高三数学总复习教案与练习题

1.简单几何体及综合练习题

2.直线和圆及综合练习题

3.圆锥曲线及综合练习题

4.概率与统计知识拓展、概率与统计选择题训练和解答题训练、概率与统计经点答疑

教学内容：简单几何体

【考点梳理】

一、考试内容

1.棱柱（包括平行六面体）。棱锥。多面体。

2.球。

3.体积的概念与体积公理。棱柱、棱锥的体积。球的体积。

二、考试要求

1.理解棱柱、棱锥、球及其有关概念和性质。

掌握直棱柱、正极锥、球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算。

3.了解多面体的概念，能正确画出棱柱、正棱锥的直观图。

对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥的衣角面，棱柱的直截面,

球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。

三、考点简析

1.棱柱

侧核不垂

.于底面除棱柱I

棱柱卜一

于底面

底鲤皿_[^西丽遨长皆相等定词

2.棱锥

r^g-i__顶点在底面上的射影

正棱锥

一是底面正多边形的中心一

3.棱柱、棱锥的侧面积与体积

S）Ft4H：«j=C/r'S正校检（产—Ch'VH：（4=Sh'V^=-Sh,

23

4.球

,4[

Sm=4;nR-V球=一兀R3

3

四、思想方法

1.割补法。它是通过“割”与“补”等手段，将不规则的几何体转化为规则的几何体,

是一种常用的转化方法。

2.正棱锥的计算问题。应抓住四个直角三角形和两个角。四个直角三角形，即正棱锥

的高、侧棱及其在底面上的射影、斜高及其在底面上的射影、底面边长的一半组成的四个直

角三角形。两个角，即侧棱与底面所成的线面角，侧面与底面所成的二面角。四个直角三角

形所围成的几何体称之为“四直角四面体”，它是解决极锥计算问题的基本依据，必须牢固

掌握。

3.正棱锥的侧面积与底面枳的关系。

正棱锥：SJS=Smcoso

4.多面体中表面上两点的最短距离。

多面体中表面上两点的最短距离，就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度，这是

立体几何中求最短距离的基本依据（球面上两点间的距离除外）。

5.关于组合体体积的计算问题。

有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。

构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几

个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等

于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。

因此，组合体体积的求法，艮]为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。

6.关于等积变换问题。

等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等。

等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本几何体一一四面体和平行六面体中进

行的。这是因为这些几何体变换底面后，计算体积的方法不变，几何体仍为四面体和平行六

面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。

若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面体之

后，再施行等积变换。

用等积变换求点到平面的距离，是用两种不同的体积计算方法，来建立所求距离的方程,

使问题得解。

异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。

用等积变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。

【例题解析】

例1如图8-1,已知斜三棱柱ABC—AIBICI的底面是直角三角形，AC±CB,Z

ABC=30°,侧面A1ABB1是边长为a的菱形，且垂直于底面，ZA(AB=60°,E、F分别是

ABi、BC的中点。

(1)求证：EF〃侧面AiACG；

(2)求四棱锥ABiBCG的体积；

(3)求EF与侧面AIABBI所成角的大小。

(1)连结AiB、AiC

•••AIABBI是菱形，且E是ABi的中点，

・・・E是AR的中点。

又F是BC的中点，

.•・EF〃AiC。

又AC帛平面A1ACC1，

EF(Z平面AiACCi，

・・・EF〃面AIACCI。

(2)・・•平面A|ABB|_L平面ABC,交线为AB,

在平面A]ABBi内，过Ai作AQ_LAB于0,则AQ_L平面ABC,且〃二AQ二且小

2

XVAC1CB,ZABC=30°,•'-S=S=-ACB-C,BC=—a,AC=-a

ALBC222

•••vA-C[CBB1

=V柱-VA-AIB[c]

,1221

=Sh--S/?=-S/i=---•AC•BC•AiO

3332

211VJVs1.

