4.3对数【四大必考点+十一秒杀招+五大题型+分层训练】高一数学题型归类（解析版）

4.3对数【四大必考点+十一秒杀招+五大题型+分层训练】知识精讲知识精讲知识点01对数的概念(1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)两种特殊的对数①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN；②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(其中e＝2.71828…)．知识点02对数与指数的关系(1)对数的基本性质①负数和0没有对数，即真数N>0；②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)；③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．(2)两个重要的对数恒等式①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．在对数的概念中规定a>0且a≠1的原因(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．(2)若a＝0，①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值．(3)若a＝1，①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．因此规定a>0，且a≠1.知识点03对数运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点04换底公式(1)对数的换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).(2)三个较为常用的推论①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；②logab＝eq\f(1,logba)(a>0，b>0，且均不为1)；③logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．(1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)．(2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．(3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件．(4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，logaeq\f(M,N)＝eq\f(logaM,logaN)，logaMn＝(logaM)n.(5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg5＋lg2＝lg10＝1.解题大招解题大招大招01对数有意义的两个条件：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零．大招02指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．大招03指数式与对数式的关系求值的基本方法①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．②利用幂的运算性质和指数的性质计算．③指数式与对数式的关系求值基本思想在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．大招04利用对数性质求解的两类问题的解法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．大招05性质alogaN＝N与logaab＝b的作用(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．大招06对数运算基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．大招07对数的运算两种常用的方法①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．大招08利用换底公式进行化简求值的原则和技巧大招09利用换底公式求值的思想与注意点大招10应用对数的运算性质解对数方程的三种方法(1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为f(x)＝ab求解．(2)转化法：适用于同底型，即通过对数的运算把形如logaf(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的方程，等价转化为f(x)＝g(x)，且求解．(3)换元法：适用于f(logax)＝0(a>0，且a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解．大招11解决对数应用题的一般步骤题型分类题型分类题型01对数的概念【例1】对数loga+35−a中实数a的取值范围是（A．−∞,5 B．−3,5 C．−3,−2∪【答案】C【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可.【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数，所以有5−a>0a+3>0故选：C【变式1-1】函数y=a2+a−5logaA．3 B．−3 C．2 D．−2【答案】C【分析】根据对数函数的定义得出a2+a−5=1，求解出【详解】解：a2所以a2a+3a−2所以a=2，故选：C．【变式1-2】若对数log3a(−2a+1)有意义，则a的取值范围是【答案】(0,【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得.【详解】依题意，3a>03a≠1−2a+1>0，解得0<a<1所以a的取值范围是(0,1故答案为：(0,题型02指数对数的互化【例2】已知2m=9n=6A．log618 B．log65【答案】D【分析】把指数式化为对数式后，利用对数的运算性质进行计算即可.【详解】由2m=9n=6所以2m故选：D.【变式2-1】已知2a=5，log83=b，则A．25 B．5 C．259 D．【答案】C【分析】由对数式化为指数式，再由指数的运算化简得解.【详解】由log83=b可得所以4a−3b故选：C【变式2-2】已知log32x=1【答案】12【分析】根据指数与对数的运算法则计算．【详解】由log32x=1得所以2x故答案为：12.题型03对数的求值【例3】设fx定义在R上且fx=log【答案】0【分析】根据分段函数解析式一一计算可得.【详解】因为fx所以f13f10同理可得f13故答案为：0【变式3-1】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x，则fA．−1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log所以f−2故选：A【变式3-2】定义在R上的函数f(x)满足fx=log2【答案】2【分析】根据分段函数，结合周期性，代入求值.【详解】因为fx=fx−5，x>0所以f2023故答案为：2题型04对数的运算【例4】求值：(1)0.027−(2)lg25+【答案】(1)1(2)1【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算性质计算可得.【详解】（1）0.027=0.3（2）lg==2lg【变式4-1】计算下列各式的值：(1)481(2)27(3)log【答案】(1)8(2)4(3)7【分析】（1）利用分数指数幂以及根式运算性质求出结果；（2）利用分数指数幂的运算性质求出结果；（3）利用对数的运算性质求解出结果.【详解】（1）原式=3（2）原式=3（3）原式=log22【变式4-2】计算下列各式的值.(1)27(2)log2【答案】(1)22(2)7【分析】（1）利用指数幂的运算法则计算即可得解；（2）利用对数的运算法则计算即可得解.【详解】（1）2===5（2）log=log=4+log题型05换底公式【例5】计算下列各式的值：(1)log4(2)lg5【答案】(1)−3(2)2【分析】（1）根据题意，利用对数的运算法则和对数的换底公式，准确计算，即可求解；（2）根据题意，利用对数的运算法则和性质，准确计算，即可求解.【详解】（1）解：由对数的运算法则和对数的换底公式，可得：log=(=(=(1（2）解：由对数的运算法则，可得lg==3【变式5-1】（1）求值：lg5+（2）设log0.63=m，log63=n，用m，【答案】（1）7；（2）m+mnm−n【分析】（1）由对数的运算性质化简求解即可；（2）利用对数的换底公式进行化简求解即可.【详解】（1）原式=lg5+=1+1+5=7.（2）lg18=因为log0.63=m，所以log6所以nlog6610=m故lg18=【变式5-2】计算：log4【答案】5【分析】运用换底公式换底，后结合对数运算性质可解.【详解】原式===5分层分层训练【基础过关】1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化简，，结合指数函数的单调性比较，进而比较大小即可.【详解】因为，，所以.故选：B.2．对数中实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可.【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数，所以有，故选：C3．化简等于（

