2025版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组4.4解三角形

.4解三角形考点一正弦定理与余弦定理1.(2016课标Ⅰ文,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,则b=()A.2B.3C.2D.3答案D由余弦定理得5=22+b2-2×2bcosA,∵cosA=23,∴3b2-8b-3=0,∴b=3b=-评析本题考查了余弦定理的应用,考查了方程的思想方法.2.(2016天津理,3,5分)在△ABC中,若AB=13,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A在△ABC中,设A、B、C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcosC,得13=9+b2-2×3b×-12,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.评析本题考查了余弦定理的应用和方程思想,属简单题.3.(2016课标Ⅲ理,8,5分)在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cosA=(A.31010B.1010C.-10答案C解法一:过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,AB=23BC,AC=53BC,在△ABC中,由余弦定理的推论可知,cos∠BAC=AB2+A解法二:过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,在Rt△ADC中,AC=53BC,sin∠DAC=255,cos∠DAC=55,又因为∠B=π4,所以cos∠BAC=cos∠DAC+π4=cos∠DAC·cosπ4-sin∠DAC·sinπ4解法三:过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=13BC,则CD=23BC,AB=23BC,AC=53BC,而AB·AC=(AD+DB)·(AD+DC)=AD2+AD·DC+AD·DB+DB·DC=19BC2-29BC2=-19BC2,所以cos∠BAC=解法四:过A作AD⊥BC,垂足为D,设BC=3a(a>0),结合题意知AD=BD=a,DC=2a.以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以AB=(-a,-a),AC=(2a,-a),所以|AB|=2a,|AC|=5a,所以cos∠BAC=AB·AC|AB||AC|4.(2016山东文,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA).则A=()A.3π4B.π3C.π4答案C在△ABC中,由b=c,得cosA=b2+c2-a22bc=2b2-a22b2,又a2评析恰当运用余弦定理的变形形式是求解本题的关键.5.(2015广东文,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cosA=32且b<c,则b=(A.3B.22C.2D.3答案C由余弦定理b2+c2-2bccosA=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,∵b<c=23,∴b=2.选C.6.(2014课标Ⅱ理,4,5分)钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=(A.5B.5C.2D.1答案BS△ABC=12AB·BCsinB=12×1×2sinB=∴sinB=22,∴B=45°或135°.若B=45°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC为直角三角形,不符合题意,因此B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=1+2-2×1×2×-22=5,∴AC=57.(2013课标Ⅱ文,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC的面积为(A.23+2B.3+1C.23-2D.3-1答案B由bsinB=csinC又sinA=sin(B+C)=12×22+32×22=2+64.从而S△ABC=12bcsinA=128.(2013课标Ⅰ文,10,5分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=()A.10B.9C.8D.5答案D由23cos2A+cos2A=0得25cos2A=1,因为A为锐角,所以cosA=15.又由a2=b2+c2-2bccosA得49=b2+36-125b,整理得5b解得b=-135(舍)或b=5,故选9.(2024课标Ⅱ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.

答案34解析本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算.在△ABC中,由已知及正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=0,∵sinA≠0,∴sinB+cosB=0,即tanB=-1,又B∈(0,π),∴B=3410.(2017课标Ⅲ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=6,c=3,则A=.

答案75°解析由正弦定理得3sin60°=6sin又∵c>b,∴B=45°,∴A=75°.易错警示本题求得sinB=22后,要留意利用b<c确定B=45°,从而求得11.(2017课标Ⅱ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.

答案60°解析解法一:由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinC·cosA,即sin2B=sin(A+C),即sin2B=sin(180°-B),可得B=60°.解法二:由余弦定理得2b·a2+c2-b22ac=a·a2+b2-c22ab+c·b2+c2思路分析利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解.12.(2016课标Ⅱ,理13,文15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=答案21解析由已知可得sinA=35,sinC=1213,则sinB=sin(A+C)=35×513+45×1213=6365,再由正弦定理可得asin13.(2016北京文,13,5分)在△ABC中,∠A=2π3,a=3c,则bc=答案1解析在△ABC中,a2=b2+c2-2bc·cosA,将∠A=2π3,a=3c代入可得(3c)2=b2+c2-2bc·-1整理得2c2=b2+bc.∵c≠0,∴等式两边同时除以c2,得2=b2c2+bcc2,即令t=bc(t>0),有2=t2+t,即t2解得t=1或t=-2(舍去),故bc思路分析本题先由余弦定理列出关于b、c的方程,再将方程转化为以bc为变元的方程求解评析本题考查余弦定理的应用及换元思想的应用,属中档题.14.(2015福建理,12,4分)若锐角△ABC的面积为103,且AB=5,AC=8,则BC等于.

