河南省多校2024-2025学年高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省多校2024-2025学年高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.曲线x29+y24A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等2.已知数列an的通项公式为an=n2+b，且2和7是A.−3 B.−2 C.1 D.33.已知中心在原点的双曲线C的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为(0,10)，则C的方程为A.x22−y28=1 B.4.设p为“an+an+3=an+1+anA.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.若直线l:ax−by−4=0与圆O:x2+y2A.在圆O外 B.在圆O内 C.在圆O上 D.位置不确定6.设P为椭圆x225+y29=1上一动点，F1，FA.8 B.7 C.6 D.47.设等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和TA.73 B.94 C.25128.已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点，△ABC的三个顶点都在E上，且F为△ABC的重心.若|FA|+|FB|的最大值为10，则p=A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.记等差数列{an}的前n项和为Sn，S9=27A.a1=−5 B.S6=2 C.10.已知直线l的方程为ax−y−a=0，M(1,−1)，N(3,3)，则下列结论正确的是(

)A.点M不可能在直线l上

B.直线l恒过点(1,0)

C.若点M，N到直线l的距离相等，则a=2

D.直线l上恒存在点Q，满足MQ11.如图，在三棱锥A−BCD中，BD⊥BC，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，E，F，G，H分别为AB，BD，BC，CD的中点，M是EF的中点，N是线段GH上的动点，则(

)

A.存在a>0，b>0，使得GM=aGH+bGE

B.不存在点N，使得MN⊥EH

C.|MN|的最小值为52三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在空间直角坐标系O−xyz中，点P(a,0,2b−3)与Q(a,0,b)关于原点O对称，则点Q的坐标为

．13.记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1+Sn−1=2Sn14.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆Ω:x2a2+y2b2=1(a>b>0)及其蒙日圆O，Ω的离心率为63，点A，B，C，D分别为蒙日圆O与坐标轴的交点，AB，BC，CD，AD分别与Ω相切于点E，F，G，四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)设{an}为递增的等差数列，其前n项和为Sn，已知(1)求{a(2)求使Sn>3an16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA=AB=2，AD=4，PB=22，PD= 25，N为(1)证明：PA⊥BN;(2)求直线AB与平面PBN所成角的正弦值．17.(本小题12分)已知F是抛物线C:y2=2px(0<p<3)的焦点，P(x0,4)是C上一点，且P在(1)求C的方程;(2)过点P作斜率大于43的直线l与C交于另一点M，若△PFM的面积为3，求l的方程．18.(本小题12分)

如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1=A1C，O为(Ⅰ)设向量a为平面ABC的法向量，证明：EF(Ⅱ)求点A到平面BCD的距离;(Ⅲ)求平面BCD与平面B1DC19.(本小题12分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，左、右焦点分别是F1，F2，P是C的右支上一点，PF1的中点为Q，且QF1−|QO|=1(O为坐标原点)(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)若M，N不关于坐标轴和原点对称，且MN的中点为H，证明：直线OH与直线MN的斜率之积为定值;(Ⅲ)若M，N不关于y轴对称，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点．

参考答案1.D

2.B

3.D

4.C

5.B

6.B

7.A

8.D

9.ACD

10.ABD

11.BCD

12.0,0,1

13.n214.8315.(1)设公差为d,d>0，因为a1=6，且所以2×5×6+5×42d=6+2d2故an(2)由(1)可得，Sn若Sn>3an，则故n的最小值为5．

16.解：(1)证明：由PA=AB=2，AD=4，PB=22，PD= 25，

可得PA2+AB2=PB2，PA2+AD2=PD2，

则PA⊥AB，PA⊥AD，

又AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以PA⊥平面ABCD，

因为BN⊂平面ABCD，

所以PA⊥BN；

(2)以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图：

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，N(1,4,0)，

AB=2,0,0，PB=2,0,−2，PN=1,4,−2，

设平面PBN的法向量为n=x,y,z，

则n·PB17.解：(1)由题可知，抛物线C:y2=2px(0<p<3)的准线方程为x=−p2，

因为P(x0,4)在抛物线C上，|PQ|=5，

所以16=2p(5−p2)，解得p=2或p=8(舍)，故抛物线C的方程：y2=4x；

(2)由(1)，P4,4，F1,0，

设直线l为y−4=kx−4，且k>43，

联立直线l与抛物线y2=4x，有k2x2−42k2−2k+1x+16k−12=0，

令点M的坐标为x,y，

有162k18.(Ⅰ)证明：连接BO，

因为AA1=A1C，O为AC的中点，

所以A1O⊥AC，

因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC=AC，A1O⊂平面AA1C1C，

所以A1O⊥平面ABC，

因为BO⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，

所以A1O⊥BO，A1O⊥OC，

因为△ABC为等边三角形，所以BO⊥AC，

则OB、OC、A1O两两垂直，

以点O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

则A(0,−1,0)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，

A1(0,0,2)，C1(0,2,2)，D(0,12,1)，

由AA1=BB1=0,1,2，可得B1(3,1,2)，

由E为AD的中点，BF=14BB1，可得E(0,−14,12)，F(3,14,12)，

则EF=3,12,0，

可知a//OA1，而19.解：(Ⅰ)因为Q为PF1的中点，O为F1F2中点，

所以|PF2|=2|QO|，

所以|PF1|−|PF2|=2|QF1|−2|QO|=2(|QF1|−|QO|)=2=2a，即a=1，

又e=ca=2，则c=