2025初中数学专项复习：截长补短模型的培优综合（解析版）

【暑假提升专题。2025初中数学截长补短模型的

培优综合（解析版）

1.截长补短模型的培优综合

目录

【知识点归纳】...................................................................1

【考法一、截长型】..............................................................2

【考法二、补短型】..............................................................6

【课后练习】....................................................................11

【知识点归纳】

基本模型:

辅助线作法：（1）在N8上截取40=/。；

（2）把/C延长到点E,使48=ZE

结论：(1)因为平分NA4C,且4D=NC,所以AZMD丝AZMC(SAS)；

(2)因为2/平分/A4C,S.AE=AB,所以AZA®也AZAffi(SAS)

补充说明：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的

一种策略.截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条;

补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段.

【考法一、截长型】

例1.(基本模型)阅读题：如图1，0M平分以。为圆心任意长为半径画弧，交

射线CM,OB于C,。两点，在射线上任取一点£(点。除外)，连接CE,DE,可

证也△0DE,请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：

(1)如图2,在“3C中，NA=2NB,CD平分/ACB交4B于点D,试判断BC与/C、

4D之间的数量关系；

(2)如图3,在四边形/BCD中，4c平分/BAD,BC=CD=10,48=20,AD=8,

求“BC的面积.

例2.(与坐标系综合)已知：在AASC中，ABAC=90°,AB=AC.将AABC按如图所示

的位置放置在平面直角坐标系中，使得点40,M落在了轴的负半轴上，使得点8(%0)落在X

轴的正半轴上，点C在第二象限，并且见"满足+〃2+6〃z-8〃+25=0.

(1)由题意可知。4=,OB=(直接写答案)；

(2)求点C的坐标；

(3)的斜边BC交V轴于。，直角边ZC交X轴于£.在/C上截取/尸=C£,连接

DF.探究线段。尸、AD.BE的数量关系并证明你的结论.

例3.(培优1)已知等腰4ABC中，AB=AC,点D在直线AB上，DE〃BC,交直线AC与点

E,且BD=BC,CHXAB,垂足为H.

图1图2图3

(1)当点D在线段AB上时，如图1,求证DH=BH+DE；

(2)当点D在线段BA延长线上时，如图2,当点D在线段AB延长线上时，如图3,直接

写出。灯，BH,OE之间的数量关系，不需要证明.

例4.（培优2）（1）如图（1）,在四边形4BC。中，AB=AD,ZB+ZD=\^O°,E,尸分别

是8C,C。上的动点，且NE4F=；NBAD,求证：EF=BE+DF.

（2）如图（2）,在（1）的条件下，当点E,尸分别运动到8C,CD的延长线上时，EF,BE,DF

之间的数量关系是

图⑴

【考法二、补短型】

例1.已知在四边形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,ZBAD+ZBCD=180°,AB=BC

(1)如图1,连接BD,若NBAD=90。，AD=7,求DC的长度.

(2)如图2,点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：NPBQ=NABP

+ZQBC

(3)若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ=AP+

CQ,请写出/PBQ与/ADC的数量关系，并给出证明过程.

例2.(培优1)本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助

线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题.

图2图3

(1)如图1,在四边形48co中，AB^AD,/8+/。=180。，连接/C.

①小明发现，此时4C平分N5CO.他通过观察、实验，提出以下想法：延长C2到点E,

使得BE=CD,连接/E,证明△ABE/△4DC,从而利用全等和等腰三角形的性质可以证

明/C平分N8CD.请你参考小明的想法，写出完整的证明过程.

②如图2,当/胡。=90。时，请你判断线段/C,BC,之间的数量关系，并证明.

(2)如图3,等腰ACZ)E、等腰△48。的顶点分别为A、C,点8在线段CE上，且

ZABC+ZADC=^O°,请你判断N7X4E与ND8E的数量关系，并证明.

例3.(培优2)【模型呈现】

(1)如图1,/BAD=90°,AB=AD,过点8作3C，/C于点C,过点。作于

点E.已知BC=2,DE=\,贝ijAD=.

【模型应用】

(2)如图2,在平面直角坐标系中，点/在y轴上，点2、C在x轴上，NABO=30°,AB=2,

04=1,OB=OC.若点。在第一象限且满足4。=盘，ZDAC=90°,线段交y轴于点

G,求线段8G的长.

(3)如图3,在(2)的条件下，若在第四象限有一点E,满足NBEC=NBDC.请直接写

出BE、CE、NE之间的数量关系.

