二项式定理课件范文

二项式定理课件范文二项式定理n0n1n?1(a?b)?Ca?Cab?nn1、rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)n的二项展开式。r(r?0,1,2,???,n).②二项式系数:展开式中各项的系数Cn③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式rn?rr④通项：展开式中的第r?1项Cnab叫做二项式展开式的通项。用Tr?1?Cnarn?rrb表示。3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n?1)项。②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)n与(b?a)n是不同的。③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。4．常用的结论：0122令a?1,b?x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?0122令a?1,b??x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?rr?Cnx?rr?Cnx?nn?Cnx(n?N?)nn?(?1)nCnx(n?N?)5．性质：0nkk?1①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn，···Cn?Cn?Cn012②二项式系数和：令a?b?1,则二项式系数的和为Cn?Cn?Cn?12变形式Cn?Cn?r?Cn?n?Cn?2n?1。r?Cn?n?Cn?2n，③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：0123在二项式定理中，令a?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn?0242r13从而得到：Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn?n?(?1)nCn?(1?1)n?0，2r?1?Cn?????1n?2?2n?12④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0n01n?12n?22(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax?00n122n?2(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax?n0n?Cnax?a0?a1x1?a2x2?nn0?Cnax?anxn??anxn?a2x2?a1x1?a0令x?1,则a0?a1?a2?a3令x??1,则a0?a1?a2?a3?①?②得,a0?a2?a4①?②得,a1?a3?a5?an?(a?1)n?????????①?an?(a?1)n????????②(a?1)n?(a?1)n?an?(奇数项的系数和)2(a?1)n?(a?1)n?an?(偶数项的系数和)2n2n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数C大值。⑥系数的最大项：求(a?bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别n?12n,Cn?12n同时取得最为A1,A2,???,An?1，设第r?1项系数最大，应有??Ar?1?Ar，从而解出r来。A?A?r?1r?2专题一题型一：二项式定理的逆用；123例：Cn?Cn?6?Cn?62?n?Cn?6n?1?n?Cn?6n与已知的有一些差距，0123解：(1?6)n?Cn?Cn?6?Cn?62?Cn?63?123?Cn?Cn?6?Cn?62?n?Cn?6n?1??1012(Cn?Cn?6?Cn?62?6112n(Cn?6?Cn?62??Cn?6n)611n?Cn?6n?1)?[(1?6)n?1]?(7n?1)66123练：Cn?3Cn?9Cn?n?3n?1Cn?n，则?3n?1Cnnn012233?Cn3?Cn?Cn3?Cn3?Cn3?nn?Cn3?1?(1?3)n?1123解：设Sn?Cn?3Cn?9Cn?122333Sn?Cn3?Cn3?Cn3?(1?3)n?14n?1?Sn??33题型二：利用通项公式求xn的系数；例：在二项式n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？解：由条件知Cnr10n?22?45，即Cn?45，?n2?n?90?0，解得n??9(舍去)或n?10，由23r10?r2?r43Tr?1?C(x)?1410?r(x)?Cxr10?，由题意?10?r2?r?3,解得r?6，4363则含有x3的项是第7项T6?1?C10x?210x3,系数为210。19)展开式中x9的系数？2x111r(x2)9?r(?)r?C9rx18?2r(?)rx?r?C9r(?)rx18?3r，令18?3r?9,则r?3解：Tr?1?C92x22132139故x的系数为C9(?)??。22练：求(x2?题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式(x2?10的展开式中的常数项？解：Tr?1?C(x)r10210?rr5451r20?5818()??C()x2，令20?r?0，得r?8，所以T9?C10222562rr1016)的展开式中的常数项？2x1rr6?rrrr6?r1r6?2r解：Tr?1?C6(2x)(?1)()?(?1)C62()x，令6?2r?0，得r?3，所以2x2练：求二项式(2x?3T4?(?1)3C6??201n)的二项展开式中第5项为常数项，则n?____.x42n?41442n?12解：T5?Cn(x)()?Cnx，令2n?12?0，得n?6.x2练：若(x?题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式9展开式中的有理项？解：Tr?1?C(x)r9129?r(?x)?(?1)Cx13rrr927?r6，令27?r?Z,(0?r?9)得r?3或r?9，627?r34?4，T4?(?1)3C9x??84x4，627?r93?3，T10?(?1)3C9当r?9时，x??x3。6所以当r?3时，题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若n展开式中偶数项系数和为?256，求n.