广东省广州市-中考数学试题分类解析 专题12 押轴题

广州市2001-2012年中考数学试题分类解析专题12：押轴题

一、选择题

1.（2001年广东广州3分）若两个半径不等”的圆相外切，则它们的一条外公切线的长

[].

A.大于这两圆半径的和

B.等于这两圆半径的和

C.小于这两圆半径的和

D.与这两圆半径之和的大小关系不确定

【答案】C.

【考点】直线与圆、圆与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，平行四边形的判定和性质,

三角形的边角性质.

【分析】如图，00：和00:有公切线AB,则

连接OiA,O;B,过点B作OQ:的平行线交O：A

于点C.

AB是00：和。0二的公切线，

/.O1A1A3,O;B±AB.

•••四边形0：0:BA是平行四边形.

.•.OQLCB。

•.•在RtZ^ABC中，ZA=90\?.BOAB-

.,-010;>AB,即外公切线的长小于这两圆半径的和.

故选C。

2.（2002年广东广州3分）若Oi）2的半径分别为1和3,且01和0?外切，则平

面上半径为4且与。口。2都相切的圆有【】

（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个

【答案】Do

【考点】两圆的位置关系，分类思想的应用。

【分析】所求圆圆心为0,则0102=1+3=4,0i04+1=5或4+1=3；Q0=4+3=7或4-3=1。

问题转化为求满足此条件的三角形或三点共线有几个。

如图，如果是4,5,7,有2个；

如果是4,5,1,不能构成三角形但是可以三点共线有1个；

如果是4,3,7,不能构成三角形但是可以三点共线有1个;

如果是4,3,1,不能构成三角形但是可以三点共线有1个。

所以一共有5个。故选D。

不重合），则

]

(A)AC+CB=AD+DB(B)AC+CB<AI)+1)B

(C)AC+CB>AD+DB(D)AC+CB与AD+DB的大小关系不确定

【答案】Co

【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定和

性质，三角形三边关系。

【分析】欲求AC+CB和AD+DB的大小关系，需将这些线段构建到同一

个三角形中，然后利用三角形的三边关系求解：

如图，以C为圆心，AC为半径作圆，交BD的延长线于E,连

接AE、CEo

VCB=CE,AZCBE=ZCEBo

VZDAC=ZCBE,ZDAC=ZCEB.

•/AC-CE,AZCAE-ZCEA.

ZCAE-ZDAC=ZCEA-ZCED,BPZDAE=ZDEA./.AD=DE.

'/EC-BOBE,EC=AC,BE=BD-DE=AD-BD,

/.AC-BOBD-AD.故选C・

4.（2004年广东广州3分）如图，OOi、。。2内切于点A,。01的半径为3,。。2的半径为

2,点P是。0i的任一点（与点A不重合）,直线PA交于点C,PB与。th相切于点B,则

FB

PC

A.夜B.75

【答案】B。

【考点】相切两圆的性质，弦切角定理，切割线定理,相似三角形的判定和性质.

【分析】如图,连接0;0:A,OR0:C.

和。0：内切，

.,.ZAO;C=ZAOiP,AAOZC和△AO】P都是等腰三

角形。

JZO;AP-ZO;CA-ZAOiP-ZAPO：.

.,.△AO:CCOAAO：P.

...—O,—A=—AC。

OiAAP

・

,.,0:A-2,0：A・3,•.设AC“x,AP-3x,PC-x.

根据切割线定理：BP--POPA,

电=叵=乔.故选B.

PCx

5.（2005年广东广州3分）如图，已知点A（-1,0）和点B（1,2）,在坐标轴上确定点

P,使得4ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有【】

【答案】C.

【考点】直角三角形的判定，坐标与图形性质，图周角定理，数形结合和分类思想的应用.

【分析】分NP、NA、/B为直角三种情况画出图形如图，即可得满足这样条件的点P共

有6个.故选C・

形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板.用这副七巧

板拼成图②的图案，则图②中阴影部分的面积是整个图案面积的11.

⑻在

【答案】D。

【考点】网格问题，正方形和等腰直角三角形的性质，勾股定理.