=—,—-----a,—a=­a

322228

(3)在平面ABC内，过F作FH_LAB于H,则FH_L侧面AiABBi。

连结EH,则NHEF为EF与剜面AiABBi所成的角。

।3

•・,在Rl^FHB中，FH=-BF=—«,BH=-a；

288

在Z\HEB中，HE=+(BH)2-2BEBH-cosZ^,BA

=(—a)2+(—a)2-2—a-«cos60°

V2828

8

・*人士/HFV39

，在RtaEHF中，tanZHEF=——=------

HE13

・'・ZHEF=arctan

13

例2如图8—3,三棱锥P—ABC中，AABC是正三角形，ZPCA=90°,D为PA的

中点，二面角P—AC—B为120°,PC=2,AB=2V3o

(1)求证：AC±BD；

(2)求BD与底面ABC所成的角(用反正弦表示);

(3)求三棱锥P—ABC的体积。

图8-3图8-4

解(1)如图8—4,取AC中点E,连DE、BE,则DE〃PC,VPC1AC,/.DE±

ACo

「△ABC是正三角形，/.BE±ACo

又DE呈平面DEB,BE帛平面DEB,

,・，DB枭平面DEB,AACXDB.

(2)法一：：AC_L平面DEB,AC年底面ABC,，平面DEB_L底面ABC,AEB是

DB在底面ABC内的射影，ZDBE是BD与底面ABC所成的角。

XVDEIAC,BE_LAC,,/DEB即为二面角P—AC—B的平面角。

…占1V3

在4DEB中，VDE=-PC=1,BE=——AB=3,

22

・•・由余弦定理,得BD2=12+32-2X1X3cos1200=13,BD=713,

得1_屈

，由正弦定理,行sinNOBE-sin120。

J39J39

解得sinZDBE=------，即BD与底面ABC所成的角为arcsin-------。

2626

法二：・・・AC_L平面DEB,ACE平面ABC。・•・平面DEB_L平面ABC,作DF_L平面ABC,

F为垂足，则F在BE的延长线上，NDBF是BD与平面ABC所成的角。VDE1AC,BE

]y/3

1AC,AZDEB是二面角P—AC—B的平面角。在RtADBF中，DE=-PC=1,BE=—AB=3,

22

/o

ZDEB=120°,ZDEF=60°,DF=­o

2

，在ADEB中，由余弦定理得BD=jm,

DFV39V39

，sinNDBF=-----=-------,故BD与底面ABC所成的角为arcsin-------。

DB2626

(3)〈AC，平面DEB,AC导面PAC,

・•・平面DEB_L平面PAC,J过点B作平面PAC的垂线段BG,垂足G在DE的延长线

上。

•・•在RtZ\BEG中，ZBEG=60°，BE=3,ABG=——，

2

3A/3

112x273vO

**.VP-ABC=VB-PAC=—SAPACXBG=­X---------------X----------=3

3322

例3如图8-5,三棱锥P—ABC中，已知PA±BC,PA=BC=/,PA、BC的公垂线DE=〃,

求三棱锥P—ABC的体积。

分析：思路一直接求三棱锥P—ABC的体积比较困难。考虑到DE是棱PA和BC的公

垂线，可把原棱锥分割成两个三棱锥P—EBC和A—EBC,利用PA_L截面EBC,且4EBC

的面积易求，从而体积可求。

图8-5

解如图8—5—1,连结BE,CEoTDE是PA、BC的公垂线，JPALDE。又PA_L

，

BC,，PA_L截面EBC。..VP-EBC=-SziEBC-PE,VA-EBC=-S^EBC•AEoVDE1BC,AS

33

△EBC=-BC,DE=—//?,/.VpABC=VPEBC+VAEBC=_S△EBC,(PE+AE)=—PA•SAEBC=—

22336

图8-5-1图8-5-2

注本例的解法称为分害IJ法，把原三棱锥分割为两个三棱锥，它们有公共的底面aEBC,

而高的和恰为PA,因而计算简便，

思路二本题也可用补形法求解。

解如图8-5-2,将4ABC补成平行四边形ABCD,连结PD,则PA_LAD,且BC

〃平面PAD,故C到平面PAD的距离即为BC和平面PAD的距离。

VMN1PA,又MN_LBC,BC〃AD,AMN1AD,MN,平面PAD。

故Vp-ABC=Vp-ADC=Vc-PAD=—S..PAD•MN=—(—•PA•AD)•MN=—

3326

注本题的解法称为补形法，将原三棱锥补形成四棱锥，利用体积互等的技巧进行转换,

以达到求体积的目的。

本题也可将三棱锥补成三棱柱求积。想一想，怎样做？

例4如图8-6,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形,并且PD=«,

PA=PC=V2ao

(1)求证：PD_L平面ABCD；

(2)求异面直线PB与AC所成的角;

