高考数学（理科课标版）一轮复习题组训练第6章第3讲等比数列及其前n项和

第三讲等比数列及其前n项和题组1等比数列及其前n项和1.[2015新课标全国Ⅱ,4,5分][理]已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A.21 B.42 C.63 D.842.[2013新课标全国Ⅱ,3,5分][理]等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.13 B.13 C.193.[2017江苏,9,5分][理]等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=4.[2015新课标全国Ⅰ,13,5分]在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=.

5.[2013辽宁,14,5分][理]已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x25x+4=0的两个根,则S6=.

6.[2017山东,19,12分][理]已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3x2=2.(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;(Ⅱ)如图631,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.图6317.[2016全国卷Ⅲ,17,12分][理]已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(Ⅰ)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;(Ⅱ)若S5=3132,求题组2等比数列的性质8.[2014重庆,2,5分][理]对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列9.[2014广东,13,5分][理]若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=.

10.[2016天津,18,13分]已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且1a11a2=2a3(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(1)nbn2}的前2nA组基础题1.[2018河北衡水中学二调,3]设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1an<1,若a3+a5=20,a3a5=64,则S4=A.63或120 B.256 C.120 D.632.[2018益阳市、湘潭市高三调研,4]已知等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,则a7-a9aA.3 B.5 C.9 D.253.[2018洛阳市尖子生高三第一次联考,7]在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,则a2a16a9A.2+22 B.2C.2 D.24.[2017吉林省部分学校高三仿真考试,7][数学文化题]《张丘建算经》中“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里.问日行几何?”意思是:“现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里数是前一天的一半,连续行走7天,共走了700里路,问每天走的里数为多少?”则该匹马第一天走的里数为()A.128127 B.44800127 C.5.[2018广州市高三调研测试,14]在各项都为正数的等比数列{an}中,若a2018=22,则1a20176.[2018惠州市一调,15]已知等比数列{an}的公比为正数,且a3a9=2a52,a2=1,则a1=7.[2017昆明市高三适应性检测,17]数列{an}满足a1=1,an+1+2an=3.(1)证明{an1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)已知符号函数sgn(x)=1,x>0,0,x=0,-1,xB组提升题8.[2018石家庄市重点高中摸底考试,9]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则数列{nan}的前n项和为()A.3+(n+1)×2n B.3+(n+1)×2nC.1+(n+1)×2n D.1+(n1)×2n9.[2017重庆市名校联盟二诊,10分]设Tn为等比数列{an}的前n项之积,且a1=6,a4=34,则当Tn最大时,n的值为()A.4 B.6 C.8 D.1010.[2017天星第二次大联考,7]已知数列{an}的前n项和为Sn,若4nSn(6n3)an=3n,则下列说法正确的是()A.数列{an}是以3为首项的等比数列B.数列{an}的通项公式为an=3C.数列{anD.数列{ann11.[2017郑州市第三次质量预测,8]已知等比数列{an},且a6+a8=0416-x2dx,则a8(a4+2a6+aA.π2 B.4π2 C.8π2 D.16π212.[2017太原市高三三模,9]已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn+3)(n∈N*)在函数y=3×2x的图象上,等比数列{bn}满足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n项和为Tn,则下列结论正确的是()A.Sn=2Tn B.Tn=2bn+1C.Tn>an D.Tn<bn+113.[2018河北省“五个一名校联盟”高三第二次考试,17]已知数列{an}是等差数列,a2=6,前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,b2=2,a1b3=12,S3+b1=19.(1)求{an},{bn}的通项公式;(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.答案1.B设等比数列{an}的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q26=0,所以q2=2(q2=3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.