适用于新教材2025版高中数学课时素养检测三十五分层随机抽样新人教A版必修第二册

PAGE三十五分层随机抽样(20分钟45分)一、选择题(每小题5分，共25分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．(2024·南京高一检测)当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房惊慌的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采纳分层随机抽样的方法确定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为()A．40B．30C．20D．36【解析】选A.由题意可知90×eq\f(360,360＋270＋180)＝40.2．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采纳分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()A．9B．18C．27D．36【解析】选B.设该单位老年职工有x人，则160＋3x＝430⇒x＝90，即老年职工有90人，设样本中的老年职工人数为y，则eq\f(32,160)＝eq\f(y,90)⇒y＝18.【补偿训练】某单位有职工161人，其中业务员有104人，管理人员33人，后勤服务人员24人，现用分层随机抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员()A．3人B．4人C．5人D．13人【解析】选B.由于eq\f(161,20)＝8eq\f(1,20)，故从管理人员中剔除1人，从而抽样比为eq\f(1,8)，则抽取的管理人员为32×eq\f(1,8)＝4(人).3．分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为()A．2B．4C．6D．8【解析】选C.由分层抽样样本平均数的算法得eq\f(20,20＋30)×3＋eq\f(30,20＋30)×8＝6.4．(2024·杭州高一检测)某中学共有1000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为()A．20B．25C．30D．35【解析】选D.高一年级抽取的人数为eq\f(350,1000)×100＝35.5．(多选题)一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入状况，确定采纳分层随机抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则下列抽取正确的是()A．高级职称抽取8人 B．中级职称抽取16人C．初级职称抽取10人 D．其余人员抽取6人【解析】选ABCD.抽样比例为eq\f(40,800)＝eq\f(1,20)，故各层中依次抽取的人数为160×eq\f(1,20)＝8(人)，320×eq\f(1,20)＝16(人)，200×eq\f(1,20)＝10(人)，120×eq\f(1,20)＝6(人).二、填空题(每小题5分，共10分)6．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓状况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为________．【解析】因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12，所以抽取驾驶员的抽样比为eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷eq\f(1,8)＝808.答案：8087．某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______辆、______辆、______辆．【解析】三种型号的轿车共9200辆，抽取样本为46辆，则按eq\f(46,9200)＝eq\f(1,200)的比例抽样，所以依次应抽取1200×eq\f(1,200)＝6(辆)，6000×eq\f(1,200)＝30(辆)，2000×eq\f(1,200)＝10(辆).答案：63010三、解答题8．(10分)某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生487xy男生513560z已知从全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率是0.18.(1)问高二年级有多少名女生？(2)现对各年级用分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，问应从高三年级抽取多少名学生？【解析】(1)由eq\f(x,3000)＝0.18得x＝540，所以高二年级有540名女生．(2)高三年级人数为：y＋z＝3000－(487＋513＋540＋560)＝900.所以eq\f(900,3000)×300＝90，故应从高三年级抽取90名学生．(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的状况，安排采纳分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生()A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人C．20人，30人，40人D．30人，50人，10人【解析】选B.先求抽样比eq\f(n,N)＝eq\f(90,3600＋5400＋1800)＝eq\f(1,120)，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×eq\f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq\f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq\f(1,120)＝15(人).【补偿训练】某医学院有四个饲养房，分别养有18，54，24，48只白鼠供试验用．某项试验需抽取24只，你认为最合适的抽样方法为()A．在每个饲养房各抽取6只B．把全部白鼠都加上编有不同号码的颈圈，用随机抽样法确定24只C．