2025高考数学复习必刷题：空间向量及其应用（学生版）

第54讲空间向量及其应用

知识梳理

知识点一：空间向量及其加减运算

(1)空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或

模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量z的起点是

A,终点是B,则向量［也可以记作荏，其模记为忖或同.

(2)零向量与单位向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A与终点8重合时，

AB=O.

模为1的向量称为单位向量.

(3)相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向

量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向

量.

与向量Z长度相等而方向相反的向量，称为Z的相反向量，记为-

(4)空间向量的加法和减法运算

®OC=OA+OB=a+b,BA=OA-OB=a-b.如图所示.

②空间向量的加法运算满足交换律及结合律

—>—»­►—*/―»—»\—――1/—»—>\

a+b=b+a,la+b\+c=a+\b+c\

知识点二：空间向量的数乘运算

(1)数乘运算

实数力与空间向量Z的乘积力2称为向量的数乘运算.当彳>0时，彳£与向量£方向相

同；当2<0时，向量2a与向量。方向相反.的长度是。的长度的|川倍.

(2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

+b^—Aa+Ab,儿

(3)共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量

或平行向量，。平行于办，记作。/区.

(4)共线向量定理

对空间中任意两个向量z,加仿片。)，z/区的充要条件是存在实数彳，使z=4.

(5)直线的方向向量

如图8-153所示，/为经过已知点A且平行于已知非零向量3的直线.对空间任意一点

O,点尸在直线/上的充要条件是存在实数f,使丽=函+启①，其中向量/叫做直线/

的方向向量，在/上取丽=£,则式①可化为

赤=次+派=西+«砺-砺)=(1T)函+砺②

①和②都称为空间直线的向量表达式，当/=工，即点尸是线段钻的中点时，

2

OP=^(OA+OB),此式叫做线段AB的中点公式.

(6)共面向量

如图8-154所示，已知平面a与向量a,作Q4=a,如果直线Q4平行于平面a或在平

面a内，则说明向量2平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

(7)共面向量定理

如果两个向量£,方不共线，那么向量万与向量加共面的充要条件是存在唯一的有

序实数对（X,y）,^p=xa+yb.

推论：①空间一点尸位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对（x,y）,使

AP=xAB+yAC；或对空间任意一点O,有丽-西=%通+'正，该式称为空间平面

ABC的向量表达式.

②已知空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,满足向量关系式

OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=l）的点P与点A,B,C共面；反之也成立.

知识点三：空间向量的数量积运算

（1）两向量夹角

已知两个非零向量Z，b,在空间任取一点。，作函=£,OB=b,则NAO6叫做向

量〃，B的夹角，记作（痴），通常规定〈乃，如果那么向量a,B互

相垂直，记作

（2）数量积定义

已知两个非零向量3,b,则同Wcos（£,®叫做£,B的数量积，记作即

Z•石=WWcos（£,B1.零向量与任何向量的数量积为o,特别地，7Z=同2.

（3）空间向量的数量积满足的运算律：

（彳々）.万=4（〃.6），a-b=b-a（交换律）；

a-（b+cj=a-b+a-c（分配律）.

知识点四：空间向量的坐标运算及应用

（1）设。=3，。2，。3），5=伍也也），贝!I〃+■=（%+%。2+、2,。3+〃）；

a-b=^ax-b1,a2-b2,a3-b3^；

Aa=（Xq,4a2,2tz3）；

a-b=+a2b2+a3b3；

a//b（Z?w0）=>4=劝］,a2=Ab2,4=Ab3；

〃_LB=>%bi+a2b2+a3b3=0.

（2）设A（Xi，%,zJ,B（x2,y2,z2）,则A5=O5—OA=（%2-玉,%-必且一zj.

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标

减起点的坐标.

（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.

