新教材适用2024-2025学年高中数学第4章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念素养作业新人教A版选择性必修第二册

第四章4.24.2.1第1课时A组·基础自测一、选择题1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(A)A．是公差为2的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列[解析]∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，∴数列{an}是公差为2的等差数列．2．已知数列{an}，对随意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(A)A．公差为2的等差数列B．公差为1的等差数列C．公差为－2的等差数列D．非等差数列[解析]由题意知an＝2n＋1，则an＋1－an＝2.故选A．3．在两个实数a，b(a≠b)之间插入n个数，使它们与a，b组成等差数列，则该数列的公差为(C)A．eq\f(b－a,n) B．eq\f(a－b,n＋1)C．eq\f(b－a,n＋1) D．eq\f(b－a,n＋2)[解析]b是等差数列的第n＋2项．由等差数列的通项公式，得b＝a＋(n＋2－1)d，解得d＝eq\f(b－a,n＋1).4．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(B)A．40 B．42C．43 D．45[解析]设公差为d，则a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12d＝42.5．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是(C)A．a＝－b B．a＝3bC．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0[解析]由等差中项的定义知：x＝eq\f(a＋b,2)，x2＝eq\f(a2－b2,2)，∴eq\f(a2－b2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.二、填空题6．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝－eq\f(1,2).[解析]方法一：由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1，又由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－eq\f(1,2).方法二：a7＝a3＋4d＝4d，a4＝a3＋d＝d，代入条件即可得d.7．已知f(n＋1)＝f(n)－eq\f(1,4)(n∈N*)，且f(2)＝2，则f(101)＝－eq\f(91,4).[解析]∵{f(n)}为等差数列，公差为－eq\f(1,4)，∴f(1)＝f(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝2＋eq\f(1,4)＝eq\f(9,4).∴f(101)＝f(1)＋100·d＝eq\f(9,4)＋100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝－eq\f(91,4).8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为eq\f(67,66)升．[解析]设此等差数列为{an}，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66).))∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).三、解答题9．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．[解析]设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则3a＝9，∴a＝3.∴这三个数分别为3－d,3,3＋d.由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，∴d＝－1.∴这三个数分别为4,3,2.10．已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．[解析]因为2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，所以3b＝15，b＝5.设等差数列a，b，c的公差为d，则a＝5－d，c＝5＋d.由2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)知：2lg4＝lg(6－d)＋lg(4＋d)．从而16＝(6－d)(4＋d)，即d2－2d－8＝0.所以d＝4或d＝－2.所以a，b，c三个数分别为1,5,9或7,5,3.B组·素养提升一、选择题1．(多选题)下列命题中正确的个数是(BCD)A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2肯定成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2肯定成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)可能成等差数列[解析]对于A，令a＝1，b＝2，c＝3，则a2＝1，b2＝4，c2＝9，A错误；对于B，取a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，B正确；对于C，因为a，b，c成等差，所以a＋c＝2b，所以(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，C正确；对于D，取a＝b＝c≠0，则eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,c)，D正确．2．等差数列的首项为eq\f(1,25)，且从第10项起先为比1大的项，则公差d的取值范围是(D)A．d>eq\f(8,75) B．d<eq\f(3,25)C．eq\f(8,75)<d<eq\f(3,25) D．eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)[解析]由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>1，,a9≤1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d>1，,\f(1,25)＋8d≤1，))∴eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25).3．(多选题)已知数列{an}满意：a1＝2，当n≥2时，an＝(eq\r(an－1＋2)＋1)2－2，则下列说法正确的是(ABC)A．a2＝7 B．数列{an}为递增数列C．an＝n2＋2n－1 D．数列{an}为周期数列[解析]∵数列{an}满意：a1＝2，当n≥2时，an＝(eq\r(an－1＋2)＋1)2－2，∴an＋2＝(eq\r(an－1＋2)＋1)2，∴eq\r(an＋2)＝eq\r(an－1＋2)＋1，即数列{eq\r(an＋2)}是首项为eq\r(a1＋2)＝2，公差为1的等差数列．∴eq\r(an＋2)＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝n2＋2n－1，所以易知ABC正确，D错误．故选ABC．二、填空题4．已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a2＋a6＝a8.若p－q＝10，则ap－aq＝_10__.[解析]设等差数列{an}的公差为d(d>0)，∵a1＝1，且a2＋a6＝a8，∴2＋6d＝1＋7d，解得d＝1.若p－q＝10，则ap－aq＝10d＝10.5．等差数列{an}，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为_an＝38－5n__.[解析]由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7＝a1＋6d>0，,a8＝a1＋7d<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(33＋6d>0，,33＋7d<0，))解得－eq\f(33,6)<d<－eq\f(33,7).又∵d∈Z，∴d＝－5.∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n.三、解答题6．已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，在数列{xn}中，x1＝eq\f(1,3)，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列，并求x95的值．[解析]因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，所以xn＝eq\f(2xn－1,xn－1＋2)(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，得eq\f(2xn－1－2xn,xnxn－1)＝1(n≥2)，即eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,2)(n≥2)．又eq\f(1,x1)＝3，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是以3为首项，eq\f(1,2)为公差的等差数列，所以eq\f(1,xn)＝3＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n＋5,2)，所以xn＝eq\f(2,n＋5)，所以x95＝eq\f(2,95＋5)＝eq\f(1,50).C组·探究创新已知等差数列{an}：3,7,11,15，….(1)求{an}的通项公式；(2)135,4m＋19(m∈N*)是数列{an}的项吗？假如是，是第几项？(3)若am，at(m，t∈N*)是数列{an}中的项，那么2am＋3at是数列{an}的项吗？假如是，是第几项？[解析](1)设数列{an}的公差为d，依题意，有a1＝3，d＝7－3＝4，∴an＝3＋4(n－1)＝4