【分析】••.由图①知：小正方形的面积等于两个斜边为3的等腰直角三角形的面积之和，

・•・计算得小正方形的面积=2。

2

二.大正方形面积=6x6=36,.,•小正方形的面积：大正方形面积的=1：S.故选D.

7.（2007年广东广州3分）如图，是4ABC的内切圆，0D1AB于点D,交。0于点E,

ZC=60°,

如果。0的半径为2,则结论错误的是【

C

多

E

A.AD=DBB.AE=EI3C.0D=lD.AB=6

【答案】D.

【考点】三角形的外接国与外心,垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三

角函数值。

不

【分析】连接OA,OB,

VOD±Ab,

「•由垂径定理和圆周角定理知，0。是A3的中垂线，W、、*

zRID

/.AD-BD,ZAOD-ZBOD-ZC-605.

AD»AOsin605«

OD-OAsmZAOD-OAsm60:-l»AE-EB.

3,C均正确，D错误.故选D.

8.（2008年广东广州3分）四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S,如图

所示，则他们的体重大小关系是【】

RQS

DPR

AP>R>S>QBQ>S>P>RCS>P>Q>RDS>P>R>Q

【答案】Do

【考点】不等式组的应用。

S>P

【分析】由三个图分别可以得到<P>R，所以S>P>R且

P+R>Q+S

P+R>Q+S>Q+P=>R>Qo因此，S>P>R>Qo故选D。

9.（2009年广东广州3分）如图，在。ABCD中，AB=6,AD=9,/BAD的平分线交BC于

点E,

交DC的延长线于点3BG_LAE,垂足为G,BG=4jI,贝UACE卜的周长为【

(A)8(B)9.5(C)10(D)11.5

【答案】Ao

【考点】平行四边形的判定和性质，勾设定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判

定和性质.

【分析】如图，延长3G交AD于H,连接三H・

•/3GXAE,AB=6,BG=A/2,

根据勾股定理可求AG=2.

,/AG是NBAD的平分线，AG±BH,

「.△A3H是等腰三角形,「.AH=6.

「49,/.DH-3.

VAD/73C,•,.ZDAE=ZBEA.

,.•ZBAE=ZDEA,/.ZBAE=Z3EA.：.AB=Bt=6./.CE=3.

VCE=,DH=3,DH〃CE,「.DHEC是平行四边形..*.EH=6.

VDF/7AB,.*.ZDFA-ZFA3.

VZFA3-ZFAD,ZDFA-ZFAD./.DF-AD-9,CD-AB-6./.Cr-3.

在三G中，BE=6,BG=4j2,由勾股定理得三G=2,/.AE=4.

VDF^AB,.,.△ABEcoAFCE.=A

FCFE3FE

/.△CEF的周长=CE+CF+FE=6・故选A.

10.（2010年广东广州3分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文一密

文（加密），接收方由

密文f明文（解密），已知有一种密:码，将英文26个小写字母a,b,c,z依次对应0,

1,2,…，25

这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为B时，将B+10除以26后所得的

余数作为密文

中的字母对应的序号，例如明文S对应密文C

字母bcdefghijk1m

序号0123456789101112

字母n0PqrstuVwXyz

序号13141516171819202122232425

按上述规定，将明文“maths”译成密文后是【】

A.wkdrcB.wkhtcC.eqdjcD.eqhjc

【答案】A。

【考点】探索规律题（数字的变化类）.

【分析】根据题意，明文“maths”分别对应的自然数是：12,0,19,7,1S.

・.・曰=。…22,2Z^=0...10,曰=1…3,7-10=。…以常

26262616

.'.22,10,3,17,2对应的字母是：w,k,d,r,c.

・•・明文"math『译成密文后是'"kdrc二故选A.

