2025届高中数学一轮复习专练：平面解 析几何

平面解析几何

一、选择题

1.直线工+1=0的倾斜角为（）

A.3兀B.-C.-D.不存在

442

2.已知直线/：x—机丁+4加一3=0（机eR）,点P在圆好+）?=1上，则点P到直线/

的距离的最大值为（）

A.3B.4C.5D.6

3.若圆«：（x-3y+（y-町=25和圆Q：（x+2y+（y+8）2=/（5<r<10）相切，则「等

于（）

A.6B.7C.8D.9

4.已知点（a,6）在线段3x+4y-10=0（-2<%<6）上，则/—2的取值范围是（）

A.[2,18]B.[2,38]C.[0,38]D.[0,2A/10-2]

5.已知点M（-1,0）,N（l,0）,若直线上存在点P,使得PM.PN=0,则称该直线为

”相关点直线”，给出下列直线：

①y=x+3；

4

®y=­x；

*3

③y=2；

④y=2x+l,

其中为“相关点直线”的是（）

A.①③B.②④C.②③D.③④

6.已知直线/1:x+2ay-l=0和直线A,：（3a—l）x—金一1=0，则“a=J”是“/J/4”

6

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.直线/],（，4的图象如图所示，则斜率最小的直线是（）

A./1B./2C.Z3D./4

8.已知加eR，则=-1”是“直线wx+（2〃z-l）y+2=0与直线3x+叼+3=0垂直”的

（）

A.充要条件B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件

二、多项选择题

9.双曲线C的两个焦点为斗心，以C的实轴为直径的圆记为。，过耳作。的切线与

C交于“，N两点，且cosN£N%=g，则。的离心率为（）

A正B.2C.姮D.姮

2222

10.已知抛物线V=4x,R为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有（）

A.抛物线的准线方程是x=-1

B.当"_L九轴时，|尸耳取最小值

C.若A（2,3）,则|PA|+|PF|的最小值为历

D.以线段PR为直径的圆与y轴相切

2

11.已知抛物线。1：/=町0〉0）与双曲线。2：/-；=1有相同的焦点，点;3（2,%）

在抛物线G上，则下列结论正确的有（）

A.双曲线C2的离心率为2B.双曲线C2的渐近线方程为y=4x

C.m=8D.点P到抛物线G的焦点的距离为4

三、填空题

12.直线/一4的斜率*履是关于。的方程2a2+8a+〃=0的两根，若㈠心则实

数“=.

13.以点M(3,T)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是.

14.已知4(-3,0),8(4,2),点尸在圆0:炉+9=4上运动，则|PA「+|冏2的取值范围是

四,解答题

22

15.已知《，居分别为椭圆式―+与=1(0<6<10)的左、右焦点，P是椭圆上一点，

100b1

当轴时，I尸耳|=?.

(1)求椭圆的方程；

(2)当N£P£=60。时，求△£产月的面积.

16.已知圆+y?-2y-4=0,直线/:"tv-y+l-〃z=0.

(1)写出圆C的圆心坐标和半径，并判断直线/与圆C的位置关系；

(2)若直线/与圆C交于两点A,B,且|A例=3后，求直线/的方程.

17.已知圆C的方程为必+产=i.

(1)求过点P(l,2)且与圆C相切的直线/的方程；

(2)直线机过点P(l,2),且与圆C交于A,3两点，若［43|=应，求直线机的方程.

18.已知直线4过原点，且与直线:3x-2y-1=0平行.

(1)求直线4的方程；

(2)求4与4间的距离；

(3)若圆C经过点A(l,3),3(2,2),并且被直线4平分，求圆C的方程.

19.已知直线6:2x-(a-l)y-2=0,/2:(tz+2)x+(2«+l)_y+3=0(aeR).

(1)若《上心求实数。的值；

(2)若/J①，求乙，［之间的距离.

参考答案

1.答案：c

解析：因为直线1+1=0即直线x=—1垂直于X轴，根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜

角为4，

2

故选:C

2.答案：D

解析：直线/：l冲+4加一3=0(meR)即为(1—3)+(4-力72=0，

所以直线过定点Q(3,4),

所以点P到直线/的距离的最大值为|09+「=厅弄+1=6，

故选：D

3.答案：C

解析:圆«：(x-3y+(y-4)2=25的圆心。1(3,4%半径为5;

2

圆O2:(%+2)2+(y+8)2=r的圆心O2(-2,-8)泮径为r.

