2024-2025学年高一数学寒假作业4第四章指数函数与对数函数同步单元必刷卷培优

Page20第四章指数函数与对数函数同步单元必刷卷(培优版）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分1．（2024·广西桂林市·高一月考）已知函数（）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递减 D．在上单调递增2．（2024·河北安平中学）设是定义域为的偶函数，若，都有，则大小关系正确的为（）A． B．C． D．3．（2024·安徽省亳州市第一中学高一月考）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力状况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满意．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.64．（2024·江西高安中学高一月考）已知实数，满意，下列5个关系式：①；②；③；④；⑤．其中不行能成立的关系有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（2024·江苏省如东高级中学高一月考）已知函数若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2024·云南普洱一中高一月考）已知，若存在三个不同实数、、使得，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．（2024·淮北市树人高级中学高一月考）已知函数，若方程有4个解时，实数a的取值范围为（）A． B．C． D．8．（2024·曲周县第一中学）已知函数，函数.若随意的，存在，使得，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．（2024·淮北市树人高级中学高一月考）某数学课外爱好小组对函数的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中真命题为（）A．函数的图象关于轴对称B．当时，是增函数，当时，是减函数C．函数的最小值是D．当或时，是增函数10．（2024·深圳试验学校中学部高一月考）已知函数，给出下述论述，其中正确的是（）A．当时，的定义域为 B．肯定有最小值C．当时，的增区间为 D．若的值域为R，则实数a的取值范围是11．（2024·淮北市树人高级中学）给出下列命题：①函数，的图象与直线可能有两个不同的交点；②函数与函数是相等函数；③若，则的取值范围是；④已知是方程的根，是方程的根，则．其中正确命题的序号是（）A．① B．② C．③ D．④12．（2024·福建省漳州第一中学高一月考）已知函数，若方程有四个不同的实数解且，则下列结论正确的是（）A． B．为定值C． D．的最小值为填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2024·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为___________.14．（2024·江苏省如东高级中学高一月考）已知，则的值为___________．15．（2024·广西桂林市·高一月考）已知函数，函数，若，恰有1个零点，则的取值范围为________．16．（2024·重庆市第七中学校）函数的定义域为，若满意：（1）在内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“幻想函数”．若函数是“幻想函数”，则的取值范围是______________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2024·湖南长沙一中高一月考）已知函数，.（1）当时，若函数存在零点，求实数的取值范围并探讨零点个数；（2）当时，若对随意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.18．（2024·江苏省西亭高级中学）设，函数．（1）已知，求证：函数为定义域上的奇函数；（2）已知．（i）推断并证明函数的单调性；（ii）函数在区间上的值域是，求的取值范围．19．（2024·浙江高一月考）已知，函数(1)若，求函数的定义域；(2)设，若对随意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过2，求的最小值；(3)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围.20．（2024·湖南周南中学高一月考）已知，函数.（1）设，若对随意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；（2）若关于x的方程的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围.21．（2024·陆良县中枢镇其次中学高一月考）改革开放40多年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅汹涌澎湃、气概恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌，40多年来我们始终坚持爱护环境和节约资源，坚持推动生态文明建设．昭通市政府也越来越重视生态系统的重建和维护，若市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．（1）设安排给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为，写出关于的函数解析式和定义域；（2）生态项目的投资起先利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少?22．（2024·上海黄浦·格致中学高一月考）已知集合{对于存在，使得成立}.