2025届高中数学一轮复习专练：空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

一、选择题

LAB+BC-CA=（）

A.2C4B.*C.QD.2AC

2.正三棱锥p—ABC的侧面都是直角三角形,El分别是A氏3C的中点，则P3与平面

PER所成角的正弦值为（）

6633

3.在四棱柱ABC。-4gCQ中，底面ABCD是正方形，侧棱明，底面A3CD已知

45=1，胴=有，£为线段A3上一个动点，则2E+CE的最小值为（）

AB

-272Vl0C-A/5+1D-2+V2

4.已知打=（-1,2,1）,5=（2,-2,0）,则°在B方向上的投影数量为（）

A.-V6B，76C一9D.至

22

5.如图,已知正四棱锥P—ABCO的所有棱长均为1万为尸。的中点，则线段以上的动

点M到直线3E的距离的最小值为（）

A.昱B.交C.-D.1

3232

6.已知空间向量，=2a-3B+3"，Z=32+B+"，则万+q以｛薇斗为单位正交基底时的

坐标为（）

A.（5,-3,4）B.（5,-2,4）C.（2,-3,3）D.（3,1,1）

7.在下图所示直四棱柱A3CD-A4GA中，底面ABCD为菱形，

AB=bZDAB=1-4^=2,动点P在体对角线30上，则顶点3到平面APC距离的

A.lB史C巫D.也

222

8.如图，在直三棱柱ABC-4与G中，△ABC是等边三角形，出=血，钿=2,则点。到

直线A片的距离为()

AV6BCD

~~,亍~

二,多项选择题

9.在平行六面体ABCD—ABC'。'中，若AB所在直线的方向向量为(-2,1,3),则C7>

所在直线的方向向量可能为()

A.(2,l,3)B.(2,-1,-3)C.(-4,2,6)D.(4,-2,6)

10.以下关于向量的说法正确的有()

A.若£=石,则问=同

B.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆

C.若£=_石且K，则

D.若％与B共线，B与"共线，则£与"共线

11.在如图所示的空间直角坐标系中，ABC。-A4G。是棱长为1的正方体，贝女)

A.平面45耳4的一个法向量为(0,1,0)B.平面片CD的一个法向量为(1,1,1)

C.平面片C"的一个法向量为(1,1,1)D.平面ABCQ]的一个法向量为(0,1,1)

三、填空题

12.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABC。，的边长都是1，且它

们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和5b上移动，且CM

和BN的长度保持相等，记CM=BN=a(0<a<应),当MN的长最小时，平面肱VA

与平面MNB夹角的正弦值为.

C

13.在正方体ABCD-AB'C'D'中，点E是上底面AB'C'D'的中心，若

AE=xAD+yAB+zAA',贝ij实数x+y+z=.

14.已知直线/的一个方向向量为而=(1,0,-1),若点1)为直线I外一

点,A(4,l,-2)为直线/上一点，则点P到直线/的距离为.

四、解答题

15.如图，在棱长4的正方体ABCD-A4G2中，E是AAI的中点，点P在棱CC]

上，且CF=L

(1)求平面ABCO与平面DEF夹角的余弦值；

(2)若尸为平面ABCD内一点，且RP_L平面£＞石尸，求点P到平面£)石尸的距离.

16.如图，在四棱锥尸—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD

4AZ)=90°，DA=DC=2AB^2-

P

(1)点E在侧棱pg上，且PZ)//平面EAC，确定E在侧棱pg上的位置；

(2)若平面Q4D_L平面ABCD，且PA=P£)=2四，求二面角A-PD-5的余弦值.

17.如图，直三棱柱ABC-A与G的体积为4,△ABC的面积为2VL

(1)求A到平面Ad。的距离；

(2)设。为4。的中点，A^^AB,平面ABC，平面求二面角A—BD—C

的正弦值.

18.已知M,G分别是空间四边形ABCD的两边3C,CD的中点，化简下列各式:

^AB+BC+CD'^

(2)须+，而+配)；

___.1_,___.

(3)AG--(AB+AC).

19.已知五=(1,一2,4),1=(1,0,3)，5=(0,0,2).求:

⑴e+cj;

(2)4a-b+2c•

参考答案

1.答案：D

解析：AB+BC-CA^

=AC-CA^

=AC+AC^

=2痔

故选:D

2.答案：C

解析：因为正三棱锥p—ABC的侧面都是直角三角形，

所以可以以尸为原点，附PB,PC分别为x,yz轴建立空间直角坐标系，

设d=FB=PC=2,

因为分别是AB,BC的中点，

所以P(0,0,0),4(2,0,0),6(0,2,0),C(0,0,2),E(l,l,0),F(0,1,1),

PB=(O,2,O),PE=(l,l,O),PF=(O,l,l),

设平面PER的法向量为言=(x,y,z)，

.-►--►,

wm-PE=0x+V=0一/<、

则有1_____=^>m=

m-PF=Q〔y+z=0

।।|-2|J

所以总与平面PEF所成角的正弦值为:cosPB,m=I,,1=—=士

11

\PB\XU2XV1+1+13

故选:C

3.答案：B

解析：建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

则40,0,0),〃(0,1,百)，。(1』,0).

