2025年高考数学二轮复习 专题三 数列 第3讲　数列的递推关系解析版

第3讲数列的递推关系（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 13【考点一】构造辅助数列 13【考点二】利用an与Sn的关系 18【专题精练】 22考情分析：数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列真题自测真题自测一、单选题1．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（

）A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立2．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．3．（2021·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（

）A． B． C． D．二、填空题4．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于3；

②为等比数列；③为递减数列；

④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是．三、解答题5．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．6．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．参考答案：题号123答案BBA1．B【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立.【详解】法1：因为，故，对于A，若，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立，由数学归纳法可得成立.而，，，故，故，故为减数列，注意故，结合，所以，故，故，若存在常数，使得恒成立，则，故，故，故恒成立仅对部分成立，故A不成立.对于B，若可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立即由数学归纳法可得成立.而，，，故，故，故为增数列，若，则恒成立，故B正确.对于C，当时，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立即由数学归纳法可得成立.而，故，故为减数列，又，结合可得：，所以，若，若存在常数，使得恒成立，则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误.对于D，当时，可用数学归纳法证明：即，证明：当时，，此时不等关系成立；设当时，成立，则，故成立由数学归纳法可得成立.而，故，故为增数列，又，结合可得：，所以，若存在常数，使得恒成立，则，故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误.故选：B.法2：因为，令，则，令，得或；令，得；所以在和上单调递增，在上单调递减，令，则，即，解得或或，注意到，，所以结合的单调性可知在和上，在和上，对于A，因为，则，当时，，，则，假设当时，，当时，，则，综上：，即，因为在上，所以，则为递减数列，因为，令，则，因为开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，故，所以在上单调递增，故，故，即，假设存在常数，使得恒成立，取，其中，且，因为，所以，上式相加得，，则，与恒成立矛盾，故A错误；对于B，因为，当时，，，假设当时，，当时，因为，所以，则，所以，又当时，，即，假设当时，，当时，因为，所以，则，所以，综上：，因为在上，所以，所以为递增数列，此时，取，满足题意，故B正确；对于C，因为，则，注意到当时，，，猜想当时，，当与时，与满足，假设当时，，当时，所以，综上：，易知，则，故，所以，因为在上，所以，则为递减数列，假设存在常数，使得恒成立，记，取，其中，则，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C错误；对于D，因为，当时，，则，假设当时，，当时，，则，综上：，因为在上，所以，所以为递增数列，因为，令，则，因为开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，故，所以，故，即，假设存在常数，使得恒成立，取，其中，且，因为，所以，上式相加得，，则，与恒成立矛盾，故D错误.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.2．B【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．【详解】∵，易得，依次类推可得由题意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；综上：．故选：B．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.

3．A【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．【详解】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当时，则，当且仅当时等号成立，，由累乘法可得，且，则，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．4．①③④【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，，，当时，，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，，则，整理可得，因为，解得，①对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，②错；当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；假设对任意的，，则，所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.5．(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．6．(1)(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.【详解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；（2）∴考点突破考点突破【考点一】构造辅助数列一、单选题1．（2024·山东潍坊·一模）已知数列an满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（

）A．28 B．29 C．30 D．31二、多选题3．（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．小华一共前进3步的概率最大4．（2023·辽宁朝阳·一模）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（

