2025版新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.6函数的应用二课时作业新人教B版必修第二册

PAGEPAGE14．6函数的应用(二)必备学问基础练进阶训练第一层1．某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长快速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A.一次函数B．二次函数C.指数型函数D．对数型函数2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，其次年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.eq\f(p＋q,2)B．eq\f(（1＋p）（1＋q）－1,2)C.eq\r(pq)D．eq\r(（1＋p）（1＋q）)－13．某公司为激励创新，安排逐年加大研发奖金投入．若该公司2016年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金起先超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A.2024年B．2024年C.2024年D．2024年4．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lgeq\f(I,I0)(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度).设η1＝70dB的声音强度为I1，η2＝60dB的声音强度为I2，则I1是I2的()A.eq\f(7,6)倍B．10倍C.10eq\f(7,6)倍D．lneq\f(7,6)倍5．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预料今年药品利润为________万元．6．2024年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问该地区每年人口的平均增长率是多少？以下数据供计算时运用：真数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.00430.00650.00730.11730.3010关键实力综合练进阶训练其次层7．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A.指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC.幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t28．(多选)如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象，则()A.第3个月有害物质的剩留量是eq\f(2,27)B.第4个月时，剩留量就会低于eq\f(1,5)C.每月削减的有害物质质量都相等D.当剩留量为eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t39．(多选)江苏省高邮市素有“鱼米之乡”之称，高邮城西有风光秀丽的高邮湖，湖内盛产花鲢鱼，记花鲢鱼在湖中的游速为vm/s，花鲢鱼在湖中的耗氧量的单位数为x，经探讨发觉，花鲢鱼的游速v与log2eq\f(x,100)(x≥100)成正比，经测定，当花鲢鱼的耗氧量为200单位时，其游速为eq\f(1,2)m/s.则下列说法正确的是()A.v＝eq\f(1,2)log2eq\f(x,100)(x≥100)B.当花鲢鱼静止时，耗氧量为100单位C.当花鲢鱼的耗氧量为400单位时，其游速为2m/sD.若某条花鲢鱼的游速提高了1m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的2倍10．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02给出下列几个函数：①y＝a＋bx；②y＝a＋bx；③y＝ax2＋b；④y＝a＋eq\f(b,x).其中可以近似表示这些数据满意的规律的是________．11．有关数据显示，中国某行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预料，假如不实行措施，将来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年起先，该行业产生的包装垃圾将超过4000万吨．(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)12．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量快速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度削减，为了保障交通平安，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)核心素养升级练进阶训练第三层13．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(eq\f(1,16))t－a(a为常数)，如图所示，依据图中供应的信息，回答下列问题：(1)从药物释放起先，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放起先，至少须要经过________小时后，学生才能回到教室．14．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的探讨热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得胜利．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在打算投入资金进行生产．经市场调查与预料，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图象如图所示．(1)试分别求诞生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式；(2)假如公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？(3)现在公司打算投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．(净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金)4．6函数的应用(二)1．答案：D解析：由题意分析，符合对数型函数的特点．2．