11.（2011年广东广州3分）如图，AB切。0于点B,OA=26，AB=3,弦BC〃OA,则劣

弧BC的弧长为【】

【答案】Ao

【考点】弧长的计算，切线的性质，特殊角的三角函数值，平行

线的性质。

【分析】要求劣弧BC的长首先要连接OB,0C,由AB切。0于点B,根据切线的性质得到

0B1AB,在RtZ\0BA中，0A=26,AB=3,利用三角函数求出NB0A=60°,同时得至lj0B

=10A=V3,又根据平行线内错角相等的性质得到/B0A=NCB0=50°,于是有NB0C=

2

60。，最后根据弧长公式计算出劣弧BC的长=60.w6二赵不。故选A。

1803

k

12.（2012年广东广州3分）如图，正比例函数yi=Lx和反比例函数丫2=2•的图象交于A

x

（-1,2）、B（1,-2）两点，若y.<y2,则x的取值范围是【】

A.x<-1«£x>lB.x<-1«£0<x<lC.-Kx<0«£0<x<lD.-l<x<0

或x>l

【答案】D.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围：

由图冢可得，-IVxVO或x>l时，yi<V2.故选D.

二、填空题

1.（2001年广东广州3分）如果圆锥的底面圆的半径是8,母线的长是15,那么这个圆锥

侧面展开图的扇形的圆心角的度数是一▲.

【答案】192\

【考点】圆锥的计算。

【分析】:,层］锥底面周长=2x8x16:1,

・•・扇形的层］心角的度数=圆锥底面周长xl80+15xl92。.

2.（2002年广东广州3分）在平坦的草地上有A、B、C三个小球，若已知A球和B球相距

3米，A球与C球相距1米，则B球与C球可能相距▲米。（球的半径忽略不计，

只要求填出一个符合条件的数）

【答案】3（答案不唯一）。

【考点】开放型，三角形三边关系，分类思想的应用。

【分析】此题注意两种情况：

当A,B,C三个小球共线时，根据线段的和、差计算：BC=2或4；

当A,B,C三个小球不共线时，根据三角形的三边关系进行分析：2<BC<R4O

.・.B球和C球可能相距2米<BC44米，如3等（答案不惟一只需满足2米〈距离

W4米）。

3.（2003年广东广州3分）如图.NE=NF=90°,ZB=ZC.AE=AF,给出下列结论：

①N1=N2；

②BE=CF；③4ACN且△ABM；④CD=DN,其中正确的结论是▲.（注：将你认为

正确的

结论都填上.）

【答案】Z1=Z2,BE=CF,ZSACX^AABM.

【考点】全等三角形的判定和性质。

【函】•••NE=NF=90>ZB=ZC,AE=AF,/-AAEB^AAFC(AAS)./.BE=CF.故

(2)正确.

VZ1=ZEAB-ZCA3,Z2=ZFAC-ZCAB,ZEAB=ZFAC,.'.Z1=Z2.故

（1）正确。

•/AC=AB,ZB=ZC,ZCAN=ZBAM,AACNSSAABM（ASA）.故（3）正

确.

易由AAS证得ACD，但△BD\/.CD=BD.

但在4BDN中，无条件可得它是等级膜三角形.故（4）不正确。

,正确的结论是N1=N2,BE=CF,AACN^AABM.

4.（2004年广东广州3分）如图，CB、CD分别是钝角4AEC和锐角AABC的中线，且AC=AB,

给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③NACD:NBCE：@CB平分NDCE.请写出正确结论

的序号

▲（注：将你认为正确结论的序号都填上）.

【答案】®@@o

【考点】三角形中线性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。

【分析】YC3是钝角AACE的中线，，行4出。

•••ZCBF-ZACB.

VAC-AB,/.ZACB-ZABC./.ZCBF-ZDBC.

又丁CD是锐角△ABC的中线，/.AC=AB=2BD.「.BD=3F・

yBC=BC,.,.△BCD^ABCF(SAS)..'.CF=CD./.CE=2CD.故②选项正确.

若要NACD=NBCE,贝U需NACB=NDCE.

^ZACB-ZABC-ZBCE-ZE-ZDCE,则需NE-NBCD.

根据②中的全等，^ZBCD-ZBCE,贝IJ需NE-/BCE,则需3C-BE,显然不成

立.故③^项错误.

根据②中的全等得，NDCB=NFCB,CB平分NDCE.故④选项正确。

综上所述，①②④选项正确.

