理论力学课件 第二章 质点运动1

理论力学ClassicalMechanics2024第二章质点运动描述现象：基于定量测量的运动学2.1解释机制：基于因果关系的动力学2.2增加对象：多质点共同运动的情况2.312.1描述现象：基于定量测量的运动学2.1.1变化：运动现象的本质弹弓断竹，续竹；飞土，逐宍。现代：科学技术抛物系统技术赋能VS古代：经验技艺天赋加持的技巧长时间训练经验枪械1、质点理想模型：具有一定质量，不考虑其形状与大小的物体。可以将物体简化为质点的两种情况：（1）物体不变形，只作平动。（2）物体本身线度和它活动范围相比小得很多。2.1.1变化：运动现象的本质2.1.1变化：运动现象的本质(1)质点位置由其相对距离和方向确定(2)任一时刻，质点只能占据一个空间位置(3)质点不能瞬间从一个位置跳转到另一个位置对于质点的运动，最明显的变化是它的位置改变。运动时，最显著的特点是对象的某些属性在发生变化单值连续矢量函数质点运动轨迹

2.质点位置的变化—位移2.1.2变量：位移、速度与加速度变化的定量描述（差值）：目标量在末时刻的值减去其初始时刻值。质点的位置变化被称作位移：区分位移与路程:出租车计费是按位移还是路程？2.1.2变量：位移、速度与加速度

2.位移的快慢—速度极限短时间间隔内质点的位矢变化率:“瞬时速度”或简称为“速度”。时光无法倒流速度的方向必然与位移的极限方向保持一致，当两点靠近时，的方向沿轨道的切线，速度的方向也沿着轨道的切线，指向位移方向。2.1.2变量：位移、速度与加速度

2.速度变化的快慢—加速度求加速度的方法与求速度类似，需要求速度矢量的时间导数为什么不定义加速度的变化快慢矢量？这与牛顿定律有关，力只与速度的变化快慢相关。2.1.2变量：位移、速度与加速度描述概念符号说明位置位矢相对于参考点的距离和方向位置变化位移位矢的增加值位置变化快慢速度无限短时间内的单位时间位移速度变化快慢加速度无限短时间内的单位时间速度增长变化增加值做减法，末时刻值减去初始时刻值瞬间变化无限短时间内的增长对减法求极限瞬间变化率无限短时间内的增长率对减法和除法的复合运算求极限（求导）长时间的变化瞬间增长的长时间积累求瞬间增长率的长期累积效果矢量及其运算在运动描述中的核心地位2.1.3描述：参考系与坐标系

1.参考系经验：远近和方向是相对的；定量地描述相对，需要一个参照物（参考点）；参考点，以及与参考点有几何关系的所有点所构成的空间，统称为参考系。2.1.3描述：参考系与坐标系

2.坐标系参考系位矢速度加速度明确定量描述矢量运算几何方法代数方法坐标系2.1.3描述：参考系与坐标系

2.坐标系（1）直角坐标系：基矢方向恒定且互相垂直恒定垂直单位矢量任意矢量可以用基矢量展开变化的只有坐标2.1.3描述：参考系与坐标系

（1）直角坐标系：基矢方向恒定且互相垂直①位矢质点的位矢，将其用基矢展开其坐标表示为2.1.3描述：参考系与坐标系②运动方程质点的位矢随时间的变化，用基矢展开有运动方程的坐标表示为③轨道方程消去时间t

（1）直角坐标系：基矢方向恒定且互相垂直2.1.3描述：参考系与坐标系④位移位移用基矢展开有其坐标表示为

（1）直角坐标系：基矢方向恒定且互相垂直2.1.3描述：参考系与坐标系⑤速度运动方程对时间求导有其坐标表示为

（1）直角坐标系：基矢方向恒定且互相垂直2.1.3描述：参考系与坐标系运动方程对时间求导有其坐标表示为⑥加速度

（1）直角坐标系：基矢方向恒定且互相垂直2.1.3描述：参考系与坐标系例题2.1设椭圆规尺AB的端点A与B沿导槽Ox及Oy滑动，而B以匀速度运动。求椭圆规尺上一点M的轨道方程、速度及加速度。设AM=a，BM=b，。解（1）轨道方程求轨道方程，就是求坐标之间的关系。如图所示，首先建立直角坐标系。由几何关系(1)消去可以得到轨道方程。(2)可见M点的轨道是一椭圆。2.1.3描述：参考系与坐标系（2）速度和加速度由M的位置关系，即式(1)，两边对时间求导，可以建立M点的速度和角度变化之间的关系(3)其中，是未知量。类似地，B点也可以建立相应关系,而且B点的速度为已知，所以对B点有(4)2.1.3描述：参考系与坐标系求解可得(5)所以M点的速度为(6)M点的加速度为(7)2.1.3描述：参考系与坐标系

（2）平面极坐标系：动态变化的基矢①

位矢②运动方程③速度变化量质点P的位置用距离和角度

共同来确定。2.1.3描述：参考系与坐标系③速度

（2）平面极坐标系：基矢的动态变化基矢发生变化，首先确定其变化方向组成等腰三角形几何方法代数方法2.1.3描述：参考系与坐标系③速度

（2）平面极坐标系：基矢的动态变化基矢发生变化，再确定其变化大小对应的三角形边长对于

的变化，

与

的方向相反径向速度横向速度2.1.3描述：参考系与坐标系

（2）平面极坐标系：基矢的动态变化④加速度径向加速度2.1.3描述：参考系与坐标系

（2）平面极坐标系：基矢的动态变化④加速度的物理意义在纸面上绕参考点作椭圆运动的质点，其运动扫过的阴影扇形面积该扇形面积变化的瞬时速率——掠面速度2.1.3描述：参考系与坐标系

