2024年中考数学复习重难点专练：一元一次方程

一元一次方程

1、概念理解错误导致出错.

定义用等号“=”来表示相等关系的式子,叫做等式.

学习误区

2、性质运用错误导致出错.

(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一

(1)定义不同.个整式，所得结果仍是等式.

a=b。。±c=b±c

1.区别

(2)代数式仅用运算符号连接，不含等号.性质

代数式、等等式

式与方程的

方程是特殊的等式，但等式不一定是方程.区别与联系知能提升

(3)(2)等式两边都乘(或除以)同一个不为0的数,

总结知识所得结果仍是等式.

升华梳理■*>»^a=Z>,c#0Qac=bc^i+c=b+c一

(1)等式和方程的左、右两边都由代数式构成.2.联系

含有未知数的等式叫做方程.

(2)方程是含有未知数的等

如，x+3=5^+y=l^2+2x-3=0,-

定义

只要是用“="连接的式子，而

不管它是否成立.方程使方程左右两边的值相等的未知数

方程的解的值叫做方程的解，只有一个未知

数的方程的解，也叫做方程的根.

1、等式的概念

.一、•学等式.学法

两个条件，缺一不可指导

常求方程的解的过程叫做解方程.

含有未知数.2、方程的概念解方程

见

概念问题的

几

它(或它们)是方程中未知数的值.种若两个方程的解相同，则这两个

3、方程的解方方程叫做同解方程.一

将它(们)分别代入方程的左边和右程

边，左边等于右边.

一元一次方程形如“x+/»=O（a户0）

基本性质1形如上x+b『,=0

二元一次方程组

若a=b,贝ija±c=b±c.性质形叫田+%E=0

若a=b,Mac=bc.£=微（。*0）.基本性质2

无理一兀二次方程形如ai2+/>x+c=0(“K0)

方程

b.b

形如>/x+a+b=O,形如-

若。=6,则b=a;若a=b.b=c则a=c.基本性质:

即根号内含有未知数的方程.分式方程即分母含有未知数的方程.

1、移项忘记变符号.

2、违反去括号法则.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,系数

不等于0的整式方程叫做一元一次方程，它的一般形式

3、去分母时，漏给不含分母的项乘公分母.^£«:+/>=0（a,6为常数，"0）.___________________

】忽视分数线的“括号”作用.

学习误区

5、忽视“0”的特性：任何数与0相乘都得0.

6、小数化为整数时，把小数以外的数也跟着扩大.,、去分母-边扁府壶存分刑的.小公他瞰

定义

7、小数化为整数时，同一分数中的分子，分母扩大的倍数不同.

知能提升二去括号—老去小括号.再去中括号，最后去大括号.

总结

用一元一次方程解决实际问题的基本思路知识把含有未知数的项移到方程的左边，

3、移项

卜升华梳理其他项移到方程的右边，移项要变号.

数学问题--------------►已知■,未知■,等■关系解方

不程步骤4、合并同类项化为最简方程以=伙。工0）的形式.

合

理s

5、系数化为1x*

解的合理性，空方程的解J巴方I程

若有分母先去掉，化为整式很重要;

去分母1.弄清题意和题目中的已知数、未知数，

各项都乘公分母，分子项多加括号.用字母表示题目中的一个未知数____

正括号来不变号，负括号来全变号;

去括号

各项都要乘系数，系数分配要公道」

指导

未知在左常数右，移项切记要变号.移项

解方程

同类合并要谨慎，一边一项处理好.合并同类项注意问题

系数化一有讲究，分数乘倒整数除.系数化为一

应整藉题

找出已知与未知，相等关系列方程.

