新课标2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件与概率教师用书

PAGEPAGE1第三节随机事务与概率考试要求：1．了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性．2．了解概率的意义及频率与概率的区分．3．了解两个互斥事务的概率加法公式．一、教材概念·结论·性质重现1．确定试验的样本空间(1)样本点和样本空间我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．(2)有限样本空间假如一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．2．事务类型的推断(1)随机事务我们将样本空间Ω的子集称为随机事务，简称事务，并把只包含一个样本点的事务称为基本领件．随机事务一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事务A发生．(2)必定事务Ω作为自身的子集，包含了全部的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必定事务．(3)不行能事务空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不行能事务．3．事务的关系(1)互斥(互不相容)定义一般地，假如事务A与事务B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不行能事务，即A∩B＝∅，则称事务A与事务B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示A∩B＝∅图形表示(2)互为对立定义一般地，假如事务A与事务B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事务A与事务B互为对立．事务A的对立事务记为eq\x\to(A)含义A与B有且仅有一个发生符号表示A∩B＝∅，A∪B＝Ω图形表示4．事务的运算(1)包含关系定义一般地，若事务A发生，则事务B肯定发生，我们就称事务B包含事务A(或事务A包含于事务B)含义A发生导致B发生符号表示B⊇A(或A⊆B)图形表示特殊情形假如事务B包含事务A，事务A也包含事务B，即B⊇A且A⊇B，则称事务A与事务B相等，记作A＝B(2)并事务(和事务)定义一般地，事务A与事务B至少有一个发生，这样的一个事务中的样本点或者在事务A中，或者在事务B中，我们称这个事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)含义A与B至少一个发生符号表示A∪B(或A＋B)图形表示(3)交事务(积事务)定义一般地，事务A与事务B同时发生，这样的一个事务中的样本点既在事务A中，也在事务B中，我们称这样的一个事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)含义A与B同时发生符号表示A∩B(或AB)图形表示互斥事务与对立事务都是指两个事务的关系，互斥事务是不行能同时发生的两个事务，而对立事务除要求这两个事务不同时发生外，还要求必需有一个发生．5．概率的基本性质性质1：对随意的事务A，都有P(A)≥0．性质2：必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0．性质3：假如事务A与事务B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性质4：假如事务A与事务B互为对立事务，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性质5：假如A⊆B，那么P(A)≤P(B)．性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事务，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1．随机事务A，B互斥与对立的区分与联系当随机事务A，B互斥时，不肯定对立；当随机事务A，B对立时，肯定互斥．2．从集合的角度理解互斥事务和对立事务(1)几个事务彼此互斥，是指由各个事务所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事务A的对立事务eq\x\to(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事务A所含的结果组成的集合的补集．二、基本技能·思想·活动阅历1．推断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)事务发生的频率与概率是相同的． (×)(2)随机事务和随机试验是一回事． (×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． (√)(4)两个事务的和事务发生是指这两个事务至少有一个发生． (√)(5)若A，B为互斥事务，则P(A)＋P(B)＝1． (×)(6)对立事务肯定是互斥事务，互斥事务不肯定是对立事务． (√)2．(2024·莆田期末)一个不透亮的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采纳不放回的方式从中摸出3个球．下列事务为不行能事务的是()A．3个都是白球B．3个都是红球C．至少1个红球D．至多2个白球A解析：由于袋子中白球的个数为2个，摸出的3个球都是白球是不行能事情，故A选项正确．摸出的3个球都是红球是随机事务，故B选项错误．摸出的球至少一个红球是必定事务，故C选项错误．摸出的球至多2个白球是必定事务，故D选项错误．故选A．3．(2024·烟台期末)抛掷一枚质地匀称的正六面体骰子，其六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6，视察朝上一面的点数，设事务A＝“点数为奇数”，B＝“点数为4”，则A与B的关系为()A．互斥 B．相等C．互为对立 D．相互独立A解析：事务A与B不行能同时发生，但能同时不发生，故A与B是互斥事务．4．(多选题)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形态相同的小球，从中取出2球，事务M＝“取出的两球同色”，N＝“取出的两球中至少有一个黄球”，S＝“取出的两球至少有一个白球”，T＝“取出的两球不同色”，H＝“取出的两球中至多有一个白球”则()A．M与T互为对立 B．N与S互斥C．S与H互斥 D．N与H不互斥AD解析：对于选项A，事务M＝“取出的两球同色”，T＝“取出的两球不同色”，明显不行能同时发生，且也不行能都不发生，所以M和T是对立事务．故选项A正确．对于选项B，假如“取出的两个球为一个白球和一个黄球”，则N和S同时发生，所以N和S不是互斥事务，故B选项错误．对于选项C，假如“取出的两个球为一个白球和一个黄球”，则S和H同时发生，所以S和H不是互斥事务，故C选项错误．对于选项D，假如“取出的两个球为一个白球和一个黄球”，则N和H同时发生，所以N和H不是互斥事务，故D选项正确．5．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为_________．0．45解析：落在[10,40)的频率为eq\f(2＋3＋4,20)＝0.45．6．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．eq\f(2,5)解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是其次次摸到白球的概率．因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此所求概率为eq\f(2,5)．考点1随机事务的关系——基础性(1)(多选题)(2024·枣庄期末)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球．设事务R1＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则()A．R1⊆R B．R∩G＝∅C．R∪G＝M D．M＝eq\x\to(N)BCD解析：由题意知，R＝“两次都摸到红球”，R1＝“第一次摸到红球”，所以R⊆R1，故选项A错误．因为R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，两个事务没有公共的基本领件，所以R∩G＝∅，故选项B正确．因为R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，故R或G表示摸的两个球的颜色相同，所以R∪G＝M，故选项C正确．因为M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，由对立事务的定义可知，M＝eq\x\to(N)，故选项D正确．(2)把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事务“甲分得红牌”与事务“乙分得红牌”的关系是()A．既不互斥也不对立B．既互斥又对立C．互斥但不对立D．对立C解析：把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事务“甲分得红牌”与事务“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，所以事务“甲分得红牌”与事务“乙分得红牌”的关系是互斥但不对立．故选C．推断互斥事务、对立事务的两种方法(1)定义法：推断互斥事务、对立事务一般用定义推断，不行能同时发生的两个事务为互斥事务；两个事务，若有且仅有一个发生，则这两个事务为对立事务，对立事务肯定是互斥事务．(2)集合法：①由各个事务所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事务互斥．