新疆生产建设兵团2024-2025学年高三数学上学期第二次月考理试题含解析

Page17新疆生产建设兵团2024-2025学年高三数学上学期其次次月考（理）试题一、单选题（每题5分，共60分）1.已知集合，或，则（）A.或 B.C. D.或【答案】A【解析】【详解】由并集的定义可得或.故选A.2.若复数z满意，则（）A.10 B. C.20 D.【答案】B【解析】【分析】由复数的除法法则求得，再求其共轭复数的模．【详解】由已知，所以．故选：B．3.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先证明为奇函数可淘汰C，D选项，再利用趋向于正无穷时，可得到也趋向于正无穷，故淘汰A，即可得到答案【详解】解：由可得定义域为，因为所以为奇函数，故淘汰C,D选项，当趋向于正无穷时，趋向于正无穷，趋向于0，趋向于正无穷，而且指数函数趋向于正无穷的增长速率远远超过趋向于正无穷的增长速率，所以当趋向于正无穷时，趋向于正无穷，故淘汰A，故选：B4.已知点是角终边上一点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据余弦函数的定义，结合特别角的余弦值进行求解即可.【详解】依题意点的坐标为，故选：5.下列命题正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.若给定命题，使得，则，均有C.若为假命题，则p，q均为假命题D.命题“若，则”的否命题为“若，则”【答案】B【解析】【分析】由充分必要条件，特称命题的否定，逻辑联结词，否命题的学问点对选项逐一推断【详解】对于A，因为，所以或，因此“”是“”的必要不充分条件，故A错误；对于B，命题，使得的否定为，均有，故B正确；对于C，若为假命题p，q至少有一个则为假命题，故C错误；对于D，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故D错误；故选：B6.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换与同角三角函数关系，弦切互化得含的式子再代入即可解出答案．【详解】，∵，，故选：D7.函数在上的微小值点为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析函数导数的符号改变，由此可得函数的单调性，由单调性得出结论即可.【详解】对于函数，，因为，当时，，当时，，当时，，所以在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，在[，π]是增函数．因此，函数在上的微小值点为.故选：C.8.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的周期，即可求出，通过五点作图法求出，可求出，即可求出.【详解】由图象可知，从而，将在函数图象上，可得：，.故选：C.9.已知符号函数，则函数的零点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先求出，再解方程即可.【详解】解：当时；当时；当时．．．当时令，即，解得成立；当时令，即，解得成立；当时令，即，解得成立．综上可得解得或或．所以函数的零点个数为．故选：C10.已知函数满意，且对随意时，恒有成立，则当时，实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由分析可得函数的图象关于直线对称，结合函数单调性的定义分析可得在，上为增函数，结合对称性与单调性解不等式即可.【详解】依据题意，函数满意，则函数的图象关于直线对称，又由对随意，，的时，恒有成立，则在，上为增函数，又由，，若，则有，解得，即的取值范围为故选：C．11.已知函数的图像既关于点中心对称，又关于直线轴对称.当时，，则的值为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设表示函数的图像，，依据中心对称性与轴对称性，可依次得，，，取，可计算得，从而可计算得.【详解】用表示函数的图像，对随意的，令，则，且，利用的中心对称性与轴对称性，可依次推得，，，取，此时，因此.故选：B【点睛】本题考查了中心对称与轴对称的应用，求解的关键是依据中心对称与轴对称特点表示出函数图像上的点之间的关系，然后代值计算.12.设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数和，利用导数求解单调性，即可推断.【详解】当时，记，则，故在单调递增，故，因此得当时，，故，即；，设，则，因为，当时，．所以在上单调递增，所以，即，所以．故选：A二、填空题（每题5分，共20分）13.平面对量与的夹角为，，则_____________．【答案】【解析】【分析】首先求出，再依据数量积的定义求出，最终依据及数量积的运算律计算可得.【详解】解：因为，所以，又向量与的夹角为，且，所以，所以；故答案为：14.已知，则曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】【分析】利用导函数求得即为切线斜率，由原函数求得，由直线点斜式方程整理得到结果.【详解】因为，所以，又，故所求切线方程为，即.故答案为：.15.若不等式对随意恒成立，则实数m的最小值是______．【答案】【解析】【分析】因为不等式对随意恒成立，则，由均值不等式求出的最大值即可得出答案.【详解】因为不等式对随意恒成立，所以，则而，当且仅当，即时等号成立．即的最大值是，．故答案：.16.已知实数满意：，则的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】构造函数，利用导数可得在上单调递增，由题意可得所以有，由此可得，再构造函数求导，利用导数的正负确定单调区间，从而即可求得答案.