（3）柱坐标系：极坐标的三维化引入第三个坐标来完整地描述立体空间中的点①

位矢②

速度③

加速度将柱坐标系视为极坐标和直角坐标的融合2.1.3描述：参考系与坐标系

（3）柱坐标系：极坐标的三维化引入第三个坐标来完整地描述立体空间中的点④角速度熟悉的角速度假设角速度不仅有大小，而且有明确的方向，为一矢量大小方向利用右手定则规定角速度矢量的方向2.1.3描述：参考系与坐标系

（3）柱坐标系：极坐标的三维化引入第三个坐标来完整地描述立体空间中的点④角速度引入角速度矢量后，矢量变化的时间导数形式得到了统一。对于任意长度固定、方向变化的矢量2.1.3描述：参考系与坐标系

（3）柱坐标系：极坐标的三维化引入第三个坐标来完整地描述立体空间中的点④角速度矢量必须满足代表其分解合成规律的加法法则角速度可分解，代表旋转运动可分解，并遵循交换律表明转动的顺序是可以交换的。2.1.3描述：参考系与坐标系

（3）柱坐标系：极坐标的三维化④角速度宏观旋转的次序并不总是可交换的交换绕x轴和绕y轴的旋转顺序，所得结果并不相同.难道，为角速度添加方向并直接将其扩展为矢量的做法可能并不合适?2.1.3描述：参考系与坐标系

（3）柱坐标系：极坐标的三维化④角速度角速度代表的是瞬时值，对应瞬时转动。定义一个无限小转角矢量大小方向方向有几何关系2.1.3描述：参考系与坐标系

（3）柱坐标系：极坐标的三维化④角速度如果质点做一次无限小转动

，其位矢变化为紧接着，质点再做一次无限小转动

，其位矢变化为2.1.3描述：参考系与坐标系

（3）柱坐标系：极坐标的三维化④角速度省略掉其中的二阶小量可以得到我们交换转动的顺序，先执行转动2.1.3描述：参考系与坐标系

（3）柱坐标系：极坐标的三维化④角速度再执行转动省略掉其中的二阶小量确认无限小转动的顺序是可交换，角速度可视为矢量。2.1.3描述：参考系与坐标系（4）自然坐标系：基于轨迹定基矢以终为始，利用运动的信息，来构建专用坐标系，简化描述。沿着固定轨道的质点运动位矢

与弧长

是一一对应。自由空间中需用三个变量描述质点位置，在固定轨道上只需一个变量。自然坐标系：

以轨道上的任选点为原点，

以轨道弧长S作为坐标变量。2.1.3描述：参考系与坐标系（4）自然坐标系：基于轨迹定基矢以终为始，利用运动的信息，来构建专用坐标系，简化描述。回顾空间曲线的相关几何概念：一个空间矢量的方向，可以通过其与主法线、切线（以及由它们决定的密切平面）、次法线和主法线（以及由它们决定的法平面）的关系来确定。2.1.3描述：参考系与坐标系（4）自然坐标系：基于轨迹定基矢以终为始，利用运动的信息，来构建专用坐标系，简化描述。P点附近的部分轨迹做放大展示，只要这一段曲线足够短，我们就以认为它处于平面内。在质点运动的切线

上建立第一个基矢在与其垂直的主法线

上建立第二个基矢类似柱坐标系，利用这两个基矢的外积构造第三个基矢次法线

上的单位矢量。2.1.3描述：参考系与坐标系（4）自然坐标系：基于轨迹定基矢以终为始，利用运动的信息，来构建专用坐标系，简化描述。基矢确定后，任何矢量均可以分解为对上式进行求导，求矢量随时间的变化计算上面的式子，需要对3个基矢进行求导2.1.3描述：参考系与坐标系（4）自然坐标系：基于轨迹定基矢以终为始，利用运动的信息，来构建专用坐标系，简化描述。自然坐标系中矢量的运动变化2.1.3描述：参考系与坐标系（4）自然坐标系：基于轨迹定基矢以终为始，利用运动的信息，来构建专用坐标系，简化描述。质点曲线运动的信息被包含在了轨道长度与切线方向的夹角关系之中。包含曲线形状信息的变量使用

作为自变量表述基矢量变化更为常用2.1.3描述：参考系与坐标系（4）自然坐标系：基于轨迹定基矢以终为始，利用运动的信息，来构建专用坐标系，简化描述。由于位移方向沿曲线切向：包含曲线形状信息的变量据此进一步导出速度和加速度的数学表达式①速度2.1.3描述：参考系与坐标系（4）自然坐标系：基于轨迹定基矢以终为始，利用运动的信息，来构建专用坐标系，简化描述。②加速度切向加速度法向加速度2.1.3描述：参考系与坐标系（4）自然坐标系：基于轨迹定基矢以终为始，利用运动的信息，来构建专用坐标系，简化描述。②加速度曲率半径微分2.1.3描述：参考系与坐标系例题2.2一质点沿圆滚线的弧线运动，

b为常数。试证明如果为

常数，则其加速度亦为常数。式中

为圆滚线上某点P的切线与水平线（x轴）所成的角度，s为P点与曲线最低点之间的曲线弧长。