①已知〃=，石二伯也,&），贝=J0；+42+%2；

W==也2+%2+42；

a-b=贴1+a2b2+a3b3；

afy+a2b2+a3b3

J。；+%2+a2J42+a2+壕

②已知A（M，M，ZJ,B（X2,^2,Z2）,贝”颁卜J（石一%2）2+（%—%）2+（4—Z2）2,

或者d（A,5）=|丽卜其中d（A,8）表示A与3两点间的距离，这就是空间两点的距离

公式.

知识点五：法向量的求解与简单应用

（1）平面的法向量：

如果表示向量3的有向线段所在直线垂直于平面。，则称这个向量垂直于平面a,记

作1_La,如果3_La,那么向量[叫做平面a的法向量.

几点注意：

①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量3是平面的

法向量，向量正是与平面平行或在平面内，则有正•£=（）.

第一步：写出平面内两个不平行的向£=（%，必，zj,B=（%2，%仁）；

3一旧、田n〃•〃=（）[xx+yy,+zz.=0

果二步：那么平面法向量孔=（%，y,z）,满足<=><].

n-b=0[-^2+yy2+zz2=0

（2）判定直线、平面间的位置关系

①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线〃，b的方向向量分别为％,b.

若〃〃5,即a=丸B，则Q〃b；

若a_l_6,即q.1=0,则qj_6.

②直线与平面的位置关系：直线/的方向向量为九平面a的法向量为为，且

若方〃为，即a=2",则/J_a；

若a_L",即a"=0,则石〃ar.

(3)平面与平面的位置关系

平面a的法向量为4,平面夕的法向量为质.

若用〃为2，即4=4%，则a〃,；若用_1_2，即％•%=(),则aJ,£.

知识点六：空间角公式.

(1)异面直线所成角公式：设Z,B分别为异面直线/「6上的方向向量，。为异面

a-b

直线所成角的大小，贝！Jcose^cos,，矶=耶一

(2)线面角公式：设/为平面a的斜线，Z为/的方向向量，3为平面a的法向量，6

为

I/ci-n

I与a所成角的大小,则sin6=cos(a,〃)=可一.

(3)二面角公式：

设4,%分别为平面。，£的法向量，二面角的大小为6，贝11。=(1卮)或

兀-®E(需要根据具体情况判断相等或互补)，其中|cosO|=*l.

知识点七：空间中的距离

求解空间中的距离

（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量

的正射影性质直接计算.

如图，设两条异面直线。，6的公垂线的方向向量为为，这时分别在a,8上任取A,B

两点，则向量在河上的正射影长就是两条异面直线a,匕的距离.则1=|荏.二|=也之

l«l\n\

即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量

积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.

（2）点到平面的距离

A为平面a外一点（如图），为为平面a的法向量，过A作平面a的斜线AB及垂线AH.

--——.——.——.—.IAB-nIIAB-nI

\AH\=\AB\-sin0^AB\-\cos<AB,n>\=\AB\',~^=',,'

M-Hlnl

,\AB-n\

cl——

\n\

【解题方法总结】

用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直

的问题，也可以求空间角和距离.因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求

解，且其解法一般都比较简单.

用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些

点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除

要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基

底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底

向量表示，并进行向量运算.

必考题型全归纳

题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算

例1.（2024•全国•高三专题练习）下列命题中是假命题的是（）

A.任意向量与它的相反向量不相等

B.和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小

C.如果同=0,则”0

D.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

例2.（2024•全国•高三对口高考）如图所示，在平行六面体ABCD-AAGA中，M为

4G与耳。的交点，若而=2，AD=b，羽="，贝I面7=（）

c工一17-*

B.一ClH—〃

22

cL1r]-1T*一

C.——a——b+cD.——a+—b+c

2222

例3.（2024•福建福州•福建省福州第一中学校考三模）在三棱锥PABC中，点。为

△ABC的重心，点，E,尸分别为侧棱以，PB,PC的中点，若讶=/，b=CE，

"丽，则加=（）

11-111-121-222-2

A.-a+—b+—cB.——a——b——cC.——a——b——cD.—a+—b+—c

333333333333

变式1.（2024•高三课时练习）如图.空间四边形O4BC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M