(3)求二面角A—PB—D的大小；

.••△PDC是RlA,

且PD±DCo

同理，PD±ADo

而ADADC二D,，PDJ_平面ABCD。

(2)如图8—7,连BD,YABCD是正方形,

ABDlACo

又,.,PD_L平面ABCD。

ABD是PB在平面ABCD上的射影。

由三垂线定理，得PB_LAC。

・・・PB与AC成90°角。

(3)设ACABD=O,作AE_LPB于E,连OE。

VAC1BD,又PD_L平面ABCD,AC辜平面ABCD。

APDlACo

而PDGBD二D,・・・AC_L平面PDB,

则0E是AE在平面PDB上的射影。

由三垂线定理逆定理知OE_LPB,

ZAEO是二面角A—PB—D的平面角。

•・・PD_L平面ABCD,DAlABoAPAlABo

在Rt△PAB中，AE•PB=PA・AB。又AB=a，AP=72a，

PB=ylPD2+AD2+AB2=43a,

41

:.AE=—=a又AO=-----a

百o2

sinZAEO=,ZAEO=60°

AE2

・•・二面角A—PB—D的大小为60°o

（4）设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个而相切，球心为S,连SA、SB、SC、

SD、SP,则把此四棱锥分为五个小棱锥，它们的高均为R。

由体积关系，得

Vp-ABCD="R（SapDC+SAPDA+SCPBC+SAPAB+S正方形ABCD）

3

-R(—+—+—«2+—«2+a2)o

32222

1a

又:〃

—R(2«2+V2cr)=

3¥

2

例5如图8—8,已知长方体ABCD—AIBIGDI中，AB=BC=4,AA尸8,E、F分别为

AD和CCi的中点，Oi为下底面正方形的中心。求：

（1）二面角C—EB—Oi的正切值；

（2）异面直线EB与OF所成角的余弦值；

（3）三棱锥Oi—BEF的体积。

解如图8—9,(1)取上底面的中心O,OG_LEB于G,连001和GO”由长方体的

性质得OOi_L平面ABCD,则由三垂线定理得OiG_LEB,

则/OGOi为二面角C—EB—Oi的平面角。由已知可求得EB=A/22+42=275。

2

利用△ABEsZ\GEO(图8-10),可求得OG=7。

图8-10

在RtZ\OiOG中，tanZOiGO=^L=4V5o

OG

(2)在BiC上取点H,使&H=1,连OiH和FH。

易证明OiH〃EB,则NFOiH为异面直线EB与O1所成角。

X0)H=-BE=V5,HF=物+42=5,

2

OIF=>/22+22+42=2V6»

