高中数学复习专题01 平行问题的证明(解析版)

第三篇立体几何专题01平行问题的证明常见考点考点一线面平行的判定典例1．如图所示，在三棱柱中，为的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】【分析】连接交于，连接，则由平行四边形的性质和三角形中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论【详解】证明：如图，连接交于，连接，∵四边形是平行四边形．∴点为的中点．∵为的中点，∴为的中位线，∴．∵平面，平面，∴平面．变式1-1．如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，现将直角梯形ACDE沿边AC折起，使得AE⊥AB，连接BE、BD，设线段BC的中点为F．求证：AF平面BDE；【答案】证明见解析【解析】【分析】取BD的中点G，连接EG、FG，利用平行四边形证AFEG，由线面平行的判定可证AF面BDE.【详解】证明：取BD的中点G，连接EG、FG，由F为BC的中点，∴FGDC且FG＝CD，又AECD且CD＝2AE，∴AEFG且AE＝FG，即四边形AFGE为平行四边形，∴AFEG，又面BDE，面BDE，∴AF平面BDE.变式1-2．如图，四棱锥中，点M、N分别为直线上的点，且满足，求证：平面.【答案】证明见解析【解析】【分析】通过线线平行来证得平面.【详解】连接BD，∵，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴平面.变式1-3．如图所示，已知正方形.、分别是、的中点，将沿折起.证明平面.【答案】证明见解析.【解析】通过证明，证得平面.【详解】、分别为正方形的边、的中点，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，而平面，∴平面.考点二面面平行的判定典例2．如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC//AB，求证：平面PAB//平面EFG.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据面面平行的判定定理进行证明.【详解】由于分别是的中点，所以是三角形的中位线，所以，由于，所以，由于平面，平面，所以平面.由于分别是的中点，所以是三角形的中位线，所以，由于平面，平面，所以平面.由于，所以平面PAB//平面EFG.变式2-1．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点．求证：平面平面.【答案】证明见解析【解析】【分析】通过证明平面平面来证得平面平面.【详解】根据正方体的性质可知，由于平面，平面，所以平面.同理可证得平面，由于,所以平面平面，所以平面平面.百世2-2．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别在AC，A1C1上，那么当点D在什么位置时，平面BC1D∥平面AB1D1【答案】D为AC的中点【解析】【分析】根据面面平行的性质定理即可求解．【详解】连接A1B交AB1于点O，连接OD1，由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，因此BC1∥D1O．同理AD1∥DC1，所以＝，＝．又因为＝1，所以＝1，即D为AC的中点．变式2-3．如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.【答案】见解析【解析】由正方形的性质得出，可得出平面，由线面垂直的性质定理得出，可得出平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论.【详解】由于四边形是正方形，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面平面.【点睛】本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.考点三线面平行的性质典例3．如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，点在棱上，平面．求证：为的中点；【答案】证明见解析【解析】【分析】连接交于点，连接，根据线面平行的性质可得，结合正方形的性质易知是的中点，即是中位线，即可证结论.【详解】证明：连接，交于点，连接．∵面，面面，面，面，∴．∵四边形是正方形，，即是的中点．∴△中是中位线，故为的中点．变式3-1．四面体如图所示，过棱的中点作平行于，的平面，分别交四面体的棱于点．证明：四边形是平行四边形．【答案】见解析．【解析】【分析】根据线面平行的性质定理，分别证得，所以，同理证得.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得结论.【详解】由题设知，∥平面，又平面平面，平面平面，∥，∥，∥．同理∥，∥，∥．故四边形是平行四边形．【点睛】本小题主要考查线面平行的性质定理的应用，考查平行四边形的判定，属于基础题.变式3-2．如图所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中点，D'是B'C'的中点，设平面A'D'B∩平面ABC=a，平面ADC'∩平面A'B'C'=b，判断直线a，b的位置关系，并证明．