【数学】一元一次方程的应用第3课时（同步课件） 2024-2025学年七年级数学上册（北师大版2024）

5.3一元一次方程的应用北师大版（2024）

七年级

上册

第5章

一元一次方程第3课时学习目标1.能分析行程问题中已知量与未知量之间的等量关系，利用路程、时间与速度三个量之间的关系列出一元一次方程解决问题;(重点)2.会用“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题；(难点)3.掌握一元一次方程解决实际问题的一般步骤，并能验证解的合理性；4.培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用.新课导入复习回顾1.审——通过审题找出等量关系（关键）.6.答——注意单位名称.5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切记继续求解).3.列——依据找到的等量关系，列出方程.2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.列一元一次方程解应用题的主要步骤：新课导入情境引入

小明每天早上要到距家1000m的学校上学.一天,小明以80m/min的速度出发，出发后

5min,小明的爸爸发现小明忘了带语文书.于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？

你能用一元一次方程解决这个问题吗？新课讲授

探究一：应用一元一次方程解决追及问题思考：(1)上述问题中有哪些已知量和未知量？解：（1）已知量:小明家到学校1000m、小明的速度80m/min、

小明已出发5min、小明爸爸的速度180m/min；

未知量:小明爸爸追上小明用的时间、

小明爸爸追上小明时距离学校多远.(2)想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？新课讲授设爸爸追上小明用了

x分钟,当爸爸追上小明时,所行路程相等,如下图所示.学校小明家180x爸爸追上小明的位置.80x小明5min走的路程:80×5.小明在爸爸追时走的路程:80x.爸爸追赶小明时走的路程:180x.80×5新课讲授根据等量关系，可列出方程：

.

解这个方程，得x=

.因此，爸爸追上小明用了

min,此时距离学校还有

m.44180x=5×80+80x280(3)你是怎样列出方程的，与同伴进行交流.1000－180×4＝280(m)

画图分析数量关系是一种有效方法.根据相等量的两种不同表达式就可以建立等量关系，列出方程了.新课讲授追及问题：知识归纳甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题：对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．(1)对于同向同时不同地的问题，如图所示，甲的行程－乙的行程＝两出发地的距离；注意：同向而行注意始发时间和地点．(2)对于同向同地不同时的问题，如图所示，甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程．新课讲授1.《九章算术》中有一道题，原文：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？(

)A．300步

B．250步

C．200步

D．150步B新课讲授

探究二：应用一元一次方程解决相遇问题线段图：甲乙甲、乙两站间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米.（1）两车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？解：（1）设两车行驶了xh相遇，根据题意得65x+85x=450，

解，得

x=3.

答：两车经过3h相遇.分析：等量关系：慢车路程＋快车路程=甲乙之间的距离.相遇慢车行驶的路程65x甲乙两地之间的距离450km快车行驶的路程85x新课讲授甲乙线段图：（2）快车先开30min，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？相遇快车先开30min行驶的路程85×0.5慢车行驶的路程65y甲乙两地之间的距离450km快车在慢车走时行驶的路程85y

新课讲授

关于两人从两地出发相向而行的行程问题称为相遇问题，这类问题往往根据路程之和等于总路程列方程．

如图所示，甲的行程＋乙的行程＝两地相距的路程．相遇问题：知识归纳新课讲授2.A,B两站间的距离为335km，一列慢车从A站开往B站，每小时行驶55km，慢车行驶1小时后，另有一列快车从B站开往A站，每小时行驶85km.设快车行驶了x小时后与慢车相遇，则可列方程为()A.55x＋85x＝335 B.55(x－1)＋85x＝335C.55x＋85(x－1)＝335 D.55(x＋1)＋85x＝335D新课讲授