在。4上，且满足两'=2麻，点N为的中点，则加=（）

o

1■*2；1-*2-2r1-

A.—a——b+—cB.—a+—b——c

232332

1一1一1一2-171一

C.—a+—b——cD.——a+—b+—c

222322

变式2.（2024•湖南长沙•高三校联考期中）如图，M在四面体OA8C的棱8C的中点,

点N在线段。/上,S.MN=-OM,设OB=b，反金，则下列向量与正相等

3

的向量是（）

一1一1--1-1-

A.-a+—b+—cB.ClH—bT—C

3333

--ly1-cf二1一

C.—QH—b~\—C

6666

变式3.（2024•全国•高三专题练习）如图，在四面体O-ABC中，。是的重心,

G是。G|上的一点，且OG=2GG],若加=龙西+丁砺+z诙，则（x,y,z）为（）

A.(―)

C.(聂力口飞■）

变式4.（2024•全国•高三专题练习）已知在空间单位正交基底下，,11｝是空间的一组

单位正交基底，,+瓦£-瓦可是空间的另一组基底.若向量万在基底亚,瓦弓下的坐标为

（4,2,3）,则向量，在基底加+反£-£2｝下的坐标为（）

A.（4,0,3）B.（1,2,3）C.（3,1,3）D.（2,1,3）

【解题方法总结】

空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可

以类比平面向量的运算法则.

题型二：空间共线向量定理的应用

例4.（2024•全国•高三专题练习）若空间中任意四点O,A,B,尸满足

OP=mOA+nOB其中机+w=l,则（）

A.PEABB.PEAB

C.点尸可能在直线上D.以上都不对

例5.（2024•全国•高三专题练习）已知％=（2,-3,1）,则下列向量中与2平行的是（）

A.（1,1,1）B.（T6,-2）C.（2,-3,-1）D.（-2,-3,1）

例6.（2024•全国•高三专题练习）向量2,方分别是直线4，4的方向向量，且

«=（1,3,5）,B=（尤,y,2）,若4〃3贝ij（）

13

A.x=—,y=~B.x=3,y=15

〃26-315

C.x=—,y=—D.x=—,y=—

5522

变式5.（2024•全国•高三专题练习）若点A（2,—5,—1）,,。（祖+3,—3,〃）在

同一条直线上，则根一几=（）

A.21B.4C.-4D.10

变式6.（2024•全国•高三专题练习）已知£=（2%,1,3）,b=（l,3,9）,如果％与石为

共线向量，则1=（）

A.1B.-C.—D.一

236

变式7.（2024•浙江•高三专题练习）若4根+1,1,3）、BQm,n,m—2n）、

。徵+3,〃—3,9）三点共线,则加+"=（）.

A.0

B.1

C.2

D.3

【解题方法总结】

空间共线向量定理：a//b{b^O）^a=Ab.

利用此定理可解决立体几何中的平行问题.

题型三：空间向量的数量积运算

例7.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知向量。5=（-1,0,2）,则下列

正确的是（）

A.o+^=（0,1,3）B.同=6C.a?b2

—JT

D.〈凡6〉=（

例8.（多选题）（2024•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨七十三中校考期中）如图，在平行六