答案7解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及12bcsinA=103得sinA=32,因为A为锐角,所以A=60°,cosA=12.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+64-2×40×12=49,评析本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cosA是求解关键.15.(2015安徽文,12,5分)在△ABC中,AB=6,∠A=75°,∠B=45°,则AC=.

答案2解析由已知及三角形内角和定理得∠C=60°,由ABsinC=ACsinB知AC=16.(2015福建文,14,4分)若△ABC中,AC=3,A=45°,C=75°,则BC=.

答案2解析B=180°-45°-75°=60°.由正弦定理得ACsinB=BCsinA,17.(2015重庆文,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=-14,3sinA=2sinB,则c=答案4解析由3sinA=2sinB及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×-14=16,18.(2015北京理,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC答案1解析在△ABC中,由余弦定理的推论可得cosA=b2+c2-a22bc=52+6评析本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的运算求解实力和学问的应用转化实力.19.(2014课标Ⅰ理,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为.

答案3解析因为a=2,所以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可化为(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12,又0<A<π,故A=π3.因为cosA=12=b2+c2-42bc≥2bc-42bc,所以bc≤4,评析本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式的应用,考查学生对学问的综合应用实力以及运算求解实力.能把2代换成a是正确解决本题的关键.20.(2011课标文,15,5分)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为.