・•・在△OiHF中，由余弦定理，得

24+5—25A/30

cosZFOiH=

2-V5-2V6于

B

BtHG

图8-11

(3)连HB,HE,由O1H〃EB,得OiH〃平面BEF。

VQBE产VH—BEF=VE—BHF二一"SABHF,AB

'3

VSABHF=32--(1X8+3X4+4X4)=14

2

156

VBEF=-x14X4=—

0o'33

例6如图8—12,球面上有四个点P、A、B、C,如果PA,PB,PC两两互相垂直,

且PA=PB=PC=tz,求这个球的表面积。

解如图8—12,设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r,圆心为O',球心到该圆

面的距离为d。在三棱锥P—ABC中，

VPA,PB,PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=4

AAB=BC=CA=V2PffiAABC内的射影即是aABC的中心O'。

由正弦定理，得=理工尸a。

sin6003

又根据球的截面的性质，有00'_L平面ABC,而PO'J_平面ABC,

・・・P、O、O’共线，球的半径R=J^+d2。又po,=JPA2T2一/哼小

00'=R—a=d=R'—r2,(R—«)2=R2-(a)2,解得R二

3332

AS球=4JiR2=3na2o

注本题也可用补形法求解。将P-ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内

接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R==。,下略。

2

例7如图8—13所示，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2,

E是AC的中点，异面.直线AD与BE所成的角为arccos——，求四面体ABCD的体积。

10

解如图814,过A引BE的平行线，交CB的延K线于F,则NDAF是异方直线

BE与AD所成的角。

ZDAF=arccos------

10

YE是AC的中点，・・・B是CF的中点，EBF=AB=2oVAB±BC=2BE=叵

r.AF=2BE=25/2

ADF=DA,VDB±BA,DB_LBF,BF=BA,

则三角形ADF是等腰三角形，

AD=-----------5-------=而，BD=ylAD2-AB2=4

2cosZDAF

1Q8

故四面体VBCD=-ABXBCXBD=-,因此四面体ABCD的体积是一。

A633

例8如图8—15,在平行六面体ABCD—AiBiGDi中,已知AB=5,AD=4,AAi=3,

AB_LAD,ZA|AB=ZA|AD=­o

3

(1)求证：顶点Ai在底面ABCD上的射影O在/BAD的平分线上；

(2)求这个平行六面体的体积。

解(1)如图8—16,连结AQ,则AQ_L底面ABCD。作OM_LAB交AB于M,作

ON1AD交AD于N,连结A.M,AiNo由三垂线定得得AiMlAB,A|NJ_AD。丁ZA|AM=

ZAiAN,

.,.RtAAiNA^RtAAiMA,/.AiM=AiN,

从而OM=ON。・••点0在NBAD的平分线上。

|3

(2)VAM=AAiCOS—=3X-=-

322

几3

AAO=AMsec—=-72o又在RtZXAOAi中，

42

9Q3收

AIO2=AAI2-AO2=9\AIO=——，

222

・•・平行六面体的体积v=5X4X—=30A/2。

2

例9如图8—17,已知正四棱柱ABCD—AiBiGDi，点E在棱DiD上，截面EAC〃

DiB,且面EAC与底面ABCD所成角为45°,AB=〃。

（1）求截面EAC的面积；

（2）求异面直线AIBI与AC之间的距离；

（3）求三棱锥Bi—EAC的体积。

（1999年全国高考试题）

图8-17图8-18

解（1）如图8—18,连结DB交AC于0,连结E0。

•・•底面ABCD是正方形,ADOXACo又TED，底面AC,/.EO±ACo，NEOD就

是面EAC与底面AC所成的二面角的平面角，NEOD=45°。

又D(J=a,AC=V2a,EO=t?sec45°=a,故SAEAC=~~a2。

222

(2)由题设ABCD—AiBiGDi是正四棱柱，得AiA_L底面AC,AiA±AC<»又A【A_L

A1B1，AAiA是异面直线AiBi与AC之间的公垂线。：D|B〃面EAC,且面DiBD与面EAC

交线为EO,・・・D|B〃EO。又O是DB的中点，AE是D)D的中点，DiB=2EO=2a。/.