面体ABCD-A耳CA中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6,且彼此夹角都是60。，

下列说法中不正确的是（）

B.AC,1BD

C.向量前与招夹角是60°

D.向量西与衣所成角的余弦值为亚

3

例9.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）四面体ABC。中，AB±BD,CD±BD,

AB=3,BD=2,CD=4,平面ABD与平面BCD的夹角为三，则AC的值可能为（）

A.V17B.723C.735D.741

变式8.（多选题）（2024•校考模拟预测）在平行六面体ABCO-A与6。中，已知

AB=AD=AAl=l,Z^AB=ZA^AD=ZBAD=60°,贝Ij（）

A.直线AC与所成的角为90。

B.线段AC的长度为行

C.直线A。与Bq所成的角为90。

D.直线AC与平面A3C。所成角的正弦值为诿

3

变式9.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）空间直角坐标系中，已知。（0,0,0）,

m=（-1,2,1）,OB=（-1,2,-1）,DC=（2,3,-1）,则（）

A.网=2

B.AASC是等腰直角三角形

c.与两平行的单位向量的坐标为恪厂半，一,］或一恪，乎，手

I636J636J

「242、

D.0A在历方向上的投影向量的坐标为

变式10.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知空间向量商=（2,-1,3）,

B=（-4,2,X）,下列说法正确的是（）

A.若d，则x=1

B.若3商+5=(2,-1,10),贝ijx=l

1一

C.若己在5上的投影向量为§6,则x=4

D.若M与石夹角为锐角，则xe（；,+8]

变式11.（2024•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体

中，AD=BD=AAi=},ADJ.BD,ZA,AB=45°,ZA,AD=60°,则线

段BA的长为

变式12.（2024•全国•高三专题练习）已知空间向量4=（1,1,0）,5=（-1,0,2）,则日在方

方向上的投影向量为.

变式13.（2024•全国•高三专题练习）已知MN是棱长为2的正方体ABCQ-A8|C|R内

切球的一条直径，则丽・丽=.

变式14.（2024•全国•高三对口高考）已知向量1=（1,2,3）,石=（一2,-4,一6）,同=内，若

（a+B）•不=7,则〈扇2=.

变式15.（2024•上海•高三专题练习）已知空间向量4=（1,2,3）,9=（2,-2,0）,

c=（l,lM）,若e，（2万+b）,贝1]4=.

变式16.（2024•上海•高三专题练习）已知向量2=（0,1,0）,向量分=（1,1,0）,则£与万的

夹角的大小为.

【解题方法总结】

a-B=|a||&|cos（a,b^=+yxy2+Z]Z2；

求模长时，可根据M=7?=1x；+yj+z：；

z、a-b

求空间向量夹角时，可先求其余弦值COSG，B）=F=.要判断空间两向量垂直时，可以

求两向量的数量积是否为0,即Z%=0oaJ_B.

为锐角=＞。•加＞0;（a,3为钝角=＞。/＜0.由此，通常通过计算a•各的值来判断

两向量夹角是锐角还是钝角.

题型四：证明三点共线

例10.（2024•全国•高三专题练习）在四面体。4BC中，点M,N分别为。4、BC的中

点，^W=^OA+xOB+yOC,且G、M、N三点共线，贝|x+y=.

例11.（2024•全国•高三专题练习）已知点A（1,2,3）,B（0,1,2）,C（-1,0,

九），若A,B,C三点共线，则彳=_.

例12.（2024•全国•高三专题练习）如图，在平行六面体ABCD-4B1GA中，

QC=2EC,~^C=3FC.

⑴求证：A、尸、E三点共线;

⑵若点G是平行四边形的中心，求证：D、F、G三点共线.

变式17.（2024•全国•高三专题练习）在长方体ABCD-AgC.中，/为。2的中点,

N在AC上，且AN:NC=2:1,E为3M的中点.求证：4，E,N三点共线.

【解题方法总结】

先构造共起点的向量题，AC,然后证明存在非零实数彳，使得荏=2而.

