4.3对数【四大必考点+十一秒杀招+五大题型+分层训练】高一数学题型归类

4.3对数【四大必考点+十一秒杀招+五大题型+分层训练】知识精讲知识精讲知识点01对数的概念(1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)两种特殊的对数①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN；②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(其中e＝2.71828…)．知识点02对数与指数的关系(1)对数的基本性质①负数和0没有对数，即真数N>0；②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)；③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．(2)两个重要的对数恒等式①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．在对数的概念中规定a>0且a≠1的原因(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．(2)若a＝0，①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值．(3)若a＝1，①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．因此规定a>0，且a≠1.知识点03对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点04换底公式(1)对数的换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).(2)三个较为常用的推论①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；②logab＝eq\f(1,logba)(a>0，b>0，且均不为1)；③logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．(1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)．(2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．(3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件．(4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，logaeq\f(M,N)＝eq\f(logaM,logaN)，logaMn＝(logaM)n.(5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg5＋lg2＝lg10＝1.解题大招解题大招大招01对数有意义的两个条件：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零．大招02指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．大招03指数式与对数式的关系求值的基本方法①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．②利用幂的运算性质和指数的性质计算．③指数式与对数式的关系求值基本思想在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．大招04利用对数性质求解的两类问题的解法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．大招05性质alogaN＝N与logaab＝b的作用(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．大招06对数运算基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．大招07对数的运算两种常用的方法①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．大招08利用换底公式进行化简求值的原则和技巧大招09利用换底公式求值的思想与注意点大招10应用对数的运算性质解对数方程的三种方法(1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为f(x)＝ab求解．(2)转化法：适用于同底型，即通过对数的运算把形如logaf(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的方程，等价转化为f(x)＝g(x)，且求解．(3)换元法：适用于f(logax)＝0(a>0，且a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解．大招11解决对数应用题的一般步骤题型分类题型分类题型01对数的概念【例1】对数loga+35−a中实数a的取值范围是（A．−∞,5 B．−3,5 C．−3,−2∪【答案】C【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可.【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数，所以有5−a>0a+3>0故选：C【变式1-1】函数y=a2+a−5logaA．3 B．−3 C．2 D．−2【变式1-2】若对数log3a(−2a+1)有意义，则a的取值范围是题型02指数对数的互化【例2】已知2m=9n=6A．log618 B．log65【答案】D【分析】把指数式化为对数式后，利用对数的运算性质进行计算即可.【详解】由2m=9n=6所以2m故选：D.【变式2-1】已知2a=5，log83=b，则A．25 B．5 C．259 D．【变式2-2】已知log32x=1题型03对数的求值【例3】设fx定义在R上且fx=log【答案】0【分析】根据分段函数解析式一一计算可得.【详解】因为fx所以f13f10同理可得f13故答案为：0【变式3-1】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x，则fA．−1 B．0 C．1 D．2【变式3-2】定义在R上的函数f(x)满足fx=log2题型04对数的运算【例4】求值：(1)0.027−(2)lg25+【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算性质计算可得.【详解】（1）0.027=0.3（2）lg==2lg【变式4-1】计算下列各式的值：(1)481(2)27(3)log【变式4-2】计算下列各式的值.(1)27(2)log2题型05换底公式【例5】计算下列各式的值：(1)log4(2)lg5【答案】(1)−3(2)2【分析】（1）根据题意，利用对数的运算法则和对数的换底公式，准确计算，即可求解；（2）根据题意，利用对数的运算法则和性质，准确计算，即可求解.【详解】（1）解：由对数的运算法则和对数的换底公式，可得：log=(=(=(1（2）解：由对数的运算法则，可得lg==3【变式5-1】（1）求值：lg5+（2）设log0.63=m，log63=n，用m，【变式5-2】计算：log4分层分层训练【基础过关】1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．2．对数中实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．化简等于（

）A．14 B．0 C．1 D．64．已知函数的定义域为，对任意都有，当时，则（

）A． B．1 C．2 D．5．已知，，，且，则（

）A．5 B．6 C．7 D．126．已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知，，，则（

）A． B． C． D．8．若，则的值是（

）A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能9．若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（

）A．B．C．D．10．已知，且，则（

）A． B． C． D．1511．（多选）以下运算中正确的有（

）A．若，，则B．C．D．12．（多选）若，则下列各式中，成立的是（

）A． B．C． D．13．（多选）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．若,则14．将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．15．（1）化简求值：；（2）已知，求的值.

【能力提升】1．已知是定义在上的奇函数.，且当时，，则（

）A．0 B． C．1 D．22．使式子有意义的x的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知，则（

）A． B． C．1 D．24．已知是奇函数，，则是成立的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．若，则的最小值为（

）A．2 B．C．1 D．6．已知若正实数满足则（

）A． B．C． D．7．已知，，则（

）A． B． C． D．8．已知函数满足对任意x恒成立，且时，则的值为（

）A．－2 B．－1 C．1 D．29．当时，函数，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．10．若函数是奇函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．11．（多选）下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．函数fx=C．若，则D．若幂函数fx=2m12．（多选）下列选项错误的是（