）A．数列为递减数列 B．C． D．三、填空题5．（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列满足，则.6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为.参考答案：题号1234答案ABBCABD1．A【分析】利用等比数列求出，进而求得，再利用累加法求通项得解.【详解】依题意，，，当时，，则，所以.故选：A2．B【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正确答案.【详解】依题意，数列满足，，，所以，也符合，所以，是单调递增数列，由，解得，所以的最大值为.故选：B3．BC【分析】根据题意直接求概率判断选项A，然后根据题意求出递推公式即可判断选项B，根据递推公式判断数列是首项为，公比为的等比数列，求通项公式判断选项C，分类讨论求解概率通项的最大值判断D.【详解】根据题意，小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是，所以，，故选项A错误；当时，其前进几步是由两部分组成：先前进步，再前进1步，其概率为，或者先前进步，再前进2步，其概率为，所以，故选项B正确；因为，所以，而，所以，即，故选项C正确；因为当时，，所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以，所以.当n为奇数时，为偶数，则，此时数列单调递增，所以；当n为偶数时，为奇数，则，此时数列单调递减，所以；综上，当时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故选项D错误.故选：BC4．ABD【分析】根据数列的递推公式和首项即可判断选项A和B；利用数列的单调性和累加法求出，进而判断选项C和D.【详解】因为和可知，数列的各项均为正值，由可得，所以，则数列为递减数列，故选项A正确；由选项A的分析可知：数列为递减数列，又因为，所以，故选项B正确；由两边同时取倒数可得，则，所以，因为数列为递减数列，由可得，当时，，即，当时，，即，，，不等式累加可得：，所以，则，所以，故选项C错误；由可得，所以，故选项D正确；故选：ABD.5．【分析】由递推公式可得，再由累乘法即可求得结果.【详解】由可得，由累乘可得.故答案为：6．7【分析】降次作差得，构造数列，求出，则得到，作差构造新数列，再证明其单调性即可得到答案.【详解】因为，两式相减得：，即.两边同除以可得，又，得，满足，所以数列是首项为，公差为的等差数列，故，即，所以，因为，令，则，所以数列单调递增，因为，所以当时，，即；当7时，，即.所以的最小值为7.故答案为：7.【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是作差得到，然后是构造等差数列，从而得到，最后作差并结合数列的单调性即可.规律方法：(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式．(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入eq\f(an＋1,an)＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．(3)形如an＋1＝eq\f(qan,pan＋q)(p，q≠0)的数列，取倒数可得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(p,q)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(p,q)，构造等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))求通项公式．(4)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)．(5)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]．【考点二】利用an与Sn的关系一、单选题1．（2024·山西晋中·模拟预测）已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．32．（2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（

）A． B．1 C． D．2二、多选题3．（2024·贵州贵阳·二模）设首项为1的数列前项和为，已知，则下列结论正确的是（

）A．数列为等比数列 B．数列的前项和C．数列的通项公式为 D．数列为等比数列4．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若，则数列为递增数列D．若数列为等差数列，，则最小三、填空题5．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知数列的前项和，，则.6．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列an满足，设数列an的前项和为，则=参考答案：题号1234答案BDABBC1．B【分析】由已知等式交叉相乘后得到，仿写作差后得到，进而得到，然后利用裂项相消法求出不等式左边的最大值即可.【详解】因为，所以，即，即，则，与上式作差后可得，因为正项数列，所以，所以，因为，，所以，所以实数的最小值为，故选：B.2．D【分析】由已知和式求出通项的通项，从而得出，再由已知条件，从而求出，类似的往前推，求出即可.【详解】时，时，，故选：D.3．AB【分析】由条件找到，结合等比数列定义即可得A、B；由的通项公式可求得的通项公式，即可得C、D.【详解】对A、B：，，又，数列是首项公比都为的等比数列，故，即，故A、B正确；对C、D：当，，当，，，故C错误.，，所以数列不是等比数列，故D错误.故选：AB.4．BC【分析】借助等差数列、等比数列的概念、数列的递推关系逐项计算即可得.【详解】对于选项A，，，，，不满足an是等差数列，故选项A错误；对于选项B，当时，，当时，，因为时也满足上式，所以，则，所以an是等比数列，故选项B对于选项C，因为，所以，因为，所以，因此数列为以为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，故选项C正确；对于选项D，设数列an的公差为，因为，所以，即，当时，没有最小值，故选项D错误.故选：BC．5．【分析】根据求出，再根据对数的运算性质计算可得.【详解】因为数列的前项和，所以，所以.故答案为：6．【分析】根据给定的递推关系求出，再利用等差数列前项和公式求出即可.【详解】数列an满足，当时，，两式相减得，因此，而满足上式，于是，显然，即数列an是等差数列，所以.故答案为：规律方法：在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an；但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an(n≥2)．专题精练专题精练一、单选题1．画条直线，将圆的内部区域最多分割成（

）A．部分 B．部分C．部分 D．部分2．已知数列满足，其中，则（

）A． B． C． D．3．已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．4．数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知数列满足，，，则（

）A． B． C． D．6．已知数列的前项和为，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．17．设数列an的前项和为，若，且，则（