解：设n展开式中各项系数依次设为a0,a1,???an,令x??1,则有a0?a1????an?0,①，令x?1,则有a0?a1?a2?a3?????(?1)nan?2n,②将①-②得：2(a1?a3?a5????)??2n,?a1?a3?a5??????2n?1,有题意得，?2n?1??256??28，?n?9。练：若解：n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。2r?1?Cn?????2n?1，?2n?1?1024，解得n?110242r13Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn?61?65?4所以中间两个项分别为n?6,n?7，T5?1?C?462?x，T6?1?462?x155n题型六：最大系数，最大项；n例：已知(?2x)，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系12数最大项的系数是多少？解：465Cn?Cn?2Cn,?n2?21n?98?0,解出n?7或n?14，当n?7时，展开式中二项式系数最大354134,，T5的系数?C7()2?70,当n?14时，展开式中227177二项式系数最大的项是T8，?T8的系数?C14()2?3432。2343的项是T4和T5?T4的系数?C7()2?12练：在(a?b)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n2?1?Tn?1，也就是第n?1项。练：在(?x2n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？n1?1?5，即n?8,所以展开式中常数项为第七项等于C86()2?722解：只有第5项的二项式最大，则7例：写出在(a?b)的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从343434而有T4??C7ab的系数最小，T5?C7ab系数最大。n例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(?2x)的展开式中系数最大的项？12012解：由Cn?Cn?Cn?79,解出n?12,假设Tr?1项最大，11(?2x)12?()12(1?4x)1222rrr?1r?1??Ar?1?Ar?C124?C124????rr，化简得到9.4?r?10.4，又0?r?12，?r?10，展开式r?1r?1A?A??r?1r?2?C124?C124中系数最大的项为T11,有T11?()C124x1212101010?16896x10练：在(1?2x)10的展开式中系数最大的项是多少？解：假设Tr?1项最大，Tr?1?C10?2xrrr?1r?1??Ar?1?Ar?2(11?r)?r?C102?C102????rr解得，化简得到6.3?k?7.3，又?r?1r?1?r?1?2(10?r)?Ar?1?Ar?2??C102?C102,rrr7770?r?10，?r?7，展开式中系数最大的项为T8?C102x?15360x7.题型七：含有三项变两项；例：求当(x2?3x?2)5的展开式中x的一次项的系数？r解法①：(x2?3x?2)5?[(x2?2)?3x]5，Tr?1?C5(x2?2)5?r(3x)r，当且仅当r?1时，Tr?1的展开式1144中才有x的一次项，此时Tr?1?T2?C5(x2?2)43x，所以x得一次项为C5C423x144它的系数为C5C423?240。05145051455解法②：(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5?(C5x?C5x?????C5)(C5x?C5x2?????C52)故展开式中含x的项为C5xC52?C5x2?240x，故展开式中x的系数为240.练：求式子(x?455441?2)3的常数项？x解：(x?16?2)3?，设第r?1项为常数项，则x6?rrTr?1?C6(?1)rx(1r6?2rr3，得6?2r?0,r?3,?T3?1?(?1)3C6)?(?1)6C6x??20.x题型八：两个二项式相乘；例：求(1?2x)(1?x)展开式中x的系数.解：mm(1?2x)3的展开式的通项是C3?(2x)m?C3?2m?xm,nnnn(1?x)4的展开式的通项是Cn,2,3,n?0,1,2,3,4,4?(?x)?C4??1?x,其中m?0,1342令m?n?2,则m?0且n?2,m?1且n?1,m?2且n?0,因此(1?2x)3(1?x)4021120的展开式中x2的系数等于C3?20?C4?(?1)2?C3?21?C4?(?1)1?C3?22?C4?(?1)0??6.二项式定理教学设计一、教材分析：1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重，难点）。教学目标：1、知识目标：通过对二项式定理的学习，使学生理解二项式定理，会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律，利用它能对二项式展开，进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。级中学教科书《数学第二册（下A）》的第十章第四节，它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块，也是初中学习的多项式乘法。它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系，利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因此，二项式定理起着承上启下的作用，是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时，本节课是第一课时。【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。（根据以上分析2、能力目标：在学3、情感目标：通过“二项式定理”的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐，对称美及数学符号应用的简洁美，进一步结合“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情，培养学生勇于探索，勇于创新的精神。