22

DiD=^D1B-DB=41a,即异面直线A,B,与AC之间的距离为我〃。

(3)法一：如图8—18,连结DiB,・・・DQ=DB=&a,・・・四边形BDDiBi是正方形。连

结BQ交DiB于P,交EO于Q。YBiD^DiB,EO〃D】B,ABiDlEOo又AC_LEO,AC

_LED,・・・AC_L面BDD1B1，ABiDlAC,.'.BiDJ"面EAC。则BiQ是三棱锥Bi—EAC的

__^331V293VI.

23

身。由DQ=PQ得BiQ=—B\D=—a,..VB_EAC=—•-----a,—a=a0

4213224

所以三棱锥Bi—EAC的体积是—a\

4

法二：连结BQ,则均「余=2匕_£。5：AOJ•面BDDB，・・・AO是三棱锥A—EOBi

的高，AO=­do在正方形BDD】Bi中，E、0分别是D]D、DB的中点（如图8—19）,

2

Q1QBB

则SAEOB=巳〃2。VB1_£AC=2X-X-。2X2!_〃=2!_。3。所以三棱锥BLEAC的体积是

1413424

拒3

-----aJ

4

例10如图8—20,在正方体ABCD—AIBIGD]中，E、F分别是BB】、CD的中点。

（1）证明ADXDiF；

（2）求AE与DiF所成的角；

（3）证明面AEDJL面AiFDi；

（4）设AAi=2,求三棱锥F—AIEDI的体积匕。

（1997年全国高考数学试题）

图8-21

解（1）•・•多面体AG是正方体,AADX®DCio又DF呈面DG,AADlDiFo

（2）如图8—21,取AB的中点G,连结AiG,FG。因为F是CD的中点，所以GF、

AD平行且相等，又AQi、AD平行且相等，所以GF、AQ1平行且相等，故GFDRi是平

行四边形，AiG〃DF,设AiG与AE相交于点H,贝iJ/AHAi是AE与DF所成的角。因

为E是BBi的中点，所以Rt^AiAG丝RtZ\ABE,NGA|A二NGAH,从而NAHAi=90°,即

直线AE与DiF所成角为直角。

（3）由（1）知AD_LDiF,曰（2）知AE_LDE又ADGAE=A,所以D】F_L面AED。

又因为D]F辜面AiFD],所以面AED_L面AIFDI。

(4)连结EG,GDi,FG//AD,:.FG〃面A)EDi,，体积

^F-A[ED[=%_&叩="_A]GE，

VAAi=2»•**S^GE=-o=V0_4iC；E=—XAjDiX5M1(;£=—X2X—=lo

教学内容：简单几何体综合能力训练

【综合能力训练】

一、选择题

1.如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆，那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为

（）

2.如图8-22,用一个平面去截一个正方体，得到一个三棱锥。在这个三棱锥中，除截

面外的三个面的面积分别为$、S2>S3,则这个三棱锥的体积为（）

A.阻

3

图8-22

3.•个三楂锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（

A.必定都不是直角三角形B.至多有一个直角三角形

C.至多有两个直角三角形D,可能都是直角三角形

4.长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,

则这个球面的表面积为（）

7乃

A.—B.56nC.14nD.64n

2

5.把一个半径为R的实心铁球熔化铸成两个小球（不计损耗），两个小球的半径之比

为1：2,则其中较小球半径为（）

1^/3V25V3

A.-RB.—RC.----RD.—R

3353

6.棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相

应的截面面积分别为Si、S2、S3,则（）

A.S1〈S2Vs3B.S3Vs2VsiC.S2VsiVS3D.S1〈S3Vs2

7.图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的顶点A作截面ABCQi而截

得的，且BiB二DQ。已知截面ABQD］与底面ABCD成30°的二面角，AB=1,则这个多

面体的体积为（）

G

V676A/6V6

B.--c.—D.

