2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.1命题与量词1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定学案新人教B版必修第一册

PAGEPAGE11.2常用逻辑用语1．2.1命题与量词1．2.2全称量词命题与存在量词命题的否定课程标准(1)全称量词与存在量词．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．(2)全称量词命题与存在量词命题的否定．①能正确运用存在量词对全称量词命题进行否定．②能正确运用全称量词对存在量词命题进行否定．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点学问点一命题用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的________称为命题．其中________的语句称为真命题，________的语句称为假命题．学问点二全称量词和全称量词命题全称量词________、________、________符号∀全称量词命题含有________的命题形式“对集合M中的全部元素x，r(x)”，可简记为________学问点三存在量词和存在量词命题存在量词________、________、________符号表示∃存在量词命题含有________的命题形式“存在集合M中的元素x，s(x)”，可用符号记为________状元随笔全称量词命题与存在量词命题的区分(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内全部对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．学问点四命题的否定1．命题的否定：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”．2．命题的真假与命题的否定的真假：假如一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应当是假命题；反之亦然．3．常见的命题的否定形式有原语句是都是>至少有一个至多有一个否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个学问点五全称量词命题和存在量词命题的否定1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x)．2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)．状元随笔全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．基础自测1．下列语句中命题有________个，其中真命题有________个．①“等边三角形莫非不是等腰三角形吗？”；②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；③“一个数不是正数就是负数”；④“珠海是一个多么漂亮的海滨城市啊！”；⑤“x＋y为有理数，则x、y也都是有理数”；⑥“作△ABC∽△A1B1C1”．A.2，0B．4，2C．3，2D．4，32．(多选)下列命题中哪些是全称量词命题()A.随意一个自然数都是正整数B.全部的素数都是奇数C.有的正方形不是菱形D.三角形的内角和是180°3．下列命题中存在量词命题的个数是()①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2≤0；③有的奇数能被2整除．A.0B．1C．2D．34．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是()A.对随意实数x，都有x＞1B.不存在实数x，使x≤1C.对随意实数x，都有x≤1D.存在实数x，使x≤1课堂探究·素养提升——强化创新性题型1全称量词命题与存在量词命题的推断与其真假[经典例题]例1(1)推断下列命题哪些是全称量词命题，并推断其真假．①对随意x∈R，x2＞0；②有些无理数的平方也是无理数；③对顶角相等；④存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；⑤对随意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0；⑥存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．正确地识别命题中的全称量词，是解决问题的关键．(2)下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x状元随笔推断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，就是推断这个命题中是否含有全称量词或存在量词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要依据命题含义推断形式．方法归纳(1)要判定全称量词命题是真命题，须要推断全部的状况都成立；假如有一种状况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．(2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种状况成马上可；假如找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题．跟踪训练1(1)下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是()A．π是无理数B．∃x0∈N，使2x0为偶数C．对随意x∈R，都有x2＋2x＋1＞0D．全部菱形的四条边都相等(2)下列存在量词命题是真命题的是()A．有一个实数x，使x2＋3x＋4＝0B．至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数C．有些实数是无限不循环小数D．存在一个三角形，它的内角和小于180°题型2含有一个量词的命题的否定[教材P29例2]例2写出下列命题的否定，并推断所得命题的真假：(1)p：∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点；(2)q：∀x∈(－3，＋∞)，x2＞9.状元随笔先把命题否定，再推断真假．方法归纳全称量词命题的否定是一个存在量词命题，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，因此在书写他们的否定时，相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，同时否定结论．跟踪训练2(1)命题“对于随意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A.不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．对随意的x∈R，x3－x2＋1＞0D．存在x∈R，x3－x2＋1＞0∀x∈M，p(x)的否定为∃x∈M，¬p(x)．(2)命题“∃x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是()A.∃x∈R，x3－2x＋1≠0B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0C．∀x∈R，x3－2x＋1＝0D．∀x∈R，x3－2x＋1≠0∃x∈M，p(x)的否定为∀x∈M，¬p(x)．题型3利用命题的否定求参数范围例3(1)若“∃x∈R，x2＋2x－a<0”是真命题，则实数a的取值范围是________；(2)已知命题p：“∀x∈R，x2－2x＋m>0”是真命题，求实数m的取值范围．方法归纳利用含量词的命题的真假求参数的取值范围(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可依据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等学问解决.跟踪训练3(1)能够说明“设a，b，c是随意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为()A．3，2，1B．1，－2，－3C．－1，－2，－3D．0，－2，－3(2)已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A．{a|a≥1}B．{a|a＜1}C．{a|a＞1}D．{a|a≤1}第一章集合与常用逻辑用语1．2常用逻辑用语1．2.1命题与量词1．2.2全称量词命题与存在量词命题的否定新知初探·自主学习[教材要点]学问点一陈述句推断为真推断为假学问点二全部随意每一个全称量词“∀x∈M，r(x)”学问点三存在至少有一个有存在量词“∃x∈M，s(x)”[基础自测]1．解析：①是一个反问句，不是命题；②是一个疑问句，不是命题；③符合命题的定义，是命题；是一个假命题；④是一个感叹句，不是命题；⑤符合命题的定义，是命题；是一个假命题；⑥是作图语言，不符合命题的定义，不是命题．答案：A2．解析：命题AB含有全称量词，而命题D可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，C是存在量词命题，故有三个全称量词命题．答案：ABD3．解析：①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．答案：D4．解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对随意实数x，都有x≤1”．答案：C课堂探究·素养提升例1【解析】(1)①③⑤是全称量词命题，①是假命题，∵x＝0时，x2＝0.③是真命题．⑤是真命题．(2)A.锐角三角形的内角是锐角或钝角，是假命题；B.至少有一个实数x＝0，使x2≤0成立，因此为真命题；C.两个无理数的和必是无理数，是假命题，例如－2+2＝0为实数，因此是假命题；D.不存在负数x，使【答案】(1)见解析(2)B跟踪训练1解析：(1)对于A，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题，不符合题意；对于B，∃x0∈N，使2x0为偶数，不是全称量词命题，不符合题意；对于C，对随意x∈R，都有x2＋2x＋1＞0，是全称量词命题，但当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，为假命题，不符合题意；对于D，全部菱形的四条边都相等，是全称量词命题并且是真命题，符合题意．(2)没有实数x，使x2＋3x＋4＝0成立，所以A不正确；n为整数，n2＋n＝n(n＋1)，是两个连续的整数乘积，肯定是偶数，所以B不正确；有些实数是无限不循环小数，例如无理数，所以C正确；三角形的内角和为180°，所以不行能存在一个三角形，它的内角和小于180°，所以D不正确．故选C.答案：(1)D(2)C例2【解析】(1)¬p：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点．因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以¬p是假命题．(2)¬q：∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9.因为x＝0时，x2＝0＜9，所以¬q是真命题．跟踪训练2解析：(1)∵命题“对于随意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全称量词命题，其否定是对应的存在量词命题，∴否定命题为：存在x∈R，x3－x2＋1>0.故选D.(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，故解除A；由命题的否定要否定结论，故解除C；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”，故解除B.答案：(1)D(2)D例3【解析】(1)若“∃x∈R，x2＋2x－a<0”是真命题，则Δ>0，即4＋4a>0，解得a>－1，则实数a的取值范围是{a|a>－1}．(2)p：“∀x∈R，x2－2x＋m>0”是真命题，即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，当x＝1时，ymax＝1，所以m>ymax＝1，即实数m的取值范围是(1，