一、教学重点，难点，关键：重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。（2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。（3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。难点：（1）二项展开式的规律的理解和掌握。（2）“二项式系数”和“系数”的区别。突破难点的关键：（1）利用组合数及性质分析“杨辉三角”中各数的关系；（2）利用组合的知识归纳二项式系数；（3）充分利用二项展开式的规律。二、教法、学法分析数学是一门培养人的思维发展的重要学科。因此，在教学中让学生自己发现规律、总结规律是最好的途径。正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，也可利用组合的有关知识加以分析，归纳，通过对二项式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析，猜想，归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察，联想，归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生，发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。三、教学手段制作多媒体课件，以增加课堂容量及知识的直观性，从而提高学生学习的兴趣，使学生进一步加深对定理，概念的理解。四、教学过程设计【复习引入：】复习回顾：[提问]初中学过的完全平方公式是什么？你能写出（a+b）3，（a+b）4的展开式吗？设计意图：通过复习旧知识，自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开的问题，目的是为了让学生了解知识发生，发展的过程，激发学生在认知的冲突，让学生明白二项式展开实质上是多项式的乘法。思路一：提问：（1）以（a+b）2＝a2+2ab+b2为例，展开式中各项字母的形式是什么？展开式项的系数又是什么？有几项？（2）展开式中各项的系数与展开式中各项的次数有没有关系？（3）你能猜想（a+b）3、（a+b）4??（a+b）n展开式的形式吗？观察下面等式：（a+b）＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab3+b4（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4【设计意图：】由特殊的二项式来分析猜想一般的二项式展开式，培养学生由特殊到一般的思维方式，培养学生大胆探索的精神和创新精神。（1）展开式中各项是幂的形式，可按a（或b）的降幂排成：（2）展开式中各项系数的规律：将上式中展开式的系数列成表如下：11121133114641????发现：发现每行两端都是1，后一行其它各数是上一行肩上二数之和。再从一个数等于另二数之和联想到结合数及其性质：于是各项系数可写成表中形式：由此猜想展开式的各项系数：【设计意图：】学生对各项是什么形式不难猜到，但对二项式系数不易想到，通过“杨辉三角”中的数字规律，联想到组合数及性质，进而可用组合数来表示表中的数，从而猜想各项系数为，让学生的思维从特殊到一般，由迷茫到大悟，使学生深深体会到数学内在的和谐，对称美。在此，适时对学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感和学习数学的热情，思路二：观察下式：（a+b）4＝（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）由多项式乘法知，其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得，故每一项都是形式，即各项系数是由相同的项合并而成的，有几项其系数就是几，故含a4的项只能由每个括号取a不取b（或说取0个b）而得，即C40a4，系数为：C40含a3b的项只能由3个括号取a，余下的1个括号取b而得，即C41a3b，系数为：C41；含a2b2的项只能由2个括号取a，余下的2个括号取b而得，即C42a2b2，系数C42为；含的ab3的项只能由1个括号取a，余下的3个括号取b而得，即C43a3b，系数为C43，含b4的项只能由4个括号都取b而得，即C44b4，系数为C44；从而可得：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4提问：的展开式怎么写呢？引导学生回答：可以对b分类：：不取b，得取1个b，取得2个b，得????取k个b，得????取n－1个b，得取n个b，得将这n+1个式子相加，可得二项式定理（a+b）n＝Cn0anb0+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+??+Cnkan-kbk+??+Cnna0bn（n≥k,n,k∈N+）【设计意图：】本环节以问题为中心，由浅入深地引导学生大胆猜想。利用组合知识，充分揭示二项展开式的内涵和外延。帮助学生建构和完善自己的认知结构，既显得合情合理，又科学严谨。进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。完善结论：把上述探索得到的结果叫做二项式定理，右边的多项式，共有in+1项，其中各项系数Cn（i=1,2,3??,n）叫做二项式系数，其通项公式为：Tk+1=C-nkn-kkab（k=1,2,3??n）。说明：（1）猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全归纳法得出，需加以证明。其证明因目前知识所限，留待以后完成，目前，只要求同学熟记并会应用。（2）二项式定理是个恒等式，定理中字母a,b可表示数或式，其中式中a与b是用“+”连接的。（3）展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。（4）通项公式表示的是第k+1项，不是第k项，且a,b位置不能对换。（5）二项式系数为Cnk，注意与项的系数的区别。例如：（1－x）3的第二项是－C31x，其二项式系数为：C31，第二项的系数为：－C31。【设计意图：】对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用定理解决问题时能得心应手。应用解析：1??1??