例4.(培优3)已知，NPOQ=90°,分别在边。P,上取点A,B,使。4=02,过点A

平行于的直线与过点8平行于。尸的直线相交于点C.点E,尸分别是射线0P,。。上

动点，连接CE,CF,EF.

(1)求证：OA=OB=AC=BC；

(2)如图1,当点£,厂分别在线段/。，30上，且NEC尸=45。时，请求出线段E尸，AE,

8尸之间的等量关系式；

(3)如图2,当点E,尸分别在4。，80的延长线上，且NEC/=135。时，延长/C交E尸

于点“，延长3C交E尸于点N.请猜想线段EN,NM,尸M之间的等量关系，并证明你

的结论.

【课后练习】

1.在“3c中，AE,CD为-3C的角平分线，AE,CD交于点、F.

(1)如图1,若/3=60。.

①直接写出N4FC的大小；

②求证：AC=AD+CE.

(2)若图2,若£)2=90°,求证：SAACF=S&AFD+SACEF+SADEF•

2.己知：如图所示，直线MA〃NB,NK48与的平分线交于点C,过点C作一条直

线/与两条直线M4、距分别相交于点。、E.

（D如图1,当直线/与直线M4垂直时，猜想线段BE、之间的数量关系，请直接写

出结论，不用证明；

（2）当直线/与直线不垂直，且交点。、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？

如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段/D、BE、之间还存在某种数量关系吗？

如果存在，请直接写出它们之间的数量关系；

⑶如图2,当直线与直线NS相交于点尸时，延长ZC,BC,分别交BN,于点E,

D,直线M4与直线沏所夹的锐角为多少度时，线段BE、N5之间仍满足（1）间中的

数量关系？请说明理由.

3.例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一

种策略.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式

使两条短边拼合到一起，从而解决问题.

(1)如图1,△48。是等边三角形，点。是边BC下方一点，ZBDC=120°,探索线段

DB、。。之间的数量关系.

解题思路:将△A8D绕点/逆时针旋转60。得到可得/£=N£>,CE=BD,/ABD=NACE,

ZDAE=60°,根据NA4C+N3DC=180°,可知/4RD+/NCD=180°,则ZACE+ZACD=180°,

易知△4DE是等边三角形，所以从而解决问题.

根据上述解题思路，三条线段DB、DC之间的等量关系是；

(2)如图2,必△48C中，ZBAC=90°,AB=AC.点。是边3c下方一点，ZBDC=90°,探

索三条线段ZU、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论.

4.在△48C中，AB=AC,点。与点E分别在/2、ZC边上，DE//BC,且DE=DB,点尸

与点G分别在BC、NC边上，ZFDG=|ZBDE.

(1)如图1,若/BDE=120°,。尸_LBC,点G与点C重合，BF=1,直接写出3C=_；

(2)如图2,当G在线段EC上时，探究线段AF、EG、FG的数量关系，并给予证明；

(3)如图3,当G在线段/£上时，直接写出线段BEEG、FG的数量关系：_____________

C(G)B1-f

5.如图，在等边AABC中，BD=CE,连接AD、BE交于点F.

(1)求/AFE的度数；

(2)连接FC,若CF_LAD时，求证：BD=yDC.

6.如图，^ABC中，AB=AC,NEAF=gNB4C,BF±AE于£交4尸于点R连结CF.

(1)如图1所示，当NEAF在/"4C内部时，求证：EF=BE+CF.

(2)如图2所示，当/E4F的边AE,AF分别在/A4c外部、内部时，求证：CF=3尸+23E.

7.如图，在“BC中，44=45。.

K

(1)如图1,若AC=6亚,BC=2岳,求AA8C的面积;

(2)如图2,。为外的一点，连接CD,5。且CD=C8,ZABD=ZBCD.过点C作

CE_LZC交48的延长线于点E.求证：BD+2AB=42AC-

(3)如图3,在(2)的条件下，作/P平分/C4E交CE于点P,过£点作EM_L/尸交/P

的延长线于点点K为直线/C上的一个动点，连接A/K,过Af点作〃K'_L"K,且始

终满足WMK,连接NKL若NC=4,请直接写出/K4MK，取得最小值时(/K，+〃K，)2

的值.

1.截长补短模型的培优综合

目录

【知识点归纳】...................................................................1

【考法一、截长型】..............................................................2

【考法二、补短型】..............................................................9

【课后练习】....................................................................21

【知识点归纳】

基本模型:

辅助线作法：(1)在上截取40=/。；

(2)把/C延长到点E,使4g=ZE

结论：(1)因为平分/A4C,且40=4。，所以AZM)丝AZMC(SAS)；

(2)因为2/平分/A4C,S.AE=AB,所以AZA®也AZAffi(SAS)

补充说明：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的

一种策略.截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条;

补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段.

