3.2 函数的基本性质【十大必考点+十七大秒杀招+十三大题型+分层训练】高一数学题型归类（解析版）

3.2函数的基本性质【十大必考点+十七大秒杀招+十三大题型+分层训练】知识精讲知识精讲知识点01函数的单调性及其符号表达(1)函数单调性的概念函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性．(2)函数单调性的符号表达一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.知识点02增函数、减函数当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．知识点03单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求：(1)属于同一个区间D；(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替；(3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2.2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x是偶数，,0，x是奇数，))它的定义域为Z，但不具有单调性．3．单调区间(1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增，y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减；(2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝eq\f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性．5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝eq\f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝eq\f(1,x)(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点．知识点04函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标1．对函数最值的三点说明(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．2．函数最值与函数值域的关系函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值．3．利用单调性求最值的常用结论(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．知识点05偶函数、奇函数的定义(1)偶函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)奇函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．知识点06偶函数、奇函数的图象特征(1)偶函数的图象特征如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.(2)奇函数的图象特征如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数.知识点07函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点(1)定义域：由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．(2)对应关系：①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔(f(x)≠0)；②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔(f(x)≠0)．知识点08函数奇偶性的四个关注点(1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质．(2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合．(4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．知识点09奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点10常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性函数奇偶性一次函数y＝kx＋b(k≠0)当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数反比例函数y＝eq\f(a,x)(a≠0)奇函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数解题大招解题大招大招01定义法证明单调性的步骤判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．利用定义法判断函数的单调性的步骤如下：注意：对单调递增的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0.对单调递减的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0.大招02求函数单调区间的三种方法方法一：转化为已知的函数(如一次函数、二次函数等)的单调性判断．方法二：定义法，即先求出定义域，再利用单调性的定义进行判断求解．方法三：图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间．注：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．大招03由函数单调性求参数范围的处理方法是：(1)由函数解析式求参数若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性.若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件.(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.大招04利用单调性比较大小或解不等式的方法(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．(2)利用抽象函数的单调性求范围．①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)<f(b)⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<ba>b，,m≤a≤n，,m≤b≤n.))②方法：依据函数的单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解．大招05利用图象求函数最值的一般步骤(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)观察图象，找出图象的最高点和最低点；(3)写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值．大招06图象法求最值的步骤大招07利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性；(2)利用函数的单调性求出最大(小)值．大招08函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．大招09二次函数最值的求法(1)探求二次函数y＝f(x)在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．(2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内．大招10判断函数奇偶性的三种常用方法(1)定义法①确定函数的定义域；②看定义域是否关于原点对称．(ⅰ)不对称，则函数为非奇非偶函数；(ⅱ)对称eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(若f－x＝－fx，则函数为奇函数；,若f－x＝fx，则函数为偶函数；,若f－x与fx无上述关系，则函数,为非奇非偶函数.))(2)图象法：画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性．(3)性质法①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．注：(1)判断奇偶性时，必须先求定义域.(2)有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(-x)与f(x)的关系.(3)对于分段函数，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式.大招11巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．大招12奇、偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．大招13利用函数的奇偶性求函数值的思路已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f(－a)．注：(1)利用函数的奇偶性求函数值问题应充分运用奇(偶)函数的定义构造函数，从而使问题快速得到解决.（2）在定义域关于原点对称的前提下,若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数,若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数解题.大招14已知函数的奇偶性求参数值的三种思路(1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程．(2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值．(3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去．大招15利用函数的奇偶性求函数解析式的注意事项(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)．注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0.大招16利用函数的奇偶性比较大小：看自变量是否在同一单调区间上．①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小．大招17利用函数的奇偶性解不等式①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解．注：(1)抽象不等式问题，解题步骤是:①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系;②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f"，转化为解不等式(组)的问题.(2)需要注意的是:在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0=f(l),f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1).(3)利用好偶函数性质f(x)=f(|x|)可以避免讨论，简化计算.题型分类题型分类题型01函数单调性的判断及单调区间的求解【例1】下列函数中，在区间0,+∞上是减函数的是（