【答案】直线a，b的位置关系是平行，证明见试题解析．【解析】【分析】根据线面平行的性质定理，分别证得，再证得，利用平行公理，可证得.【详解】∵平面ABC//平面A'B'C'，平面A'D'B∩平面ABC=a，平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D'，∴A'D'//a，同理可得AD//b．又D是BC的中点，D'是B'C'的中点，∴，而，∴，∴四边形AA'D'D为平行四边形，∴A'D'//AD，因此a//b．【点睛】本小题主要考查线面平行的性质定理和平行公理的应用.要证明线线平行，可以先证两条直线和第三条直线平行，利用公理，即平行公理可证得两直线平行.属于基础题.变式3-3．如图，三棱锥被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：平面EFGH．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据线面平行的判定定理、性质定理即可得证【详解】因为四边形EFGH为平行四边形，所以，因为平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，又因为平面ACD，且平面平面BCD，所以，又因为平面EFGH，平面EFGH，所以平面EFGH考点四面面平行的性质典例4．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM．【答案】见解析．【解析】【分析】先通过中位线，通过线线平行，证得平面平面，在根据面面平行的性质定理证得.【详解】因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC．又平面PCM∩平面DEF＝FN，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以FN∥CM．【点睛】本小题主要考查线线平行的证明、线面平行的证明和面面平行的证明，其中涉及到了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，还有面面平行的性质定理.在平行转化的过程中，已知和求之间，用判定定理还是性质定理，要看清楚题目所给的条件来判断.变式4-1．如图，在棱锥中，，截面底面BDC．已知的周长是18，求的周长．【答案】6【解析】【分析】由面面平行可得线线平行，然后由相似三角形可解.【详解】因为截面底面BDC，且面面，面面所以，所以又所以同理可得，所以，即所以，，即的周长等于6.变式4-2．如图，已知平面平面，点P是平面，外一点，且直线PB，PD分别与，相交于点A，B和点C，D．如果，，，求PD的长．【答案】【解析】【分析】根据面面平行的性质，结合平行线的性质进行求解即可【详解】由题意可知：平面，平面，因为平面平面，所以，因此有.变式4-3．如图所示，两条异面直线，与两平行平面，分别交于点，和，，点，分别是，的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】【分析】过点作交于点，取的中点，连接，，，，，，根据面面平行的性质得到，，即可得到平面，再利用面面平行的性质即可得到平面。【详解】过点作交于点，取的中点，连接，，，，，，如图所示：因为，所以，确定平面.则平面，平面，因为，所以.又分别为，的中点，所以，，，所以.又分别为，的中点，所以，且，所以，因为，所以平面.又平面，所以平面.巩固练习练习一线面平行的判定1．如图，四棱锥中，O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：平面DCF．【答案】证明见解析【解析】【分析】以线面平行判定定理去证明即可.【详解】连接OFO为底面平行四边形DBCE对角线的交点，则△中，，，则又平面，平面，则平面DCF．2．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点.求证：EF平面ABC1D1.【答案】证明见解析【解析】【分析】由E为DD1的中点，F为BD的中点，得EF为△BDD1的中位线，所以EFBD1，从而可证明线面平行.【详解】如图，连接BD1，在△BDD1中，因为E为DD1的中点，F为BD的中点，所以EF为△BDD1的中位线，所以EFBD1，又BD1⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，所以EF平面ABC1D1.3．如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点。求证：平面【答案】证明见解析.【解析】取的中点，连接，由三角形的中位线定理可得∥,，而已知∥，，从而得∥，，所以四边形为平行四边形，从而得，再利用线面平行的判定定理可证明【详解】证明：取的中点，连接因为为的中点，所以∥,，因为∥，，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.4．如图，四棱锥中，平面，，，，点在线段上，且满足.求证:平面.【答案】证明见解析【解析】【分析】连结，连结，可证，结合已知可证，即可证明结论.【详解】连结，∵，，,在中，连结，∵，∴，又面，面，∴面.【点睛】本题考查线线垂直的证明，注意空间垂直之间互相转化，考查线面线平行，属于基础题.练习二面面平行的判定5．如图，在三棱柱中，、分别是棱、的中点，求证：平面平面．