题型五：证明多点共面的方法

例13.（2024•全国•高三专题练习）下面关于空间向量的说法正确的是（）

A.若向量平行，则所在直线平行

B.若向量所在直线是异面直线，则不共面

C.若A,B,C,。四点不共面，则向量前，也不共面

D.若A,B,C,。四点不共面，则向量初，AC，而不共面

例14.（2024•江苏常州•高三校考阶段练习）以下四组向量在同一平面的是（）

A.（1,1,0）、（0,1,1）、（1,0,1）B.（3,0,0）、（1,1,2）、（2,2,4）

C.（1,2,3）、（1,3,2）、（2,3,1）D.（1,0,0）、（0,0,2）、（0,3,0）

例15.（2024•全国•高三对口高考）已知济w（2,-L3）石=（—1,4,—2）忑=（7,5,乃,若

三三向量共面，则几等于（）

62r八-64r65

A.—B.9C.—D.—

777

变式18.（2024•江西•校联考二模）在四棱锥尸-ASCD中，棱长为2的侧棱尸£）垂直底

面边长为2的正方形ABC。，M为棱尸D的中点，过直线的平面a分别与侧棱上4、

PC相交于点£、F,当尸石=尸尸时，截面MEM的面积为（）

A.2亚B.2C.30D.3

—.3—­1—­—.

变式19.（2024•全国•高三专题练习）。为空间任意一点，^OP=-OA+-OB+tOC,

48

若A,B,C,尸四点共面，贝心=（）

A.1B.gC.—D.一

284

变式20.（2024•全国•高三专题练习）已知空间A、B、C、。四点共面，且其中任意

三点均不共线，设P为空间中任意一点，若丽=5丽-4而+4无，贝＞14=（）

A.2B.-2C.1D.-1

变式21.（2024•广东广州•高三执信中学校考阶段练习）如图所示的木质正四棱锥模型

P-ABCD,过点A作一个平面分别交尸C尸。于点E,F,G,若P£F!=［3，名PF=1则

PB5PC2

变式22.（2024•甘肃平凉•高三统考期中）对于空间任意一点。和不共线的三点

一一■1—■1--1―.

A,B,C,有如下关系：OP=—OA+—O2+—OC,贝ij（）

632

A.。A,5c四点必共面B.P,AB,C四点必共面

C.O,尸,&C四点必共面D.O,P,A&C五点必共面

变式23.（2024•全国•高三专题练习）已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一

点。，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）

A.OM=OA+OB+OCB.W=1oA+1oB+|oC

C.OM=OA+^OB+^OCD.OM=2OA-OB-OC

变式24.（2024•全国•高三专题练习）如图，正四棱锥尸-ABCD的底面边长和高均为

⑴若点M是线段PC上的点，B.PM=^PC,判断点M是否在平面3内，并证明你的

结论;

(2)求直线尸3与平面AEF所成角的正弦值.

变式25.(2024•全国•高三专题练习)如图，在几何体A2CDE中，AABC,ABCD,△

COE均为边长为2的等边三角形，平面42C_L平面BCD,平面。CELL平面BCD.求证：

A,B,D,E四点共面；

变式26.(2024•全国•高三专题练习)如图，四边形ABE尸为正方形，若平面ABCD工平

面ABE。AD//BC,AD1DC,AD=2DC=2BC.

⑴求二面角A-CF-D的余弦值;

(2)判断点。与平面CEP的位置关系，并说明理由.

变式27.（2024•全国•高三专题练习）如图，在边长为3的正方体ABCD-AgC.中,

点P,Q,R分别在棱AB,AG,2。上，且A尸=4。=。氏=1.

（1）求点。到平面尸。尺的距离；

AN

（2）若平面尸。尺与线段AG的交点为N,求大的值.

变式28.（2024•四川成都•石室中学校考模拟预测）如图四棱锥

P-ABCD,ZABC=90°,AD//BC,S.AD=AB=-BC=2,平面PCD_L平面ABC。，且

2

△PDC是以/DPC为直角的等腰直角三角形，其中E为棱PC的中点，点尸在棱PD上，

且尸尸=2M>.

⑴求证：AB,瓦下四点共面;

【解题方法总结】

要证明多点（如A,B,C,D）共面，可使用以下方法解题.

