2025版新教材高中数学同步练习26球的表面积和体积新人教A版必修第二册

同步练习26球的表面积和体积必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．若球的表面积扩大为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为()A．eq\r(n)－1B．eq\r(n)＋1C．eq\r(n)＋2D．eq\r(n)2．[2024·河南洛阳高一期中]若一个长方体的长、宽、高分别为4，eq\r(5)，2，且该长方体的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A．18πB．20πC．24πD．25π3．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则圆锥的高与球的半径之比为()A．2∶1B．2∶3C．2∶πD．2∶54．[2024·河北保定高一期末]某圆锥的母线长为4，高为3，则该圆锥外接球的表面积为()A．16πB．eq\f(196π,9)C．24πD．eq\f(256π,9)5．[2024·河南郑州高一期中]已知圆柱的高为2，侧面积为4π，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为()A．eq\f(8\r(2)π,3)B．eq\f(8\r(3)π,3)C．4eq\r(2)πD．4eq\r(3)π6．[2024·山东青岛二中高一期中]已知球O1与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球O2，则球O1与球O2的表面积之比为()A．2∶3B．3∶2C．eq\r(2)∶eq\r(3)D．eq\r(3)∶eq\r(2)7．[2024·安徽舒城中学高一期中]打糍粑流行于中国南方地区，如图为一种打糍粑用的石臼，其可看成从正方体的一面挖去一个半球后形成的几何体．若该正方体的棱长为a，半球的半径为R，石臼的体积为eq\f(3,4)a3，则eq\f(a,R)＝()A.2eq\r(3,\f(2π,3))B．2eq\r(3,\f(π,3))C．eq\f(1,2)eq\r(3,\f(3,π))D．2eq\r(3,\f(π,9))8．(多选)已知某球的表面积为16π，则下列说法中正确的是()A．球的半径为2B．球的体积为10πC．球的体积为eq\f(32,3)πD．球的半径为19．(多选)已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段MN的最小值为eq\r(3)－1，则下列说法正确的是()A．正方体的外接球的表面积为12πB．正方体的内切球的体积为eq\f(4π,3)C．正方体的棱长为2D．线段MN的最大值为2eq\r(3)二、填空题(每小题5分，共15分)10．已知两个球的表面积之差为80π，它们的大圆周长之和为16π，则这两个球的半径之差为________．11．[2024·河南信阳二中高一期中]已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为________．12．[2024·河南濮阳高一期中]如图所示三棱锥A­BCD，其中AB＝CD＝eq\r(5)，AC＝BD＝eq\r(6)，AD＝BC＝eq\r(7)，则该三棱锥外接球的表面积为________．三、解答题(共20分)13．(10分)已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的eq\f(\r(3),2)，且AC＝8，BC＝6，AB＝10，求球的表面积与球的体积．14．(10分)在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为3eq\r(2)的正方形，且各侧棱长均为2eq\r(3)，求该四棱锥外接球的表面积．关键实力提升练15．(5分)上、下底面均为等边三角形的三棱台的全部顶点都在同一球面上，若三棱台的高为eq\r(3)，上、下底面边长分别为eq\r(3)，2eq\r(3)，则该球的体积为()A．eq\f(32π,3)B．eq\f(32\r(3)π,27)C．4eq\r(3)πD．36π16.(5分)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的高为4，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，则该三棱柱的外接球的体积为________．17．(10分)[2024·安徽马鞍山二中高一期中]如图，在水平放置的直径与高相等的圆柱内，放入两个半径相等的小球(球A和球B)，圆柱的底面直径为2＋eq\r(2)，向圆柱内注满水，水面刚好沉没小球B.(1)求球A的体积；(2)求圆柱的侧面积与球B的表面积之比．同步练习26球的表面积和体积必备学问基础练1．答案：A解析：设原球的半径为r，扩大后为R，则原表面积为4πr2，扩大n倍后变为4nπr2，所以R＝eq\r(\f(4nπr2,4π))＝eq\r(n)r，得eq\f(R,r)＝eq\r(n)，即半径扩大到原来的eq\r(n)倍，比原来增加了(eq\r(n)－1)倍．故选A.2．答案：D解析：由题意，长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，即球心O为体对角线交点，半径为体对角线的一半，即球O的半径r＝eq\f(\r(42＋（\r(5)）2＋22),2)＝eq\f(5,2)，则球O的表面积S＝4πr2＝25π.故选D.3．答案：A解析：设半球的半径为r，圆锥的高为h，因为圆锥和半球体积相等，则eq\f(1,3)πr2·h＝eq\f(4,3)πr3·eq\f(1,2)，所以h＝2r，故eq\f(h,r)＝2.故选A.4．答案：D解析：设该圆锥外接球的半径为R，则R2＝(3－R)2＋42－32，解得R＝eq\f(8,3)，故该圆锥外接球的表面积S＝4πR2＝eq\f(256π,9).故选D.5．答案：A解析：由圆柱侧面积S＝2πrh＝4πr＝4π，解得r＝1，因为圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，所以球心在圆柱高的中点处，设球半径为R，则由R＝eq\r(r2＋（\f(h,2)）2)＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·2eq\r(2)＝eq\f(8\r(2),3)π.故选A.6．