《二项式定理》教学设计

新人教A版数学选择性必修第三册第六章6.3.1二项式定理第第页《6.3.1二项式定理》教学设计一、教材分析二项式定理是新教材[1]第六章第三节的内容.本节课内容是代数多项式的推广，它安排在计数原理、排列组合知识之后，随机变量及其分布知识之前，体现着二项式定理的“联系性”，它既是计数原理和组合知识的应用，也是解决有关概率问题的基础[2].学生学情分析学生已具备的能力：已掌握多项式乘法法则；已学过分类加法计数原理与分步乘法计数原理，及排列组合知识；具备一定归纳推理、分析问题、转化问题的能力.学生面临的困难：二项式定理一般展开式中的系数为组合数；二项式定理中字母是可变的，结构是不变的.教学目标设置掌握二项式定理及其结构特点，并能够运用其解决与二项式展开式相关的简单问题.通过发现多项式乘法的本质特征，建立多项式乘法与计数原理之间的联系，运用计数原理推导二项式系数的方法.经历二项式定理的提出过程和观察、发现、猜想并证明二项式定理的思路探索过程，领悟由特殊到一般、一般到特殊和类比的数学思想方法，培养合情推理能力，提高数学抽象素养.通过二项式定理的学习，感受其对称美、简洁美以及概括性.四、教学重点与难点重点：用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理，并会用它解决有关的简单问题.难点：用计数原理推导二项式定理.五、教学过程设计（一）创设情境，引入新课1664年,伟大的科学家牛顿,年仅22岁在剑桥大学就读的他,在研读英国数学家沃利斯的《无穷算术》中的,时，发现了展开式的规律(即二项式定理)，又称牛顿二项式定理.二项式定理的发现是牛顿发明微积分的过程中一个关键节点，甚至可以说，牛顿正是以二项式定理为基石发明了伟大的微积分．【设计意图】遵循“历史发生原理”,将牛顿发现二项式定理的历史融入教学，以此激发学生的学习兴趣，启迪思维，同时让学生受到数学文化的熏陶,培育数学素养.（二）主动思考，探究新知创设了以上情境后，学生学习的积极性会被调动起来，接着话锋一转：牛顿是怎样从完全平方公式和完全立方公式中发现二项式定理的呢？今天，我们也像科学家牛顿一样，开启探秘之旅，从两个具体的展开式着手，分析其结构，从中发现一般的二项展开式的规律。问题1：能否运用多项式的乘法法则，写出、展开式的推导过程？【设计意图】从特殊到一般，符合学生认知规律.从熟悉的多项式乘法入手，问题层层递进．本问题作为开篇第一个问题，设置难度相对简单，能调动学生参与课堂的积极性．问题2：、的展开式分别是什么？学生运用多项式乘法法则可以解决这些问题但是过程繁琐计算量大.引导学生通过分析、展开式的规律，从而得到启发．【设计意图】顺应学生的思维，提出一个指数较大的问题，用多项式乘法原理难以解决新问题，制造认知冲突，激发学生探索新知的欲望．从特殊到一般的探求法，提出的研究必要性，提高学生的数学抽象素养.问题３：、的展开式，有什么共同的特点？二项展开式的结构特点合并前合并后合并前项的特点项数项的特点项数次数字母组成字母组成系数共4项每一项的次数都是2次；从2个括号中各取出一个字母（或）相乘．共3项、、；字母按降幂排序，字母按升幂排序.1，2，1.共8项每一项的次数都是3次；从3个括号中各取出一个字母（或）相乘．共4项、、、；字母按降幂排序，字母按升幂排序.1，3，3，1.【设计意图】引导学生通过分析合并前后的项的特点，通过列表格的方式使得结果一目了然，也为后续通过类比分析，猜想的展开式埋下伏笔.由于项数和系数的规律难以发现，需进一步分析展开式的生成过程:问题３-１：为什么合并前共4项?用分步乘法计数原理分析：第一步从第一个括号中选或，有种选法；第二步从第二个括号中选选或，有种选法；由分步乘法计数原理，合并前共有种选法.问题３-2：合并后的是怎样得到的？展开式中的每一项是从每个括号中取出一个字母相乘．要得到合并后的应该怎么取?第一个括号取，第二个括号取,第二个括号取，第一个括号取，合起来总共2种取法；出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即有2个，所以是.下面用这个方法验证其他项的系数：因此的展开式可以写成如下形式.【设计意图】通过的深入分析，利用颜色标记第一个括号和第二个括号，跟踪ab项的形成过程，对合并前的项数和合并后的项的系数的规律有了初步认识.类比以上分析，分析展开式的生成过程:问题３-3为什么合并前共8项?用分步乘法计数原理分析：第一步从第一个括号中选或，有种选法；第二步从第二个括号中选选或，有种选法；第三步从第三个括号中选选或，有种选法；由分步乘法计数原理，合并前共有种选法.问题３-4：合并后的是怎样得到的？展开式中的每一项是从每个括号中取出一个字母相乘．要得到合并后的应该怎么取?第一个括号取，第二个括号取,第三个括号取；第一个括号取，第二个括号取,第三个括号取；第一个括号取，第二个括号取,第三个括号取，合起来总共3种取法，出现的次数相当于从3个中取1个的组合数，即有3个，所以是.下面用这个方法验证其他项的系数：因此的展开式可以写成如下形式：【设计意图】类比展开式的分析过程，对进行深入分析，学生自然地通过类比获得新知，且使用计数原理的推理项数和系数的方法得到了进一步认识.（三）提出猜想，归纳定理问题4：类比以上分析，尝试写出的展开式？因此的展开式可以写成如下形式，其中每一项都为：问题4：类比以上分析，你能运用计数原理推导a+b4【设计意图】类比、展开式的分析过程解决新问题，运用计数原理的推理项数和系数的方法得到训练，为后续运用计数原理说明展开式铺垫.问题5：类比以上分析，请大家猜想的展开式是怎么样的？（1）猜想其展开式的特点：二项展开式的结构特点合并前项的特点合并后项的特点项数次数字母组成项数字母组成每一项对应的系数共项每一项的次数都是次；从个括号中各取出一个字母（或）相乘．共（）项,,,,；按的降幂，的升幂排序.，，，，.（2）类比上述展开式的推理过程，可以得：因此的展开式可以写成如下形式，其中每一项都为：.我们把这个公式叫做二项式定理（binomialtheorem），右边多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数为叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：.【设计意图】利用直观的标记颜色，将多项式乘法法则与计数原理建立联系，进而突破难点：用计数原理推导二项式定理，其中尤为难的是使用组合数表达二项展开式中各项的系数.让学生类比抽象概括出二项式定理的表达式，不仅有利于学生二项式定理概念的意义建构，还能提高学生从特殊到一般的思维能力.（四）巩固新知，深化理解例1求的展开式.分析：二项式定理中的字母是，而现在是单项式和，只要把公式里的换成和，把赋值为6，就可以了.总结：其字母ab是一种符号可以把a看作长方形,b看作三角形,它们可以是任意的数或代数式.一般地，我们可以把公式里的两个字母看成两个框，改变框里的内容并不会影响公式的结构，也就是说字母是可变的，但公式结构却不变[3].【设计意图】此题为课本例题，一是为了让学生熟悉二项式展开式，二是培养学生看待公式的眼光即公式中字母的可变性和结构的不变性.例2（1）求的展开式的第4项的系数.分析：此时通项公式中的换成了，把赋值为7，把赋值为4，化简即可.解：因此，展开式第4项的系数是280.（2）求的展开式中的系数.分析：此时把通项公式中的换成了，把赋值为6，化简后把的指数赋值为2，化简求解.解：（2）的展开式的通项是根据题意，得，因此，的系数是.【设计意图】此题为课本例题，一是区分二项式系数和系数是两个不同的概念，巩固公式的应用，二是强化通项公式的简洁性.三是非标准化形式进行标准化，减去一个数也就是相当于加上它的相反数，因此，此题的就是，要学会运用数的眼光看待式子[4].（五）回顾总结，方法提炼1.知识小结：（1）二项式定理a+bn①二项展开式有n+1项，各项的次数都等于n.②字母a按降幂排列，次数由n递减到0.字母b按升幂排列，次数由0递增到n.③二项式系数依次是Cn0,Cn1（2）通项公式