234

8.设地球半径为R,在北纬300圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120°,那么这

两地间的纬线之长为（）

D.2“R

9.如图8-24,在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个

面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）

10.如图8-25,在三棱柱的侧棱AiA和BiB上各有一动点P,Q.且满足A】P二BQ,过

P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（）

A.3：1B.2：1C.4：1D.V3：1

11.如图8-26,下列四个平面形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形

的相邻边折叠围成一个立方体的图形是（）

12.已知A、B、C、D为同一球面上的四点，且连接每点间的线段长都等于2,则球心

O到平面BCD的距离等于（）

二、填空题

13.命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。

命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且

的三棱锥是正三棱锥。

B

图8-27

14.如图8-27,在三棱锥S—ABC中，E、F、G、H分别是棱SA、SB、BC、AC的中

点，截面EFGH将三棱锥分割为两个几何体AB—EFGH、SC-EFGH,其体积分别是V1、

V2,则V、：V2的值是o

15.已知三棱锥的一条棱长为1,其余各条棱长皆为2,则此三棱锥的体积为

◎

16.已知正四棱柱的体积为定值V,则它的表面积的最小值为。

三、解答题

17.正四棱台上、下底面边长分别为。和b,上、下底面积之和等于侧面积，求棱台体积。

18.如图8-28,已知三棱锥P—ABC中，PA=PB,CB_L平面ABP,PM=MC,AN=3NB0

(1)求证:MN_LAB；

（2）当NAPB=90。，BC=2,AB=4时，求MN的长。

图8-28

19.如图8-29,半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方

体的一边长为布，求半球的表面积和体积。

8-29

20.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图

8-30）,设容器的高为人米，盖子边长为。米。

（1）求。关于"的函数解析式；

（2）设容器的容积为V立方米，则当〃为何值时，V最大？求出V的最大值。

（求解本题时，不计容器的厚度）

图8-30

21.如图8-31,已知三棱柱ABC—A'B'C的底面ABC是边长为。的正三角形，侧

面ABB'A'是菱形，且/A'AB=60°,M是A'B'的中点，已知BM_LAC。

（1）求证：BM_L平面ABC：

（2）证明：平面ABB'A'_L平面ABC；

（3）求极锥M—CBB'C'的体枳；

（4）求异面直线AA'与BC所成角的大小。

图8・3】

22.如图8-32,在正三棱柱ABC—AIBICI中，E£BB1，截面AiECll侧面ACi。

（1）求证：BE=EB）；

（2）若AA产A1B1，求平面AiEC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。

图8-32

屋

旖我定在亚信函行答短！9k?

参考答案

【综合能力训练】

l.C2.B3.D4.C5.B6.A7.D8.A9.B10.Bll.C12.B

13.侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……

ViT3/777

14.1：115.——16.6VV2

17.解：V=————(a2+ab+b2)o

3(。+b)

18.解(1)取AB的中点D,连结PD,DC,又取DC的中点E,连ME,NE,则ME

〃PD,由PA=PB,D为AB的中点得PD_LAB,AAB±MEo又AN=3NB,AN是DB的

中点，又E是DC的中点，则EN〃CB。・.,CB_L平面ABP,，CB_LAB,，EN_LAB而ME

AEN=E,/.ABlffiMNE,由此可得MN_LAB。

(2)当NAPB=90°,BC=2,AB=4时，有PD_LAB,且PD=2,.,.ME=1,EN=1。由

CBlYffiABPnJWffiABClffiPAB,〈PD^AB,••・PD_L面ABC,又ME〃PD,，ME

_1面人8(2,又EN辜面ABC,AME±ENo在直角三角形MNE中，有MN二正。

19.解设球的半径为r,过正方体与半球底面垂直的对角面作截面a，则a截半球面得半

圆，a截正方体得一矩形，且矩形内接于半圆，如图所示，则矩形一边长为布，另一边长

为收・灰=25

/.12=(V6)2+(>/3)2=9,Ar=3,故S手球=2nF+nr2=27n,

2

Vr.j*=—n18n,即半球的表面积为27兀，体积为18/。

3

注：本题是正方体内接于半球问题，它与正方体内接于球的问题是有本质差别的，请注

意比较。

20.解（1）设M为正四棱锥的斜高，

〃2+4TZ=2.

由已知得《2

h1+-a2=ft'2,

4

1

解得a=7TO(h>0)o

h

(2)V=-ha2=(h>0),

33(h2+1)

易得V二------

3("：)

h

因为h+,22J/?」=2,所以VW，,

h\h6

等号当且仅当h=1,即h=l时取得。

h

故当h=l米时，V有最大值，V的最大值为立方米。

6

21.解(1)连结A'B,由ABB'A'是菱形，

且NA'AB=60°,知4A'BB'是正三角形，

故BM_LA'B',即BM1AB,

又BM_LAC,得BM_L平面ABC。

V3

：BM_L平面A'B'C,BM=

••VB-MBC=_S.A.MBc•BM=—a3,

316

13

VM-CBBC=VM-BBC+VM-CCB=2VB_WB.C.=—a«

8

(4)作MN_LB'C',垂足为N,连结BN,

又BM_LB'C,故B'C'，平面BNM,

・・.B'C'±BNo在直角ABB'N中，

,1,,1,,B'N1

VBZN=-B'C'=-a,BB;=a,/.cosZBB/N=------=一。

44BB4

又YAA'〃BB',BC〃B'C',则NBB'N即为异面直线AA‘与BC所成的角,

故AA'与BC所成的角的大小为arccos,。

22.解(1)在截面AiEC内，过E作EG_LAiC,G是垂足。；面AiECJ•面ACi，:.