【考法一、截长型】

例1.(基本模型)阅读题：如图1，平分//O3,以。为圆心任意长为半径画弧，交

射线CM,OB于C,。两点，在射线上任取一点£(点。除外)，连接CE,DE,可

证也△ODE,请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：

(1)如图2,在“3C中，NA=2NB,CD平分/ACB交4B于点D,试判断BC与/C、

40之间的数量关系；

(2)如图3,在四边形/BCD中，4c平分/BAD,BC=CD=10,48=20,AD=8,

求“BC的面积.

【答案】(1)BC=AC+AD；(2)AABC的面积为80.

【分析】(1)在CB上截取CE=CA,则由题意可得AD=DE,NCED=/A,再结合NA=2/B可

得DE=BE,从而得到BC=AD+AC；

(2)在AB上截取AE=AD,连结CE,过C作CF_LAB于F点，由题意可得EC=BC,从而得到

EF的长度，再由勾股定理根据EC、EF的长度求得CF的长度，最后根据面积公式可以得到

解答.

【详解】解：(1)如图，在CB上截取CE=CA,则由题意得：△CADgZkCED,

；.AD=DE,ZCED=ZA,

VZA=2ZB,；./CED=2/B,

又/CED=NB+/EDB,NB+/EDB=2/B,

.\ZEDB=ZB,；.DE=BE,

BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC；

(2)如图，在AB上截取AE=AD,连结CE,过C作CF_LAB于F点,

由题意可得：△CDA0Z\CEA,

/.EC=CD=BC=10,AE=AD=8,

VCF±AB,

CF=yjEC2-EF2=A/102-62=8>

S,Br=—ABxCF=—x20x8=80.

"c22

【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形

的判定和性质、勾股定理是解题关键.

例2.(与坐标系综合)已知：在。6c中，ABAC=90°,AB^AC.将“按如图所示

的位置放置在平面直角坐标系中，使得点40,加)落在了轴的负半轴上，使得点8(”,0)落在x

轴的正半轴上，点C在第二象限，并且加，〃满足/+〃2+6机-8〃+25=0.

(1)由题意可知。/=，OB=(直接写答案)；

(2)求点C的坐标；

(3)“BC的斜边8C交〉轴于。，直角边/C交x轴于£.在/C上截取4B=CE,连接

DF.探究线段DRAD、8E的数量关系并证明你的结论.

【答案】(1)3,4；(2)C(-3,l)；(3)BE=DF+AD,理由见解析

【分析】(1)由非负数的性质求出m,n即可；

(2)如图，作CH_Ly轴于点H,只要证明△ACH四△BAO即可解决问题；

(3)在OB上取一点K,使得OK=DH,则△CHDgZXAOK,再证明DF=EK,AD=BK即可解决

问题.

【详解】解：（1）V

m2+1+6〃z-8〃+25=0(m+3)2+(«-4)2=0,

V(m+3)2>0,(n-4)2>0,

m=-3,〃=4,

・・・/(0,—3),8(4,0)

AOA=3,OB=4,

故答案为：3,4

(2)如图，作CH_Ly轴于点H,

•.・ZCHA=ZAOB=ZCAB=90°,

.,.ZCAH+ZACH=90°,ZCAH+ZBAO=90°,

.,.ZACH=ZBAO,

VAC=BC,

.•.△ACH四△BAO,

.\AH=OB=4,CH=OA=3,

/.OH=1,

・・・C(-3,l)

(3)结论为：BE=DF+AD

理由：如图，在OB上取一点K,使得OK二DH,

VCH=OA,ZCHD=ZAOK=90°,DH=OK,

.'.△CHD^AAOK(SAS),

ACD=AK,

VAD=BK,AB=AC,

.'.△AKB^ACDA(SSS),

AZKAB=ZACD=45O,

.\ZEAK=45°=ZFCD,

VCE=AF,

/.CF=AE,

VCD=AK,

AACDF^AAKE(SAS)

ADF=KE,

VBE=EK+BK,

•'•BE=DF+AD

【点睛】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、非负

数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考

压轴题.

例3.（培优1）已知等腰4ABC中，AB=AC,点D在直线AB上，DE〃BC,交直线AC与点

E,且BD=BC,CH_LAB,垂足为H.

