5.5三角恒等变换【七大必考点+八大秒杀招+九大题型+分层训练】高一数学题型归类

5.5三角恒等变换【七大必考点+八大秒杀招+九大题型+分层训练】知识精讲知识精讲知识点01两角和与差的余弦、正弦、正切公式名称简记符号公式适用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R两角和的正弦公式S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦公式S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R两角和的正切公式T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanαtanβ≠1两角差的正切公式T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanαtanβ≠－1知识点02两角和与差的余弦公式的灵活运用要学会顺用(从左至右，即展开)、逆用(从右至左，即化简)、变用(移项变形)公式．(1)顺用公式，如：cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)；cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ；cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.(2)逆用公式，如：cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos2α.(3)变用公式，如：cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ；cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ.知识点03两角和与差的正切公式的灵活运用(1)正切公式的逆用eq\f(tanα＋β－tanα,1＋tanα＋βtanα)＝tan[(α＋β)－α]＝tanβ；eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)).(2)正切公式的变形应用tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；1＋tanαtanβ＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β).知识点04二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝2sinαcosαC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)知识点05二倍角公式的变形(1)(2)sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα).(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2.知识点06“二倍”的含义倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是eq\f(3α,2)的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．知识点07万能公式用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α).(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).解题大招解题大招大招01在利用两角差的三角公式求非特殊角的三角函数式的值时，要先把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接化简求值．逆用公式时充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式．大招02两角差的余弦公式常见题型及解法:①两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解;②求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解;③含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解.大招03公式的运用有三种:①正用;②逆用;③变形用，都要熟练.大招04给值求值（1）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．（2）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系．大招04给值求角问题的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．大招05二倍角公式的给值求值寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．大招06二倍角公式的给角求值（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．大招07利用二倍角公式给值求角问题的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．大招08在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角．其中确定角的范围是关键的一步．题型分类题型分类题型01两角和与差的三角函数公式的应用【例1】已知sinα+7π12cosA．15 B．−15 C．3【解题思路】根据α+3π4【解答过程】因为sinα+所以cosπ12+α所以cos2π3即−1所以sinα+所以cos2α+5=−2故选：D．【变式1-1】已知sinπ2−θ=5A．3 B．−13 C．−3 【变式1-2】已知α，β都是锐角，cosα=17，cosα+β=−A．12 B．3998 C．5998题型02利用和（差）角公式化简、求值【例2】已知sinα−sinβ=1−32，cosA．−32 B．−12 C．【解题思路】先求出sinα−sinβ=1−32【解答过程】因为sinα−所以(sin因为cosα−所以(cos所以cos2所以1+1−2(cos所以2−2cos故cos(α−β)=故选：D．【变式2-1】若sinπ4−α−β=−1A．−25 B．265 C．【变式2-2】化简下列各式：(1)cosα+β(2)sinθ+105°(3)cosθ+(4)tanα−β题型03两角和与差的三角函数公式的逆用及变形【例3】cos162∘cosA．32 B．12 C．−3【解题思路】根据诱导公式结合两角和的余弦公式求解即可.【解答过程】cos=−=cos故选：A.【变式3-1】tan3π4A．3 B．−3 C．−33【变式3-2】利用和（差）角公式计算下列各式的值：(1)sin72°(2)cos20°(3)1+题型04辅助角公式的应用【例4】函数f(x)=3sin4x+A．−2,π2 B．−2,π2【解题思路】首先利用辅助角公式，化简函数，再求函数的最值和周期.【解答过程】f(x)=3=2sin所以函数的最小值为−2，周期为2π故选：B.【变式4-1】已知23sinα=1+2cosα,α∈A．7+3516 B．−78 C．【变式4-2】已知函数fx=asin(1)求a的值和fx(2)求fx在0,题型05利用二倍角公式化简【例5】已知α∈0,π4，化简2−2A．2sinα B．−2sinα 【解题思路】由倍角公式化简即可.【解答过程】∵α∈0,2−2sin2α=故选：B.【变式5-1】化简21−sin4+2+2A．2sin2 B．−2sin2 C．【变式5-2】若x∈−π,−π2A．2cosx2 B．2sinx2题型06利用二倍角公式求值【例6】已知角α的始边为x轴的非负半轴，终边过点(2,−1)，则cos2α−π4A．4225 B．−7225 【解题思路】由三角函数定义可得cosα=25【解答过程】由三角函数的定义，得cosα=25所以sin2α=2sinαcos2α=2cos2α−π4故选：D.【变式6-1】若tanα+π4=3，则A．1 B．65 C．75 【变式6-2】已知tanα=17，tanβ=1(1)求sin2α(2)求α+2β的值.题型07三角恒等式的证明【例7】证明下列恒等式：(1)sinα+β(2)tanθ+【解题思路】（1）运用恒等变换公式，同角三角函数的商数关系即可化简；（2）运用两角和的正切公式证明即可．【解答过程】（1）sin(α−β)sin==tan（2）tan(θ+π=tan【变式7-1】证明下列三角恒等式：(1)sinx(2)1+sin【变式7-2】在锐角△ABC中，求证：(1)tanA+(2)tanA题型08利用三角恒等变换判断三角形的形状【例8】在△ABC中，若sinAsinB=121+A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形【解题思路】根据两角和与差的余弦公式可得sinA【解答过程】因为coscos所以sinA因为sin则−又A+B=π所以cosC=−所以−所以cosA−B又A,B为△ABC的内角，所以A−B=0.所以A=B，故△ABC为等腰三角形.故选：C.【变式8-1】已知△ABC，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且sinA+sinB=cosA+A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形【变式8-2】在△ABC中，已知sinBsinC=cos2A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等边三角形题型09三角恒等变换的实际应用【例9】筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O，筒车的半径为r，筒车转动的周期为24s，如图2所示，盛水桶M在P0处距水面的距离为ℎ0.4s后盛水桶M在P1处距水面的距离为ℎ1，若