）A．14 B．0 C．1 D．6【答案】B【分析】根据指数幂运算结合对数的定义运算求解.【详解】由题意可得：.故选：B.4．已知函数的定义域为，对任意都有，当时，则（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【分析】根据周期性把转化成计算即可.【详解】因为函数的定义域为R，对任意都有，所以，故选：C.5．已知，，，且，则（

）A．5 B．6 C．7 D．12【答案】D【分析】将对数式转化为指数式，结合指数运算，求解即可.【详解】，故可得，又，则.故选：D.6．已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由对数及运算性质可得，，再由基本不等式即可求解.【详解】，所以，且，所以，即，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故选：.7．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，把和用表示出来，根据等量关系求出的值，而，可得结果.【详解】设，则有，，，可得，即，解得，所以.故选：D.8．若，则的值是（

）A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能【答案】A【分析】，则，代入已知利用指数、对数运算化简求解即可.【详解】令，则，由得，所以.故选：A.9．若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用偶函数性质以及函数在上单调递增即可判断得出结论.【详解】易知，显然，又因为在上单调递增，所以可得；由偶函数性质可得，即.故选：B10．已知，且，则（

）A． B． C． D．15【答案】B【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】由于，所以，则，所以，所以，而且，所以.故选：B11．（多选）以下运算中正确的有（

）A．若，，则B．C．D．【答案】AC【分析】由指数与对数的运算性质和换底公式逐一判定即可．【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：AC．12．（多选）若，则下列各式中，成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据对数运算法则、换底公式判断．【详解】，A错；，B正确；由换底公式知C正确；，D错，故选：BC．13．（多选）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．若,则【答案】ACD【分析】关于A,B将根式转化为分数指数幂的形式,再根据分数指数幂计算法则进行化简,即可得选项正误,关于C用对数的运算法则将幂转化为分式,化简即可,关于D,先判断出,然后两边取对数,再展开即可判断正误.【详解】解:由题知关于选项A:,故选项A正确;关于选项B:,故选项B错误;关于选项C:,故选项C正确;关于选项D:,,对等式两边取对数有,,即故选项D正确.故选:ACD14．将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化.【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.（2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.（3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.（4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.（5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.（6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.15．（1）化简求值：；（2）已知，求的值.【答案】（1）11；（2）【分析】（1）根据指数幂以及对数的运算性质即可求解，（2）根据指数幂的性质可得，即可利用立方差公式求解.【详解】（1）原式=.（2）因为，两边平方得，所以.

【能力提升】1．已知是定义在上的奇函数.，且当时，，则（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据对称性与奇偶性得到的周期为，再求出及，最后根据周期性计算可得.【详解】由满足，可得的对称中心为，则，又函数为奇函数，所以，所以，即，所以函数的周期为，又，令，则，是定义在上的奇函数，则，又当时，，则，，所以．故选：C．2．使式子有意义的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数的意义建立不等式组求解即可.【详解】要使式子有意义，则，即，解得或，所以x的取值范围是.故选：D3．已知，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】把指数式化为对数式后，利用对数的运算性质进行计算即可.【详解】由，可得，，所以.故选：D.4．已知是奇函数，，则是成立的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】当成立，判断是否成立，再由成立时，判断是否成立，即可知是成立何种条件.【详解】由是奇函数，则，即，解得，所以，当时，，，，所以是奇函数，所以，所以是的充要条件.故选：A.5．若，则的最小值为（

）A．2 B．C．1 D．【答案】B【分析】利用换元法可得，即可利用不等式求解.【详解】令，则，故，因此，故，故，最小值为，当且仅当时等号成立，即时取到等号，故选：B【点睛】关键点点睛：得，由基本不等式求解.6．已知若正实数满足则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对数的运算法则化简即可得解.【详解】因为所以，由可得，所以，两边取以3为底的对数可得，即，所以，所以，故选：A7．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，得，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解.【详解】由，得，则.故选：A.8．已知函数满足对任意x恒成立，且时，则的值为（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】A【分析】根据题意分析可得函数是以2为周期的周期函数，利用周期性结合指对数运算求解.【详解】因为，则，可得，所以函数是以2为周期的周期函数，则，，所以.故选：A.9．当时，函数，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用，结合题中条件即可求解.【详解】令，解得，或，又，则，故，解得，或，即的取值范围是.故选：D.10．若函数是奇函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由奇函数的性质结合对数的运算解出，再由复合函数的单调性得到在上为增函数解出即可；【详解】由题意可得，即，即，解得，即，，即函数的定义域为，设，则在上为增函数，而在上为增函数，所以在上为增函数，若，则，可解得，则，又，则有，不等式的解集为.故选：A.11．（多选）下列说法正确的是（

）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．函数fx=C．若，则D．若幂函数fx=2m【答案】BC【分析】选项A，根据条件，利用抽象函数定义域的求法，即可求解；选项B，分离常量得到fx=1−5x2【详解】对于选项A，因为函数的定义域为0,1，由0≤4x≤1，得到0≤x≤14得到函数f4x的定义域为0,对于选项B，因为fx=x2+3−5得到−23≤1−5t对于选项C，因为，得到1a=log32，所以31对于选项D，因为fx=2所以2m2−6m+5=1故选：BC.12．（多选）下列选项错误的是（

）A．若，则B．已知，，则C．已知x，y为正实数，则D．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是【答案】AC【分析】由不等式的性质判断A（举特例），由指数与根式的运算性质判断B，由对数的运算性质判断C，由题设命题的否定为真命题，再转化为求函数最小值（使用勾形函数定义域求最小值）判断D．【详解】A选项，当时，，A错误；B选项，，B正确；C选项，，一般，如，而，C错误；D选项，若命题“”是假命题，则命题“”是真命题