图1图2图3

（1）当点D在线段AB上时，如图1,求证DH=BH+DE；

（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2,当点D在线段AB延长线上时，如图3,直接

写出。灯，BH,OE之间的数量关系，不需要证明.

【答案】（1）见详解；（2）图2：DH=BH-DE,图3：DE=DH+BH

【分析】（1）在线段上截取,连接CW,CD,证明C段△£>£€1,可得

到。E=即可求解.

（2）当点。在线段氏4延长线上时，在胡的延长线上截取,连接CM,DC,

由题意可证且△。加，可得=由题意可得，即可证

△DMC%ADEC,可得。£则可得当点。在线段43延长线上时,

在线段48上截取=,连接CM,CD,由题意可证△BHC*ZXCAM,可得

NB=NCMB,由题意可得ZB=AAED,即可证ADMC名△DEC,可得DE=DM,则可得

DE=DH+BH.

【详解】解：（工）证明：在线段/〃上截取以心=8H,连接CM,CD

A

：.CM=BC

：./B=/CMB

・・・AB=AC

：.NB=ZACB

・；DEHBC

：.AADE=AB=ZAED=ZACB,NCDE=/BCD

：.ZAED=/BMC

：.ZDEC=ZDMC

•・・BD=BC

：.ABDC=ZBCD=ZEDC

•・•CD=CD

：.ACDM必CDE

・•・DM=DE

：.BH+DE=DM+HM=DH

(2)当点。在线段24延长线上时，DH=BH-DE

如图2：在24的延长线上截取MH=5",连接CM,DC

：./ABC=ZACB

・・•BD=BC

：.ZBDC=ZDCB

•・•DEHBC

:・NE=/ACB=/B=/EDB

VCH=CH,BH=MH,ZBHC=ZCHM

ABHCdCHM

：./B=/M

：.ZE=NM

VZMDC=ZB+ZDCB,ZEDC=ZBDC+ZEDB

：.ZMDC=ZEDC

又，：4E=/M,DC=CD

：./\DEC^ADMC

：.DE=DM

DH=MH-DM

：.DH=BH-DE

当点Z）在线段延长线上时，DE=DH+BH

如图3：当点。在线段ZB延长线上时，在线段45上截取=，连接。0,CD

A

图3

,:BH=HM,CH=CH,ZCHB=ZMHC=90°

：./^MHC^BHC

：.ZABC=ZBMC

AB=AC

：.ZABC=ZACB

,：BD=BC,：.ZBDC=ZBCD

•・•BCHDE

：./BCD=ZCDE,ZACB=ZAED

：./BDC=ZCDE,ABMC=ZAED,且CD=CO,/.ACDM^ACDE,DE=DM

9：DM=DH+HM

：.DE=DH+BH

【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合

理添加辅助线证全等是解题的关键.

例4.（培优2）（1）如图（1）,在四边形48co中，AB=AD,ZB+ZD=1^Q°,E,尸分别

是8C,CD上的动点，且N&4尸=；/历1。，求证：EF=BE+DF.

（2）如图（2）,在（1）的条件下，当点E,尸分别运动到3C,。的延长线上时，EF,BE,DF

之间的数量关系是.

图（1）图（2）

【答案】（1）详见解析；（2）EF=BE-DF

【分析】（1）延长ED到点G,使DG=BE,连接/G,先证明A4BE会A4DG（S/S）,得到

AE=AG,NBAE=NDAG,然后证明A4EF丝A4GF,得到£尸=尸G,根据

FG=DG+DF=BE+DF,可得EF=B£+Z）F；

（2）在8C上截取8G=D尸，连接/G,先证明△ABGgZkADF（SAS）,得到AG=AF,

/BAG=/DAF,再证明4EAG丝△EAF（SAS）,得到EG=EF,根据BG=DF,即可得EF=BE-BG=BE-DF.

【详解】（1）如图，延长ED到点G,使DG=BE,连接NG.

•••ZB+ZADF=ZADG+ZADF=180"，

:.ZB=ZADG,

XvAB=AD,BE=DG,

：.AABE2MDG(SAS),

AE=AG,ZBAE=ZDAG,

ZEAF=-ABAD,ZGAF=ZDAG+NDAF=ZBAE+ZDAF=ABAD-ZEAF=NEAF.

2

vAE=AG,ZEAF=ZGAF,AF=AF,

：.\AEF^\AGF,

EF=FG.