••♦E为线段A3上一个动点，

.•.设EQ,O,O)(O</<1),

则D[E=77+1+3=77+4，CE=7(?-1)2+1，

故问题转化为求〃石+.=«彳+7^的最小值问题，即转化为求平面直角坐

标系/0M中的一个动点P90)到两定点M(0,-2),N(1,1)的距离之和的最小值的问题，如

图所示.

时，+CE)mm=[Jr+4+J(…l)2+l]m1n=|MN|=A/I+9=屈，

故选:B.

4.答案：C

解析:泡方向上的投影数量为团*喑策号祟3全=考

故选：c.

5.答案：D

解析：连接AC，E),记直线AC，的交点为。，

由已知，平面ABCD,AC±BD,

以点。为原点，函，砺，砺为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

由已知AB=BC=CD=ZM=1,=PB=PC=？。=1,

所以OA=OC=；AC=*，OB泻5=口=容

(6、,pfo,o,—Icf-—,0,0

则A士■,0,0,B0,—,0,E—,u,—

244J

(V2V2A/2^—(41y/2(0c0)

所以3E=—一，一一，一，BA=一，——,0,AP=—一,0,一

4242222

设戒=2旃(0W2W1),

则两=丽+丽=丽+2点」(1-力交,-交,也/

\'222

1-1

|W-BE|一%H—_73(22+1)

所以丽7在前上的投影向量的模为24

屁F6

2

又|W|=^!(1-2)2+|+122=—2+1,

所以动点M到直线BE的距离d=,22—2+i—g(22+l『=

所以d二息2-I)?+；'

所以当力=1时,动点航到直线BE的距离最小，最小值为L

2

故选：D.

方法二：因为△尸5C为等边三角形,E为尸C的中点，所以PELBE，

由已知Q4=l，PC=1,AC=后，所以PT+。。2=,

所以PALPC，

所以PE为异面直线外，3E的公垂线段，

所以PE的长为动点M到直线BE的距离最小值，

所以动点“到直线3E的距离最小值为工，

2

故选：D.

6.答案：B

解析：空间向量2=2a—3B+3c，q=3a+B+c，则p+q=5a-2b+4c

故万+7以｛£,£4为单位正交基底时的坐标为（5,-2,4）.

故选:B.

7.答案：A

解析：连接AC交BD于点。，

由题意，得AC’BD，OB=OD=-AB=-,

22

OA=OC=^AB2-OB2=Jl2-^=与

如图，以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则A0，-孝，00,今0g,0,21

所以衣=（0,后0）,通=西=（—1,0,2），设丽=2祈（0<2<1），

、

（）君2。

所以Q=丽=赤+九西=,0+2-1,0,2=-2+1,

'1'~22J

7

万

设平面APC的一个法向量为为=(%,y,z)，则I上AC，

nlAP

n-AC=6y=0y=0

所以取，

n-AP=l-2+1x+^-y+2Az=Q」"卜x=44

22

则为=（440,24—1）,

设顶点B到平面APC距离为d,

|AB-H|2A22

则1=

同J（4"+（24-1）2A/2022-42+1

当4=0时d=0.

J22

d二i;

当0<4VI时，V2022-4A+l

所以当工=2即4=工时点3到平面APC距离最大为」==L

227162

故选：A.

8.答案：C

解析：取AC的中点。，

则=百，

以。3所在直线为x轴,。C所在直线为y轴，。与AC中点连线所在直线为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,

所以A（O,-1,O）,4（A/3,0,V2）,C（O,1,O）,

所以葩=（6,1,四）,A=（O,—2,0）,

\CA-AB\2_V6

所以再在福上的投影的长度为X

I丽I76-V

故点C到直线A片的距离为〃=

故选:C.

9.答案：BC

解析：由已知可得AB〃C'。'，故它们的方向向量共线，

对于B选项，(2,-1,-3)=-(-2,1,3),满足题意；

对于C选项，(T,2,6)=2(-2,1,3),满足题意；

由于A、D选项不满足题意.

故选：BC.

10.答案：AC

解析：若％=小则£和B的大小相等，方向相同，故A正确；

将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误;

若2=_],B=_"，贝U£=—(—")=£，故c正确；

若Z与B共线，B与之共线，则当3=0时，无法判断a与"的关系，故D错误.

故选：AC.