A．y=−3x+2 B．y=x3 C．y=x【解题思路】用函数单调性定义可判断得结果.【解答过程】选项A：任取x1>x又x2−x1<0，所以y1−选项B：任取x1>x又x1−x2>0,x12+选项C：任取x1>x又x1−x2>0,x1+x选项D：任取x1>x又x1−x2>0,x1x2故选：A.【变式1-1】函数fx=−1A．2,+∞ B．C．−2,2 D．−∞,2【解题思路】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可.【解答过程】函数fx=−1又fx=−1x−2的图象是由y=−1x的单调递增区间为−∞所以fx=−1x−2的单调递增区间为故选：D.【变式1-2】下列说法正确的是（

）A．若x1,x2∈I，当x1<B．函数fx=xC．函数fxD．函数fx=【解题思路】根据单调函数的定义、函数的单调性和单调区间的概率依次判断即可.【解答过程】对A，由函数单调性的定义知，应为对于任意x1对B，该二次函数是一条对称轴为x=0，开口向上的抛物线，函数fx=x对C，函数fx=−1x在但不能说fx对D，函数fx=1x在同时区间不能用“∪”符号连接，故D错误.故选：B.题型02根据函数的单调性求参数【例2】如果函数fx=ax2+2x−3A．a>−14 C．−14≤a<0【解题思路】根据题意，结合一次、二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.【解答过程】由函数fx=ax当a=0时，fx=2x−3在当a≠0时，则满足a<0−1a综上可得，实数a的取值范围为[−1故选：D.【变式2-1】已知函数fx=1−ax在区间−1,2上单调递增，则实数aA．−∞,0 C．−∞,1【解题思路】利用换元法求出定义域后求解参数即可.【解答过程】根据题意，设t=1−ax，则y=t，因为y=t在所以t=1−ax在区间−1,2上单调递增，则有−a>01+a≥0，解得−1≤a<0故选：B．【变式2-2】已知函数fx=−x2−ax−5,x≤1aA．−3≤a≤0 B．−3≤a≤−2C．a≤−2 D．a<0【解题思路】根据题意，由函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为函数fx=−则−a2≥1故选：B.题型03利用函数的单调性比较大小【例3】已知函数fx在3,+∞上单调递减，且fx的图象关于直线x=3对称，则a=f0.2，A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c【解题思路】结合函数的对称性及单调性即可比较大小【解答过程】因为函数fx在3,+∞上单调递减，且fx所以函数fx在−因为0<0.2<2，所以f(0)<f(0.2)<f(2)，即c<a<b；故选：D.【变式3-1】已知定义在R上的函数fx满足f1+x=f1−x，且∀x1,x2>1，x1A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解题思路】根据题意能得到函数fx关于直线x=1轴对称，且fx在【解答过程】由∀x1,x2>1，x1由f1+x=f1−x得函数f所以函数fx在−又因为22−1≈1.42−1=0.3（最远离所以f3故选：A.【变式3-2】已知函数fx的定义域为R，对任意的x1<x2A．e2f2C．e2f2【解题思路】构造函数gx【解答过程】由题意可知ex2f构造函数gx=exf故g2<g1，即e故选：C.题型04利用函数的单调性解不等式【例4】已知函数y=f(x)在定义域(−1,3)上是增函数，且f(2a−1)<f(2−a)，则实数a的取值范围是（