答案：D解析：设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝eq\r(（1＋p）（1＋q）)－1.3．答案：C解析：设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，∴1.12x＝eq\f(20,13)，∴x＝log1.12eq\f(20,13)＝log1.1220－log1.1213＝eq\f(lg20,lg1.12)－eq\f(lg13,lg1.12)＝eq\f(（lg2＋lg10）－（lg1.3＋lg10）,lg1.12)≈eq\f(0.3＋1－0.11－1,0.05)＝3.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2024年超过200万元．4．答案：B解析：依题意可知，η1＝10lgeq\f(I1,I0)，η2＝10lgeq\f(I2,I0)，所以η1－η2＝10lgeq\f(I1,I0)－10lgeq\f(I2,I0)，则1＝lgI1－lgI2，所以eq\f(I1,I2)＝10.5．答案：125解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.6．解析：设该地区每年人口的平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y·(1＋x)n＝60，则当n＝40时，y＝30，即30(1＋x)40＝60，∴(1＋x)40＝2，两边取对数，则40lg(1＋x)＝lg2，则lg(1＋x)＝eq\f(lg2,40)≈0.007525，∴1＋x≈1.017，解得x≈1.7%.7．答案：A解析：由题干中的图象可知，该函数模型为指数函数模型．8．答案：BD解析：由于函数的图象经过点(2，eq\f(4,9))，故函数的关系式为y＝(eq\f(2,3))t.当t＝3时，y＝(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27)，故A错误；当t＝4时，y＝eq\f(16,81)<eq\f(1,5)，故B正确；当t＝1时，y＝eq\f(2,3)，削减eq\f(1,3)，当t＝2时，y＝eq\f(4,9)，削减eq\f(2,9)，故每月削减的有害物质质量不相等，故C错误；分别令y＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，解得t1＝logeq\f(2,3)eq\f(1,2)，t2＝logeq\f(2,3)eq\f(1,4)，t3＝logeq\f(2,3)eq\f(1,8)，所以t1＋t2＝t3，故D正确．9．答案：AB解析：因为花鲢鱼的游速v与log2eq\f(x,100)(x≥100)成正比，所以设v＝k·log2eq\f(x,100)，又因为当x＝200时，v＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)＝k·log2eq\f(200,100)，解得k＝eq\f(1,2)，所以v＝eq\f(1,2)log2eq\f(x,100)(x≥100)，故A正确；当花鲢鱼静止时即v＝0，得eq\f(1,2)log2eq\f(x,100)＝0，解得x＝100，故B正确；当花鲢鱼的耗氧量为400单位时，即x＝400，得v＝eq\f(1,2)log2eq\f(400,100)＝eq\f(1,2)log24＝1m/s，故C错误；设花鲢鱼起先的游速为v0，耗氧的单位数为x0，则后来的速度为v1，设提速后的耗氧单位数为x1，因为v1＝v0＋1＝eq\f(1,2)log2eq\f(x0,100)＋1＝eq\f(1,2)(log2eq\f(x0,100)＋2)＝eq\f(1,2)log2eq\f(4x0,100)，又因为v1＝eq\f(1,2)·log2eq\f(x1,100)，即eq\f(1,2)log2eq\f(4x0,100)＝eq\f(1,2)log2eq\f(x1,100)，所以x1＝4x0，即耗氧量的单位数是原来的4倍，故D错误．10．答案：②解析：由题中表格数据画出函数的大致图象，可知这些数据满意的规律近似于指数函数．11．答案：2024解析：设该行业生产的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年起先增加的年份的数量，由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×(eq\f(3,2))n，当y＝4000时，有(eq\f(3,2))n＝10，两边取对数可得n(lg3－lg2)＝1，∴n(0.4771－0.3010)＝1，解得n≈6，∴从2015＋6＝2024年起先，该行业产生的包装垃圾将超过4000万吨．12．答案：5解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.依据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，在不等式两边取常用对数，则有nlgeq\f(3,4)＝n(lg3－2lg2)≤lg0.3＝lg3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥eq\f(13,3)＝4eq\f(1,3)，故至少经过5小时才能开车．13．答案：(1)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤0.1，,（\f(1,16)）t－0.1，t>0.1))(2)0.6解析：(1)因为药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，则设函数为y＝kt(k>0)，将点(0.1，1)代入y＝kt，可得k＝10，所以y＝10t，将点(0.1，1)代入y＝(eq\f(1,16))t－a，得a＝0.1，故所求的函数关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤0.1，,（\f(1,16)）t－0.1，t>0.1.))(2)由(eq\f(1,16))t－0.1＝0.25＝𝑒𝑞\𝑏\lc\(\rc\)(\a\vs4\𝑎𝑙\𝑐𝑜即至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室．14．解析：(1)设投入资金x千万元，则生产A芯片的毛收入y＝eq\f(x,4)(x>0).将(1，1)，(4，2)代入y＝kxa，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,k·4a＝2，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,a＝\f(1,2)，))∴生产B芯片的毛收入y＝eq\r(x)(x>0).(2)由eq\f(x,4)>eq\r(x)，得x>16；由eq\