，连接BP.DP.

C

(1)证明:平面ACD_L平面BDP;

(2)若BD=&，且二面角A—BD—C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.

例18.(2024・全国•高三专题练习)如图，四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为边长是2的

正方形，E,G分别是CD,AF的中点，AF=4,ZFAE=ZBAE,且二面角厂一旦£一3

的大小为90。.

(1)求证：AELBG；

⑵求二面角3-AF-E的余弦值.

变式34.(2024全国•高三专题练习)如图，四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD是边长为

2的菱形，NDAE=NBAE=45°,ZDAB=60°.

(1)证明：平面平面ABE；

(2)当直线DE与平面ABE所成的角为30。时，求平面DCE与平面ABE所成锐二面角的余

弦值.

变式35.(2024•广东阳江•高二统考期中)如图，在四面体A2C。中，ABC是正三角形,

ACD是直角三角形，ZABD=ZCBD,AB=BD.

⑴求证：平面ACDJL平面ABC；

⑵若DE=mDB，二面角。一钻-C的余弦值为g，求加.

变式36.(2024•全国•高三专题练习)如图，在四面体ABCD中，已知

ZABD=NCBD=60°,AB=BC=2,

(1)求证：XC1BD-,

(2)若平面平面C3D,且8。=1,求二面角C-的余弦值.

题型七：利用传统方法找几何关系建系

例19.(2024.河北.高三河北衡水中学校考阶段练习)如图，在长方体ABCD-FGHE,平

面ABCD与平面3CEF所成角为彳0<6<

⑴若AB=3C,求直线AH与平面BCEF所成角的余弦值(用cos。表示)；

(2)将矩形BCEF沿BF旋转6度角得到矩形BFPQ,设平面A3C。与平面BFPQ所成角为

，请证明：coscir=COS26,.

例20.（2024.全国.唐山市第H^一中学校考模拟预测）在四棱锥S-ABCD中，BC1CD,

ABCD,SA=SD=1,AB=2BC=2CD=2f平面&W_L平面ABC。.

（2）若E是棱SB上一点，且二面角S-AD-E的余弦值为求点的大小.

乙、R

例21.（2024.安徽.高三校联考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中,

AB//CD,AP±PD,AB±BC,PA=PD=DC=BC=1,AB=2,E是尸8的中点.

⑴求CE的长;

⑵设二面角尸-AD-3平面角的补角大小为。，若。,求平面BW和平面P8C夹

角余弦值的最小值.

变式37.(2024全国•高三专题练习)如图，四棱锥P-MCD的底面为正方形，底面

ABCD,M是线段尸。的中点，设平面PAD与平面P3C的交线为/.

⑴证明/〃平面BCM

(2)已知PD=")=1,。为/上的点，若尸B与平面QCD所成角的正弦值为是逅，求线段

3

QC的长.

(3)在(2)的条件下，求二面角。-CQ-M的正弦值.

变式38.(2024•江西抚州•高二临川一中校考期中)如图，直线平面a,直线平

行四边形ABCD,四棱锥P-ABCD的顶点尸在平面a上，AB=y/l,AD=6

AD±DB,ACoBD^O,OP//AQ,AQ^2,M,N分别是AQ与C£»的中点.

(1)求证：MV//平面QBC；

（2）求二面角M-C8-。的余弦值.

变式39.（2024.陕西安康.陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在四棱锥S-ABCZ）中，底

面ABC。为正方形，侧面&W为等边三角形，AB=2,SC=20.

P\

\--yD

⑴证明：平面&⑦，平面ABCD；

（2）侧棱SC上是否存在一点P（P不在端点处），使得直线8尸与平面SAC所成角的正弦值

等于巨？若存在，求出点尸的位置；若不存在，请说明理由.

7

变式40.（2024・吉林长春•高二校考期末）如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩

形，底面"CD,AD=应,OC=SD=2.点M在侧棱SC上，ZABM^60°.

（1）证明：/是侧棱SC的中点；

（2）求二面角S-AM-8的余弦值.

变式41.（2024•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）三棱柱A8C-4月G

的底面ABC是等边三角形，3C的中点为。，A。，底面ABC，&A与底面ABC所成的角

为?，点Z）在棱AA上，JIAD=,AB=2.

