Z20 名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2024届高三第三次联考数学试卷

Z20名校联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2024届高三第三次联考数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|2≤x<4}，B={x|x-1≥8-2x}，则AUB=（）A．[2，4] B．(3，4) C．[2，+∞） D．[3，+∞）2．复数5ii−2A．i B．1 C．-2i D．-23．已知单位向量a→，b→满足a→·b→=0，则cos<3a→+4bA．0 B．7210 C．24．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S3=a4-2，S2=a3-2，则公比q=（）A．2 B．-2 C．12 D．5．已知A(-2，-2)，B(1，3)，点P在圆x2+y2=4上运动，则|PA|2+|PB|2的最大值为（）A．16-6√2 B．26+2√2 C．26+4√2 D．326．若函数f（x）=sin（ωx）+cosx的最大值为2，则常数ω的取值可以为（）A．1 B．12 C．13 7．已知[x]表示不超过x的最大整数：，若x=1为函数f(A．2ee−1 B．3e2e8．设O为原点，F，F2为双曲线C:x2a2A．√2x±y=0 B．x±√2y=0 C．√3x±y=0 D．x±√3y=0二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3B．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，σ越小，表示随机变量X分布越集中C．已知一组数据x1，x2，…，xn的方差为3，则x1-1，x2-1，x3-1，…，xn-1的方差为3D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为y=010．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23A．BB．若a=4，b=5，则△ABC有两解C．当a−D．若△ABC为锐角三角形，则cosA+cosC的取值范围是(11．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分别为线段B1C，D1C1的中点，点P满足DP→=λDD1A．当λ+μ=1时，则三棱锥D-PEF的体积为定值B．λ=μ=12四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是C．△PEF周长的最小值为3D．若AP=6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的高为.13．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人且甲、乙不站同一个台阶，同一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是.种.(用数字作答)14．已知关于x的不等式(lnx-2ax)[x2-(2a+1)x+1]≤0对任意x∈(0，+o)恒成立，则实数a的取值范围是..四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15．已知等差数列{an}的公差不为零，a1、a2、a5成等比数列，且a2n=2an+1．（1）求数列{an（2）求a1+a3+a5+…+a2n-1．16．已知四面体A-BCD，AB=AD=BC=CD=2，AC=√3（1）证明：AC⊥BD；（2）若BD=2√3，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值.17．为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在“跑步20分钟”和“跳绳20分钟”中选择一项进行锻炼.在不下雪的时候，他跑步的概率为80%，跳绳的概率为20%，在下雪天，他跑步的概率为20%，跳绳的概率为80%.若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为60%，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为40%.已知寒假第一天不下雪，跑步20分钟大约消耗能量300卡路里，跳绳20分钟大约消耗能量200卡路里.记寒假第n天不下雪的概率为R·（1）求P1、P2、P3（2）设小王寒假第n天通过运动消耗的能量为X，求X的数学期望.18．已知椭圆C:x2折叠前（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，将平面xOy沿x轴折，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面A'FF2)与y轴负半轴和x轴所确定的半平面(平面B'FF2)垂直.①若折叠后OA'⊥OB'，求m的值；②是否存在m，使折叠后A、B'两点间的距离与折叠前A、B两点间的距离之比19．在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α(0<（1）判断函数y=√5x是否为“π6（2）已知函数f(x)=In(2x+1)(x>0)是“α旋转函数”，求tanα的最大值；（3）若函数g(x)=

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由x−1≥8−2x，解得x≥3，即集合B={x|x≥3}，因为A={x|2≤x<4}，所以A∪B={x|x≥2}，即A∪B=[2,+∞).故答案为：C.【分析】先解不等式求得集合B，再根据集合的并集运算求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：5ii−2=5i(−2−i)(i−2)(−2−i)=1−2i故答案为：D.【分析】根据复数的除法运算化简复数，再判断其虚部即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：因为向量a→，b→为单位向量，且a→(3a+4b(a+b则cos⟨3故答案为：B.【分析】由题意，根据向量的数量积运算以及向量的模先计算(3a→+4b→4．【答案】A【解析】【解答】解：由等比数列an的前n项和Sn，满足S3=a4−2，S2故答案为：A.【分析】根据已知条件，两式相减求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：因为P为圆x2+y则|PA|=4=4cos当cos(θ+π4)=1时，故答案为：C.【分析】由题意，设P(2cos6．【答案】D【解析】【解答】解：因为函数y=cosx的最大值为1，由题意可知，y=cosx取得最大值1时，即当x=2kπ,k∈Z时，ω⋅2kπ=π2+2k'π，当k=1,k'故答案为：D.【分析】分别分析函数y=cosx和7．【答案】B【解析】【解答】解：函数f(x)=令g(x)=−xex+2ex则存在−2<x0<−1，使得g(当f'(x)<0时，−2<x<x0，f(x)单调递减；当f'所以x=x0为函数f(x)的极值点，所以[t]=[x故答案为：B.【分析】先求导，构造函数g(x)=−xex+28．【答案】B【解析】【解答】解：设|PF1|=m，|PF2在△F1PF2中，由余弦定理得：4因为|OP|=32a，O为F1,F2的中点，延长PO所以四边形PF1F在△PF1F在△PF1Q因为∠F1P所以2(m2+n由①③得mn=14a2+c2化简得20c2=30a2则双曲线的渐近线方程为：x±2故答案为：B.【分析】设|PF1|=m,|P9．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、数据按照从小到大的顺序排列为2,3,所以数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3+52B、由正态分布可知：σ越小，方差越小，随机变量X分布越集中，故B正确；C、易知数据x1−1,D、散点(m,−0.28)不一定在回归直线为y=0故答案为：BC.【分析】根据百分位数的定义即可判断A；根据正态曲线的性质即可判断B；根据方差的性质即可判断C；根据观测值与预测值的区别即可判断D.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、23a⋅si即23sinA⋅cos2B化解得cosB2(所以cosB2=0或sin(B2B、由余弦定理b2=a2+由Δ=(−4)2−4×C、因为a−c=33b，两边平方得a2−2ac+由两式消b2得，2a2−5ac+2c由B=π3，a=2c，b=3c解得∠A=故△ABC为直角三角形，故C正确；D、因为△ABC为锐角三角形，且B=π所以0<A<π即cosA+所以A+π6∈故答案为：ACD.【分析】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断A；通过余弦定理即可判断B；通过余弦定理及a−c=33b可得a=2c或c=2a，即可判断C；通过求A的取值范围π11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、当λ+μ=1时，DP=λ故DP−DB=λ(DD1−连接BC1，与B1C相交于点E，则E为BC因为F为D1C1的中点，所以DB、当λ=μ=12时，由A选项可知，BP=12连接AC,BD相交于点Q，如图所示：