5.（2005年广东广州3分）如图，在直径为6的半圆AB上有两动点M、N,弦AM、BN相

交于点P,则AP・AM+BP・BN的值为▲

【答案】36o

【考点】双动点问题，相交弦定理，勾股定理，圆周角定理。

【分析】连接BM,

222

•・・AB是直径，/.ZAMB=90°。/.BP=MP+BMO

•「AP・PM=BP・PN

AAP•AM+BP-BN=AP(AP+PM)+BP(BP+PN)

;Ah+AP・PM+BN+BP•PN=AP2+BP2+2AP-PM

=AP2+MP2+BM2+2AP-PM=BM2+(AP+PM)2=BM2+AM2=AB=36o

6.（2006年广东广州3分）如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b

的两个圆，则剩下的纸板面积为▲

【答案】Lab.

【考点】图的认识，列代数式。

【分析】剩下的纸板面积即阴影部分的面积，大圆的面积减去两个小扇的面积就是阴影部分

的面积：

-Tab.

7.（2007年广东广州3分）如图，点0是AC的中点，将周长为4cm的菱形ABCD沿对角

线AC方向平

移AD长度得到菱形OB'C'D'移I］四边形OECF的周长是一▲cm

【答案】2。

【考点】菱形的判定和性质，平移的性质，三角形中位线定理。

【分析】:菱形ABCD的周长为4cm,，AD=lcm。

•・•菱形OB'C'Dz由菱―ABCD沿对角线AC方向平移得到，・・・0D'〃AD。

•・•点。是AC的中点，・•・0F:‘AD='em。同理，0E=CK=CF=1cm。

22

・•・四边形OECF的周长是4x2=2（而）。

2

8.（2008年广东广州3分）对于平面内任意一个凸四边形ABCD,现从以下四个关系式

①AB=CD；

②AD二BC；③AB〃CD；®ZC=ZA中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行

四边形的概率是一▲

【答案】

2

【考点】概率，平行四边形的的判定，分类思想的应用.

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目;

二者的比值就是其发生的概率。因此，

从四个关系式中任取两个的等可能结果有6个：①②，①③，①④，②③，②④，

③④，根据平行四边形的的判定，够得出这个四边形ABCD是平行四边形的情况有3个：

①②（符合两组对边相等的四边形是平行四边形），①③（符合一组对边相等且平行的四边

形是平行四边形），③④（・・・AB〃CD,

・・・NA-ND=1SO'・・・/人=/3・・・NC-ND=1SO'・・・AD〃BC・・••四边形ABCD是平行四

边形）。

・♦・所求概率是2=1.

62

9.（2009年广东广州3分）如图是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视

图，则此几何体共

由▲块长方体的积木搭成

正视图左视图俯视图

【答案】4。

【考点】由三视图判断几何体。

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形。因此,

由俯视图知，最底层有3块长方体，由正视图和左视图知，此图有两层，最上层有

1块长方体，因此此几何体共有4块长方体的积木块搭成。

10.（2010年广东广州3分）如图，BD是AABC的角平分线，ZABD=36°,NC=72°,

则图中的等腰三

角形有▲个.

【答案】3。

【考点】等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形内角和定理。

【分析】〈BD是aABC的角平分线，NABD=36)/.ZC3D=36SZABC=72°.

又•.•NC=72°,・・・NA=36°,ZBDC=72°.

・,•有3个等腰三角形：aABD,△BDC,AABC.

11.(2011年广东广州3分)定义新运算"®"，a®b=』a-4b,贝ij12®(-1)=▲

3

【答案】S.

【考点】代数式求值。

【分析】根据已知可将128(-1)转换成la-北的形式，然后将a=12,b=-l代入计算

3

即可：12®(-l)=lxl2-4x(-l)=8.

3

12.(2012年广东广州3分)如图，在标有刻度的直线1上，从点A开始，

以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；

以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；

以CU=4为直径画半圆，记为第3个半圆；

以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，

…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的▲倍,第n个半

圆的面积为

▲(结果保留n)

【答案】4；2f

【考点】分类归纳（图形的变化类），半圆的面积，负整数指数幕，察的乘方，同底察乘法。

【分析】由已知，第3个半圆面积为：土±=27，第4个半圆的面积为：工二匕=8-

・•・第4个半圆的面积是第3个半圆面积的—=4倍.

2/r

由已知，第1个半扇的半径为第2个半圆的半径为、2】，第3个半圆的半

72

径为、2匕

7

…第n个半圆的半径为121.