答案15解析由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,及已知条件得49=a2+25-2×5×acos120°.整理得a2+5a-24=0,解得a=3或a=-8(舍).∴S△ABC=12acsinB=12×3×5sin120°=评析本题考查余弦定理、解三角形等学问,依据余弦定理正确求出a的值是解答本题的关键.21.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=答案21解析由cosC=513,0<C<π,得sinC=12由cosA=45,0<A<π,得sinA=3所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=6365依据正弦定理得b=asinBsin22.(2024课标Ⅱ文,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2π2+A+cosA=(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形解析(1)由已知得sin2A+cosA=54,即cos2A-cosA+1所以cosA-122=0,cosA=12.(2)由正弦定理及已知条件可得sinB-sinC=33由(1)知B+C=2π3,所以sinB-sin2π3-B=即12sinB-32cosB=12,sinB由于0<B<2π3,故B=π2.从而△ABC23.(2017山东文,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB·AC=-6,S△ABC=3,求A和a.解析因为AB·AC=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0<A<π,所以A=3π4又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2×3×22×-2所以a=29.24.(2016四川文,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAa+cosB(1)证明:sinAsinB=sinC;(2)若b2+c2-a2=65bc,求解析(1)证明:依据正弦定理,可设asinA=bsin则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入cosAa+cosBb=cosAksinA+cossinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(2)由已知,b2+c2-a2=65依据余弦定理,有cosA=b2+c所以sinA=1-cos由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以45sinB=45cosB+故tanB=sinB方法总结解三角形中,要依据题干条件恰当选取正、余弦定理,当涉及边较多时,可考虑余弦定理,当涉及角较多时,可考虑正弦定理.△ABC中,也常用到sin(A+B)=sinC.评析本题考查了正、余弦定理及同角三角函数的基本关系式,依据条件恰当选择正、余弦定理是解题的关键.25.(2016课标Ⅰ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=7,△ABC的面积为332,求△ABC解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,(2分)2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.(4分)可得cosC=12,所以C=π3.(6(2)由已知,得12absinC=3又C=π3,所以ab=6.(8分由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以△ABC的周长为5+7.(12分)解后反思本题属解三角形问题中的常见题型,要先利用正弦、余弦定理,将已知中的“边”或“角”的关系式,转化为只有“边”或只有“角”的方程形式,进而通过三角函数或代数学问求解方程.解题中要留意三角形的一些性质应用,例如:sin(A+B)=sinC,S△ABC=12评析本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.在解题过程中,要留意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转化为“角”之间的关系,再运用三角函数学问求解.26.(2016浙江理,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=a24,求角A解析(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=a24得12absinC=a24因sinB≠0,得sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=π2当B+C=π2时,A=π当C-B=π2时,A=π综上,A=π2或A=π思路分析(1)由正弦定理及两角和的正弦公式将已知条件转化为∠A与∠B的三角函数关系,利用A,B的范围诱导公式得出∠A与∠B的关系;(2)利用三角形的面积公式将已知条件转化为∠C与∠B的三角函数关系,再由∠B,∠C的范围及诱导公式求∠A的大小.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础学问,同时考查运算求解实力.27.(2015课标Ⅱ理,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求sin∠B(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长解析(1)S△ABD=12AB·ADsin∠S△ADC=12AC·ADsin∠因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C=AC(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.评析本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.28.(2015课标Ⅰ文,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=2,求△ABC的面积.解析(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB=a2+c2-(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=2.所以△ABC的面积为1.(12分)评析本题考查了正弦定理、余弦定理;考查了解三角形的基本方法,属简单题.29.(2015浙江理,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=π4,b2-a2=12c(1)求tanC的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=12c2及正弦定理得sin2B-12=12sin2C,所以又由A=π4,即B+C=34π,解得tanC=2.(2)由tanC=2,C∈(0,π)得sinC=255,cosC=又因为sinB=sin(A+C)=sinπ4+C,所以sinB=由正弦定理得c=22又因为A=π4,12bcsinA=3,所以bc=62,评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础学问,同时考查运算求解实力.30.