安徽省合肥市2024-2025学年高三数学上学期期末联考试题含解析

安徽省合肥市2024-2025学年高三数学上学期期末联考试题本试卷共4页，22题。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生留意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔干脆答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集，，，则（）A.， B.， C.， D.，2.已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（）A. B. C.1 D.23.2024年卡塔尔世界杯（FIFAWorldCupQatar2024）是其次十二届国际足联世界杯足球赛，在当地时间2024年11月20日到12月18日间在卡塔尔国内5个城市的8座球场实行，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办.由于夏季燥热，2024年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2024年天气状况，下列对1-11月份说法错误的是（）A.有5个月平均气温在30℃以上 B.有4个月平均降水量为C.7月份平均气温最高 D.3月份平均降水量最高4.等差数列的前项和为，公差不为0，若，则（）A. B. C. D.5.一般地，声音大小用声强级（单位：）表示，其计算公式为：，其中为声强（单位：.若某种物体的发出的声强为，其声强级约为（）（）A. B. C. D.6.已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，过M，N的平面截正方体所得截面为四边形，则该截面最大面积为（）A. B. C. D.7.已知，直线，若与相离，则（）A.点在上 B.点在上 C.点在内 D.点在外8.已知函数在区间内有两个极值点，且，则（）A. B.在区间上单调递增C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在中，已知，，则（）A. B. C. D.10.已知，则（）A. B. C. D.11.已知抛物线E的焦点为F，顶点为O，过F做两条相互垂直的直线，，它们分别与E相交于A，B和C，D，则（）A.为锐角 B.为钝角 C. D.12.已知球的表面积为，三棱锥的顶点都在球面上，该棱锥体积取最大值时，下列结论正确的是（）A. B.C.， D.，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.社区从甲乙等5名志愿者中随机选3名到A地参与服务工作，则甲乙都入选的概率为_____.14.已知函数的最小正周期为，其图象过点，则_____.15.已知椭圆的焦点为，，为上一点满足，则的离心率取值范围是_____.16.已知函数，过点有两条直线与曲线相切，则实数的取值范围是_____.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列的通项公式为，等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，的前项和分别为，，求满足的全部数对.18.（12分）为落实国家全民健身安排，提高居民身体素养和健康水平，某电视台每周制作一期“每天健身”节目，时长60分钟，每天固定时间播放.为调查该节目收视状况，从收看观众中随机抽取150名，将其观看日平均时间（单位：分）为样本进行统计，作出频率分布直方图如图.（1）请估计该节目收看观众的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）在选取的150位观众中，男女人数相同，规定：观看平均时间不低于30分钟为满足，低于30分钟为不满足.据统计有48位男士满足，请列出列联表，并推断是否有90%的把握认为“满足度与性别有关”？附：，其中.0.100.050.0102.7063.8416.63519.（12分）在中，点在上，满足，.（1）求证：，，成等比数列；（2）若，求.20.（12分）如图，三棱柱的侧棱长为，底面是边长为2的等边三角形，D，E分别是，的中点，.（1）求证：侧面是矩形；（2）若，求直线与平面所成角的余弦值.21.（12分）在平面直角坐标系中，，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是1，记点的轨迹为.（1）求证：曲线是双曲线的一部分；（2）设直线与相切，与其渐近线分别相交于M，N两点，求证：的面积为定值.22.（12分）已知函数.（1）求的导函数的单调区间；（2）若方程有三个实数根，，，且，求实数的取值范围.高三数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D【解析】由已知选D.2.A【解析】设，则，故，故选A.3.D【解析】由图可知，选D.4.C【解析】由已知得，故，故选C.5.A【解析】由已知得，故选A.6.D【解析】最大面积的截面四边形为等腰梯形，其中，，，高为，故面积为，所以选D.7.C【解析】由已知：圆心到直线的距离大于半径，即不妨设，，故，故选C.8.D【解析】由，故，，所以；由，，所以在区间上单调递减；，，所以，，故选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ABD【解析】由已知；；，，因为，所以；故，即，所以.故选ABD.10.AD【解析】，，故，，.，，所以.故选AD.11.BC【解析】设抛物线方程为，，联立得，设，，则，.，故为钝角.所以，与抛物线联立得，设，，则，.同理可得，故为钝角，所以，.故时，.所以选BC.12.BD【解析】由已知设球的半径为，则，所以.设底面的外接圆心为，可知当为正三角形时，其面积最大.设正三角形的底面边长为a，，三棱锥的高为.则，故.所以三棱锥的体积：.令，由，得.因为，故当时，取最大值，即三棱锥的体积取的最大值.此时可求得：，即，.三棱锥为正四面体，故，，故选BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【解析】甲入选的概率为.14.【解析】由已知，所以.15.【解析】设椭圆的方程为，，，则，由余弦定理得，故，因为，即，故，解得，由，所以的离心率取值范围是.16.【解析】由，，设切点为，则切线方程为：，故有两根.令，，在递减，在递增.因为，故实数的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解】（1）由，所以，，故，.所以等比数列的公比为，…………2分故，所以，即等比数列的通项公式为…………4分（2）由已知得：由（1）可知…………6分由，所以即，故…………8分因为正整数，，所以，，，，，故满足条件全部数对为，，.………………10分18.【解】（1）由频率分布直方图可知：样本数据在，，，，，的频率分别为：0.1，0.12，0.16，0.28，0.20，0.14.………3分故调查表平均值为：所以该节目收看观众的平均时间为32.8分钟.………6分（2）由（1）可知观看平均时间不低于30分钟的频率为：所以观看平均时间不低于30分的样本数为：.……8分由已知可得列联表如下：不满足满足总计男274875女304575总计5793150……10分所以没有90%的把握认为“满足度与性别有关”.………12分19.【解】（1）在中，由正弦定理得：①…………2分由已知得：②由①②联立得：因为，所以.故，，成等比数列.…………4分（2）在中，记A，B，C的对边分别为a，b，c，故.由（1）知：③在中，设，由已知得，由余弦定理得④…………6分在中，设，由已知得，由余弦定理得⑤由⑤+④整理得：⑥…………8分由③⑥联立整理得：解得：或当时，可求得，所以故舍去.…………10分当时，可求得，在中由余弦定理得.综上：…………12分20.【解】（1）连接，由已知为等边三角形，所以.由已知，所以平面，…………2分又平面，.因为，所以，又侧面为平行四边形，所以侧面是矩形.……4分（2）取中点，连接.由已知得.因为，所以，是等边三角形.故，由（1）可知，所以平面.……6分以为原点，以，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系，如图.故，，，，所以，，设平面的法向量为，则，.故，取，，，则…………9分直线与平面所成角为，则…………11分故所以直线与平面所成角的余弦值为.…………12分21.【解】（1）设点的坐标为，由已知得，则直线，的斜率分别为：，…………2分由已知，化简得.故曲线的方程为：所以曲线是除去顶点的双曲线.…………4分（2）设直线与相切的切点坐标为，斜率为则直线的方程为：，与联立整理得：由已知，且上方程有两个相等的实数根，故化简得：①…………6分又，即，②由①②得，，即，所以故直线的方程为：…………8分双曲线的两条渐近线方程为，，所以为直角三角形.不妨设与交点为，解得，同理，设与交点为，解得.…………10分可求得：，，所以的面积故的面积为定值.…………12分22.【解】（1）函数的定义域为，记，则.…………2分当时，，故在上单调递增.…………3分当时，记，.所以时，，递减；时，，递增.的微小值为，故.故，所以在上单调递减.综上：故在上单调递增，在上单调递减.……5分（2）令，问题