EG_L侧面AG，取AC的中点F,连结BF,FG,由AB二BC得BF_LAC。:面ABC_L侧面

ACi，・・・BF_L侧面AC”得BF〃EG。由BF,EG确定一个平面，交侧面ACi于FG。VBE

〃侧面AC”・・・BE〃FG,四边形BEGF是平行四边形，BE=FG«VBE/ZAAi，/.FG#AAio

又△AAICS/\FGC,且AF=FC,AFG=-AAi=-BBi，HPBE=-BB),故BE二EBi。

222

(2)分别延长CE、GBi交于点D,连结AiD。・・・EBi〃CCi，EBi=-BB^-CCi，/.

22

DBi=-DCi=BiCi=AiB|oVZBIAICI=ZBICIAI=60°，ZDAiBi=ZAiDB)=-(180°-Z

22

DBiAi)=30°,r.ZDAiCi=ZDAiBi+ZBiAiCi=90°，即DAi_LAiC。〈CCi，平面AIGBI，

即AiG是AiC在平面AiGD上的射影，根据三垂线定理得DAi_LACi，...NCAiG是所求

二面角的平面角。・・・CC产AA.AB产AC],ZAiCiC=90°,AZCAiCi=45°,即所求二面

角为45°。

教学内容：直线和圆

【考点梳理】

一、考试内容

1.有向线段。两点间的距离。线段的定比分点。

2.直线的方程。直线的斜率。直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程。直线方

程的一般式。

3.两条直线平行与垂直的条件。两条直线所成的角。两直线交点。点到直线的距离。

4.圆的标准方程和一般方程。

二、考试要求

1.理解有向线段的概念。掌握有向线段定比分点坐标公式，熟练运用两点间的距离公

式和线段的中点坐标公式。

2.理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。熟练掌握直线方程的点斜式,

掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般式。能够根据条件求出直线的

方程。

3.掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系。

会求两条相交直线的夹角和交点。掌握点到直线的距离公式。

4.熟练掌握圆的标准方程和•般方程。能够根据条件求出圆的标准方程和一般方程。

掌握直线和圆的位置关系的判定方法。

三、考点简析

1.有向线段。有向线段是解析几何的基本概念，可用有向线段的数量来刻划它，而在

数轴上有向线段AB的数量AB=XB-XAO

2.两点间的距离公式。不论A（xi，yi）,B（X2,yz）在坐标平面上什么位置，都有

d二|AB|二J（七一々）2+（%一为）2，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|X2-XI|或

|AB|=|y2-yi|o

3.定比分点公式。定比分点公式是解决共线三点A（xi，y。，B（X2，yz）,P（x,y）之间数

量关系的一个公式，其中人的值是起点到分点，分点到终点的有向线段的数量之比。这里起

点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后人的值也就随之确定了。若以A为

X=X1+AX2

1+，o当P点为AB的中点时,

起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是，

1.一。+加2

1+2

_xt+x2

X~-2-

X=l,此时中点公式是

V_M+)'2

2

4.直线的倾斜角和斜率的关系

（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。

（2）斜率存在的直线，其斜率k与倾斜角a之间的关系是k=tana。

5.确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意

各种形式的直线方程的适用范围。

名称方程说明适用条件

k-----斜率倾斜角为90°的直线不

斜截式y=kx+b

b——纵截距能用此式

（xo>yo）------直线上倾斜角为90°的直线不

点斜式y-yo=k(x-x)

o己知点，k——斜率能用此式

y-y,x-x）（xi，yi）,（X2,yz）是直线上与两坐标轴平行的直线

两点式