-：FG=DG+DF=BE+DF,

:.EF=BE+DF；

(2)EF=BE-DF.如图，在6c上截取BG=Q7"连接/G,

图(2)

•・•NB+ZADC=ZADC+ZADF=180°,/./B=ZADF，

AB=AD

在AABG和4ADF中=，.,.△ABG^AADF(SAS),

BG二DF

AAG=AF,ZBAG=ZDAF,ZBAD=2ZEAF,

ZBAG+ZGAE+ZEAD=ZEAD+ZDAF+ZEAD+ZDAF,ZGAE=ZEAF,

AG=AF

在AEAG和4EAF中=/，AAEAG^AEAF(SAS),AEG=EF,

AE=AE

VBG=DF,AEF=BE-BG=BE-DF.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键.

【考法二、补短型】

例1.已知在四边形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,ZBAD+ZBCD=180°,AB=BC

(1)如图1,连接BD,若NBAD=90。，AD=7,求DC的长度.

(2)如图2,点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：ZPBQ=ZABP

+ZQ.BC

(3)若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ=AP+

CQ,请写出/PBQ与/ADC的数量关系，并给出证明过程.

【答案】(1)OC=7；(2)见解析；(3)N尸3。=90。+；//DC,证明见解析

【分析】(1)根据已知条件得出ABOC为直角三角形，再根据HL证出放△艮1。多口与⑦，

从而证出。即可得出结论；

(2)如图2,延长DC到K,使得CK=AP,连接BK,通过证4BPA名△BCK(SAS)得到：

Nl=/2,BP=BK.然后根据SSS证明得也,从而得出

NPBQ=N2+NCBQ=N1+NCBQ,然后得出结论；

(3)如图3,在CD延长线上找一点K,使得KC=AP,连接BK,构建全等三角形：ABPA^ABCK

(SAS),由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQg△BKQ,则其对

应角相等：NPBQ=/KBQ,结合四边形的内角和是360。可以推得：ZPBQ=90°+1ZADC.

【详解】(1)证明：如图1,

ZBCD=ZBAD=90°,

在RtVBAD和RtABCD中，

jBD=BD

[AB^BC

：.RtABADmRtABCD(HL),

Z.AD=DC,

DC=7；

(2)如图2,

延长。C至点K,使得CK=4P,连接BK

ZASC+ZADC=180°,

ZBAD+ZBCD=180°,

,：NBCD+NBCK=180°,

：.ABAD=ZBCK,

AP=CK,AB=BC,

：.△BPAHBCK(SAS),

・・・/l=/2,BP=BK,

VPQ=AP+CQ,QK=CK+CQ,

・•・PQ=QK,

VBP=BK,BQ=BQ,

・・.△尸50之△BKQ(SSS),

AZPBQ=Z2+ZCBQ=Z\+ZCBQ,

.・・ZPBQ=ZABP+ZQBC；

(3)ZPBQ=90°+^ZADC；

如图3,在CD延长线上找一点K,使得KC=4P,连接BK,

,/ZABC-bZADC=180°,

・•・/BAD+/BCD=18。。,

•・•ZBAD+ZPAB=1^,

・・・ZPAB=/BCK,

在△⑼〃和中，

'AP=CK

</BAP=/BCK

AB=BC

：.LBPAm△BCK(SAS),

：.ZABP=ZCBK,BP=BK,

・・・ZPBK=/ABC,

・.・PQ=AP+CQ,

：.PQ=QK,

在△P80和△BK。中，

"BP=BK

<BQ=BQ

PQ=KQ

:CPBQABKQGSS),

：.ZPBQ=ZKBQ,

...2ZPBQ+ZPBK=2ZPBQ+/ABC=360°,

2ZPBQ+(180°-ZADC)=360°,

/尸30=90°+；//DC.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质.在应用全等三角形的判定时，要注意三角形

间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.

例2.（培优1）本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助

线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题.

（1）如图1,在四边形48co中，AB=AD,/3+/。=180。，连接ZC.

①小明发现，此时/C平分4CZ）.他通过观察、实验，提出以下想法：延长C5到点E,

使得BE=CD,连接/E,证明△/BE之从而利用全等和等腰三角形的性质可以证

明4C平分N8CD.请你参考小明的想法，写出完整的证明过程.

②如图2,当/胡。=90。时，请你判断线段/C,BC,8之间的数量关系，并证明.

（2）如图3,等腰ACDE、等腰△/助的顶点分别为A、C,点3在线段CE上，且

AABC+AADC=,请你判断ND4E与ND2E的数量关系，并证明.