若它们相内切，则圆心距等于半径之差，即“3+2『+(4+8)2=|r-5|,

求得r=18或-8,不满足5<11。

若它们相外切，则圆心距等于半径之和，即,(3+2)2+(4+8)2=什5|,

求得厂=8或-18(舍去)，

故选：C.

4.答案：B

解析：如图，(。力)是线段3x+4y-10=0(-2<%<6)上的一点，且/+〃为原点到该线

段上点的距离的平方.该线段端点分别为(-2,4),(6,-2),到原点距离的平方分别为

20,40.由图知原点到线段的距离1=421==2,则笛=4.综上，«2+^2e[4,40],

V32+42

故/+/—2e[2,38].

:p\3x+4y-10=0

4。|,

5.答案：B

解析：由题意可知，点尸的轨迹是以。为圆心、1为半径的圆，

其方程是必+产=1.

解法一：①把y=x+3代入/+/=i并整理得，d+3x+4=。,

A=9-4X4=-7<0,.•.直线与圆相离，

二直线y=X+3不是“相关点直线”，

同理，通过联立直线和圆的方程，

4

可得直线②y=④y=2x+l与圆相交，

直线③y=2与圆相离，所以②④符合题意.

故选：B.

解法二：①圆心（0,0）到直线y=x+3,

即x—y+3=0的距离为I"?3]=述〉1,

二直线与圆相离，.•.直线y=x+3不是“相关点直线”，

同理，通过比较圆心到直线的距离与半径的大小，

...4

可得直线②y=§x,④y=2x+l与圆相交，

直线③y=2与圆相离，所以②④符合题意.

故选：B.

6.答案：A

解析：由题设〃/心可得2a（3a—1）=—a，解得。=0或。=，.

当a=0时，/i：x=l，4：x=-1,此时/J4，

当a=L时，/］：3x+y—3=0」2：3x+y+6=0,止匕时“儿，

6

所以“a=!”是“”的充分不必要条件.

6

故选A

7.答案：B

解析：设直线54，乙的斜率分别为左，k］，&，k4,

由图可得直线/r6的斜率为负值，直线（乙的斜率为正值，

因为直线越陡峭，斜率的绝对值越大，

所以闷＜|勾，同＜同，

所以左2（左＜0＜%＜&，

所以斜率最小的直线是/2.故选B

8.答案：C

解析：“直线g+（2m-l）y=2=0与直线3x+my+3=0垂直”的充要条件为

3m+加2"，-1）=0=＞帆=0或相=一1，因止匕=一1''是"直线初x+（2〃z—1）y=2=0与直

线3x+阳+3=0垂直”的充分而不必要条件，选C.

9.答案：AC

解析：情况一

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过《作圆。的切线切

点、为B,

所以OB，耳N,

3

因为cosN^N^=->0,

所以N在双曲线的左支,

|OB|=a9|OFj|-c,|FjB|=b»

34

设/F\NF?=a,由即cos。=y，则sina=(，

35

|NA|=：-a,|NF,|=-tz

g-M|=2a

5(3.

-a-\—a-2b=2a,

2【2)

2b=a,e=—

2

选A

情况二

若V、N在双曲线的两支，

因为cosNENg=|〉0,所以N在双曲线的右支,

所以|OB|=a，\OF\^c，忖B|=b,

设HNF2=a,

由cosN片Ng=|',即cosa=1,则sina=g,

3S

|NA|--«,|N^|=-«

|N^-|NFj=2a

一Q+2Z?—ci—2a,

22

所以%=3a，即2=3，

a2

所以双曲线的离心率e=£=1=正选C

a\a22

10.答案：ACD

解析：对于A,抛物线的准线方程为x=-：=-1,故A正确；对于B,设

贝11/20,尸(1,0),则|PF|=—丁+y；=%+121,当/=0时取得最小

值，此时P(0,0)在原点，故B错误；

对于C,A在抛物线外部，如图①所示，故当P,A,R三点共线，且点尸在线段AR

与抛物线的交点处时，|口4|+|「/|取得最小值，为|AR|=J(2-1>+(3-0)2=标,故

C正确；

图①

对于D,过点P作准线的垂线，垂足为。，如图②所示，

设。厂的中点为B(wx),可得石=；(1+加)，由抛物线的定义得

|PF|=|PQ|=m+l,

:.xx=^\PF\,即点3到y轴的距离等于以PR为直径的圆的半径，因此，以PR为直

径的圆与y轴相切，故D正确.