）A．(1,2) B．(−∞,1) C．0,1 【解题思路】由函数的单调性及定义域得到关于a的不等式组，解之即可得解.【解答过程】因为函数y=fx在定义域−1,3上是增函数，且f则有−1<2a−1<3−1<2−a<32a−1<2−a，则0<a<2−1<a<3所以实数a的取值范围是0,1.故选：C.【变式4-1】定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)满足：∀x1,x2∈(0,+∞A．(12,+∞) B．(0,12) C．(0,4) 【解题思路】令g(x)=f(x)x，根据单调性的定义得到g(x)=f(x)x在【解答过程】因为对任意的x1,x2∈即对任意两个不相等的正实数x1,x2，不妨设所以有fx1x则函数g(x)=f(x)x在(0,+∞当x>0时，不等式f(x)>3x等价于f(x)x>3，即g(x)>g(4)，解得所以不等式f(x)>3x的解集为(0,4).故选：C.【变式4-2】函数fx是定义在0,+∞上的增函数，则满足f2x−1<f1A．13,23 B．13,【解题思路】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案.【解答过程】由题意知函数fx是定义在0,+则由f2x−1<f1解得12≤x<2故选：D.题型05求函数的最值【例5】若x>0，则fx=2−x−4A．最大值为−2 B．最小值为−2 C．最大值为6 D．最小值为6【解题思路】先用定义法证明函数fx在0,2单调递增，在2,+【解答过程】任取0<x则fx1−f因为0<x1<x2<2，所以所以fx1−f所以fx在0,2单调递增；同理可证fx在所以fx故选：A.【变式5-1】函数fx=2x−1+x−2A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】设x−2=t（t≥0），则函数fx=2x−1+x−2等价于【解答过程】设x−2=t，t≥0，则x=则函数fx=2x−1+x−2等价于y=2∵y=2t2+t+3在0,+∴函数fx故选：A．【变式5-2】函数fx=x−2A．最小值为0，最大值为3 B．最小值为−3，最大值为0C．最小值为−3，最大值为3 D．既无最小值，也无最大值【解题思路】将函数写成分段函数形式，求出值域，得到答案.【解答过程】函数fx当−1<x<2时，−3<1−2x<3，故fx故fx所以fx的最小值为−3故选：C．题型06根据函数的最值求参数【例6】若fx=x+2+3x−aA．6或−18 B．−6或18C．6或18 D．−6或−18【解题思路】分a>−6，a<−6，a=−6三种情况，得出每种情况下fx的最小值，令其为4，解出a【解答过程】当a>−6时，fx∴fxmin=f当a<−6时，fx∴fxmin=f当a=−6时，fx=4x+2故选：A.【变式6-1】已知函数y=3x+2x−1，x∈m,n的最小值为8，则实数mA．0,1 B．1,2 C．1,2 D．1,2【解题思路】对反比例型函数y=3x+2x−1分离常数，由x∈m,n时的最小值为8得到n【解答过程】由y=3x+2因为y=3x+2x−1在x∈m,n所以x∈m,n时，3+所以1≤m<n，易知反比例型函数y=3+5x−1在所以y=3+5x−1在x=n处取到的最小值为即3+5所以1≤m<2.故选：D.【变式6-2】已知函数f(x)=(a−1)x+2a,x<0x2−2x,x≥0有最小值，则A．−12,1C．−12,1【解题思路】先求出x≥0时的最小值，然后对于x<0时，讨论fx=a−1【解答过程】当x≥0时，fx=x−1当x<0时，fx①a=1时，fx=2为常函数，此时在R上满足函数f(x)有最小值为②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值，需a−1<0(a−1)×0+2a≥−1解得−综上，满足题意的实数a的取值范围为：−1故选：C．题型07函数奇偶性的判断【例7】下列函数是奇函数的是（