【答案】（1）①见解析；②CD+BC3AC，证明见解析；（2）ZDAE=2ZDBE,证明

见解析

【分析】（1）①参考小明的想法，延长C8到点E,使得BE=CD,连接/E,证明

△4BE名LADC,从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明/C平分；

②沿用①中辅助线，延长CB到点E,使得BE=CD,连接ZE,证得直角三角形C4E,

再利用勾股定理可求得ZC,BC,CD之间的数量关系；

（2）类比（1）中证明的思路，延长CD至尸，使得DF=CB,连,，证明尸、

“CDmAACE,再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找到

ZDAE与ZDBE的数量关系.

【详解】（1）如图，延长CB到点E,使得BE=CD,连接NE.

VNADC+NABC=180°,NABE+NABC=180°,

ZADC=ZABE

在△4DC与中，

AD=AB

•：＜ZADC=ZABE

CD=EB

AADC^AABE(SAS)

ZACD=ZAEB,AC=AE

NACB=ZAEB

ZACD=ZACB.

二./C平分Z8CZ)

(2)CD+BC=6AC

证明：如图，延长C3到点£,使得BE=CD,连接NE.

由(1)知，△ADCaABE(SAS)

:./DAC=/BAE,AC=AE

•・・/BAD=ZDAC+/CAB=90°

/CAE=/BAE+/CAB=ZDAC+/CAB=/BAD=90°

在直角三角形C4£中，ZCAE=90°

:.CE=^JAC2+AE2=6AC

:.CD+BC=42AC

(3)ZDAE=2ZDBE

证明：如图，延长S至尸，使得。尸=CB,连4月，

由(1)知，^ABC^AADF(SAS)

:.AF=AC,/ACB=/F

:.ZACD=ZF

:.ZACD=NACE

在△4。。与/\，。£中，

CD=CE

•・・<ZACD=ZACE

AC=AC

LACD2AACE(SAS)

AD=AE

AD=AE=AB

AADB=ZABD,ZAEB=ZABE

/.ZBAD=1SO0-2ZADBfZBAE=1SO0-2ZABE,

•・・/DAE=360。—/BAD-/BAE

/.NDAE=360。—(180。—2/力。5)—(180。—2ZABE)=2ZADB+2/ABE=2ZDBE

【点睛】本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质与判

定.综合性较强.

例3.（培优2）【模型呈现】

图1图2

(1)如图1,ABAD=90°,AB=AD,过点8作BC1/C于点C,过点。作于

点及已知3C=2,DE=1,贝U4D=

【模型应用】

⑵如图2,在平面直角坐标系中，点/在y轴上，点5、C在x轴上，ZABO=30°,AB=2,

04=1,OB=OC.若点。在第一象限且满足4。=",/CMC=90。，线段3。交y轴于点

G,求线段8G的长.

(3)如图3,在（2）的条件下，若在第四象限有一点£,满足NBEC=ZBDC.请直接写

出BE、CE、/E之间的数量关系.

【答案】（1）5(2)&,(3)BE+CE=y/3AE

【分析】（1）易证VN8C到D/E（SAS）,进而有北=BC=2,由勾股定理

AD=4AE2+DE2=V22+l2=V5，问题随之得解;

（2）根据已知可得“8C是等腰三角形，可求出N8/C=120。，进而得出

ABAD=360°-ABAC-ACAD=150°,得出/ABD=/4DB=15。，可得

ZGBO=ZABD+ZABO=4J,即有/G80=/3G0=45°,在等腰直角三角形△80G即可

求出3G；

（3）由（2）可知：NADB=15。，可得/8OC=41D8+//DC=60。，进而有

ZBEC=ZBDC=60P,延长班至尸，使.BF=CE,连接4/，过/点作_L£厂于Af点,

根据NCMB=NCMC=60。，即有NR4C=120。，进一步有NR4C+4BEC=180。，即可证明

NABF=ZACE,接着证明VN3厂名VNCE（SAS）,问题随之得解.