先作出从同一点出发的三个向量（如荏，AC,AD）,然后证明存在两个实数

x,y,使得A。=xAB+yAC.

题型六：证明直线和直线平行

例16.（2024•高二课时练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD为矩形，

尸。，平面ABC。，E为CP的中点，N为。E的中点，DM=-DB,DA=DP=l,CD=2,

4

求证：MNHAP.

例17.（2024•高二课时练习）已知棱长为1的正方体OABC-0凶耳G在空间直角坐标系

中的位置如图所示，。,及己6分别为棱&4,4月，8。,。。的中点，求证：DE//GF.

例18.（2024•高二课时练习）如图，四边形43CD和A8EF都是平行四边形，且不共

面，M,N分别是AC,8尸的中点，求证：CE//MN.

变式29.（2024•全国•高三专题练习）在四棱锥尸-ABCD中，平面ABCZ）_L平面尸CZ）,

底面ABC。为梯形.AB//CD,AD1.DC,且AB=1,AD=DC=DP=2,

ZPDC=120°.若/是棱总的中点，则对于棱BC上是否存在一点凡使得ME与尸C平

行.

【解题方法总结】

将证线线平行转化为证两向量共线.设是两条不重合的直线，它们的方向向量分

别为贝!!a//Bo。=X石(XeR,2w0).

题型七：证明直线和平面平行

例19.(2024•全国•高三专题练习)在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利

于采光，其中一角如图所示，为多面体ABCDE-A耳GQ&，ABYAE,AE//BC,

AB//ED,A41_L底面ABCDE,四边形同用6〃是边长为2的正方形且平行于底面,

AB//AtBt,RE,gB的中点分别为尸，G,AB=AE=2DE=2BC=4,AAt=l.

CB

⑴证明：/G〃平面ac。；

例20.（2024•广东潮州•高三校考阶段练习）如图，四棱锥尸-ABCD中，底面为

矩形，上4,平面ABC。，E为尸。的中点.

（1）证明：PB〃平面AEC

例21.（2024•天津滨海新•高三校考期中）如图，ADHBC且AD=2BC,ADLCD,

EG//AD且EG=AD,CD//FG且CD=2FG,DG_L平面ABC。，DA=DC=DG=2.

⑴若M为C尸的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；

变式30.（2024•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CD为矩

形，平面PAD_L平面ABCD,ADLMN,AB=2,AD=AP=4,M,N分别是BC,

尸£）的中点.

（1）求证：MN〃平面PLB；

变式31.（2024•陕西汉中•校联考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCZ）中，底面ABC。

为正方形，24,平面ABC。，E为的中点，PA=AB=2.

（1）求证：尸8〃平面AEC；

变式32.（2024•全国•高三对口高考）如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯

形，AB//CD,ZDAB=60°,/C_L平面ABC£>,AEYBD,CB=CD=CF.

F

⑴求二面角尸—。的余弦值；

Ap

⑵在线段A8（含端点）上，是否存在一点P,使得吓〃平面AED.若存在，求出口的

AB

值；若不存在，请说明理由.

【解题方法总结】

（1）利用共面向量定理.设为平面。内不共线的两个向量，证明存在两个实数

x,y,使得l=xa+yb,则///«■.

（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行.

（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）.

题型八：证明平面与平面平行

例22.（2024•全国•高一专题练习）如图所示，正四棱ABC。-44GA的底面边长1,

侧棱长4,中点为E,CG中点为F.求证：平面瓦汨//平面与R尸.

例23.（2024•高二课时练习）如图，在直四棱柱ABCD-A旦G，中，底面ABCD为等腰

梯形，AB//CD,AB=4,BC=CD=2,4四=2,尸是棱AB的中点.求证：平面

A41AW/平面尸Cq.

例24.（2024•高二课时练习）如图所示，平面平面ABC。，四边形ABC。为正方

形，是直角三角形，S.PA=AD=2,E,F,G分别是线段抬，PD,C。的中点，

求证：平面EFG〃平面P8C.