）A．fx=xC．fx=x【解题思路】根据奇函数的定义判断即可.【解答过程】对于A，因为fx=x2+1的定义域为R对于B，因为fx=x3−1的定义域为R对于C，因为fx=x3+1x对于D，因为fx=x4+2x2故选：C.【变式7-1】若函数fx=x−xA．fx+1−2 B．fx−1−2 C．【解题思路】变形得到fx=x+1+1【解答过程】因为fx所以fx−1由于gx=x+1又g−x故gx=x+1其他选项均不合要求.故选：C．【变式7-2】设函数fx=1−A．fx是奇函数，f1x=−fxC．fx是偶函数，f1x=−fx【解题思路】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性，由解析式计算一一判定选项即可.【解答过程】因为函数表达式为fx=1−所以f−x=1−又f1故选：C.题型08由函数奇偶性求函数值、解析式【例8】函数fx是一个偶函数，gx是一个奇函数，且fx+gxA．1x2−1 B．2x2x【解题思路】由fx+gx=1x−1可得出f−x【解答过程】因为函数fx是偶函数，函数gx为奇函数，则f−x由fx+gx=1所以，fx+gx=1故选：A.【变式8-1】已知函数fx是定义域为R的奇函数，当x>0时，fx=x2A．19 B．−19 C．1 D．−1【解题思路】利用奇函数的性质即可求解.【解答过程】因为函数fx是定义域为R的奇函数，所以f故选：D.【变式8-2】已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=x2+2x，则x>0时A．f(x)=−x2−2xC．f(x)=−x2+2x【解题思路】根据奇函数的性质求解即可.【解答过程】因为函数fx是定义在R当x>0时，−x<0，f(−x)=x2−2x=−f故选：C.题型09由函数奇偶性求参数【例9】已知fx=2x+m,x>0nx+1,x<0为奇函数，则A．1 B．2 C．0 D．−1【解题思路】利用奇函数的性质建立方程，求解参数，再求值即可.【解答过程】因为fx=2x+m,x>0所以2+m−n+1=0，而f2=−f−2解得m=−1,n=2，经验证符合题意，所以m+n=1，故A正确.故选：A.【变式9-1】已知函数fx=x2−1A．0 B．1 C．−1 D．2【解题思路】利用奇函数定义，列式计算即得.【解答过程】由函数fx是奇函数，得fx+f−x=0函数f(x)=x2−1所以a=0.故选：A.【变式9-2】若函数fx=ax2+2b+ax−a+bA．−3 B．−4 C．3 D．2【解题思路】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，列出方程，即可求解.【解答过程】因为函数fx是定义在2a,2−a可得2−a=−2a，所以a=−2，由f−x=fx，可得2b+a=0，解得b=1故选：A.题型10函数奇偶性的应用【例10】已知fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx为减函数，且f2=0，那么不等式A．−2,0∪0,2 C．−∞,−2∪【解题思路】确定函数在−∞【解答过程】因为函数fx是定义在R上的奇函数，则f(0)=0当x>0时，fx为减函数，所以函数f(x)在−∞,0上是减函数，又因为f(2)=0又不等式xfx<0等价于x>0f(x)<0所以x>2或x<−2，即不等式xfx<0故选：D.【变式10-1】已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是定义在R上的奇函数，且fx，gA．ff2>fC．gg2>g【解题思路】根据题意，利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负，即可求解.【解答过程】因为fx，gx在0,+∞上单调递减，f所以gx在R上单调递减，fx在对于A中，由f2>f3对于B中，因为gx是定义在R上的奇函数，可得g又因为gx在0,+∞上单调递减，可得因为fx在0,+∞上单调递减，且fx为偶函数，所以f所以fg对于C中，由g2>g3，gx在对于D中，由f2>f3，gx在故选：D.【变式10-2】已知函数fx的定义域为R，函数Fx=f1+x−A．函数fx的一个对称中心为2,1 B．C．函数fx为周期函数，且一个周期为4 D．【解题思路】对于A，由G(x)为奇函数，则G(−x)=−G(x)，再将Gx=f2+3x−1代入化简可求出对称中心；对于B，由选项A可得f(2)=1，再由F(x)为偶函数可得f(1+x)−f(1−x)=2x，令x=1可求出f(0)；对于C，由fx的图象关于点(2,1)【解答过程】对于A，因为Gx所以G(−x)=−G(x)，即f(2−3x)−1=−[f(2+3x)−1]，所以f(2−3x)+f(2+3x)=2，所以f(2−x)+f(2+x)=2，所以函数fx的图象关于点(2,1)对于B，在f(2−x)+f(2+x)=2中，令x=0，得2f(2)=2，得f(2)=1，因为函数Fx=f1+x所以f1−x所以f(1+x)−f(1−x)=2x，令x=1，则f(2)−f(0)=2，所以1−f(0)=2，得f(0)=−1，所以B正确，对于C，因为函数fx的图象关于点(2,1)对称，f(0)=−1所以f(4)=3，所以f(0)≠f(4)，所以4不是fx对于D，在f(2−x)+f(2+x)=2中令x=1，则f(1)+f(3)=2，令x=2，则f(0)+f(4)=2，因为f(0)=−1，所以f(4)=3，因为f(2)=1，所以f1故选：C.题型11函数图象的识别与判断【例11】函数f(x)=3x2A． B．C． D．【解题思路】分析函数f(x)的奇偶性，在(0,3【解答过程】函数f(x)=3x2而f(−x)=3x2当x∈(0,33)当x∈(3,+∞)时，x3故选：B.【变式11-1】函数fx=xA．