【详解】解：(1)VABAD^90°,BC1AC,DE1AC,

：.ZC=ZE=90°,NB+NBAC=90°,NDAE+NBAC=90°,

：.NB=NDAE,

又：AB=AD,

：.VABCDAE(SAS),

/.AE=BC=2,

・••在中，AD=y]AE2+DE2=722+12=75，

故答案为：垂＞:

（2）,：OB=OC,OALBC,

AB=AC=2,

：.ZABO=ZACO=30°,

：.ZCAB=180。—2x30。=120。，

・・・/DAB=360°-ABAC-/CAD=360°-120°-90°=l50°,

,/AD=AC,

：.AD=AB,

180。—〃/。

：./ABD=/ADB=

2

・・・ZGBO=ZABD+ZABO=4S,

JBO=OG,

VZABO=30°fZAOB=90°f

AO=-AB=1,

2

BO=yjAB2—AO2=-^22—I2=V3，

OG=6

，在RtZXBOG中，BG=YJBO2+OG2=V6；

（3）BE+CE=6AE,理由如下：

由（2）可知：ZADB=15°,

VAD=AC,ADAC=90°f

：.ZADC=ZACD=45°,

JZBDC=ZADB+ZADC=60°,

・・・/BEC=/BDC=60P,

延长£5至尸，使BF=CE,连接肝，过/点作⑷/_LM于M点，如图,

ZBAC=120°,

NBAC+NBEC=180。,

.-.ZACE+ZABE=18CP,

vZABF+ZABE=180°f

；./ABF=/ACE,

又•；AB=AC,BF=CE,

・・・VZ5尸到ZCE(SAS),

；.AF=AE,/BAF=/CAE,

；"FAE=/BAC=12(T,

・•.ZF=ZAEF=30°,

AMLEF,AF=AE,

：.AM=-AE,ME=-EF,

22

__________h

ME=>jAE2-AM2=—AE

2

；.FE=MAE,

■■BE+CE=BE+BF=FE=y/3AE,

BE+CE=^>AE.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等

腰直角三角形的判定与性质，含30。角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

例4.(培优3)已知，ZPOQ=90°,分别在边。尸，。。上取点A,B,使。4=08,过点A

平行于。。的直线与过点3平行于。尸的直线相交于点C.点E,尸分别是射线。尸，。。上

动点，连接CE,CF,EF.

(1)求证：OA=OB=AC=BC；

(2)如图1,当点E,尸分别在线段/。，80上，且NECF=45°时，请求出线段E/，AE,

3尸之间的等量关系式；

(3)如图2,当点E,尸分别在/。，30的延长线上，且/EC尸=135°时，延长ZC交E尸

于点M,延长3c交E尸于点N.请猜想线段EN,NM,■之间的等量关系，并证明你

的结论.

【答案】（1）见解析；（2）EF=AE+BF-（3）MN2=EN2+FM2,见解析

【分析】（1）连接通过/尸。。=90。，O/=OB得到"08为等腰直角三角形，进而得

到NOAB=AOBA=45。，根据过点A平行于OQ的直线与过点B平行于OP的直线相交于点

C,可推出NCA4=45。，ABAC=45°,最后通过证明“03空,可以得出结论；

（2）在射线4P上取点。，使=连接CD,通过证明AC4D经VC5尸，得到CO=C尸，

ZACD=NBCF,再结合ZECF=45°,ZACB=900推导证明AECDgAECF,得到ED=EF,

最后等量代换线段即可求解；

（3）延长/。到点。，使得4D=BF,连接CD,通过证明AC/。乌VCB尸，得到CD=CF,

ZACD=ZBCF,再结合NECF=135°，推导证明AECD0△ECF,得至I」ZD=/CbM,根

据ND=/CF8,等量代换可知7M=/CF8,又因为NC7/O。，推出=

进而得到九武=儿加，同理可证CN=£N,最后根据勾股定理即可求解.

【详解】解：（1）证明：连接

•••ZPOQ=90°,OA=OB,

"08为等腰直角三角形，

NOAB=AOBA=45°,

又BCHOP,且ZPOQ=90°,

BCLOQ,

ZCBF=90°,

ZCBA=45°,

同理，ZBAC=45",

在44Q8与△/CB中

ZOAB=ZCAB

<AB=AB,

AOBA=ZCBF

"OBg△NC3(ASA),

ZAOB=ZACB=90°,OA=OB=AC=BC

(2)如图1,在射线/尸上取点。，使8尸，连接CD.

在△C4O与VCS厂中

CA=CB

</CAD=/CBF,

AD=BF

/.^CAD^NCBF(SAS),

•.CD=CF,ZACD=ZBCF,

ZECF=45°,/ACB=90°,

丁./ACE+NBCF=45°,

•••ZACE+ZACD=/ECD=45°,

ZECD=ZECF,

在AECD与A£CF中

CD=CF

<ZECD=ZECF

CE=CE

，^ECD会/\ECF("S),

ED=EF,

又=ED=AD+AE=BF+AE,

EF=AE+BF.

(3)MN2=EN2+FM2.证明如下：

如图2,延长/。到点。，使得=连接CO.