例：（1）展开?1??,?2x??xx?6???5（学生练习：）展开（a+b）,a+b）（2）求展开式的第3项（3），求展开式的第3项【设计意图：】例（1）是对二项式定理的简单应用，目的在于对定理字母a,b所表示的数或式的领会及运用定理的能力；例（2），（3）二题着重于学生对通项公式的掌握，体会二项式定理的展开式中a与b位置不能对换，并注意到例（3）的结论正是例（2）展开式中的倒数第3项。应用解析：例（4）（a+2b+3c）7ab，的展开式中，a2b3c2项的系数是多少。【设计意图：】本题可先将其中的二项看成一个整体，再用二项式定理展开，进而求出其系数，这种解法体现了化归的意识，但本题如能根据二项式定理的形成过程中项的系数的探究，可得如下解法：从7个括号的2个时取“a”得，再从余下的5个括号中的3个取“2b”得，最后剩下的2个括号里取“3c”得：由分步计数原理得：通过本题的学习，有利于学生对知识的串联，累积，加工，使学生的思维有一个升华过程，从而达到举一反三的效果，加深学生对数学本质的理解。小结思路一：由特殊的二项式来分析猜想一般的展开式思路二：根据多项式乘法，结合组合知识，通过猜想归纳得到二项式定理：（a+b）n＝Cn0anb0+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+??+Cnkan-kbk+??+Cnna0bn（n≥k,n,k∈N+）及通项公式：Tk+1=Cnkan-kbk（k=1,2,3??n）注意事项（1），注意观察，分析，猜想，归纳（证明）的数学方法。（b），二项式定理是个恒等式，定理中字母a,b可表示数或式，其中。（c），展开式共有n+1项，各项次数为n，它是按字母a降幂，b升幂排列。（d），通项公式表示的是第k+1项，不是第k项，且a,b位置不能对换。（e），二项式系数为Cni（i=1,2,3??n），注意与项的系数的区别。布置作业课本作业：P1091,(1),2(2),3(2),2，思考题：求的展开式中的系数３，研究性题：的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时x2展开式中的系数。【设计意图：】（1），本节课从知识上学习了二项式定理及通项公式，从方法上通过二项式定理的形成过程，学会了观察，分析，猜想，归纳（证明）的数学方法，通过小结，使学生对本节课的知识脉络更加清晰。（2），通过作业巩固所学知识，发现和弥补教学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质。五、课后反思本节课是二项式定理的第一节课，在教学中注意以下几点：1，本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特殊到一般，演绎，归纳，得出定理。培养学生猜想，归纳，整节课以学生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。2，在例题，作业的配备上，我认为高中学习的特点是跨度大，思维能力要求高。因此，在题目的设置上，加大了思维的含量，如例4，让学生体会到二项式定理形成过程中的思维方式，培养了学生的知识迁移能力，因此，我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学，认识数学。3，以学生为主体，让学生自己去探索，发现，再创造，最能调动学生的积极性，最有利于培养数学能力，特别是创造性能力，从数学教育对人的发展的意义看，有效理解，主动探索的认识过程必须伴随着学生心理意志，情感，品质的成长与完善，数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质，生命成长。二项式定理（教学设计）杜军平横山中学一、教学目标1.知识目标：理解二项式定理及其推导方法，掌握二项展开式的基本特征；能应用二项式定理求二项展开式，能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项．2.过程与方法：通过二项式定理的推导过程理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力．3.情感目标：通过本节学习，进一步培养提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的归纳以及探究意识．二、教学重点、难点1.教学重点：用两个计数原理分析(a?b)2的展开式，归纳得出二项式定理；掌握二项式的通项公式；能应用它们解决简单问题．2.教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用.三、课前准备多媒体课件.四、教学方法与手段1.教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价.2.学习方法：实例感受、观察发现、合作交流、归纳总结.五、教学流程图六、教学过程设计（一）创设情境，引入新课问题引入：1990是马年，从1991年开始：1.第13年出生的孩子的属相是什么？2.第13xx年出生的孩子的属相是什么？【设计意图】通过学生所熟知的问题情境引入本节课的教学内容，提高学生的学习兴趣和学习热情，达到有效教学的目的．要解决这个问题,就要用到今天我们学习的知识——板书课题.1.3.1二项式定理（一）（二）讲授新课Ⅰ（a?b)n的展开式1.探索研究（a?b)2?a2?2ab?b2，分析（a?b)2展开过程：从项数、指数、系数三个方面加以分析，并让学生板演(a?b)3与（a?b)4的展开式，再让学生猜想并证明（a?b)n的展开式.【设计意图】引导学生将（a?b)2的展开式与两个计数原理联系起来，分析展开式项的形式及各项前的系数，用组合数表示（a?b)2展开式的系数．让学生在探究过程中观察、发现、类比、猜想得出结论，这是数学教学提倡培养的，是一种创造性的思维活动，也让学生体验数学研究的乐趣，在注重思维结果的同时，更注重思维过程.2．归纳提高0n1n-1归纳得出：a+Cnab+…+Cnkan?kbk+…+Cnnbn(n∈N*)（a?b)n?Cn并给出简单证明．指出：上述这个公式所表示的定理叫做二项式定理，左边（a?b)n这个式子叫二项式，右边多项式叫做（a?b)n的二项展开式．引导学生归纳二项展开式的特征：（1）项数特征：展开式共有n+1项．（2）次数特征：①各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n．②字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到n．1（3）二项式的系数从Cn0，Cn，直到Cnn．设计意图：培养学生归纳总结的能力，加强由特殊到一般的数学思想的渗透．3．设置小