B．

C．

D．

【解题思路】先判断x>0时函数fx的单调性，即可判断选项C，D；再判断当x<0时函数f【解答过程】当0<x<1时，fx=x+1x，此时当x>1时，fx=x+1x，此时且x>0时，fx由此可知C，D选项中图象错误；当x<0时，fx=−x+1x，此时故选项A中图象不合题意，又f(−1)=0，故B中图象符合题意，故选：B.【变式11-2】已知函数fx的部分图象如图所示，则函数fx的解析式可能为（A．fx=−2C．fx=−2x【解题思路】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.【解答过程】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；由图可知，当x→+∞时，y→−而对于D选项，当x→+∞时，y→0故选：A.题型12抽象函数的单调性、奇偶性、周期性【例12】定义在R上的奇函数fx满足fx+2=−fx，且当x∈0,1A．fx满足B．fx在−1,1C．fx的图象关于直线x=3D．fx的图像关于点2,0【解题思路】根据函数的周期性、单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【解答过程】根据题意，依次分析选项：对于A，函数fx满足fx+2=−ffx是周期为4对于B，因为fx为奇函数，当x∈0,1时，则f0=0，故fx在−1,1对于C，fx是周期为4的周期函数，则有f变形可得f3+x=f3−x，f对于D，奇函数fx是周期为4的周期函数，则f变形可得fx+2=−f2−x，f故选：B.【变式12-1】已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)=f(x+6)+f(3)，若y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，且对于∀x1,x2∈[0,3]，当A．f(2)=0 B．f(x)是奇函数C．f(x)是周期为4的周期函数 D．f(2023)>f(2024)【解题思路】由已知条件可判断函数的奇偶性，周期性以及单调性，由此一一判断各选项，即可得答案.【解答过程】由y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，知f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)是偶函数，所以B错误.在f(x)=f(x+6)+f(3)中，令x=−3得f(−3)=f(3)+f(3)=2f(3)，又f(−3)=f(3)，所以f(3)=0，所以f(x)=f(x+6)，知f(x)是周期为6的周期函数，所以C错误.对于∀x1,x2故f(x)在[0,3]上单调递减，所以f(2)>f(3)=0，所以A错误.对于D，f(2023)=f(6×337+1)=f(1)，f(2024)=f(6×337+2)=f(2)，由f(x)在[0,3]上单调递减，得f(1)>f(2)即f(2023)>f(2024)，D正确，故选：D.【变式12-2】函数y=fx在R上的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有且仅有一个交点，对任意x，y∈R，fx+fyA．f2=2 B．C．fx在0,+∞单调递减 D．若f【解题思路】由已知条件，通过赋值法求出f(0),f(1),f(2)及奇偶性，结合函数单调性的定义判断出单调性，即可得出判断．【解答过程】令x=y=0得，2f(0)=f(0)，则f(0)=0；对于A，令x=y=1，有2f1=f2令x=y=2，有2f2=f对于B，令y=0，则f(x)=f(x),x>00,x=0,f(−x),x<0对于C，因为f(x)在R上的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有且仅有一个交点，f(0)=0,f(1)=1>0，所以当x>0时，f(x)>0，设0<x1<则f(x1)+f(所以f(x)在0,+∞对于D，由上述结论得，f(x)为偶函数，且在0,+∞单调递增，f(0)=0,f(2)=4所以若fx≤4，则故选：D．题型13函数性质的综合应用【例13】已知函数fx是定义在−2,2上的奇函数，满足f1=15(1)求函数fx(2)判断fx(3)解不等式f(2x−1)+f(x)<0．【解题思路】（1）根据奇函数的性质f0=0，即可求出b，再由f1=15求出（2）利用定义法证明函数的单调性即可；（3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【解答过程】（1）因为函数fx是定义在−2,2上的奇函数，所以f0=0，即b因为f(1)=15，所以f(−1)=−1所以当−2<x≤0时，f(x)=x当0<x<2时，−2<−x<0，则f(x)=−f(−x)=−−x综上所述，f(x)=x（2）函数fx在−2,2证明：任取x1,x则f=x==(∵−2<x∴(x2故f(x)=xx2（3）因为函数fx是定义在−2,2所以f(2x−1)+f(x)<0⇔f(x)<−f(2x−1)⇔f(x)<f(1−2x)，又由（2）知f(x)=xx2所以x<1−2x−2<x<2−2<2x−1<2，解得故原不等式的解集为x|−1【变式13-1】已知函数fx的定义域为0,+∞，对任意正实数x1，x2都有fx(1)求f1(2)试判断fx(3)若f6x2【解题思路】（1）由赋值法即可求解，（2）利用单调性的定义即可求证，（3）由函数的单调性，列不等式即可求解.【解答过程】（1）令x1=x2=1（2）fx在0,+不妨设0<x所以f=fx又0<x1<x2，所以0<即fx所以fx在0,+（3）由（2）知fx在0,+若f6x2所以6x解得−16<x<0或56<x<1【变式13-2】已知函数fx(1)若函数fx是奇函数，求a(2)若a<0，记函数fx在2,+∞（i）求Ma（ii）设函数gx=x2+ax+4a∈R满足：对任意x∈R，均存在【解题思路】（1）根据奇函数的定义可直接求参数a的值.（2）（i）分情况去掉绝对值符号，结合二次函数的单调性，求函数fx的最小值，可得Ma的解析式；（ii）问题转化为gx【解答过程】（1）因为fx为奇函数，所以f所以−x−x+a=−xx+a⇒（2）（i）①若a≤−2，则fx当x≥−a时，对称轴x=−a2<−a，所以f当x<−a时，若−a2<2，即−4<a≤−2，则f如图：所以fx若−a2=2，即a=−4若−a2>2如图：则fx在2,−a2所以fx②若−2<a<0，则fx=x2+ax如图：所以fx在2,+所以fx综上，Ma（ii）若a≤−2，则fx0所以4−a24若−2<a<0，则fx0∈所以−2<a<0，综上，a的取值范围为−4,0.分层分层训练【基础过关】1．设函数，当时，的最小值为，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】根据一次函数的单调性以及最值来求得正确答案.【详解】，当时，单调递减，在0,1上的最小值为；当时，，；当时，单调递增，在0,1上的最小值为，因此可得当时，取得最大值为1．故选：D2．函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二次函数的对称轴与区间的关系即可判断.【详解】的对称轴为：，由题意可得，解得.故选：D3．已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式，得到在上恒成立，考虑和x∈0,2两种情况，参变分离，得到.【详解】由，求出，在上恒成立，，当时，，，当x∈0,2时，，其中，当且仅当时，等号成立，故，综上，的取值范围为.故选：A4．已知函数在闭区间上的值域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合二次函数的图象及性质求解即可.【详解】函数的对称轴为，且，，画出函数的图象，由图象可知，要使函数在上的值域是，则，即实数的取值范围是.故选：D.5．已知函数的图象关于原点对称，则（