【答案】证明见解析【解析】【分析】设与的交点为，连结，证明，再由线面平行的判定可得平面；由为线段的中点，点是的中点，证得四边形为平行四边形，得到，进一步得到平面．再由平面，结合面面平行的判定可得平面平面．【详解】证明：设与的交点为，连结，四边形为平行四边形，为中点，又是的中点，是三角形的中位线，则，又平面，平面，平面；为线段的中点，点是的中点，且，则四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．又平面，，且平面，平面，平面平面．【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．6．如图甲，在直角梯形中，，，，、、分别为、、的中点，现将沿折起，如图乙.求证：平面平面.【答案】证明见解析【解析】分别证明出平面，平面，然后利用面面平行的判定定理可得出平面平面.【详解】翻折前，在图甲中，，，，翻折后，在图乙中，仍有，、、分别为、、的中点，，，，平面，平面，平面.平面，平面，平面.又，平面平面.【点睛】本题考查面面平行的证明，证明时要注意线线位置关系在翻折前后的变化，考查推理能力，属于中等题.7．如图，在三棱锥中，，过A作，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：平面平面ABC.【答案】证明见解析【解析】由已知可得为中点，点E，G分别是棱SA，SC的中点，可得，证得平面ABC，同理平面ABC，即可证明结论.【详解】证明：因为，，垂足为F，所以F是SB的中点.又E是SA的中点，所以.因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.同理平面ABC.又，平面，所以平面平面ABC.【点睛】本题考查面面平行的证明，属于基础题.8．如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，G是DE的中点.求证：面面BEF.【答案】证明见解析【解析】根据已知条件可证面BEF，面BEF，即可证明结论.【详解】如图所示，连接BD交AC于点O，连接OG，易知O是BD的中点，故.又面BEF，面BEF，所以面BEF.因为，面BEF，所以面BEF.又AC与OG相交于点O，AC，OG面，所以面面BEF.【点睛】本题考查面面平行的证明，属于基础题.练习三线面平行的性质9．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点.记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明.【答案】平面，证明见解析.【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理可得，最后再次根据线面平行的判定定理可得平面.【详解】直线平面，证明如下：因为分别是的中点，所以.又平面，且平面，所以平面.而平面，且平面平面，所以.因为平面，平面，所以平面.【点睛】本题考查线面平行的判定与性质，解题时注意两类平行关系的转化，本题属于基础题.10．如图，五面体中，四边形为矩形，平面，，，为中点．求证：平面；【答案】详见解析.【解析】取中点，连，由平面，可证，进而证明四边形为平行四边形，得到，即可证明结论.【详解】取中点，连，平面，平面，平面平面为中点，，且，四边形为平行四边形，，平面平面，平面.【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，证明直线与平面平行，要注意直线与平面平行性质定理的应用，属于基础题.11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，在上取一点，过点和作平面，交平面于，点在线段上.求证：.【答案】证明见解析【解析】连接交于点，连接，推导出．从而平面．由线面平行的性质定理可证明．【详解】证明：如图，连接，设交于点，连接．∵四边形是平行四边形，∴是的中点又是的中点，∴.又平面，平面BDM，∴平面又平面，平面平面，∴．【点睛】本题考查线线平行的判定定理和性质定理的应用，属于基础题．12．如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，为的中点，过的平面交于.证明：.【答案】见解析【解析】通过四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即得结论；【详解】证明：且，四边形为平行四边形，，又平面，平面平面，又因为平面平面，平面，；【点睛】本题考查线面平行的判定及性质定理的应用，属于基础题.练习四面面平行的性质13．如图，已知，点P是平面外的一点，直线和分别与相交于B和D.（1）求证：；（2）已知，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由面面平行的性质定理得证线线平行；（2）由平行线的性质可求得线段长．【详解】（1），所以确定一个平面，由题意平面，平面，所以；（2）由（1），所以，所以，所以．14．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P-ABCD，如图②.求证:在四棱锥P-ABCD中，AP平面EFG.【答案】证明见解析.【解析】【分析】通过证明平面平面来证得平面.【详解】在四棱锥P-ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，∴EFCD.∵ABCD，∴