应用解字

类型母系

解出负数要斟酌，未知范围莫忽略.数的

一元

可化为⑪=/>的形式

一次

和差倍分问题、等积变形问题、数字问题、行程方程

问题（相遇、追及、航行）、劳力调配问题、工

(2)a=0,6W0.r无解.J

程问题、储蓄问题、商品利润问题……

⑶a=0力知为任意

02）知名梳理

知识点01：解一元一次方程

【高频考点精讲】

1.解一元一次方程的一般步骤

（1）一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

（2）所有步骤目的：使方程逐渐向x=a形式转化。

2.解一元一次方程时，应该先观察方程的形式和特点，如果有分母一般先去分母；如果既有分母又有括号，

且括号外的项乘以括号内各项后能消去分母，就先去括号。

3.求解“a/bx=c”类型方程时，将方程左边按照合并同类项的方法并为一项，即（界6）x=c,使方程

逐渐转化为"=6的最简形式，体现化归思想。将ax=6系数化为1时，首先弄清楚求x时，方程两边除

以的是a还是6,尤其a为分数时；其次要准确判断符号，a、6同号x为正，a、6异号x为负。

知识点02：由实际问题抽象出一元一次方程

【高频考点精讲】

1.“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在此类问题中，首先表示出各部分的

量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程；

2.“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中另一个基本关系式，也是列方程的一种基本方法。

通过对同一个量从不同角度用不同的式子表示，进而列出方程。

知识点03：一元一次方程的应用

【高频考点精讲】

1.销售问题：利润=售价-进价，利润率=理胆X100%；

迸价

2.工程问题：

（1）工作量=人均效率X人数X时间；

（2）如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段工作量的和=工作总量；

3.行程问题：路程=速度X时间；

4.水流航行问题：

（1）顺水速度=静水速度+水流速度；

（2）逆水速度=静水速度-水流速度。

⑬新题速递

检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.66

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2023•永州）关于x的一元一次方程2X+H=5的解为x=l,则/的值为（）

A.3B.-3C.7D.-7

ft?：是关于X的一元一次方程2X+R=5的解，

A2X1+%=5,

m=3,

故选：4

2.（2分）（2023•光泽县模拟）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车,

二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多

出9人无车坐.问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（）

A.3x-2=2x+9B.3（x-2）=2x+9

C.三+2，_gD.3（x-2）=2（x+9）

32

解：设车x辆，

根据题意得：3（x-2）=2户9.

故选：B.

3.（2分）（2023•连云港）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，

弩马日行一百五十里，弩马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马

每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）

A.上=@2B.」一=q_12

240150240150

C.240（x-12）=150xD.240x=150（矛+12）

解：；慢马先行12天，快马x天可追上慢马，

...快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天.

根据题意得：240^=150（x+12）.

故选：D.

4.（2分）（2023•贵州）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有

剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正

确的是（）

A

-x-4-=100B.3x+l=100C,X-4-X=10QD.等=100

OOo

解：根据题意得：x+』x=100.

3

故选：C.

5.（2分）（2023•日照）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，

人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多

出H钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x,可列方程为（）

A.9x+ll=6x+16B.9x-ll=6x-16

C.9x+ll=6x-16D.9x-11=6^+16

解：根据题意得：9x-11=6^+16.

故选：D.

6.（2分）（2023•台湾）有一东西向的直线吊桥横跨溪谷，小维、阿良分别从西桥头、东桥头同时开始往

吊桥的另一头笔直地走过去，如图所示，已知小维从西桥头走了84步，阿良从东桥头走了60步时，两

人在吊桥上的某点交会，且交会之后阿良再走70步恰好走到西桥头，若小维每步的距离相等，阿良每步

的距离相等，则交会之后小维再走多少步会恰好走到东桥头（）

A.46B.50C.60D.72

解：设交会之后小维再走x步会恰好走到东桥头，由题意得,

X84

而争

：.x=72,

故选：D.

7.（2分）（2023•新昌县模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙

发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；

乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问多久后甲乙相逢？设乙出发x日,

甲乙相逢，则可列方程（）

解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x-2）日，故可列方程为:

三+三2=1.

75

故选：D.

8.（2分）（2023•南充）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，

不足一尺.木长几何？"（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）.意思是，现有一根长木，不知道其长短.用

一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少？

设长木长为x尺，则可列方程为（）

A.—(x+4.5)—x-1B.A(x+4.5)=x+l

22

C.A(x-4.5)=x+lD.A(x-4.5)=x-1

22

解：设长木长为X尺，

:用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺,

•••绳子长为（-4.5）尺,

•••绳子对折再量木条，木条剩余1尺，

得方程为：—（x+4.5）=x-1.

2

故选：A.

9.（2分）（2023•宿迁）古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问

人与车各几何？设有车x辆，则根据题意，可列出方程是（）

A.3（x+2）=2x-9B.3（x+2）=2矛+9

C.3（x-2）=2x-9D.3（x-2）=2x+9

解：设有x辆车，则可列方程：3（x-2）=2户9.

故选：D.

10.（2分）（2023•枣庄）《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二

百四十里，弩马日行一百五十里，弩马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240

里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则

下列方程正确的是（）

A.240^+150^=150X12B.240x-150x=240义12

C.240x+150x=240X12D.240^-150^=150X12

解：依题意得：240^-150^=150X12.