则PQ⊥平面ABCD，设正四棱锥P−ABCD的外接球的球心为T，则P其中PQ=12,CQ=2由勾股定理得TC2=TQ2则表面积是πrC、点P在矩形D1B1BD及其内部，取线段A1

|PF|+|PE|=|PF1|+|PE|≥|F1E|=|PF|+|PE|+|FE|≥5D、因为AP=62，又点P在矩形D1B1BD及其内部，所以点P的轨迹为点A为球心，半径长为又因为AQ⊥平面BDD1B1，且所以点P的轨迹为以Q为圆心，半径为1的圆的一部分，如图所示：

其中JQ=MQ=1，DQ=DB=22故JD=MB=1−则∠JQD=∠MQB=45°，则∠JQM=90°，则轨迹长为14故答案为：ABD.【分析】先得到BP=λBD1，故点P在线段D1B上，证明出D1B//EF，所以三棱锥D−PEF为定值即可判断A；点P为线段D1B的中点，作出辅助线，找到外接球球心，从而得到外接球半径和外接球面积即可判断B；取线段A112．【答案】3【解析】【解答】解：设母线长为l，高为h，则π(1+5)圆台的轴截面，如图所示：在△BED中，|ED|=4故答案为：3.【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面，利用勾股定理求圆台的高即可.13．【答案】180【解析】【解答】解：甲先选有6种站法，则乙有5种站法，丙有6种站法，则共有6×5×6=180种.故答案为：180.【分析】由题意，利用分步乘法计数原理计算即可.14．【答案】[【解析】【解答】解：不等式转化为(2ax−lnx)[2ax−(x令y=lnx−(x2−x+1)令y'>0，解得0<x<1，则函数y=ln令y'<0，解得x>1，则函数y=ln所以当x=1时，ymax=−1<0，即当x∈(0,+∞)时，所以lnx≤2ax≤设k1为过原点且与y=lnx相切的直线的斜率，设切点(则k1=y'|x=x0=设k2为过原点且与y=x2则k2=y'|x=x画出函数y=lnx与y=x2−x+1数形结合可得，k1≤2a≤k故答案为：[1【分析】将原不等式转化为lnx≤2ax≤x2−x+1恒成立，画出函数y=lnx与y=x215．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，且d≠0，因为a1，a2，a5成等比数列，所以a22=a1a5，即a1+d2=a1a（2）解：a2n−1=2(2n−1)−1=4n−3，a2n−3=4n−7，a1【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量的计算求解即可；（2）根据等差数列求和公式求解即可.16．【答案】（1）证明：取BD的中点M，连AM,因为AB=AD=BC=BD=2，所以BD⊥AM,又因为AM∩CM=M，AM、CM⊂平面ACM，所以BD⊥平面ACM，因为AC⊂平面ACM，所以AC⊥BD.（2）解：因为BD=23，所以AM=CM=1又因为AC=3，可知∠AMC=12由（1）可得BD⊥平面ACM，且BD⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACM，作AH⊥CM交CM延长线于点H，则AH⊥平面BCD且AH=3以MB为x轴，MC为y轴，z轴//AH则A(0,AC=(0设平面ACD的一个法向量为n=(x,y令x=1，则y=−3,z=−3设直线AB与平面ACD所成角为θ，sinθ=|所以直线AB与平面ACD取成线面角的正弦值为3913【解析】【分析】（1）由题意，可知BD⊥AM,（2）根据题意可知：平面BCD⊥平面ACM，作辅助线，可知AH⊥平面BCD，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.17．【答案】（1）解：由题意得P1第3天不下雪，分为两种情况，第2天不下雪且第三天不下雪，第2天下雪且第3天不下雪，故P3依题意Pn整理得Pn所以{Pn−12即Pn−1（2）解：易知X的可能取值为200，300，由（1）得P(X=300)=0.则他第n天通过运动锻炼消耗的能量X的期望为300P(X=300)+200(1−P(X=300))=200+100P(X=300)=220+60P【解析】【分析】（1）由题意得到P1,P2,（2）易知X=200，300，求对应的概率，即可得X的数学期望.18．【答案】（1）解：易知c=3，c则椭圆C的标准方程为x2（2）解：折叠前设A(x1，y1由直线y=kx+m与椭圆交于不同两点，所以Δ>0，解得m2由韦达定理得：x1因为AB位于x轴两侧，所以y1⋅y2<0以O为坐标原点，折叠后，分别以原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则折叠后A'①折叠后OA'⊥OB'，则②折叠前|AB|=2折叠后|=所以120−22m25=3故不存在m，使折叠后的A'B'与折叠前的AB【解析】【分析】（1）由题意，结合椭圆的性质列式求得a,b的值，即可得椭圆的标准