丁./CAD=/CBF=90°,

在△C/。与VCB厂中

CA=CB

</CAD=/CBF,

AD=BF

「•^CAD^VCBF(SAS),

/.CD=CF,ZACD=ZBCF,

ZACD+ZDCB=90°,

二.ZBCF+/DCB=90°=/DCF,

ZFCD=/BCA=90°，

NEC尸=135°,

，ZECD=360°-90°-135°=135°，

ZECF=ZECD,

在AECD与△ECF中

EC=EC

<ZECD=ZECF,

CD=CF

AECD也/\ECF(取S),

/D=ZCFM,

KAD名NCBF,

ZD=ZCFB,

ZCFM=ACFB,

AC//OQ,

ZMCF=ZCFB,

ZCFM=ZMCF,

MC=MF,

同理可证：CN=EN,

・•・在比中，由勾股定理得：MN2=CN2+CM2=EN2+FM2.

【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理以及正方形的有关知识，通过

添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键.

【课后练习】

1.在“3c中，AE,CD为-3C的角平分线，AE,CD交于点、F.

(1)如图1,若/3=60。.

①直接写出N4FC的大小；

②求证：AC=AD+CE.

(2)若图2,若£)2=90°,求证：SAACF=S&AFD+SACEF+SADEF•

【答案】(1)①120。；②见解析；(2)见解析

【分析】(1)①综合三角形的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；②利用“截长补

短”思想，在4C上取点区使得4D=AH,从而通过全等证得再结合①的

结论进一步证明从而通过全等证得CE=CH,即可得出结论；

(2)同样利用“截长补短"思想，在/C上取S、T两点，使得/D=/S,CE=CT,连接即，

SE,TF,TE,可通过全等直接先对根。尸和尸的面积进行转换，然后结合(1)中的结

论，证明即可对△£>£尸的面积进行转换，从而得出结论.

【详解】(1)①解：；NB=60°,

o

,Z5^C+ZJBC4=180-Z5=120°,

；4E平分NB4C,C。平分/8C4,

ZFAC=|ABAC,ZFCA=^-ZBCA,

：./E4C+NFCA=g(/BAC+NBC4)=yxl20°=60°,

ZAFC=180°-(ZE4C+ZFCA)=120°；

②证：如图所示，在/C上取点打，使得/£>=/〃，

在ZkAD尸和△/"F中，

AD=AH

<ZDAF=ZHAF

AF=AF

：./^ADF^AAHF(SAS),

：.ZAFD=ZAFH,

:NAFD=NCFE,

，NAFH=NCFE,

由①可知，ZAFC=120\

：.ZCFE=180°-120°=60°,

：・AFH=/CFE=6。。,

：.ZCFH=6Q°,

即：ZCFH=ZCFE,

在△CF//和△CFE中，

ZCFH=ZCFE

<CF=CF

ZHCF=ZECF

：.△CFHQACFE〈ASA),

：.CE=CH,

■:AC=AH+CH,

.\AC=AD+CE；

(2)证：如图所示，在4c上取S、T两点，使得CE=CT,连接S厂，SE,TF,TE,

平分NA4C,

・•・ZDAF=ZSAFf

在△4。/和ZUSF中,

AD=AS

ZDAF=ZSAF

AF=AF

：.AADFmAASF(SAS),

同理可证△AED/ZXZES,ACEF^ACTF,

:.DF;SF,DE=SE,FT=FE,

：.△DEFQASEF,

vVV—VVV

U"DF2Azs尸»°ACEF-°AC7F'3DEFU&SEF,

S.ZAFD=ZAFS,/CFE=/CFT,

•・•ZAFD=ZCFE,

：.NAFD=ZAFS=ZCFE=ZCFT,

由（1）可得：Z^FC=90°+yZ5=135°,

/.NCFE=180°-135°=45°,

工NAFD=ZAFS=ZCFE=ZCFT=45°,

ZCFS=135°-ZAFS=90°,

：.CF.LSF,

又"：FT=FE,CT=CE,

・・・C/垂直平分ER

即：CFLET,

：.SF//ET,

•c—c

,,QASFT-JASEF'

•V—V

,•n^DEF-JSFT

•S^ACF=S、AFS+S、CFT+S-spr，

••^/SACF=SAAFD+SACEF+S&DEF•

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基

本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键.

2.已知：如图所示，直线M4〃NS,与/Na4的平分线交于点C,过点C作一条直

线/与两条直线M4、即分别相交于点。、E.

(1)如图1,