故选：D.

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2分）（2023•鼓楼区校级模拟）定义运算法则：a㊉6=a2+a6,例如3㊉2=3,3X2=15.若2（Bx=

10,则x的值为3.

解：㊉x=10,

22+2JT=10,即4+2X=10,解得X=3.

故答案为：3.

12.（2分）（2023•德阳）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取

九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个

数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为加王小明抽取到的题目

如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则卬=39.

解：设九宫格中最中间的数为X，

・・,第1列中间数与第2行的最左侧的数重合,

・・-16+4=7+x,

x=13,

根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍，

勿=3x=39,

故答案为：39.

13.(2分)(2023•伊通县四模)“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺：如果将

绳子折成四等份，井外余绳1尺.问绳长、井深各是多少尺？”设井深为x尺，可列一元一次方程为3

(x+4)=4(x+1).

解：井深为x尺，

由将绳三折测之，绳多4尺，可得绳长为3(x+4),

由将绳四折测之，绳多1尺，可得绳长为4(广1).

由绳长相等，可得3(x+4)=4(x+1).

故答案为：3(x+4)=4(x+1).

14.(2分)(2023•余江区二模)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来

到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么

有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设有x间客房，可列方程为：7x+7

=9(x-1).

解：根据题意得：7x+7=9(x-1),

故答案为：7e7=9(x-1).

15.(2分)(2023•慈溪市一模)方程术是中国传统数学著作《九章算术》中最高的代数成就.《九章算

术》中记载了这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善

行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走

路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？(注：步为长度单位)”，根据题意可求得走

路快的人要走250步才能追上走路慢的人.

解：设走路快的人要走X步才能追上，则走路慢的人走上义60（步），

100

根据题意得：二一X60+100=x,

100

解得：x=250,

则走路快的人要走250步才能追上走路慢的人.

故答案为：250.

16.（2分）（2023•柯桥区一模）甲、乙两个足球队连续进打对抗赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，

负一场得0分，共赛10场，甲队保持不败，得22分，甲队胜6场.

解：设甲胜了x场，

由题意：3x+（10-x）=22,

解得x=6,

甲队胜了6场，

故答案为：6.

17.（2分）（2023•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，

还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程

为5x+45=7x+3.

解：设合伙人数为x人，

依题意，得：5x+45=7x+3.

故答案为：5户45=7x+3.

18.（2分）（2023•未央区校级三模）请阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，四只栖一树，五

只没处去，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗中谈到的鸦为45只,树为10

棵.

解：设树有x棵

依题意列方程：4A+5=5（x-1）

解得：x=10

所以树有10棵，鸦的个数为：10X4+5=45

故答案为：45,10

19.（2分）（2023•大连）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，

盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何.”其大意是：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多

出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、鸡价各是多少.”设共有x人合伙买鸡，根据题意，可列

方程为9x-ll=6x+16.

解：由题意得：9x-11=6A+16,

故答案为：9x-H=6A+16.

20.（2分）（2023•丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三

斤十二两.今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古

代中国1斤等于16两）.今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为团斤.

~7~

解：设原有生丝为X斤，

X：12=30：（30-3理），

16

解得了=因.

7

故原有生丝为因斤.

7

故答案为：的.

7

三.解答题（共8小题，满分60分）

21.（6分）（2023•浙江模拟）以下是欣欣解方程：空2_^±=］的解答过程：

32

解：去分母，得2（x+2）-3（2x-1）=1；................①

去括号：2x+2-6x+3=l；..........................②

移项，合并同类项得：-4x=-4；.........................③

解得：x=l...............................................④

（1）欣欣的解答过程在第几步开始出错？（请写序号即可）

（2）请你完成正确的解答过程.

解：（1）步骤①；

（2）去分母，得2（x+2）-3（2x-l）=6；

去括号：2广4-6矛+3=6；

移项，合并同类项得：-4x=-1；

解得：x^--

4

22.（6分）（2023•衢州）小红在解方程红=^L+1时，第一步出现了错误:

36

解：2X7x=(4x-1)+1,

(1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处.

(2)写出你的解答过程.

解：(1)如图：

解：2*7x=(4x-l)+1,

(2)去分母：2X7x=(4x-l)+6,

去括号：14x=4x-1+6,

移项：14x-4x=-l+6,

合并同类项：10x=5,

系数化1：x=」.