适用于新教材2025版高中数学课时素养检测三向量的减法运算新人教A版必修第二册

PAGE三向量的减法运算(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．设a表示向西走10km，b表示向北走10eq\r(3)km，则a－b表示()A．南偏西30°方向走20kmB．北偏西30°方向走20kmC．南偏东30°方向走20kmD．北偏东30°方向走20km【解析】选A.设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，又tan∠OBA＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(OA,\s\up6(→)),\o(OB,\s\up6(→)))))＝eq\f(\r(3),3)，所以∠OBA＝30°，且|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(OA,\s\up6(→))|2＋|\o(OB,\s\up6(→))|2)＝20(km)，故a－b表示向南偏西30°方向走20km.2．下列说法错误的是()A．若eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，则eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))B．若eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，则eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))C．若eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，则eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))D．若eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，则eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))【解析】选D.由向量的减法就是向量加法的逆运算可知：A，B，C都正确．由相反向量定义知，若eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，则eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(EO,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝－(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))＝－eq\o(OM,\s\up6(→))，故D错误．3．O是四边形ABCD所在平面上任一点，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，且|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))|，则四边形ABCD肯定为()A．菱形B．随意四边形C．矩形D．平行四边形【解析】选D.由|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))|知|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，故四边形ABCD是平行四边形．4．(2024·菏泽高一检测)如图，在△ABC中，D为边BC的中点，则下列结论正确的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))【解析】选C.由已知及图形得到eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，故A错误；eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，故B错误；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故C正确；eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))≠eq\o(BC,\s\up6(→))，故D错误．5．在平面上有A，B，C三点，设m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，若m与n的长度恰好相等，则有()A．A，B，C三点必在一条直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角D．△ABC必为等腰直角三角形【解析】选C.以eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))为邻边作平行四边形，则m＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，n＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形肯定是矩形，所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角．6．(多选题)化简以下各式，结果为零向量的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))C．eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))【解析】选ABCD.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0；eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0；eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝0；eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))－eq\o(NM,\s\up6(→))＝0.二、填空题(每小题5分，共10分)7．(2024·银川高一检测)已知a，b为非零向量，则下列说法正确的是________．①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同；②若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反；③若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模；④若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同．【解析】当a、b方向相同时有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a、b方向相反时有||a|－|b||＝|a＋b|，|a|＋|b|＝|a－b|，因此①②④正确．答案：①②④【补偿训练】已知如图，在正六边形ABCDEF中，与eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))相等的向量有________．①eq\o(CF,\s\up6(→))；②eq\o(AD,\s\up6(→))；③eq\o(DA,\s\up6(→))；④eq\o(BE,\s\up6(→))；⑤eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；⑥eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))；⑦eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)).【解析】eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))；eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))≠eq\o(CF,\s\up6(→))；eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))≠eq\o(CF,\s\up6(→))；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))≠eq\o(CF,\s\up6(→)).答案：①8．若非零向量a和b满意|a＋b|＝|b|＝2，则|a|的取值范围是________．【解析】因为||a＋b|－|b||≤|a|＝|a＋b－b|≤|a＋b|＋|b|＝4，又a是非零向量，因此|a|的取值范围是(0，4].答案：(0，4]三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知点B是▱ACDE内一点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，试用a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))及eq\o(BD,\s\up6(→)).【解析】因为四边形ACDE为平行四边形．所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c；eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝c－a；eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝c－b；eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.10．如图，已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，eq\o(OF,\s\up6(→))＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：(1)eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AD,\s\up6(→))；(3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\