探究三：环形跑道中的追及和相遇问题

例：小明和小华两人在400米的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260米，小华每分钟跑300米，两人起跑时站在跑道同一位置.（1）如果小明起跑后1min小华才开始同向跑，那么小华用多长时间能追上小明？（2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？分析:本题涉及哪些量?你能画图说明小明和小华跑步的情形吗?在问题(1)和(2)中，两人所走的路程分别有什么关系?新课讲授解：（1）设小华用

xmin追上小明.根据题意，得260（x＋1）＝300x

解，得

x＝6.5.所以小华用6.5min追上小明.（2）设小华起跑后

xmin两人首次相遇.根据题意，得

260（

x

＋1）＋300

x

＝400，

解，得

x

＝0.25.所以小华起跑后0.25min两人首次相遇.新课讲授环形跑道长s米，设v甲＞v乙，经过t秒甲、乙第一次相遇.一般有如下两种情形：①同时同地、同向而行：v甲t-v乙t=s.②同时同地、背向而行：v甲t+v乙t=s.追及问题相遇问题环形跑道问题：知识归纳新课讲授3.在800米的环形跑道上有两人在练习中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，若两人同时同地同向起跑，t

分钟后第一次相遇，则

t

的值为

.20等量关系：甲路程－乙路程＝800.320t－280t＝800新课讲授知识归纳用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：实际问题抽象寻找等量关系数学问题（一元一次方程）解方程数学问题的解（一元一次方程的解）验证实际问题的解解释典例分析例1：小明家离学校2.9千米．一天，小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，则小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？解析：设小明爸爸出发x分钟后接到小明．可以画出线段图如右图所示.解：设小明爸爸从家出发x分钟后接到小明，由题意，得200x＋60(x＋5)＝2900.解这个方程，得x＝10.因此，小明爸爸从家出发10分钟后接到小明．典例分析例2:小明的爷爷每天都步行到距离家3.2千米的公园去打太极拳.周日早晨，爷爷出发半小时后，小明发现爷爷忘记带家门钥匙了，小明就骑自行车去给爷爷送钥匙．如果爷爷的速度是4千米/时，小明骑自行车的速度是12千米/时，当小明追上爷爷时，爷爷到公园了吗？解：设小明用x小时追上爷爷.因为3千米＜3.2千米．所以小明追上爷爷时，爷爷没有到公园．学以致用2.小明骑自行车到学校上学，若每小时骑15千米，可早到10分钟，若每小时骑13千米，则迟到5分钟，设他家到学校的路程为x千米，下列方程正确的是()1.小明和小刚从相距25.2千米的两地同时相向而行，小明每小时走4千米，3小时后两人相遇，设小刚的速度为x千米/时，列方程得()A．4＋3x＝25.2

B．3×4＋x＝25.2C．3(4＋x)＝25.2D．3(x－4)＝25.2CA学以致用3.甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过几秒两人首次相遇()A．208秒 B．204秒C．200秒 D．196秒D4.某轮船往返于A，B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水速是3千米/时，则轮船在静水中的速度是()A．18千米/时

B．15千米/时 C．12千米/时

D．20千米/时B学以致用5.甲、乙两人赛跑，甲的速度是8米/秒，乙的速度是5米/秒，如果甲从起点处往后退20米，乙从起点处向前进10米，若甲、乙两人同时出发，则甲经过几秒钟追上乙？解：设甲经过x秒追上乙．由题意，得8x－5x＝20＋10.解这个方程，得x＝10.因此，甲经过10秒追上乙．学以致用6.A，B两地相距30千米．甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知甲比乙每小时多走1千米，经过2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度．解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为(x＋1)千米/时．根据题意，得2.5x＋2.5(x＋1)＝30.解这个方程，得x＝5.5.则x＋1＝6.5.因此，甲、乙两人的速度分别为6.5千米/时、5.5千米/时．学以致用7.一架飞机在两个城市之间飞行，当顺风飞行时需2.9h，当逆风飞行时则需3.1h．已知风速为20km/h，求无风时飞机的航速和这两个城市之间的距离．解：设无风时飞