（1）推断和是否属于集合，并说明理由；（2）设，求实数的取值范围；（3）已知时，，且对随意，恒有，令，，试探讨函数，的零点的个数.第四章指数函数与对数函数同步单元必刷卷全解全析1．D在上分别递减，在上递增，在上递减，在上递增，则在上递减，在上递增，∴在上递增.故选：D2．D【详解】因为若，都有，所以在上单调递增；因为是定义域为的偶函数，所以，因为，所以，而在上单调递增，所以，故，即故选：D.3．C由，当时，，则.故选：C.4．A由，两边取常用对数得：，因为，当时，，当时，成立；当时，，故选：A5．C函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图，方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则，由，得：，即，而，，则，于是得，明显时，，当时，，所以的取值范围是.故选：C6．D如图所示，绘出函数的图像，可令、、依次从左到右，结合图像易知，，，，，故，故选：D.7．A【详解】依据函数，做出其大致图像如下：设，依据函数图像有：当时，方程有2个实数根；当时，方程有3个实数根；当时，方程有2个实数根；当时，方程有1个实数根；当时，方程没有实数根；当若的零点个数为4个时，方程有两个不等实数根，且满意，或，或；令，，①当时，则，即，解得；②当时，则，即，无解；③当，时，则，即，解得，综上：，故选：A.8．D【详解】由，由可得，①当吋，函数单调递减，此时，则必有，解得；②当吋，函数单调递增，此时，则必有，无解.故实数的取值范围为.9．ACD【详解】的定义域为，关于原点对称，且满意，所以函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故A是真命题；当时，，令，则，由对勾函数的性质可知在上是减函数，在上是增函数，又在定义域上是增函数，所以由复合函数的单调性可知，在上是减函数，在上是增函数，故B是假命题；当时，（当且仅当时取等号），又是偶函数，所以函数的最小值是，故C是真命题；当时，是减函数，当时，是增函数，又是偶函数，所以依据复合函数的单调性知，当或时，是增函数，故D是真命题．故选：ACD．10．ACD【详解】对于A选项，当时，，故得，故的定义域为，故A选项正确；对于B选项，举反例：当时，，所以的定义域为，此时，此时，且在上单调递增，在上单调递减，而在上单调递增在上单调递增，在上单调递减；故值域为，故B错误；对于C选项，当时，，所以的定义域为，此时，此时，且在上单调递增，在上单调递减，而在上单调递增在上单调递增，在上单调递减；故C选项正确；对于D选项，因为的值域为R，所以是的值域的子集，故需满意，所以或，故实数a的取值范围是，所以D选项正确.故选：ACD.11．CD依据函数定义，对定义域内的随意一个值，只有唯一的值与之对应，∴函数，的图象与直线可能有一个或0个交点，因此①错；中定义域是，函数的定义域是，定义域不相同，不是同一函数，②错；若，即，当时，则，此时，当时不成立，即的取值范围是，因此③正确;如图，分别是函数、的图象与直线的交点、的横坐标，由于与是互为反函数，它们的图象关于直线对称，而直线与直线垂直，因此两点关于直线对称，直线与直线的交点为，∴．④正确．故选：CD．12．AB画出函数的图象，方程有四个不同的实数解，和有4个不同的交点，则视察图象可得，故A正确，则，即，则，即，，又和关于对称，，为定值，故B正确；，且，在单调递减，在单调递增，，即，故C错误；在单调递增，，故D错误.故选：AB..13．因为是定义在上的奇函数，则，又，所以.故答案为：614．【详解】因为，所以，所以.故答案为：15．【详解】当时，且单调递增；当时，，而在上递增，∴在上递减，且，综上，可得的图象如下，∴要使在恰有1个零点，则.故答案为：.16．【详解】依题意，函数，（1）设，当时，为增函数，也是增函数，则为增函数；当时，为减函数，也是减函数，则为增函数；综上，函数为单调增函数，即在内是单调函数；（2）在内是单调增函数，若为“幻想函数”设存在，使得在上的值域为，则有，即是方程的两个不等的实根，设，则，所以方程等价为的有两个不等的正实根，则有，即，解得：0，故答案为：.17．（1）令，则，因为函数的对称轴为，所以在上单调递减，要使得在有零点，则即，所以，所以实数的取值范围为，由可得，所以，当即时，有两个零点，当或时有个零点，（2）当时，，所以在单调递减，在单调递增，，可得当，，记集合，由题意知：，当时，在上是增函数，此时，记集合若对随意的，总存在，使成立，则，所以，解得，当时，在上是减函数，此时，记集合若对随意的，总存在，使成立，则，所以，解得，综上所述：实数的取值范围为.18．（1）证明：因为，所以，由得函数的定义域为，又所以函数为定义域上的奇函数（2）当时，因为，所以，所以函数的定义域为．（i）结论：函数为上的单调增函数．证明：设对随意的，，且，因为，所以即因为，所以，，又，所以，即，所以函数为上的单调增函数（ii）因为，所以，从而．又由知，，所以，因为，由（i）知，函数为上的单调增函数．因为函数在区间上的值域是，所以，即从而关于的方程有两个互异实根．令，所以方程有两个互异正根．所以，解得.19．(1)解得.所以函数的定义域为(2)解：由题意得因为在上为减函数，所以又因为在为增函数，所以所以在恒成立即在恒成立，即在恒成立，等价为在的最小值大于等于0，因为在为增函数，所以即，所以的最小值为(3)方程，即可转化为，且①当即时，，符合题意；②当即时，(i)当时，符合题意(ii)当时，且时，要满意题意，则有或无解综上可得，的取值范围.20．解：由题意得（1）因为在上为减函数，所以又因为在为增函数，所以所以在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，等价为在的最小值大于等于0，因为在为增函数，所以即，所以的最小值为.（2）方程，即可转化为，且②当即时，，符合题意；②当即时，，（i）当时，符合题意（ii）当时，且时，要满意题意，则有或无解综上可得，的取值范围.21．【详解】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，则，，．（2）由（1）可得，，当且仅当，即时等号成立．此时．所以的最大值为