(2015山东理,16,12分)设f(x)=sinxcosx-cos2x+(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求△ABC面积的最大值解析(1)由题意知f(x)=sin2x2=sin2x2-1-由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,可得-π4+kπ≤x≤π4由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,可得π4+kπ≤x≤3π4所以f(x)的单调递增区间是-π4+kπ,单调递减区间是π4+kπ,3π(2)由fA2=sinA-12=0,得sinA=由题意知A为锐角,所以cosA=32由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得1+3bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+3,且当b=c时等号成立.因此12bcsinA≤2+所以△ABC面积的最大值为2+3评析本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质,以及解三角形等基础学问和基本方法,对运算实力有较高要求.属中等难度题.31.(2015陕西理,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asinB-3bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-3sinBcosA=0,又sinB≠0,从而tanA=3,由于0<A<π,所以A=π3(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,及a=7,b=2,A=π3得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为12bcsinA=3解法二:由正弦定理,得7sinπ3从而sinB=217又由a>b,知A>B,所以cosB=27故sinC=sin(A+B)=sinB=sinBcosπ3+cosBsinπ3=所以△ABC的面积为12absinC=332.(2014课标Ⅱ文,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.解析(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC,①BD2=AB2+DA2-2AB·DAcosA=5+4cosC.②由①,②得cosC=12,故C=60°,BD=7(2)四边形ABCD的面积S=12AB·DAsinA+12BC=12=23.评析本题考查余弦定理的应用和四边形面积的计算,考查运算求解实力和转化的思想,把四边形分割成两个三角形是求面积的常用方法.33.(2014浙江理,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=3,cos2A-cos2B=3sinAcosA-3sinBcosB.(1)求角C的大小;(2)若sinA=45,求△ABC的面积解析(1)由题意得1+cos2A2-1+cos2B2=即32sin2A-12cos2A=32sin2A-π由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-π6+2B-π即A+B=2π3所以C=π3(2)由(1)及c=3,sinA=45,asinA=csinC由a<c,得A<C.从而cosA=35故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=4+33所以,△ABC的面积为S=12acsinB=8评析本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础学问,同时考查运算求解实力.34.(2013课标Ⅱ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.解析(1)由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinC·sinB.①又A=π-(B+C),故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②由①②和C∈(0,π)得sinB=cosB.又B∈(0,π),所以B=π4(2)△ABC的面积S=12acsinB=2由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accosπ4又a2+c2≥2ac,故ac≤42-2,当且仅当a=c时因此△ABC面积的最大值为2+1.35.(2012课标理,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+3asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为3,求b,c.解析(1)由acosC+3asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0.因为B=π-A-C,所以3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.由于sinC≠0,所以sinA-π6又0<A<π,故A=π3(2)△ABC的面积S=12bcsinA=3,故而a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8.解得b=c=2.评析本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想.敏捷运用正、余弦定理是求解关键.考点二解三角形及其应用1.(2024课标Ⅲ文,11,5分)在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则tanB=(A.5B.25C.45D.85答案C解法一:由余弦定理及cosC=23,AC=4,BC=3,知AB=3,于是cosB=9+9-162×3×3=19>0,所以sinB=459解法二:作BD⊥AC于D,由cosC=23,BC=3,知CD=2,即D为边AC的中点,所以三角形ABC是等腰三角形,且BD=5于是tanB2=25,故tanB=2×2512.(2024课标Ⅰ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-14,则bc=(A.6B.5C.4D.3答案A本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用;考查考生的逻辑思维实力和运算求解实力;考查的核心素养是数学运算与逻辑推理.由正弦定理及asinA-bsinB=4csinC得a2-b2=4c2,由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=3.(2017课标Ⅰ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,则C=()A.π12B.π6C.π4答案B本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在△ABC中,sinB=sin(A+C),则sinB+sinA(sinC-cosC)=sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,即sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,∴cosAsinC+sinAsinC=0,∵sinC≠0,∴cosA+sinA=0,即tanA=-1,即A=34由asinA=csinC得22又0<C<π4,∴C=π6,方法总结解三角形问题首先要熟识正弦定理、余弦定理;其次还要留意应用三角形内角和定理,以达到求解三角函数值时消元的目的,例如本题中sinB=sin(A+C)的应用.4.(2014四川文,8,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()A.240(3-1)mB.180(2-1)mC.120(3-1)mD.30(3+1)m答案C如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60m,在Rt△ACD中,CD=ADtan∠ACD=60tan30°=603m,在Rt△ABD中,BD=ADtan∠ABD=60tan75°=602+5.(2024课标Ⅰ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.