11.答案：AC

解析：由题意,知A(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),£>(0,1,0),4(1,0,1),Q(1,1,1),

2(0,1,1).莅=(0,1,0),AD_L平面4344,故A正确；

•.•CD=(-1,0,0),且(1,1』).(一1,0,0)=-1。0,.•.(1,1,1)不是平面BQ。的法向量，故B

不正确；

•.•麻=(0,1,-1)，西=(-1,0,1)，(1,1,1)-(0,1-1)=0,=又

BCnCR=C,.•.(1,1,1)是平面31c2的一个法向量，故C正确；

=(0,1,1),且(0,l,l)-(0,Ll)=2w0,.YO,1,1)不是平面ABG2的法向量，故D不

正确.

12.答案：其1或2近

33

解析：以3原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(l,0,0),C(0,0,l),F(l,l,0),石(0,1,0)，

aa

因为0/=翻=。，N

万万J

所以MN=-\fla+1=Ja-,

当。=年时，肱V最小，此时，M,N为中点，则加&,0,£|,N&,g,0)

取MN的中点G,连接AG，BG，则」」］,

G(R244)

因为AM=4V，BM=BN，所以AG,肱V，BGLMN，

所以NAG5是平面Mg与平面MNB的夹角或其补角，

因为GA=f——

(24

111

--+--+--

所以cos（GX,曲）GAGB416161

研.阿1111口113

—H---------1-------X-+一+一

4161641616

所以平面与平面肱VB夹角的余弦值是工，

3

所以平面M股与平面肱VB夹角的正弦值是[：=半.

13.答案：2

解析：因为通=/+/=/+工/=封+工（行7+而

22、

_11___.1.1.

=AA'+-A'B'+-A'D'=-AD+-AB+AA',

2222

^AE=xAl5+yAB+zAAr>

以x=一，y——，z=l'x+y+z=2.

故答案：2.

14.答案：^/17

解析：由题意可得I的一个单位方向向量为

AP=(-5,0,1),

故点P到直线/的距离d=犷_於2=726^9=717-

[IHJ

故答案为:g.

15.答案：（I,⑸；

21

⑵诙

21

解析：（1）以。为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系,

则£（4,0,2）,F（0,4,1）,0,4），DE=（4,0,2）,DF=（0,4,l）.

n-DE=4x+2z=0

设平面DE尸的法向量为为=（x,y,z）,则<

n-DF=4y+z=0

取y=l,则尤=2，z=-4，得力=（2,1,-4）.

因为OR_L平面ABC。，所以平面ABC。的一个法向量为西=（0,0,4），

D£）1H

则平面ABCD与平面£>£F夹角的余弦值为cos（DD^,n）=ll

'/|DD,||n|21

（2）设P（a,40）,则印=（a,伍T）.

因为D]P-L平面DE产，所以D]P〃尢，则^二彳二-得a=2，b=l，即P（2,l,0）.

所以点尸到平面DEF的距离为"M=西.

因为丽=（2,1,0），

向21

16.答案：（1）E为侧棱pg上靠近5处的三等分点；

⑵立

3

解析：（1）连接3£>，设3£>nAC=R，连接EF，则平面尸£归口平面E4C=£F，

〃平面£AC，PDu面PDB，PD//EF

•.•底面ABC。是直角梯形，ABIICD，且£）C=2AB，

:.DF=2BF，则PE=25E，

E为侧棱PB上靠近B处的三等分点；

（2）•.•平面P4DJ_平面ABC。，^-PA=PD=2-J1»

:.PO±AD>平面PAD。平面ABCD=AZ），POu平面PA。，

.•.PO_L平面ABCD，（。为AD中点）

如图所示建立空间直角坐标系,

依题意有4(1,0,0),6(1,1,0),£>(—1,0,0),

PO=VPA2-A（92=不，则。（0,0,⑺，

.-.DP=（l,0,V7）,加=（2』,0），显然瓦=（0,1,0）是平面APO的一个法向量，

n,-DP=0x+V7z=0

设％=（无2,为,Z2）是平面3po的一个法向量，则,22

“-DB=02%+%=°

取22=4得石=卜«,2屿/，

.cos/zTK-"「巧=旦

••3八一|一||一|一2，

㈣I叫3

二二面角A.-BD-C,的大小的余弦值为叵.

3

17.答案：(1)V2

⑵—

2

14

解析：（1）三棱锥A-A3C的体积V为三棱柱45。-4与。］体积的§,即V=§.

设点A到平面AXBC的距离为h,则V=-x2y/2h.

3

由q=』xl^Jlh解得h=A/2.

33

故点A到平面A{BC的距离为72.

（2）如图，连接AB"交48于点E,因为4^=43,所以AELA^.

B

又平面ABC，平面AB44，所以平面ABC,AE±BC.

由（1）知，点A