2025年高考数学二轮复习 专项训练10 零点问题（原卷版）

2025二轮复习专项训练10零点问题[考情分析]在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，难度较大，多以压轴题出现．【练前疑难讲解】一、判断零点个数问题利用导数研究函数的零点(1)如果函数中没有参数，一阶导数求出函数的极值点，判断极值点大于0、小于0的情况，进而判断函数零点个数．(2)如果函数中含有参数，往往一阶导数的正负不好判断，先对参数进行分类，再判断导数的符号，如果分类也不好判断，那么需要二次求导，判断二阶导数的正负时，也可能需要分类．二、由零点个数求参数范围已知零点个数求参数范围时(1)根据区间上零点的个数估计函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件．(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调性，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解．一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数存在三个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．若时，，则的最小值为D．若方程有两个实根，则4．（2024·重庆·一模）已知函数，则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2024·四川泸州·二模）若函数有零点，则实数的取值范围是．6．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是.四、解答题7．（2024·浙江杭州·二模）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．8．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数.(1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：.【基础保分训练】一、单选题1．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．2．（22-23高三上·山东济南·期末）已知函数,关于的方程至少有三个互不相等的实数解,则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知函数，则（

）A．1是的极小值点B．的图象关于点对称C．有3个零点D．当时，5．（2023·山东德州·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（

）A．若函数无极值点，则没有零点B．若函数无零点，则没有极值点C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点D．若函数有两个零点，则一定有两个极值点6．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数，下列结论中正确的是（

）A．是的极小值点B．有三个零点C．曲线与直线只有一个公共点D．函数为奇函数三、填空题7．（24-25高三上·四川成都·开学考试）设函数，若有三个零点，则的取值范围是．8．（2023·广东广州·一模）若过点只可以作曲线的一条切线，则的取值范围是.9．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是四、解答题10．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求的零点个数.(3)在区间上有两个零点，求的范围?11．（22-23高三上·湖北·期末）已知函数．(1)若，求的极小值．(2)讨论函数的单调性；(3)当时，证明：有且只有个零点．12．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知函数．(1)当，求的单调区间；(2)若有三个零点，求的取值范围．【能力提升训练】一、单选题1．（2023·河北石家庄·一模）已知在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·二模）已知函数,若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（23-24高二下·山东济宁·期中）已知函数，则（

）A．有两个极值点B．有一个零点C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线5．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（

）A．B．若成等差数列，则C．若恰有两个不同的零点，则D．若有三个不同的零点，则6．（2023·湖南·模拟预测）函数（e为自然对数的底数），则下列选项正确的有（

）A．函数的极大值为1B．函数的图象在点处的切线方程为C．当时，方程恰有2个不等实根D．当时，方程恰有3个不等实根三、填空题7．（2023·山东济宁·一模）已知函数，若在上有解，则的最小值.8．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数在区间上存在零点，则的最小值为．9．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是；的值为.四、解答题10．（2022·天津·高考真题）已知，函数(1)求曲线y=fx在处的切线方程；(2)若曲线y=fx和y=g（i）当时，求的取值范围；（ii）求