A．π12 B．π6 C．π4【解题思路】首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角．【解答过程】如图，

过O作直线l与水面平行，过P0作P0A⊥l，垂足为点A，过P1作设∠AOP0=α，∠BOP1则sinα=P0所以，sinβ−所以sinα+整理可得sinα−因为0<α<π2，则−π3<α−故选：A.【变式9-1】某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯AC（AC>5）的C点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE，如图所示，广告牌底部点E正好为DC的中点，电梯AC的坡度∠CAB=30°．当人在A点时，观测到视角∠DAE的正切值为39．当人运动到AC中点P时，PE=（

A．57 B．53 C．5 【变式9-2】已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点.ABCD是扇形的内接矩形，记∠COB=θ，矩形ABCD的面积为S(1)当θ=π6时，求矩形ABCD的面积(2)求S关于角θ的解析式，并求S的最大值.分层分层训练【基础过关】1．已知角的终边经过点3,−4，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（

）A． B．7 C． D．2．已知，，则（

）A． B．2 C． D．3．的最小正周期是（

）A． B． C． D．4．已知，则（

）A． B． C． D．5．已知，，则（

）A． B． C． D．6．若，则（

）A． B． C． D．7．已知，则（

）A． B． C． D．8．已知函数，则的最大值为（

）A． B． C． D．9．在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称.若，则（

）A． B． C． D．10．若函数，又，且的最小值为，则的值为（

）A． B． C． D．411．（多选）已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则12．（多选）已知，且，则（

）A． B．C． D．13．（多选）下列化简结果正确的是（

）A． B．C． D．14．已知函数的表达式为.(1)求函数的单调增区间；(2)求方程在上的解.15．已知函数，且的最小正周期为．(1)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，求的最小值；(2)若，，求的值．

【能力提升】1．已知，且，则（

）A． B． C． D．2．函数是（

）A．偶函数，且最小值为－2 B．偶函数，且最大值为2C．周期函数，且在上单调递增 D．非周期函数，且在上单调递减3．已知，则（

）A． B． C． D．4．