变式33.（2024•高二课时练习）在正方体ABC。-4月£。中，M,N,P分别是

CG，8C，GQ的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面初VP〃平面4BQ.

【解题方法总结】

(1)证明两平面内有两条相交直线分别平行.

(2)转化为证两平面的法向量平行(常用此方法).

题型九：证明直线与直线垂直

例25.(2024•山西太原•高二统考期中)如图，在平行六面体ABC。-4玛6。中,

AB=AD=4,AAi=5,^DAB=ZDA\=ZBA\=60".

⑴求AG的长;

⑵求证：AG-LBD.

例26.（2024•北京海淀•高二校考期中）已知三棱锥尸-ABC（如图1）的平面展开图

（如图2）中，四边形ABCD为边长为友的正方形，A恒和△3CF均为正三角形.在三

棱锥P—ABC中：

P

（1）求点A到平面8C尸的距离；

⑵若点M在棱PC上，满足穿一X^e，点N在棱3尸上，且曲/LAN,求警

的取值范围.

例27.（2024•全国•高三专题练习）如图，平行六面体A8CO-44G。的所有棱长均为

0,底面ABCD为正方形，幺42=444。=1,点E为B片的中点，点户为CG的中

点，动点P在平面ABC。内.

（1）若。为AC中点，求证：Aft1AO；

（2）若打力平面RAE,求线段CP长度的最小值.

变式34.（2024•湖南长沙•雅礼中学校考一模）斜三棱柱ABC-A4a的各棱长都为2,

NAA3=6O。，点A1在下底面ABC的投影为A8的中点。.

（1）在棱3片（含端点）上是否存在一点。使-LAG?若存在，求出8。的长；若不存

在，请说明理由；

（1）在棱B与（含端点）上是否存在一点。使4。LAG?若存在，求出3。的长；若不存

在，请说明理由；

变式35.（2024•贵州遵义•统考三模）如图，棱台ABCD-ABC'。'中，

AA'=BB'=CC'=DD'=y[5,底面ABC。是边长为4的正方形，底面AECD是边长为2

的正方形，连接AC,BD,DC.

⑴证明：AC'JLBD；

变式36.（2024•江西鹰潭•高三贵溪市实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱

中，CC]_L平面ABC,AC±BC,BC=AC=CCl=4,。为A4的中点,

CB1交BQ于点、E.

(1)证明：CBt±QD；

变式37.（2024•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱

中，侧面朋耳2为正方形，AB=BC,E,尸分别为AC和CQ的中点，。为

棱4耳上的动点.8斤，44

⑴证明：BFVDE-,

⑴证明：EF^PC.

【解题方法总结】

设直线44的方向向量为贝。=

这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方

法.

题型十：证明直线与平面垂直

例28.（2024•内蒙古乌兰察布•校考三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，尸底面

ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PD=DC,F,G分别是依，AO的中点.

⑴求证：G/_L平面PCB；

例29.（2024•吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测）如图，已知直三棱柱

ABC-尸G及AC=JBC=4,AC，JBC,O为JBC的中点，D为侧棱BG上一点，且

BD=-BG,三棱柱ABC-FGE的体积为32.

4

（1）过点。作OQLOE,垂足为点Q,求证：B。，平面ACQ；

例30.（2024•上海黄浦・上海市大同中学校考三模）如图，直三棱柱ABC-4耳G中,

4

ABAC=90°,\AB\=\AC\=2,IMI=-。为8C的中点，E为CG上的点，且

|CE|=*G|.

4G

⑴求证：平面A。4；

变式38.(2024•全国•高三专题练习)如图，直三棱柱ABC-A4G的侧面8CG瓦为正

方形，2AB=BC=2,E,B分别为AC,CQ的中点，BF±\BX.