・•・第n个半圆的面积是2“广产2".29-.

2\7!7

三、解答题

1.（2001年广东广州14分）

（1）已知:如图，过B、C两点的圆与4ABC的边AB、AC分别相交于点D和点E,且DE=-BC.求

2

证：SA,WE:S四边杉D0CE=—.

3

（2）在aABC的外部取一点P（直线BC上的点除外），分别连结PB、PC,NBPC与NBAC的

大小关系怎样？（不要求证明）

【答案】解：（1）证明：VZADE.NAED是圆内接四边形DBCE的外角,

AZADE=ZC,ZAED=ZBO

SAADE:S四边彩—

3

（2）作Z\ABC的外接圆,取点A关于BC

的对称点F,作△FBC的外接圆。

①当点P取在弓形BAC内（ZXABC外）或c弓形BFC内时，ZBPC>

ZBAC；

②当点P取在瓠BAC或弧BFC（点A、B、C除外）上时，ZBPC=

ZBAC；

③当点P取在弓形BAC与弓形BFC所围成的图形外（除直线BC上

的点）时，NBPCVNBAC。

【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。

【分析】（1）通过相似三角形根据面积比等于相似比的平方来求解.由于四边形CEDB是

圆的内接四边形，可得出三角形ADE和ACB的两组对应角相等，得出这两个三角形相似

后，即可得出面积比为1：4,由此可得出本题所求的结论.

（2）如果单纯的比较/BPC和ZBAC的度数比较困难，如果我们做三角形ABC的

外接圆和时称的BCF的外接圆后，可根据点P在三角形外接扇的不同位置来进行比较，就

容易多了.

2.（2001年广东广州14分）在车站开始检票时，有a（a>0）名旅客在候车室排队等候

检票进站.检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加，检票

口检票的速度也是固定的.若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全

部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；

如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，

至少要同时开放几个检票口？

【答案】解：设检票开始后每分钟新增加的旅客为x人，检票的速度为每个检票口每分钟检

y人，5分钟内检票完毕要同时开放n个检票口。

a+30x=30y①

依题意，得•a+10x=2J0y②

a+5x<n-5y（3）

②X3一①，得2a=30y,得y=]④。

把④代入①，得x=2⑤。

30

把④、⑤代入③，得a+

63

21

Va>0,・・・n2—=3.5。

6

On取最小的整数，・・・n=4°

答：至少需同时开放4个检票口。

【考点】二元一次方程蛆和一元一次不等式的应用。

【分析】设检票开始后每分钟新增加的旅客为x人，检票的速度为每个检票口每分钟检V

人，5分钟内检票完毕要同时开放n个检票口，根据应列出方程、不等式的混合组求解即可。

3.（2002年广东广州15分）如图，在aABC中，NB=90°,AB=4,BC=3,0是AB的中点,

OP_LAB交AC于点P。

（1）证明线段AO、OB、0P中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度；

（2）过线段0B（包括端点）上任一点M,作MN_LAB交AC于点N。如果要使线段AM、

MB、MN中任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么请求出线段AM的长度的取值

范围c

【答案】解：⑴证明：..•NB=90。，OP_LAB,•..NAOP=NB=90,

CPRC

XVZA-ZA,.'.AAOP^AABC.,

AOAB

,op33

VAB=4,BC=3,0是AB的中点./----=-/.OP=-

24B2

V2=OP<AO=OB«2,fi.--^2>

22

/.OP-AO>O5,即AO、OBsO?中，任意两条线段的长度之和大于第三

条线段的长度.

(2)当M在0B上时,设AM=x(2WxW4)则MB=4-x:

BCAM3

・•・△AMMABC.,蜷奇:.MN=------------=—x

AB4

又MN<AM,又〈AM。依题意,得：又+MB>AM,

-1x+（4-x）>x,解得x<£。

・•・AM的取值范围为2<AM。

【考点】三角形中位线定理，三角形三边关系，相似三角形的判定和性质，解一元一次不等

式.