答案2解析本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求解.由已知条件及正弦定理可得2sinBsinC=4sinA·sinBsinC,易知sinBsinC≠0,∴sinA=12,又b2+c2-a2=8,∴cosA=b2+c2-a22bc=4∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×833×解题关键正确利用正弦定理将“边”转化为“角”,求出sinA是解决本题的关键.6.(2017浙江,14,5分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.

答案152;解析本题考查余弦定理,同角三角函数的基本关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解实力.∵AB=AC=4,BC=2,∴cos∠ABC=AB2+B∵∠ABC为三角形的内角,∴sin∠ABC=154∴sin∠CBD=154,故S△CBD=12×2×2×154∵BD=BC=2,∴∠ABC=2∠BDC.又cos∠ABC=14∴2cos2∠BDC-1=14,得cos2∠BDC=5又∠BDC为锐角,∴cos∠BDC=1047.(2015课标Ⅰ理,16,5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.

答案(6-2,6+2)解析依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,AB=y,∠CDB=α,∠CBD=β.在△BCD中,由正弦定理得2sinα=xsin75°.由题意可知,∠ADC=135°,则∠ADB=135°-α.在△ABD中,由正弦定理得xsin75°=ysin(135°-α).所以ysin因为0°<β<75°,α+β+75°=180°,所以30°<α<105°,当α=90°时,易得y=2;当α≠90°时,y=2(cosα又tan30°=33,tan105°=tan(60°+45°)=tan60°+tan45°1-tan60°tan45°=-2-3,结合正切函数的性质知,1tanα∈(3-2,3),且1tanα≠0,所以y=21tan综上所述:y∈(6-2,6+2).评析本题考查了三角函数和解三角形.利用函数的思想方法是求解关键,属偏难题.8.(2015重庆理,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=.

答案6解析依题意知∠BDA=∠C+12∠BAC,由正弦定理得2sin∠BDA=3sinB∵∠C+∠BAC=180°-∠B=60°,∴∠C+12∠∴∠BAC=30°,∠C=30°.从而AC=2·ABcos30°=6.9.(2015湖北,理13,文15,5分)如图,一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶,到A处时测得马路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.

答案1006解析依题意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°,在△ABC中,由ABsin∠ACB=得600sin45°=有CB=3002,在Rt△BCD中,CD=CB·tan30°=1006,则此山的高度CD=1006m.10.(2014课标Ⅰ理,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.