详解】解：由已知得，，令，则，在上单调递增，又因为，所以，，令所以，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以.故答案为：.【点睛】本题考查了转化思想、导数的综合运用，难点在于两次构造函数，通过函数的单调性求得最值，属于难题.三、解答题（每题12分，共60分）17.已知中，内角，，所对的边分别为，，，且（1）求；（2）若边上的中线长为，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理得：，结合余弦定理可得，从而求出；（2）借助平面对量表示，由向量运算及中线长可得：，结合余弦定理可得，进而利用三角形面积公式计算得解．【小问1详解】由已知得：，由正弦定理可化为：，即，由余弦定理知，又，故．【小问2详解】设边上的中线为，则所以，即，所以，即①又，由余弦定理得，即②由①②得，所以．18.某校100名学生期中考试语文成果的频率分布直方图如图所示，其中成果分组区间是：，，，，．（1）求图中的值；（2）依据频率分布直方图，估计这100名学生语文成果的平均分与中位数（结果保留2位小数）；（3）若这100名学生语文成果某些分数段的人数（）与数学成果相应分数段的人数（）之比如表所示，求数学成果在之间的人数．分数段【答案】（1）（2）平均分73；中位数71.67（3）20【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积之和等于1，即可得出答案．（2）依据频率分布直方图中平均数及中位数的意义即可得出平均分及中位数；（3）由这100名学生的语文成果在之间的人数与数学成果相应分数段的人数之比，即可得到数学成果在之间的人数．【小问1详解】由频率分布直方图可得：，解得【小问2详解】由频率分布直方图可得平均分为：（分）的频率为，的频率为中位数为：【小问3详解】数学成果在的人数为（人）19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中点．（1）求证：平面SCD；（2）求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值；【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意，建立空间直角坐标系，求值直线的方向向量与平面的法向量，依据向量关系，可得线面关系；（2）由（1），明确平面的法向量，依据向量夹角公式，可得答案.【小问1详解】侧棱底面ABCD，AB垂直于AD，所以以点A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．设平面SCD的一个法向量为，则，即，令z＝1，则x＝2，y＝－1，此时．因为，所以，平面.则平面SCD．【小问2详解】易知平面SAB的一个法向量为，，由（1）知SCD的一个法向量为，，则，所以平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为．20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得直线l绕点F无论怎样转动都有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由题给条件列出关于a、b、c的方程组，解得a、b即可求得椭圆C的方程；（2）由题意可知在x轴上存在一点，使成立，据此结合根与系数的关系可求解.【小问1详解】由题意得，解得：．所以椭圆C的方程为．【小问2详解】由题意可知．若直线l斜率存在，设直线l的方程为，联立得，整理得．由题意可知恒成立，所以，假设在x轴上存在一点，使得x轴平分，则，所以，整理得，即，整理得，，则，即，解之得．若直线l斜率不存在时，则M，N两点关于x轴对称，当点P坐标为时，x轴平分．综上所述，在x轴上存在一点，使得x轴平分．21.已知函数.（1）探讨函数的单调性；（2）证明：当时，对随意，恒有.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分和两种状况探讨求解即可；（2）依据题意，即证，再依据将问题转化为证明，进而构造函数，求救函数最小值即可.小问1详解】解：函数的定义域为，①当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；②当，即时，由得；由得；所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】证明：要证，即证，即证，因为，所以，所以只需证：.法一：令，则，明显在上单调递增，又，所以存在唯一实数，使得，即，所以.所以在上，，在上，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故当时，对随意，恒有.法二：.令，则.所以，所以在上为增函数.所以当时，，即.①令，则.当时，；当时，.所以在上为减函数，在上为增函数.所以当时，，即.②①②两式相加，得.所以，故当时，对随意，恒有.【点睛】本题考查利用导数探讨函数的单调性，不等式恒成立问题，考查运算求解实力，逻辑推理实力，分类探讨思想等，是难题.本题其次问解题的关键在于借助将不等式转化为证明，再构造函数求解即可.三．选做题（10分，从22、23题中任选一道作答）22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C的极坐标方程和l的直角坐标方程；（2）l与C交于A，B两点，若，求．【答案】（1），（2）或．【解析】【分析】（1）由C的参数方程化为直角坐标方程，再依据公式转化为极坐标方程，依据极坐标意义直线方程可化为直角坐标方程；（2）依据极径的几何意义及根与系数的关系，由可得极角.【小问1详解】将C的参数方程化为直角坐标方程得，即，∴C的极坐标方程为．∵l的极坐标方程为，∴l的直角坐标方程为．【小问2详解】将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得．当时