（1）求证：OD_L平面84GC；

（2）求二面角3-2C-A的平面角的余弦值.

变式42.（2024•黑龙江齐齐哈尔・高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）如图，三棱锥

P/8C所有棱长都等，P。，平面ABC,垂足为。.点与，G分别在平面B4C,平面抬8

内，线段B旦，CG都经过线段P。的中点D

⑴证明：BC〃平面ABC；

(2)求直线AP与平面ABG所成角的正弦值.

变式43.(2024・全国•高三专题练习)如图，已知四棱锥P-ABCE中，24,平面ABCE,

平面平面P3C,且钻=1,BC=2,8E=20,点A在平面PCE内的射影恰为

PCE的重心G.

(1)证明：BC1AB；

(2)求直线CG与平面P3C所成角的正弦值.

变式44.(2024•全国•高三专题练习)如图，平面a〃平面用，菱形ABCDu平面a,

AC-2,E为平面夕内一动点.

(1)若平面夕间的距离为3,设直线AE,CE与平面a所成的角分别为凡9,

\+小=2,求动点E在平面。内的射影厂的一个轨迹方程；

tan0tancp

(2)若点E在平面a内的射影为A,证明：直线CE与平面3DE所成的角与NB4D的大小无

关.

题型八：空间中的点不好求

例22.(2024.全国•校联考模拟预测)已知三棱锥A8C。，。在面ABC上的投影为O,。恰

好为△ABC的外心.AC=AB=4,BC=2.

⑴证明：BCXAZ)；

(2汨为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥A-8C。的体积为1,求二面角E-CO-8的余

弦值.

例23.(2024.河南•校联考模拟预测)如图，在四棱锥尸-ABCD中，AB=BC=—

2

AD=CD=AC=2/,E,尸分别为AC,CO的中点，点G在PF上，且G为三角形

PCD的重心.

⑴证明：GE〃平面P3C；

(2)若R4=PC,PALCD,四棱锥尸-ABC。的体积为3百，求直线GE与平面PCD所成

角的正弦值.

例24.(2024・湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测)如图，平行六面体

4BCD-A耳G4中，点尸在对角线2,上，A。BD=O,平面ACP〃平面AG。.

7T

(2)若四边形ABC。是边长为2的菱形，ZBAD=ZBAAl^ZDAAl^-,9=3,求二面角

P-AB-C大小的余弦值.

变式45.（2024•江西•校联考二模）正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2,E为PB中点,

AF=AAP,CG=juCP,平面EFGc平面ABCD=/,平面EFGiAD=K.

（1）证明：当平面EFG_L平面PB£＞时，平面PBD

（2）当％=〃=：时，T为P-ABCD表面上一动点（包括顶点），是否存在正数加，使得有且

仅有5个点T满足2阳TP「+月2+|7s「+因「+理『=加，若存在，求加的值，若不存

在，请说明理由.

变式46.（2024・全国•高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD-EFGH中，点M

是正方体的中心，将四棱锥BCGP绕直线CG逆时针旋转£（0＜a＜兀）后，得到四棱锥

M'-B'CGF'.

（2）是否存在a,使得直线MP，平面MBC?若存在，求出。的值；若不存在，请说明理

由.

变式47.（2024・全国•模拟预测）已知菱形ABC。中，AB=BD=1,四边形瓦组厂为正方

2兀

形，满足/ABB=《-,连接AE,AF,CE,CF.

（2）求直线AE与平面所成角的正弦值.

题型九：创新定义

例25.（2024.重庆沙坪坝.高三重庆一中校考阶段练习）魏晋时期数学家刘徽（图a）为研

究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构

成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上.如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横

两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图b）,两圆柱公共部分形成的几何体（如图c）即

得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点A,B,C,D,

P,。均在原正方体的表面上）.

（1）由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线为一个椭圆，求此椭圆的离心率;

(2)如图c,点M在椭圆弧PB上，且三棱锥A-。0c的体积为g,求二面角P-AM-C的

正弦值.

例26.(2024•辽宁沈阳・东北育才学校校考一模)蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图

1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥ABC,J-CDE,K-EFA,再

分别以AC,CE,E4为轴将ACH,CEJ,E4K分别向上翻转180。，使“，J,K三

点重合为点S所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用

曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的

曲率规定等于2兀减去蜂房多面体在该点的各个面角