②事务A的对立事务所含的结果组成的集合，是全集中由事务A所含的结果组成的集合的补集．1．同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事务是()A．“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”B．“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”C．“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”D．“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”肯定发生，故A中的两个事务是对立事务．在B中，当2枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事务不是互斥事务．在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事务是互斥而不对立事务．在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两个事务不是互斥事务．故选C．2．口袋里装有6个形态相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个．从中取出两个球，事务A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列推断中正确的序号为________．①A与D为对立事务；②B与C是互斥事务；③C与E是对立事务；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．①④解析：明显A与D是对立事务，①正确；当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事务C与E都发生，③不正确；C∪E为必定事务，P(C∪E)＝1，④正确；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正确．考点2随机事务的频率与概率——基础性如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率p＝eq\f(44,100)＝0.44．(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的频率0.10.20.30.20.2选择L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5．因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1．同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9．因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2．1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事务出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事务发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事务概率的估计值．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．2．随机事务概率的求法利用概率的统计定义求事务的概率，即通过大量的重复试验，事务发生的频率会渐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．提示：概率的定义是求一个事务概率的基本方法．1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为()A．49B．0.5C．0.51D．0.49C解析：由题意，依据事务发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为eq\f(51,100)＝0.51．2．某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教化程度的调查，其结果如下表：本科探讨生合计35岁以下40307035～50岁27134050岁以上8210现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是()A．该校教职工具有本科学历的概率低于60%B．该校教职工具有探讨生学历的概率超过50%C．该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%D．该校教职工的年龄在35岁及以上且具有探讨生学历的概率超过10%D解析：对于选项A，该校教职工具有本科学历的概率p＝eq\f(75,120)＝eq\f(5,8)＝62.5%>60%，故A错误．对于选项B，该校教职工具有探讨生学历的概率p＝eq\f(45,120)＝eq\f(3,8)＝37.5%<50%，故B错误．对于选项C，该校教职工的年龄在50岁以上的概率p＝eq\f(10,120)＝eq\f(1,12)≈8.3%<10%，故C错误．对于选项D，该校教职工的年龄在35岁及以上且具有探讨生学历的概率p＝eq\f(15,120)＝eq\f(1,8)＝12.5%>10%，故D正确．故选D．考点3互斥事务与对立事务的概率——综合性考向1互斥事务的和事务某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如表所示．一次购物量(件)1～45～89～1213～1617及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．(1)求x，y的值．(2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率．解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．(2)记A：一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为3分钟．将频率视为概率可得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(20,100)＋eq\f(10,100)＝0.3．考向2“至多”“至少”型问题的概率经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345及以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事务A，“1人排队等候”为事务B，“2人排队等候”为事务C，“3人排队等候”为事务D，“4人排队等候”为事务E，“5人及5人以上排队等候”为事务F，则事务A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事务G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事务H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．(方法二)记“至少3人排队等候”为事务H，则其对立事务为事务G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．求困难互斥事务概率的两种方法(1)干脆法：将所求事务分解为一些彼此互斥事务的和，运用互斥事务概率的加法公式计算．(2)间接法：先求此事务的对立事务，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求得，即运用逆向思维(正难则反)，特殊是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便．提示：应用互斥事务概率的加法公式，肯定要留意首先确定各个事务是否彼此互斥，然后求出各事务发生的概率，再求和(或差)．间接法体现了“正难则反”的思想方法．考向3与其他学问的综合某中学的学生主动参与体育熬炼，其中有96%的学生喜爱足球或游泳，60%的学生喜爱足球，82%的学生喜爱游泳，则该中学既喜爱足球又喜爱游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%C解析：记“该中学学生喜爱足球”为事务A，“该中学学生喜爱游泳”为事务B，则“该中学学生喜爱足球或游泳”为事务A＋B，“该中学学生既喜爱足球又喜爱游泳”为事务AB，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96，所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46．所以该中学既喜爱足球又喜爱游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%．故选C．概率综合问题求解须要明确概率类型，从而选择相应概型公式求解．特殊留意“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义，可利用对立事务的概率快速解决．1．抛掷一个质地匀称的骰子的试验，事务A表示“小于5的偶数点出现”，事务B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事务A＋eq\x\to(B)发生的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)C解析：抛掷一个骰子的试验有6种等可能结果．依题意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,