）A．20 B．22 C．24 D．26【答案】C【分析】根据得到方程，求出，从而得到解析式，并计算出.【详解】因为的图象关于原点对称，故，其中，，则，由于恒成立，故，解得，，是奇函数，符合题意，则.故选：C6．函数是定义在上的偶函数，当时，，则在上的表达式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，则，再根据函数为偶函数求出时的解析式，即可得解.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，当时，，令，则，则，所以当时，，综上所述，.故选：A.7．已知定义在上的奇函数，其图象关于轴对称，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用对称性及奇函数的性质计算即得.【详解】由函数的图象关于轴对称，得，由函数是R上的奇函数，得，因此，又当时，，所以.故选：B8．已知函数满足对任意实数，，当时都有成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可得在上单调递增，所以需要每一段函数都必须为增函数，且在x=1处也要满足增函数的定义才行.【详解】依题意可得在上单调递增，所以，解得,故选：B.9．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得函数在R上单调递减，根据分段函数的单调性列出不等式组，即可求得实数a的取值范围【详解】由，对任意实数，都有，可知函数在R上单调递减，则有，解得，所以实数a的取值范围为2,4.故选：C.10．定义，则称与经过变换生成函数.已知，设与经过变换生成函数，若，则在区间[2，9]上的最小值为（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】由题意求得，进一步得到的单调性即可求解.【详解】由题意可知，又，解得，所以，因为在时单调递减且为正值，在时单调递减且为正值，所以在[2，9]上单调递减，所以当时函数有最小值.故选：C.11．（多选）下列说法错误的是（

）A．当时，B．是定义在上的偶函数，若当时，，则当时，C．“”是“”的充分不必要条件D．若对任意实数，都有意义，则实数k的取值范围是【答案】AC【分析】由基本不等式代入计算，即可判断A，由函数的奇偶性代入计算，即可判断B，由充分条件以及必要条件的定义即可判断C，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题即可判断D.【详解】对于A，当x>0时，，当且仅当时，即x=1时，等号成立，又，所以，故A错误；对于B，设，则，所以，且是定义在上的偶函数，则，故B正确；对于C，“”是“”的必要不充分条件，故C错误；对于D，由条件可得恒成立，当时，恒成立，符合题意，当时，，解得，综上，实数k的取值范围是，故D正确；故选：AC12．（多选）已知函数的大致图象如图所示，若在上单调递增，则的值可以为（