）A． B． C． D．8．数列的前项和为，则可以是（

）A．18 B．12 C．9 D．6二、多选题9．数列满足，且对任意的都有，则（

）A． B．数列的前项和为C．数列的前项和为 D．数列的第项为10．已知数列满足，，，则下列结论错误的是（

）A． B．存在，使得C． D．11．设无穷数列an的前项和为，且，若存在，使成立，则（

）A．B．C．不等式的解集为D．对任意给定的实数，总存在，当时，三、填空题12．记数列的前项和为，若，则.13．已知数列的前项和为，且，，则.14．设数列的前项和为，，，，则.四、解答题15．已知数列满足，（）．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：．16．已知等差数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，令，求证：．17．已知数列的前n项和为，在数列中，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)设，为数列的前n项和，求的最值．18．记为数列的前项和，若，.(1)求；(2)若，求数列的前项和.19．网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等．(1)封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望；(2)封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练的概率为，求．参考答案：题号12345678910答案BCDDCCCCABBD题号11答案BCD1．B【分析】设画条线把圆最多分成部分，根据已知条件得到递推关系式，从而求出通项公式.【详解】设画条直线，将圆最多分割成部分，则，，因此，相加得：，所以，当，，符合上式，所以，故选：B.2．C【分析】根据题意，由累乘法代入计算，即可得到结果.【详解】由题意，得，，．由累乘法，得，即，又，所以．故选：C．3．D【分析】由代入即可求得.【详解】，当时，，当也满足，所以数列an的通项公式为.故选：D4．D【分析】将取倒数结合累加法求得，再利用数列单调递减列不等式并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案【详解】由题意，，两边取倒数可化为，所以，，，由累加法可得，，因为，所以，所以，因为数列是递减数列，故，即，整理可得，，因为，，所以，故.故选:D.5．C【分析】根据递推关系利用累乘法求出通项，利用错位相减法求出的前100项和得解.【详解】由，得，所以，，，，（，），累乘可得，又，得.设①，则②，①-②得，，，.故选：C.6．C【分析】根据数列递推式，采用两式相减的方法推出，结合等比数列通项公式求出表达式，结合单调性，即可求得答案.【详解】由题意知，故时，，当时，，，则，即，故，又，所以an为首项是，公比为的等比数列，故，随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值，故时，取最大值，最大值为，故选：C7．C【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解.【详解】数列an中，由，得，整理得，则，数列是以为首项，1为公差的等差数列，于是，即，而满足上式，因此，，，ABD错误，C正确.故选：C8．C【分析】易通过，可得，也可求得，但此数列存在不确定的首项，所以在求和后发现结果为，与选项中的四个数进行对比分析，发现一定不能为负整数，所以只能选C.【详解】由可得：且，由上式又有：，还有，两式相减得：，两边同时除以得：，由上式可知数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差为1，所以，由此数列的奇数项公式为，又由，所以可以判断一定不能为负整数，即只能有，故选：C.9．AB【分析】利用累加法求出数列的通项公式，可判断AD选项；利用裂项相消法可判断BC选项；【详解】因为，所以，又，当时，所以，也满足，故对任意的，.所以数列的第项为，故A正确，D错误；所以，所以数列的前项和为，故B正确，C错误．故选：AB.10．BD【分析】根据递推公式分别求出和可判断A；将两边同时取倒数后配方，再适当放缩可得到，即可判断B；根据，再利用累加法可判断C；根据，再利用累乘法可求出即可判断D.【详解】，，易知，，对于A，，，故A正确；对于B，，，，两边开方得，故B错误；对于C，由B知，，即，当时，，，，即，当且仅当时等号成立，，故C正确；对于D，由C知，，即，当且仅当时等号成立，当时，，，故D错误.故选：BD.11．BCD【分析】根据题意，得到且an是递减数列，结合等差数列的性质以及等差数列的求和公式，逐项判定，即可求解.【详解】由，可得，且，即又由，可得数列an是等差数列，公差，所以an是递减数列，所以是最大项，且随着的增加，无限减小，即，所以A错误、D正确；因为当时，；当时，，所以的最大值为，所以B正确；因为，且，所以当时，；当时，，所以C正确.故选：BCD.12．/0.5【分析】构造得，从而得到，则，再利用等比数列求和公式代入计算即可.【详解】由，得，则，又，则，则，，，，故答案为：.13．【分析】利用累加法求出数列的通项，再分组求和即可得解.【详解】