在四个饲养房分别顺手提出3，9，4，8只D．先确定在这四个饲养房应分别抽取3，9，4，8只，再由各饲养房自己加号码颈圈，用简洁随机抽样法确定各自抽取的对象【解析】选D.A中对四个饲养房抽取的白鼠平均分，但由于各饲养房所养数量不一，反而造成了各个个体入选的可能性不相等，是错误的方法．B中保证了各个个体入选的可能性相等，但由于没有留意到处在四个不同环境会产生不同差异，不如采纳分层随机抽样牢靠性高，且统一编号、统一选择加大了工作量．C中总体采纳了分层随机抽样，但在每个层次中抽取时有肯定的主观性，貌似随机，实则各个个体被抽到的可能性无法保证相等．2．(2024·南阳高一检测)某校共有2000名学生参与跑步和登山竞赛，每人都参与且每人只参与其中一项竞赛，各年级参与竞赛的人数状况如下表：高一年级高二年级高三年级跑步人数abc登山人数xyz其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参与登山的人数占总人数的eq\f(1,4).为了了解学生对本次活动的满足程度，按分层抽样的方式从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则高三年级参与跑步的学生中应抽取的人数为()A．25B．35C．45D．55【解析】选C.由题意，全校参与跑步的人数占总人数的eq\f(3,4)，高三年级参与跑步的总人数为eq\f(3,4)×2000×eq\f(3,10)＝450，由分层抽样的特征，得高三年级参与跑步的学生中应抽取eq\f(1,10)×450＝45(人).3．为了了解A，B，C三个贫困县60岁以上老年人的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1200的样本，A，B，C三个县60岁以上老年人数之比依次为k∶5∶3，已知从A县60岁以上老年人中抽取了240人，则在C县的60岁以上的老年人中应抽取人数为()A．280B．300C．360D．420【解析】选C.因为在A县60岁以上的老年人中抽取240人，即抽样比为eq\f(240,1200)＝eq\f(1,5)，所以eq\f(k,k＋5＋3)＝eq\f(1,5)，解得k＝2.故应从C县60岁以上老年人中抽取1200×eq\f(3,2＋5＋3)＝360(人).4．(多选题)某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层随机抽样的方法从中抽20人，下列说法正确的有()A．不到35岁的抽9人B．35岁到49岁的抽7人C．50岁以上(包括50岁)的抽6人D．三层的抽样比可以不同，每一层必需等可能抽样【解析】选AC.三层的抽样比必需相同．由于样本容量与总体个体数之比为eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，故各年龄段抽取的人数依次为45×eq\f(1,5)＝9(人)，25×eq\f(1,5)＝5(人)，20－9－5＝6(人).二、填空题(每小题5分，共20分)5．(2024·江门高一检测)某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的状况，拟采纳分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．【解析】C专业的学生有1200－380－420＝400(名)，由分层随机抽样原理，应抽取120×eq\f(400,1200)＝40(名).答案：406．某学校三个爱好小组的学生人数分布如表(每名同学只参与一个小组)(单位：人).篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样的方法，从参与这三个爱好小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为______.【解析】由题意知eq\f(12,45＋15)＝eq\f(30,45＋15＋30＋10＋a＋20)，解得a＝30.答案：30【补偿训练】某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层随机抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是________.【解析】由已知得男生抽了105人，女生抽了95人，设女生人数为x，则有eq\f(200,1600)＝eq\f(95,x)，所以x＝760.答案：7607．(2024·厦门高一检测)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采纳分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．【解析】分层随机抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品总数为1800件．答案：18008．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜爱”“不喜爱”和“一般”三种看法，其中执“一般”看法的比“不喜爱”的多12人，按分层随机抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，假如选出的是5位“喜爱”摄影的同学、1位“不喜爱”摄影的同学和3位执“一般”看法的同学，那全班学生中“喜爱”摄影的______人，全班共有______人．【解析】设班里“喜爱”的有y人，“一般”的有x人，“不喜爱”的有(x－12)人，则eq\f(x－12,x)＝eq\f(1,3)，解得x＝18.因为eq\f(y,18)＝eq\f(5,3)，所以y＝30.所以全班共有30＋18＋6＝54(人).答案：3054三、解答题9．(10分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参与其中一组．在参与活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山组的职工占参与活动总人数的eq\f(1,4)，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满足程度，现用分层随机抽样的方法从参与活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