）A． B． C．0.8 D．5【答案】BCD【分析】根据函数单调性的概念及图象特征，列不等式求解的取值范围即可.【详解】由图可知，在上单调递增，所以或，所以的取值范围为．故A不符合题意，BCD符合题意.故选：BCD.13．（多选）给定函数，，对于，用表示，中的最大者，记为，下列关于函数的说法正确的是（

）A．函数是偶函数 B．函数的最大值是C．函数在递增 D．函数有四个单调区间【答案】AD【分析】可作出函数草图，数形结合，判断各选项的准确性.【详解】如图：对A：由图可知，的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，故A正确；对B：由图可知，函数在上单调递增，且，所以，当时，，故B错误；对C：由图象可知，函数在0,1上单调递减，故C错误；对D：由图象可知，函数在和0,1上单调递减，在和1,+∞上单调递减，所以函数有四个单调区间.故D正确.故选：AD14．已知函数，且满足，.(1)求和的值；(2)判断在上的单调性，并用定义证明.【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析【分析】（1）根据已知列方程组求解；（2）先判断单调性，再应用单调性定义证明.【详解】（1）函数满足，，可得，解之.（2），在上单调递增，设任意，且，则，由，可得，又，，，则，则，则在上单调递增.15．已知是定义在上的奇函数.(1)求的解析式.(2)证明：在上单调递增.(3)求不等式的解集.【答案】(1)(2)证明过程见解析(3)【分析】（1）根据及求出，，检验后得到答案；（2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；（3）根据函数奇偶性和（2）中结论得到在上单调递增，从而得到不等式，求出不等式解集.【详解】（1）因为为定义在上的奇函数，故，即，解得，，又，故，故，所以，解得，故，经检验，满足要求；（2）任取且，则，因为且，所以且，所以，所以，故在上单调递增；（3）因为为定义在上的奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，，故，解得，的解集为.

【能力提升】1．已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可．【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，设，由，解得或，所以在上单调递减，所以的单调减区间为.故选：B.2．已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知，函数在R上单调递减，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可.【详解】不妨假设，由，得，则在R上单调递减，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.3．若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将问题转化为一次函数在区间上的函数值恒大于，由此求解出结果.【详解】因为，所以关于的一次函数在时恒有，所以只需在时都有即可，所以，解得，所以的取值范围是，故选：A.4．对于函数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“倒戈函数”.设是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】问题就是方程在有解，变形为，引入新函数，求得函数的值域即可得结论.【详解】因为是定义在上的“倒戈函数，存在满足，，，构造函数，，令，，在上单调递增，在上单调递减，所以取得最大值0，或取得最小值，，，，故选：A.5．若函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A．（ B． C． D．【答案】D【分析】先根据对勾函数的单调性求的取值范围，再利用二次函数对称轴和单调区间的关系确定的取值范围.【详解】设，.若，则在上递增，不满足条件；若，则，所以fx不在上递减，不满足条件；若，由知在上递减，不满足条件；若，则由，及对有可知，在上递减.由可知，在上递增，满足条件.综上，实数的取值范围是.故选：D.6．已知函数是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及符号法则即可解出．【详解】因为函数是定义在上的偶函数，，且在上单调递减，所以，且在上单调递增，所以当时，；当时，；当时，；当时，，所以不等式的解集为.故选：D.7．已知奇函数满足，且在上单调递增，则是解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】因是奇函数，将转化为，分析函数的单调性，以及在各区间符号即可求解.【详解】因是奇函数，所以f−x=−f所以，可转化为，又因f1=0，且在上单调递增，所以在上，，在上，，根据奇函数的图象关于原点对称，所以在上，，在上，，,所以，可知与异号，所以的解集为.故选：A8．已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对勾函数与二次函数的性质，可得两个函数分别在给定区间上的值域，由题意可得集合的包含关系，建立不等式组，可得答案.【详解】当时，，则，当且仅当，即时，等号成立；由对勾函数可知当时，，由函数，则其对称轴为直线，所以函数在上单调递减，当时，，由题意可得，可得，解得，可得.故选：B.9．若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据“函数”的定义可得值域为，再求分段函数的值域，由集合的包含关系列出不等式组，求解即可.【详解】由题意可知的定义域为，值域为