故选B.2.C由题知q≠1,所以S3=a1(1-q3)1-q=a1q+10a1,解得q2=9,又a5=a13.32设等比数列{an}的公比为q,由S6≠2S3得q≠1,则S3=a1(1-q3)1-q=74,S6=a1(1-q6)1-q=6344.6因为a1=2,an+1=2an,所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,因为Sn=126,所以2-2n+11-2=126,解得25.63因为a1,a3是方程x25x+4=0的两个根,且数列是递增数列,所以a1=1,a3=4,所以q=2,代入等比数列的求和公式得S6=1-266.(Ⅰ)设数列{xn}的公比为q,由已知知q>0.由题意得x所以3q25q2=0.因为q>0,所以q=2,x1=1,因此数列{xn}的通项公式为xn=2n1.(Ⅱ)过P1,P2,…,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Qn+1.由(Ⅰ)得xn+1xn=2n2n1=2n1,记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,由题意得bn=(n+n+1)2×2n1=(2n+所以Tn=b1+b2+…+bn=3×21+5×20+7×21+…+(2n1)×2n3+(2n+1)×2n2①,则2Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n1)×2n2+(2n+1)×2n1②,①②,得Tn=3×21+(2+22+…+2n1)(2n+1)×2n1=32+2(1-2n-1所以Tn=(27.(Ⅰ)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=11-λ,a由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1λan,即an+1(λ1)=λan.由a1≠0,λ≠0且λ≠1得an≠0,所以an+1a所以{an}是首项为11-λ故an=11-λ(λλ(Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn=1(λλ-1)n.由S5=3132得1(λλ-1)5=3132,即(λ8.D由等比数列的性质,得a3·a9=a62≠0,因此a3,a6,a99.50由等比数列的性质可知a1a20=a2a19=…=a9a12=a10a11=e5,于是a1a2…a20=(e5)10=e50,lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=lne50=50.10.(Ⅰ)设数列{an}的公比为q.由已知,得1a11a1q=2a又由S6=a1·1-q61-所以a1·1-261-2=63,得a1=1.所以a(Ⅱ)由题意,得bn=12(log2an+log2an+1)=12(log22n1+log22n)=n12,即{bn}是首项为设数列{(1)nbn2}的前n项和为TT2n=(b12+b22)+(b32+b42)=b1+b2+b3+b4+…+b2n1+b2n=2=2n2.A组基础题1.C由题意得a3+a5=20,a3a5=64,解得a3=16,a5=4或a3=4,a5=16.又an+1an<1,所以数列{an}为递减数列,故a2.D设等比数列{an}的公比为q,则a4a7=a5q·a5q2=9所以q=5,所以a7-a9a5-a73.B设等比数列{an}的公比为q,因为a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,所以a3·a15=a92=2,a3+a15=6,所以a3<0,a15<0,则a9=2,所以a2a16a9=4.B由题意知该匹马每日所走的路程成等比数列{an},且公比q=12,S7=700,由等比数列的求和公式得Sn=a1(1-1275.4设公比为q(q>0),因为a2018=22,所以a2017=a2018q=22q,a2019=a2018q=22q,则有1a2017+2a2019=2q+2226.22∵a3a9=a62,∴a62=2a52,设等比数列{an}的公比为q,∴q2=2,由于q>0,解得q=2,∴a17.(1)因为an+1=2an+3,a1=1,所以an+11=2(an1),a11=2,所以数列{an1}是首项为2,公比为2的等比数列.故an1=(2)n,即an=(2)n+1.(2)bn=an·sgn(an)=2设数列{bn}的前n项和为Sn,则S100=(21)+(22+1)+(231)+…+(2991)+(2100+1)=2+22+23+…+2100=21012.B组提升题8.D设等比数列{an}的公比为q,∵S3=7,S6=63,∴q≠1,∴a1(1-q3)1-q=7,a1(1-q6)1-q=63,解得a1=1,q=2,∴an=2n1,∴nan=n·2n1,设数列{nan}的前2Tn=2+2·22+3·23+4·24+…+(n1)·2n1+n·2n,两式相减得Tn=1+2+22+23+…+2n1n·2n=2n1n·2n=(1n)2n1,∴Tn=1+(n1)×2n,故选D.9.A设等比数列{an}的公比为q,∵a1=6,a4=34,∴34=6q3,解得q=12,∴an=6×(12∴Tn=(6)n×(12)0+1+2+…+(n1)=(6)n×(12)n(n-1)2,当n为奇数时,Tn<0,当n为偶数时,Tn>0,故当n为偶数时,Tn才有可能取得最大值.∵T2k=36k×(12)k(2k1),∴T2k+2T2k=36k+1×(1∴T2<T4,T4>T6>T8>…,则当Tn最大时,n的值为4.10.C解法一由4nSn(6n3)an=3n,可得4Sn=3n+(6n-3)ann当n=1时,4S1(63)a1=3,解得a1=3,当n≥2时,4Sn1=3+(63n-1)an1由①②得,4an=(63n)an(63n-1)an1,整理得2n-3nan=6n-9n-解法二当n=1时,4S1(63)a1=3,解得a1=3,当n=2时,8(a1+a2)(6×23)a2=3×2,解得a2=18,当n=3时,12(a1+a2+a3)(6×33)a3=3×3,解得a3=81,B错误;又a2a1=183=6,a3a2=8118=92,故A错误;a11=3,11.D因为a6+a8=0416-x2dx=14×π×42=4π,所以a8(a4+2a6+a8)=a8a4+2a6a8+a82=a62+2a612.D因为点(n,Sn+3)(n∈N*)在函数y=3×2x的图象上,所以Sn=3·2n3,所以Sn1=3·2n13,两式相减得an=3·2n1,所以bn+bn+1=3·2n1,因为数列{bn}为等比数列,设公比为q,则b1+b1q=3,b2+b2q=6,解得b1=1,q=2