《排列数》教学设计

《排列数》教学设计一、教材分析本节课是在排列基础上学习排列数的概念和探究排列数公式，以便于更快捷的求出不同排列的个数。从个不同的元素中取出个元素，并按一定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列，所有不同排列的个数称为排列数，记为。在教师的引导下，学生借助特殊到一般的数学思想和分步乘法计数原理归纳、推导排列数公式，并在分析公式特点和应用公式的过程中加深对排列数的理解。教学目标1.能根据特殊到一般的数学思想猜想、归纳排列数公式，发展数学抽象素养；2.能利用分步乘法计数原理推导排列数公式，发展逻辑推理素养；3.能运用排列和排列数公式解决问题，发展数学运算素养。三、教学重点与难点重点：排列数公式；难点：排列数公式的探究及应用。四、教学过程设计（一）创设问题情境，铺垫探究方法问题1要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？师生活动：学生独立思考、作答。完成这件事情可以分为两个步骤：第一步，从3幅不同的画中选出1幅挂在左边墙上的指定位置，有3种选法；第二步，从剩下的2幅不同的画中选出1幅挂在右边墙上的指定位置，有2种选法。根据分步乘法计数原理，共有3x2=6种不同的挂法。问题2从甲、乙、丙、丁4名同学中选出2名参加一项活动，分别安排参加上午和下午的活动，共有多少种不同的排法？师生活动：学生独立思考、作答。完成这件事情可以分为两个步骤：第一步，从4名同学中选出1名安排参加上午的活动，有4种选法；第二步，从剩下的3名同学中选出1名安排参加下午的活动，有3种选法。根据分步乘法计数原理，共有4x3=12种不同的排法。【设计意图】通过两个相似的情境问题引导学生回顾排列知识及分步计数原理，为从特殊到一般归纳出计数公式作铺垫。（二）自主探究规律，发展核心素养问题3结合问题1和问题2，你能发现哪些规律？师生活动：学生独立思考、合作交流、作答展示，教师可以在学生回答后进行适当引导。结论1从个不同的元素中取出2个元素按一定的顺序排成一列，共有种排法。假定有排好顺序的两个空位，从个不同的元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，一种填法就是一个排列，一个排列也对应一种填法，所以不同填法的总数就是不同排列的总数。从个不同的元素中取出2个元素填空，可以分为两个步骤：第一步，从个不同的元素中取出1个元素填在第一个空位，有种取法；第二步，从剩下的个不同的元素中取出1个元素填在第二个空位，有种取法。根据分步乘法计数原理，共有种不同的填法。结论2从个不同的元素中取出个元素按一定的顺序排成一列，共有种排法。假定有排好顺序的个空位，从个不同的元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，一种填法就是一个排列，一个排列也对应一种填法，所以不同填法的总数就是不同排列的总数。从个不同的元素中取出个元素填空，可以分为个步骤：第一步，从个不同的元素中取出1个元素填在第一个空位，有种取法；第二步，从剩下的个不同的元素中取出1个元素填在第二个空位，有种取法。第三步，从剩下的个不同的元素中取出1个元素填在第三个空位，有种取法。第步，从剩下的个不同的元素中取出1个元素填在第个空位，有种取法。根据分步乘法计数原理，共有种不同的排法。教师小结：从个不同的元素中取出个元素按一定的顺序排成一列，所有不同排列的方法总数为，排列的方法总数也称为排列数，可以用排列英文arrangement的首字母A和、组合并标记为，即有。【设计意图】通过观察问题1和问题2的探究过程，学生发现每一步操作是同构的，可程序化的，促使他们思考和理解公式的一般化表达，从而发展学生的数学抽象素养和逻辑推理素养。（三）分析应用公式，深度理解知识师生活动：学生独立思考、合作交流、作答展示，教师可以在学生回答后进行适当引导。问题4通过探究，我们获得了排列数公式，接下来还能研究什么？分析排列数公式：，个连续的正整数相乘，第一个因数是，后面每个因数都比前面的一个因数少1，最后一个因数是。应用排列数公式：将、分别特殊化有，，，，，，，，问题5用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法1因为百位上的数字不能为0，十位或个位上的数字可以为0，所以可以先填百位上的数字，再分别填写十位和个位上的数字。分为三个步骤：第一步，从中取出1个数字填在第一个空位（百位），有9种取法；第二步，从剩下的9个数字中个取出1个数字填在第二个空位（十位），有9种取法；第三步，从剩下的8个数字中个取出1个数字填在第三个空位（个位），有8种取法。根据分步乘法计数原理，共有种不同的填法，一种填法就是一个三位数，也就是可以组成648个没有重复数字的三位数。解法2可以将解法1的第二步和第三步合并为一步：从剩下的9个数字中取出2个数字按一定的顺序排成一列，从左到右填在第二、三个空位上，有种填法。根据分步乘法计数原理，共有种不同的填法。解法3正难则反。考虑百位上的数字为0的情况，从剩下的9个数字中取出2个数字按一定的顺序排成一列，从左到右填在第二、三个空位上，有种填法。百位上的数字为0的情况与百位上的数字不为0的情况的填法数加起来就是总数（从中取出3个数字按一定的顺序排成一列，从左到右分别填在三个空位上，有种填法），所以可以组成648个没有重复数字的三位数。解法4因为三位数可能含0可能不含0，可以分为两类情况：第一类，三位数不含0，从中取出3个数字按一定的顺序排成一列，从左到右分别填在三个空位上，有种填法；第二类，三位数含0，如果0在个位上，从中取出2个数字按一定的顺序排成一列，从左到右分别填在百位和十位上，有种填法；如果0在十位上，从中取出2个数字按一定的顺序排成一列从左到右分别填在百位和个位上，有种填法。根据分类加法计数原理，共有种不同的填法，一种填法就是一个三位数，也就是可以组成648个没有重复数字的三位数。【设计意图】学习数学知识大致经历三个过程：通过观察发现新事物，通过分析认识新事物，通过应用理解新事物。学生的学习经验引导他们自主探索排列数公式的分析与应用，并在独立思考、合作交流和作答展示中完成知识的建构与理解。（四）回顾探究过程，提炼探究方法1.本节课我们学习了哪些内容？2.我们是怎样探究排列数公式的？（1）从特殊到一般，归纳推导排列数公式；（2）从一般到特殊，应用排列数公式计数。3.应用排列数公式时有哪些注意事项？（1）分析问题中要完成的“一件事”是什么，判断是否与排列要完成的“一件事情”一致；（2）分析限制条件，并以限制条件为标