答案150解析在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=1002m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理得,ACsin45°=AMsin60°,在Rt△MNA中,AM=1003m,∠MAN=60°,由MNAM=sin60°得MN=1003×32=150m,11.(2011课标理,16,5分)在△ABC中,B=60°,AC=3,则AB+2BC的最大值为.

答案27解析设AC=b=3,AB=c,BC=a,在△ABC中,asinA=bsin∴a=2sinA,c=2sinC,且A+C=120°,∴AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(120°-C)=4sinC+23cosC=27sin(C+φ),其中sinφ=217,cosφ=2∴φ∈(30°,60°),而C∈(0°,120°),∴φ+C∈(30°,180°),当C+φ=90°时,AB+2BC有最大值27.评析本题主要考查正弦定理的应用及三角函数性质和公式的应用,娴熟驾驭定理、公式和三角函数的性质是正确解题的关键.12.(2024课标Ⅰ文,18,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.(1)若a=3c,b=27,求△ABC的面积;(2)若sinA+3sinC=22,求解析(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×3c2×cos150°.解得c1=-2(舍去),c2=2,从而a=23.△ABC的面积为12×23×2×sin150°=3(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sinA+3sinC=sin(30°-C)+3sinC=sin(30°+C).故sin(30°+C)=22而0°<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.13.(2024江苏,16,14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,c=2,B=45°.(1)求sinC的值;(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-45,求tan∠DAC的值解析本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础学问,考查运算求解实力.(1)在△ABC中,因为a=3,c=2,B=45°,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=9+2-2×3×2cos45°=5,所以b=5.在△ABC中,由正弦定理bsinB=得5sin45°=2sinC,(2)在△ADC中,因为cos∠ADC=-45,所以∠ADC为钝角而∠ADC+∠C+∠CAD=180°,所以∠C为锐角,故cosC=1-sin2C=255因为cos∠ADC=-45,所以sin∠ADC=1-cotan∠ADC=sin∠ADCcos∠ADC从而tan∠DAC=tan(180°-∠ADC-∠C)=-tan(∠ADC+∠C)=-tan∠ADC+tanC1-14.(2024天津,理15,文16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acosB-(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础学问,考查运算求解实力.(1)在△ABC中,由正弦定理asinA=bsin又由bsinA=acosB-π6,得即sinB=cosB-π6,可得又因为B∈(0,π),可得B=π3(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-π6,可得因为a<c,故cosA=27因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=437×12-解题关键(1)利用正弦定理合理转化bsinA=acosB-π6是求解第(2)由余弦定理及已知条件求得sinA,利用a<c确定cosA>0是求解第(2)问的关键.失分警示(1)由于忽视a<c这一条件,从而导致cosA有两个值,最终结果出现增解;(2)由于不能熟记二倍角公式以及两角差的正弦公式,从而导致结果出错.15.(2024北京理,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-17(1)求A;(2)求AC边上的高.解析(1)在△ABC中,因为cosB=-17,所以B∈π2,π,所以sinB=由正弦定理得sinA=a·sinB因为B∈π2所以A∈0,π2,所以(2)在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinB+π3=12sinB+三角形ABC的面积S△ABC=12absinC=63设AC边上的高为h,则S△ABC=12bh=12×8·h=6所以h=33即AC边上的高为33方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先要驾驭正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最终通过解方程求出边或角.16.(2017天津理,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=35(1)求b和sinA的值;(2)求sin2A+解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的正弦、余弦公式,两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础学问.考查运算求解实力.(1)在△ABC中,因为a>b,故由sinB=35,可得cosB=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=由正弦定理asinA=bsinB,得sinA=所以,b的值为13,sinA的值为313(2)由(1)及a<c,得cosA=213所以sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin2A=-5故sin2A+π4=sin2Acosπ4方法总结1.利用正、余弦定理求边或角的步骤:(1)依据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出;(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解;(3)在运算和求解过程中留意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用.2.解决三角函数及解三角形问题的满分策略:(1)仔细审题,把握变形方向;(2)规范书写,合理选择公式;(3)计算精确,留意符号.17.(2017天津文,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=5(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.解析本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础学问.考查运算求解实力.(1)由asinA=4bsinB,及asinA=bsin由ac=5(a2-b2-c2),及余弦定理,得cosA=b2+c2-(2)由(1),可得sinA=255,得sinB=asinA4由(1)知,A为钝角,所以cosB=1-sin于是sin2B=2sinBcosB=45,cos2B=1-2sin2B=3故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=45×-55-35×规律总结解有关三角形问题时应留意:(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合或两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,假如式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;假如式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑到两个定理都有可能用到.(2)解三角形问题时应留意三角形内角和定理的应用及角的范围.18.(2016北京理,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求∠B的大小;(2)求2cosA+cosC的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cosB=a2+c2-又因为0<∠B<π,所以∠B=π4.(6分(2)由(1)知∠A+∠C=3π42cosA+cosC=2cosA+cos3π=2cosA-22cosA+2=22cosA+2=cosA-π4因为0<∠A<3π4所以当∠A=π4时,2cosA+cosC取得最大值1.(13分思路分析第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,明显用余弦定理求解.第(2)问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再留意角的取值范围,问题得解.评析本题考查余弦定理,三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.19.(2016山东理,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tanA+tanB)=tanAcosB(1)证明:a+b=2c;(2)求cosC的最小值.解析(1)由题意知2sinAcosA+sin化简得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB.因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC.从而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=a+所以cosC=a2+=38ab+b当且仅当a=b时,等号成立.故cosC的最小值为12疑难突破利用切化弦将已知等式等价转化,最终转化为三角形三角正弦之间的关系,从而结合正弦定理得出三角形三边之间的关系.评析本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及基本不等式,综合性较强,重点考查了化归与转化的思想方法,属中档题.20.(2016天津文,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin2B=3bsinA.(1)求B;(2)若cosA=13,求sinC的值解析(1)在△ABC中,由asinA=bsinB,可得asinB=bsinA,又由asin2B=3bsinA,得2asinBcosB=3bsinA=3asinB,所以cosB=32(2)由cosA=13,可得sinA=2则sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinA=32sinA+12cosA=思路分析(1)利用正弦定理与二倍角公式将原式转化为角B的三角函数式进行求解;(2)利用三角形的性质及两角和的正弦公式求sinC的值.评析本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理等基础学问.考查运算求解实力.21.(2015江苏理,15,14分)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.解析(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=4+9-2×2×3×12所以BC=7.(2)由正弦定理知,ABsinC=所以sinC=ABBC·sinA=2sin60°7因为AB<BC,所以C为锐角,则cosC=1-sin2C因此sin2C=2sinC·cosC=2×217×277评析本小题主要考查余弦定理、正弦定理,同角三角函数关系与二倍角公式,考查运算求解实力.22.(2015浙江文,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tanπ4(1)求sin2Asin2(2)若B=π4,a=3,求△ABC的面积解析(1)由tanπ4+A=2,得tanA=所以sin2Asin2A+cos(2)由tanA=13,A∈(0,π),sinA=1010,cosA=3又由a=3,B=π4及正弦定理asinA=b=35.由sinC=sin(A+B)=sinA+π4得设△ABC的面积为S,则S=12评析本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础学问,同时考查运算求解实力.23.(2015天津文,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为315,b-c=2,cosA=-14(1)求a和sinC的值;(2)求cos2A+解析(1)在△ABC中,由cosA=-14,可得sinA=15由S△ABC=12bcsinA=315,得bc=24,又由解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccosA,可得a=8.由asinA=csinC,(2)cos2A+π6=cos2A·cosπ=32(2cos2A-1)-12×2sinA·cosA=评析本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础学问.考查基本运算求解实力.24.(2015课标Ⅱ文,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sin∠B(2)若∠BAC=60°,求∠B.解析(1)由正弦定理得ADsin∠B=BDsin∠BAD,因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以sin∠Bsin∠C=DC(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=32cos∠B+12sin由(1)知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=33,即∠评析本题考查了正弦定理;考查了解三角形的实力.属中档题.25.(2015安徽理,16,12分)在△ABC中,∠A=3π4,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长解析设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(32)2+62-2×32×6×cos3π4所以a=310.又由正弦定理得sinB=bsin∠BACa=3由题设知0<B<π4,所以cosB=1-sin2在△ABD中,由正弦定理得AD=AB·sin=3cosB=26.(2014辽宁理,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对