2025年高考数学二轮复习 专题一 函数与导数 第11讲　极值点偏移问题原卷版

第11讲极值点偏移问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】对称化构造函数 2【考点二】比值代换 3【专题精练】 4考情分析：极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色．真题自测真题自测一、解答题1．（2021·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.考点突破考点突破【考点一】对称化构造函数一、单选题1．（2023·四川泸州·二模）已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2022·吉林·三模）已知函数的极大值点为0，则实数m的值为；设，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为．四、解答题6．（2023·山东泰安·二模）已知函数，.(1)当时，讨论方程解的个数；(2)当时，有两个极值点，，且，若，证明：（i）；（ii）.7．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.规律方法：对称化构造函数法构造辅助函数(1)对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．(2)对结论x1x2>xeq\o\al(2,0)型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),x)))，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1＋lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成两变量即可．【考点二】比值代换一、解答题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，，且，求证：．2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知．(1)当时，讨论函数的极值点个数；(2)若存在，，使，求证：．3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．(1)当时，判断在区间内的单调性；(2)若有三个零点，且．（i）求的取值范围；（ii）证明：.4．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设，为函数（）的两个零点．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．5．（2023·陕西安康·二模）已知函数，（e为自然对数的底数）(1)当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值；(2)若，方程有两个根，（），求证：．规律方法：比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝eq\f(x1,x2)化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．专题精练专题精练一、单选题1．（2023·江西·模拟预测）已知，，，，则（

）A． B． C． D．2．（2022·四川成都·一模）已知，且，则下列说法正确的有（

）①；②；③；

④.A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④3．（22-23高三上·河北衡水·期末）已知，则（

）A． B．C． D．二、多选题4．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若恒成立，则B．当时，的零点只有个C．若函数有两个不同的零点，则D．当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是5．（2023·湖南永州·二模）已知，，，，则有（

）A． B．C． D．6．（2021·山东德州·二模）已知函数，则（

）A．B．若有两个不相等的实根、，则C．D．若，x，y均为正数，则7．（2023·河北衡水·一模）直线：与的图象交于、两点，在A､B两点的切线交于，的中点为，则（

）A． B．点的横坐标大于1C． D．的斜率大于08．（22-23高三·全国·阶段练习）已知函数，，则下列说法正确的是（）A．在上是增函数B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为C．若有两个零点，则D．若，且，则的最大值为三、解答题9．（2024·广东湛江·一模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．10．（2022·山东·模拟预测）已知函数.(1)若有两个零点，的取值范围；(2)若方程有两个实根、，且，证明：.11．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；12．（2022高三·全国·专题练习）已知函数，，当时，恒成立．(1)求实数的取值范围；(2)若正实数、满足，证明：．13．（2022