答案：A解析：设正方体棱长为a，因为球O1与正方体的各条棱相切，所以球O1的直径大小为正方体的面对角线长度，即半径r＝eq\f(\r(2),2)a；正方体内接于球O2，则球O2的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径R＝eq\f(\r(3),2)a；所以球O1与球O2的表面积之比为eq\f(r2,R2)＝eq\f(（\f(\r(2),2)a）2,（\f(\r(3),2)a）2)＝eq\f(2,3).故选A.7．答案：B解析：由题可知正方体的体积为a3，挖去的半球的体积为eq\f(2,3)πR3，所以a3－eq\f(2,3)πR3＝eq\f(3,4)a3，即eq\f(1,4)a3＝eq\f(2,3)πR3，所以eq\f(a,R)＝2eq\r(3,\f(π,3)).故选B.8．答案：AC解析：设球的半径为r，r>0，则4πr2＝16π，r＝2，所以球的体积为eq\f(4π,3)·r3＝eq\f(32π,3)，所以AC选项正确，BD选项错误．故选AC.9．答案：ABC解析：设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即R＝eq\f(\r(3),2)a，内切球半径为棱长的一半，即r＝eq\f(a,2).∵M，N分别为该正方体外接球和内切球上的动点，∴MNmin＝eq\f(\r(3),2)a－eq\f(a,2)＝eq\f(\r(3)－1,2)a＝eq\r(3)－1，解得a＝2，∴正方体的棱长为2，C正确；正方体的外接球的表面积为4π×(eq\r(3))2＝12π，A正确；正方体的内切球的体积为eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4π,3)，B正确；线段MN的最大值为eq\f(\r(3),2)a＋eq\f(a,2)＝eq\r(3)＋1，D错误．故选ABC.10．答案：eq\f(5,2)解析：设两球的半径分别为R和r，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4πR2－4πr2＝80π,2πR＋2πr＝16π))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R2－r2＝20,R＋r＝8))，∴R2－r2＝(R＋r)(R－r)＝8(R－r)＝20，解得：R－r＝eq\f(20,8)＝eq\f(5,2)，即两个球的半径之差为eq\f(5,2).11．答案：14π解析：令长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（ab＋bc＋ac）＝22,a＋b＋c＝6))，由(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝36，则a2＋b2＋c2＝14，而长方体外接球半径r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)，故r＝eq\f(\r(14),2)，其表面积为4πr2＝4π×eq\f(7,2)＝14π.12．答案：9π解析：因为AB＝CD＝eq\r(5)，AC＝BD＝eq\r(6)，AD＝BC＝eq\r(7)，所以可以将三棱锥ABCD如图放置于一个长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝7，,a2＋c2＝6，,b2＋c2＝5，))整理得a2＋b2＋c2＝9，则该棱锥外接球的半径R＝eq\f(3,2)，S球＝4πR2＝9π.13．解析：如图，设球的半径为R，球心为O，截面圆心为O1，则OO1＝eq\f(\r(3),2)R.在△ABC中，由AC2＋BC2＝AB2，即∠ACB＝90°，∴O1是AB的中点，即O1B＝O1A＝5，又OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋O1A2＝OA2，∴(eq\f(\r(3),2)R)2＋52＝R2，可得R＝10.∴球的表面积S＝4πR2＝4π×102＝400π，球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×103＝eq\f(4000,3)π.14．解析：因为四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为3eq\r(2)的正方形，且各侧棱长均为2eq\r(3)，所以该四棱锥是正四棱锥，取正方形ABCD的中心O1，连接SO1，AC，则点O1为AC的中点，如图，则球心O在SO1上，因为正方形ABCD边长为3eq\r(2)，所以AC＝eq\r(2)×3eq\r(2)＝6，所以AO1＝3，因为SA＝2eq\r(3)，所以SO1＝eq\r(SA2－AOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝eq\r(12－9)＝eq\r(3)，设四棱锥SABCD外接球的半径为r，则OO1＝SO1－SO＝eq\r(3)－r，在Rt△AOO1中，AO2＝AOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，即r2＝32＋(eq\r(3)－r)2，解得r＝2eq\r(3)，所以该四棱锥外接球的表面积为4πr2＝4π×(2eq\r(3))2＝48π.关键实力提升练15．答案：A解析：设三棱台为ABCA1B1C1，其中△ABC是下底面，△A1B1C1是上底面，点O，O1分别为△ABC，△A1B1C1的中心，则OO1＝eq\r(3)，OA＝eq\f(2,3)eq\r(（2\r(3)）2－（\r(3)）2)＝2，同理O1A1＝1，所以OA1＝eq\r(（OO1）2＋（O1A1）2)＝eq\r(（\r(3)）2＋12)＝2，同理OB1＝OC1＝2.所以OA＝OB＝OC＝OA1＝OB1＝OC1＝2.所以点O就是几何体的外接球的球心．所以球半径R＝OA＝2，所以体积为eq\f(4πR3,3)＝eq\f(32π,3).故选A.16．答案：8eq\r(6)π解析：因为AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝2eq\r(2)，设△ABC外接圆的半径为r，则2r＝eq\f(BC,sin∠BAC)＝2eq\r(2)，又直三棱柱ABCA1B1C1的高h＝4，设直三棱柱ABCA1B1C1外接球的半径为R，则(2R)2＝h2＋(2r)2，即(2R)2＝42＋(2eq\r(2))2，解得R＝eq\r(6)，所以外接球的体积V＝eq\f(4πR3,3)＝8