Tk+1=Cn①实质是一个含有n+1项的数列的通项公式，可用于求特定项.②

Tk+1是a+bn的展开式的第k+1项,k=0,1,2,…,（3）看待公式的眼光——字母是可变的，结构是不变的①字母a、②只要具备a+bn的形式就可以用二项式定理写出展开式2.数学思想与方法：研究一般数学问题的方法.[5]3.感受数学美：二项式定理的概括性及其对称性.二项式定理仅适用于n为正整数，而刻在伟大科学家牛顿的墓碑上的是适用于n为实数的二项式定理，称为广义二项式定理.这之所以能刻在伟大科学家牛顿的墓碑上，不仅是它具有高度的概括性和对称性，更重要的是它对科学界的重大贡献希望同学们的探索之旅不止步于课堂能够在课后有更多的探索和学习．【设计意图】梳理本节课的学习脉络，提高学生发现、提出、分析、解决数学问题的能力，提出研究数学问题的一般方法即从特殊到一般归纳定理，从一般到特殊解决问题,同时通过二项式定理，指出二项展开式的概括性和对称性并此为美.更重要的是渗透数学史,与创设情景进行了前后呼应，强调了二项式定理数学价值，也进行了二项式定理到广义二项式定理的简单介绍，为有自主学习能力的学生课后继续探究埋下伏笔．6.作业布置，巩固提升课本配套练习.【设计意图】学生对本节课重点知识的进行巩固训练，提升运用所学知识解决问题的能力.参考文献：人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心编著.数学选择性必修第三册[J].北京：人民教育出版社，2020：29~31.人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心编著.数学选择