【分析】（1）利用相似三角形的性质求得个线段的长即可。

（2）根据相似三角形的性质得比例式，列不等式即可求得。

4.（2002年广东广州15分）某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个车间都

原有a（a>0）个成品，且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质检科派出若干名检验员

星期一、星期二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，星期三至星期五

检验另两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同。

（1）这若干名检验员1天检验多少个成品？（用含a、b的代数式表示）

（2）试求出用b表示a的关系式；

（3）若1名质检员1天能检验士b个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？

5

【答案】解：（1）星期一，二2个车间两天的产品数为：2bx2=4b,原有2a,那么两天检查

了（2a+4b）>—天检查a+2b.

（2）根据题意，得/a-2b|.SbI,化简题意，得a=4b.

23

・•・用b表不a的关系式为a=4b.

（3）2ia-2b：1b=6b+±b=7.52⑹。

255

答：质检科至少要派出3名检验员。

【考点】列代数式，分式的混合运算.

【分析】（1）由题意得星期一，二个车间两天的产品数为：2bx2=4b,原有2排那么两天检

查了（2a-4b）,一天检查a-2b.

（2）后3天检查的产品数为：原来有的2a-2个车间5天生产的.工效相同，除以3

和（1）得到的代数式相等.

（3）让总工作量-T•人的工作量即可.

5.（2003年广东广州16分）已知aABC中，AC=5,BC=12,NACB=90。，P是AB

边上的动点（与

点A、B不重合）Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）.

（1）如图，当PQ〃AC,且Q为K的中点时，求线段CP的长；

（2）当PQ与AC不平行时，aCPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的

取值范围;

若不可能，请说明理由.

【答案】解：(1)在Rt^ABC中，ZACB=90=,AC=5,BC=12,/.AB=13.

•••Q是BC的中点，.••CQuQB.

又•..「()〃AC,「.AP=PB,即？是AB的中点.

.•.在RdABC•中，CP若4

（2）当AC与PQ不平行时，只有NCPQ为直角，4CPQ才可能是直角三角形.

以CQ为直径作半圆D.

①当半圆D与AB相切时，设切点为M,连

接DM

则D\LLAB,且AC=AM=5・

.".NIB=AB-AM=13-5=S.

设CD=x,则D,I=x,DB=12-x.

在RtADNB中，DB：=D\G+\£B：,即(12

解之得：x-W

3

2()

ACQ=2x=—

3

・•・当CQ='20且点P运动到切点M位置时，ACPQ为直角三角形。

3

70

②当3vCQ<12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个

3

交点的位置时，ACPQ为直角三角形。

③当0VCQV一时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时,均在

3

半圆D外，ZCPQ<90°o此时不可能为直角三角形。

20

综上所述，当‘WCQV12时，4CPQ可能为直角三角形。

3

【考点】双动点问题，勾股定理，平行的性质，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理,

直角三角形的判定，分类思想的应用.

【分析】（1）由勾股定理可得AB=13,由Q是BC的中点，・・.CQ=QB和PQ〃AC可得

?是AB的中点。

根据直角三角形斜边上中线性质可得CP=—

22

（2）以CQ为直径作半圆D,分半圆D与A3相切、半圆D与AB相交、半层］D

与AB相离三种情况讨论即可.

6.（2003年广东广州16分）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用•列货车

运往某地，已知这

列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用

B型车厢每节

费用为8000元.

（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的

函数关系式；

（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装

甲种货物25

吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢

的方案？

（3）在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费为多少元？

【答案】.解：（1）设用A型车厢x力，则用B型车厢（40—x）节，总运费为y万元，

根据题意，得y=0.6x+0.8（40-x）=-0.2x+32。

35x+25(40-x)>1240x>24

<2）根据题意，得《,解得・・・24WxW26。

15x+35(40-x)>880x<26

•・・x取整数，：・A型车厢可用24节或25节或26节。相应有三种装车方

①24节A型车厢和16节B型车厢；

②25节A型车厢和15节B型车厢；

③26节A型车厢和14节B型车厢。

（3）由函数y=-0.2x+32知，x越大，y越少，故当x=26时，运费最省。

这时y=-0.2X26+32=26.8（万元）。

答：安排A型左厢26节、B型车厢14节运费最省.最小运费为26.8万

元。

【考点】最优方案问题，一次函数和一元一次不等式组的应用.