故选ACD.

图②

11.答案：ACD

解析：双曲线。2的离心率e='平=2,故A正确；双曲线的渐近线方程为

y=+^3x,故B错误；

由G，。2有相同的焦点，得：=2，解得加=8,故C正确；

抛物线＞2=8x的焦点为(2,0),点。(2,阳)在G上，则％=±4,故P(2,4)或P(2,-4),

所以点P到G的焦点的距离为%故D正确.故选ACD.

12.答案：-2

解析：因为《，心而且斜率存在，

所以《,左2=-1，

又此,心是关于。的方程2a2+8a+〃=0的两根，

所以尢,匕='=-1,解得〃=一2.

2

故答案为：-2.

13.答案：(］-3『+(y+4)2=16

解析：因为M(3,-4)为圆心，且圆与x轴相切，

所以圆的半径厂=|%|=4，

所求圆的方程为(x—3)2+(y+4)2=16.

14.答案：［37-4君,37+4百］

解析：设尸(%,%)，所以/+尤=4,

所以|P4+|PB「=(X°+3)2+货+(%—4)2+(%-2)2=37-2%-4%.

设z=37—2x—4y，所以直线2x+4y—37+z=0,所以<2,

^22+42

解得37-475<z<37+4A/5,BP|PA|2+|PB|2的取值范围是［37-475,37+4遥］.

,2、,2

15.答案:(1)工+匕=1

10064

6473

3

解析：(1)由工+与=1(0<6<10)知〃=1。0,因止匕a=10.

100b-

因为轴时，阀|=5，所以可得点尸的坐标为「C,m或半

322

22,2

因为点p在椭圆工+4=1上，所以二+7人

100b2100b2

22

T72722二匚［、|100—Z?32

又Q=b+C,所以-------1------7—1,

10025/

22

解得6=8,所以椭圆的方程为「一+工=1.

10064

(2)设归周=加，怛闾="，在△心心中，由余弦定理可得

22

=m+H-2mn-cosZFlPF2,又NEP£=60。，

4b2256

所以4c2=(m+ri)2—3mn=4a2—3mn,所以mn=---=---,

33

由”C1•/门0口625664「

所以3b叩=—m几♦sin/F］PF?=——x-----=-------,

A122433

所以AEP6的面积为8^.

16.答案：(1)圆C的圆心坐标为(0,1),半径为迅；直线/与圆。相交

(2)x-y=0或x+y-2=0

解析：(1)%2+)2一2)—4=o整理得犬2+(y—iy=5,

故圆C的圆心坐标为(0,1),半径为班.

侬:一丁+1-根=0可变形为y-l=m(x-l),故直线/过定点”(1,1).

因为俨+(1—1)2=1<5,故点在圆。内，所以直线/与圆C相交.

(2)圆心(0,1)至！］/:侬:一y+1-根=0的距离2=-一团=

y/m2+1yjm2+1

所以蕾+1等］=5,解得加=±1,

故直线/的方程为x-y=0或x+y-2=0.

17.答案：(1)x=l或3x-4y+5=0

(2)x-y+l=0或7x-y-5=0

解析：(1)根据题意，得点尸在圆C外，分两种情况讨论：

当直线/的斜率不存在时，过点P(l,2)的直线方程是x=l,与圆C：x2+y2=1相切，满

足题意；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y-2=/x-1),即Ax-y-左+2=0,

因为直线/与圆C相切，所以圆心(0,0)到直线/的距离为年用=1,解得左=3,

止匕时，直线/的方程为3x—4y+5=0.

所以满足条件的直线/的方程是％=1或3x-4y+5=0.

(2)根据题意，若|A8|=0,则圆心到直线机的距离〃=卜一卜乎：=当，

结合(1)知直线机的斜率一定存在.

设直线m的方程为y-2=n(x-l),即zzx-y—〃+2=0,

贝必=三生=正，解得〃=1或"=7.

所以满足条件的直线机的方程是x-y+1=0或7x-y-5=0.

18