(1)证明：平面4片石；

【解题方法总结】

(1)证明直线和平面内的两天相交直线垂直.

(2)证明直线和平面内的任一直线垂直.

(3)转化为证明直线与平面的法向量共线.

题型H^一；证明平面和平面垂直

例31.(2024•广东深圳•统考模拟预测)在正方体ABCD-A耳中，如图£、尸分别

是B瓦，C£＞的中点.

(1)求证：平面，平面ADE；

例32.(2024•全国•高三专题练习)已知在直三棱柱ABC-中，其中

/14=2AC=4,AB=BC,P为8片的中点，点E是CG上靠近C1的四等分点，4尸与底面

A3C所成角的余弦值为亚.

(1)求证：平面AFC_L平面4所；

例33.(2024•北京丰台•北京丰台二中校考三模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，PA1.

平面ABC。，ADLCD,AD!IBC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为尸。的中点，点尸在

PC上，且P上F」1

FC2

(1)求证：平面AEF_L平面PCD；

变式39.(2024•北京•北京四中校考模拟预测)如图，正三棱柱ABC-44G中，瓦尸分

别是棱441,5月上的点，AlE=BF=^AAl.

(1)证明：平面CEF_L平面ACGA;

变式40.(2024•江西新余•高三江西省分宜中学校考阶段练习)如图，在四棱锥

尸-ABCD中，底面ABC。是菱形，ZABC=60°,AB=2,AC[}BD=O,底面

ABCD,PO=2,点E在棱P£)上，且CE_LPE>.

(1)证明：平面尸班>_1_平面ACE；

变式41.(2024•全国•高三专题练习)如图，在底面是矩形的四棱锥尸-ABCD中,

PA_L平面A3CD,PA=AB=2,BC=4,E是PZ)的中点.

⑴求证：平面PCD_L平面融

变式42.(2024•全国•高三专题练习)如图，已知四棱锥尸-ABC。的底面是平行四边

形，侧面是等边三角形，BC=2AB,AC=y/3AB,PB1AC.

(1)求证：平面尸AB_L平面ABCL»；

(2)设。为侧棱尸£(上一点，四边形尸是过两点的截面，且AC〃平面BEQ尸，是

否存在点Q,使得平面86次，平面尸AD?若存在，求强的值；若不存在，说明理由.

变式43.（2024•江苏•统考三模）如图，三棱锥P—ABC的底面为等腰直角三角形，Z

ABC=90°,AB=2.D,E分别为AC,8c的中点，平面ABC,点M在线段PE上.

（1）再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面M2。，平面P2C,

并给予证明；

⑵在（1）的条件下，求直线8P与平面M3。所成的角的正弦值.

条件①：PD=y/2-,

条件②：NPED=60。；

条件③：PM=3ME：

条件④：PE=3ME.

【解题方法总结】

（1）转化为证明两平面的法向量互相垂直

（2）转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面.

题型十二：求两异面直线所成角

例34.（2024•宁夏银川•银川一中校考模拟预测）在正四棱柱ABC。-A耳£口中，底面

边长为1，高为3,则异面直线与所成角的余弦值是.

例35.（2024•江西鹰潭•贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体ABCD-A与GR的

棱长为1,E是棱AA的中点，G为棱BC上的动点（不含端点），记舁面直线43与EG所

成的角为a,贝！1sin。的取值范围是.

例36.（2024•全国•高三专题练习）在三棱锥P-ABC中，尸AJ_底面ABC,底面ABC

为正三角形，PA=AB,则异面直线尸3与AC所成角的余弦值为

变式44.（2024•四川成都•石室中学校考模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，PA1.

底面ABC,ZBAC=90。.点E、N分别为棱承、PC、3c的中点，M是线段AD的

中点，PA=AC=4,AB=2.

p

⑴求证：MN"平面BDE；

(2)己知点H在棱PA上，且直线NH与直线5E所成角的余弦值为立，求线段的长.