【分析】（1）根据这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共』。节，使用A型车厢每

节费用为6000

元，使用3型车厢每节费用为8000元，列出送这批货物的总费用、•万元与这列货车挂A型

车厢的节数x

之间的函数关系式，

（2）根据已知列出不等式组求出整数解即可得出安排车厢的方案-

（3）根据一次函数的性质得出运费最省方案和最少运费。

7.（2004年广东广州15分）如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，NAPC的平分

线交AB于点D,交AC于点E.

求证：（1）AD=AE；（2）AB-AE=AC-DB.

【答案】证明：(1)VZADE=ZAPD+ZPAD,NAED=NCPE+NC,

又NAPD=NCPE,ZPAD=ZC,/.ZADE=ZAED»r.AD=AEo

(2)VZAPB=ZCPA,ZPAB=ZC,AAAPB^ACPAoA—=—

ACPA

PRDR

〈NAPE二NBPD,ZAED=ZADE=ZPDB,AAPBO^APEA,:.一=一

PAAE

.ABDB

••・AB・AE=AC・DB。

*AC-AE

【考点】三角形外角性质，弦切角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)要证明AD=AE,只需证明NADE=NAED；根据三角形的外角的性质和弦切

角定理即可证明。

(2)要证明AB-AE=AC-DB,只需证明25=口,根据△APBsaCPA,得

ACAE

—=—，根据△PBDSAPEA,得类=些，联立两式，可得出所求的结论.

ACPAPAAE

8.(2004年广东广州15分)已知抛物线y=(m+l)x2-2mx+m(m为整数)经过点A(1,

1),顶点为P,且与x轴有两个不同的交点.

(1)判断点P是否在线段0A上(。为坐标原点)，并说明理由；

(2)设该抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为不、X2,且x】Vx2,是否存在实数m,使

X1<m<x2?若存在.请求出m的取值范围：若不存在,请说明理由.

【答案】解：(1)点P不在线段OA上。理由如下：

抛物线与X轴有两个交点，二方程Im-1)x?-2mx-m=。有两个实数

根.

.*.A=4m20>IPm<0.

又・・・m+好0,・・・mV0,且m=-L

根据题意可知：P点的坐标为上丁」二，因此分两种情况进行讨论:

1、m-lm-lj

①当一lVm<0时，m-l>0,‘LvO,点P在第三象限，此时点P不

m+1

在线段OA上；

②当mV-1时，m+l<0,一巴一>0,点P在第一象限，

m+l

V---1=-——>0,

m+lm+lm+l

・••点P不在线段0A上。

综上所述，点P不在线段0A上。

(2)存在实数加茜足xVmVxz。

Vx.,xz是方程(m+1卜2-2mx+m=0的两个不相等的根，

.2mm

..X,+x=------，X,-x=------。

2m+l7m+l

2

m)(x2-m)=X]•x2-m(X]+x2)+m=-------*+m、蛔2

m+lm+l

m(m2-m+1)

Vxi<m<X2,/.(x,-m)(x-m)<0,即-------------<0o

、八2)m+l

又•.,niVO,且m±-1,且m?++->0o

I2)4

m(m2—m+l)VO。

根据实数运算的符号法则，可得m+l>0,即m>-l。

・・・m的取值范围是：一lVm<0。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与

系数的关系，实数运算的符号法则.

【分析】（1）先表示出P点的坐标，根据抛物线与工轴有两个交点，令门0,那么得出的

一元二次方程应该有两个实数根，即△>（）（且由此可得出m的取值范围.然后

用m的取值范围来判断?点是否在线段OA上即可。

（2）由于xi<m<x：,那么（Xi-m）（x?-m）V0,可根据一元二次方程根与系数

的关系，来求出此时m的取值范围.

9.（2005年广东广州14分）如图，某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD,其

中AB〃DC,ZB=90°,AB=100m,BC=80m,CD=40m,现计划在上面建设一个面积为S的矩形

综合楼PMBN,其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36m。

（1）求边AD的长；

（2）设PA=x（m）,求S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（3）若S=3300m2,求PA的长。（精确到0.1m）

【答案】解：（1）过点D作DE_UB于D,

则DE//BC且DE=BC,CD=BE,DE〃PM。