山东省青岛市九校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷(解析)

高中数学精编资源～2023学年度第二学期高二期中考试数学试卷2023.4考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第七章第一节结束.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点关于yOz平面的对称点的特征可得答案.【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于yOz平面的对称点的坐标为，故选：C.2.若4名教师报名参加乡村志愿支教活动，可以从A，B，C这3个学校中选报1个，则不同的报名方式有（）A.16种 B.24种 C.64种 D.81种【答案】D【解析】【分析】每位教师报名都有3种选择，由分步计数原理计算可得答案.【详解】每位教师报名都有3种选择，则4名教师报名方式有（种）.故选：D.3.质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在时的瞬时速度为（）A.16m/s B.36m/s C.64m/s D.81m/s【答案】B【解析】【分析】根据导数的物理意义，求函数的导数，即可得到结论.【详解】由，得，∴质点M在时的瞬时速度为36m/s.故选：B.4.抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（）A.2 B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合抛物线的定义，即可求解.【详解】由抛物线的准线方程为，焦点，因为抛物线上一点的纵坐标为2，根据抛物线的定义，可得点与抛物线焦点的距离为.故选：B.5.圆上的点到直线的最大距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.【详解】圆化为标准方程得，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为所以圆上的点到直线的最大距离为.故选:C.6.从8名女护士和4名男医生中，抽取3名参加支援乡镇救护工作，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）A.112 B.32 C.56 D.12【答案】A【解析】【分析】利用分层抽样的定义和方法确定抽到的女护士与男医生的人数，结合组合数公式求出结果.【详解】∵从8名女护士，4名男医生中选出3名，∴每个个体被抽到的概率是，根据分层抽样要求，应选出名女护士，名男医生，∴不同的抽取方法数为种.故选：A.7.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依题意可得，，，令，利用导数说明函数的单调性，结合函数的单调性比较大小.【详解】依题意可得，，，设，则，当时，，单调递减，又，所以，即，即.故选：D.8.若函数存在增区间，则实数的取值范围为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先假设函数不存在增区间，则单调递减，利用的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数的取值范围.【详解】若函数不存在增区间，则函数单调递减，此时在区间恒成立，可得，则，可得，故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（）A.焦点为 B.渐近线方程为C.离心率e为 D.焦点到渐近线的距离为【答案】BC【解析】【分析】根据方程求出，再由双曲线的性质以及点到直线的距离公式得出答案.【详解】由方程可知则焦点为，渐近线方程为，即离心率为，焦点到渐近线的距离为故选：BC10.已知，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据二项展开式系数的性质，结合赋值法，逐项计算，即可求解.【详解】由，令，可得，所以A正确；含的项为，故，所以B错误；令，可得，又因为，故，所以C正确；令，可得，又由，故，所以D正确.故选：ACD.11.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（）A.B.第2023行的第1012个和第1013个数最大C.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2：3【答案】ABD【解析】【分析】A选项，利用组合数运算公式计算；B选项，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；C选项，第6，7，8，9行的第7个数字分别为：1，7，28，84，C错误；D选项，第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，所以，故D正确.【详解】A选项，，，故A正确；B选项，由图可知：第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大，故第2023行的第1012个和第1013个数最大，故B正确；C选项，第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为36；第9行第7个数字是84，故C错误；D选项，依题意：第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，所以，故D正确.故选：ABD.12.已知函数，则下列结论错误的是（）A.函数存在两个不同的零点B.函数只有极大值没有极小值C.当时，方程有且只有两个实根D.若时，，则t的最小值为2【答案】BD【解析】【分析】由，得到，可判定A正确；求得，得出函数的单调区间，可判定B错误；根据函数的最小值是，可判定C正确；由函数的单调性和极值，可判定时，，可判定D错误.【详解】对于A中，由，可得，解得，所以A正确；对于B中，由，令时，可得，当时，或，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B错误；对于C中，当时，，根据B可知，函数的最小值是，可得函数大致图象，所以当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D中，由B知函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其中，当时，即在区间时，可得，所以D错误.故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则曲线在处的切线方程为_________.【答案】【解析】【分析】利用导数的几何意义计算即可.【详解】，则，又，所以曲线在处的切线方程为，即.故答案为：.14.正项等比数列中，，是方程的两个根，则_________.【答案】##0.5【解析】【分析】利用韦达定理、等比数列的性质，结合对数的运算求解.【详解】，是方程的两个根，由韦达定理可得，正项等比数列中，有，所以.故答案为：15.盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是_________．【答案】##【解析】【分析】根据，由全概率公式计算可得结果.【详解】记事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；则；，；，，.故答案为：.16.已知函数，其导函数记为，则__________.【答案】2【解析】【分析】利用求导法则求出，即可知道，令，可证得为奇函数，利用奇偶性即可求解.【详解】函数，则，显然为偶函数，令，，，所以为奇函数，又为偶函数，所以，，所以.故答案为：2.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.设数列是公差为的等差数列，已知，（1）求数列的通项公式；（2）若，且的前n项和为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出公差，进而求解；（2）结合（1）的结论得到，利用裂项相消法即可求解.小问1详解】因为数列是公差为的等差数列，且，所以，则或.又，，∴.【小问2详解】由（1）可得，，∴18.设函数．（1）求的单调区间；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）由（1）可得函数在上的单调性，即可求出函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的值域.【小问1详解】因为定义域为，所以，因为，所以，所以当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，所以，又，，又，所以，所以.19.2022年4月16日3名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求：（1）2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法；（2）3名宇航员互不相邻的概率；（3）2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率.【答案】（1）12（2）（3）.【解析】【分析】（1）利用分步乘法计数原理以及排列数的计算求得排法数.（2）利用插空法、排列数以及古典概型的知识求的所求概率.（3）根据名航天科学家之间的人数进行分类讨论，利用古典概型的知识求得所求的概率.【小问1详解】第一步，先排2名航天科学家，第二步，再排3名宇航员，所以总共有（种）.【小问2详解】先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，所以总共有（种），5人排成一排一共（种），所以所求的概率为：.小问3详解】①当2名航天科学家之间有3名宇航员时，；②当2名航天科学家之间有2名宇航员时，，故.20.设椭圆：的离心率为，且短轴长为.（1）求椭圆C的方程；（2）若在y轴上的截距为2的直线与椭圆C分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于12，求直线AB的方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由离心率的值可得，，可求出的值，由此得解；（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值，从而得到直线的方程.【小问1详解】由题可得，由有，，解得，故所求椭圆方程为：.【小问2详解】由题意可知直线的斜率存在，设：，，，联立，或，∴，，∴，，故直线AB的方程为.21.如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，．（1）求证：平面ACF；（2）在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的正弦值为？若存在，求出线段PH的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，的长为或，理由见解析.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.（2）设，求出，根据与平面所成角的正弦值列方程，由此求得，进而求得的长.【小问1详解】依题意，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，故可设，由于，所以平面.【小问2详解】存在，理由如下：设，，，，依题意与平面所成角的正弦值为，即，，解得或.，即的长为或，使与平面所成角的正弦值为.22.已知函数.（1）判断在上的单调性；（2）若，求证：.【答案】（1