全国统考高考数学复习专题4平面向量

PAGE平面向量考点一、平面向量及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)一般用有向线段来表示向量零向量长度为0的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则（1）交换律：a+（2）结合律：(减法若b+x=a，则向量x叫做三角形法则a数乘实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘（1）|λa（2）当λ>0时，λa的方向与a当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λ(μa(λ+μ)aλ(3．共线向量定理向量与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得．二、平面向量基本定理和平面向量的坐标表示1．平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使．其中，不共线的非零向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设，，则，，，．3．平面向量共线的坐标表示设，，其中b≠0．．三、平面向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos记作a⋅规定：零向量与任一向量的数量积为0．2．投影：|a|cos<a3．数量积的坐标运算：设向量，，则（1）a（2）a（3）四、平面向量的相关结论1．“三点”共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是2．三角形中线向量公式：若P为ΔOAB的边AB的中点，则．进阶练习：一、选择题．1．如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE=A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意，，故选B．【点评】本题主要考了向量的线性运算，属于基础题．2．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设OP=αOC+βA． B．C．D．【答案】D【解析】以O为原点，OD，OC为因为四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，所以D(3，0)，，B(1，1)，OD所以OP=α设P(x，y)，则，所以，所以，即求的最大值，因为点P为△BCD所以由图可知，平移直线到经过点B(1，1)时，取得最大值，所以的最大值是，故选D．【点评】建立平面直角坐标系，转化为线性规划求解是解题关键．3．如图，B是AC的中点，BE=2OB，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且①当x=0时，y∈②当P是线段CE的中点时，，；③若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段；④x−y的最大值为−1．A．1 B．2C．3D．4【答案】C【解析】当x=0时，OP=yOB，则P在线段上，故1≤y≤3，故①错当P是线段CE的中点时，，故②对；x+y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，故③对；如图，过P作，交OE于M，作，交AO的延长线于N，则：OP=又OP=xOA+yOB；由图形看出，当P与B重合时：OP=0此时x取最大值0，y取最小值1；所以x−y取最大值−1，故④正确，所以选项②③④正确，故选C．【点评】若OC=xOA+yOB，则二、填空题．4．已知a=2，a⋅b=−8，b=【答案】【解析】设向量a与b的夹角为θ，因为b=−3，又因为a=2，a⋅b=−8，所以又θ∈0，π，所以，即有所以向量a与b的夹角的正切值为，故答案为．【点评】本题考查了利用向量的数量积求夹角的应用问题，属于基础题．5．已知单位向量，满足：，则向量与向量的夹角θ=___________．【答案】【解析】因为单位向量，，，所以，即，θ∈0，π故答案为．【点评】本题考查了向量垂直的条件，以及向量夹角的计算，属于基础题．6．已知向量，若，且，则x+y的最大值为______．【答案】【解析】∵，且，∴与的夹角为，设，则，∵，∴，又，∴，化简得x2+xy+y∴，当且仅当时，等号成立，∴，故答案为．【点评】本题考查了平面向量的混合运算，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．7．如图，在直角梯形ABCD中，已知，∠DAB=90°，AB=2，AD=CD=1，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足【答案】【解析】如图以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则，B(2，0)，C(1，1)，D(0，因为△AOB∽△COD，所以O是AC的一个三等分点，且，所以．设，则，因为OM⊥BD，所以，解得，则，所以，故答案为．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的坐标表示，考查计算能力．8．已知平面内非零向量a，b，c，满足a=2，b=3，a⋅b=3【答案】【解析】∵a=2，b=3，a又<a，b>∈[0，π]建立如图所示直角坐标系，设，，，则A2，0，，设Cx，，则点C在以为圆心，1为半径的圆上，c−a的取值范围转化为圆上的点到定点2∵圆心到点2，0的距离为，c−a的取值范围为，故答案为．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，向量的坐标运算，考查了数形结合的思想方法以及圆上的点到定点距离的最大最小值，属于中档题．9．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=c=5，且，G为△ABC