高考数学二轮复习专项训练13三角函数的图象与性质含答案及解析

2025二轮复习专项训练13三角函数的图象与性质[考情分析]高考必考内容，重点考查三角函数的图象与性质及三角函数图象变换的正用、逆用，多以选择题和填空题的形式考查，也在解答题中出现，难度中等．【练前疑难讲解】一、三角函数的图象及变换图象变换(先平移后伸缩)y＝sinxeq\o(→,\s\up7(向左φ>0或向右φ<0),\s\do5(平移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)eq\o(→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1,ω)(ω>0)倍),\s\do8(纵坐标不变))y＝sin(ωx＋φ)eq\o(→,\s\up7(纵坐标变为原来的AA>0倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)．(先伸缩后平移)y＝sinxeq\o(→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1,ω)(ω>0)倍),\s\do8(纵坐标不变))y＝sinωxeq\o(→,\s\up7(向左φ>0或右φ<0),\s\do7(平移\f(|φ|,ω)个单位长度))y＝sin(ωx＋φ)eq\o(→,\s\up7(纵坐标变为原来的AA>0倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)．二、三角函数的解析式确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ，常用的方法有：五点法、特殊点法．三、三角函数的性质三角函数的常用结论(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求得．(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·云南曲靖·一模）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（

）A．B．函数的最小正周期是C．函数的图象关于直线对称D．将函数的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称4．（2023·广东肇庆·二模）函数的部分图像如图所示，，则下列选项中正确的有（

）A．的最小正周期为B．是奇函数C．的单调递增区间为D．，其中为的导函数三、填空题5．（2023·内蒙古包头·一模）记函数的最小正周期为T．若为的极小值点，则的最小值为．6．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）在中，角的对边分别为，若且，则的取值范围为.【基础保分训练】一、单选题1．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·山西·一模）定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称C．图象的一个对称中心为D．在区间上单调递增4．（2023·四川乐山·二模）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（

）A． B．C． D．5．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在长方形中，，，从上的一点发出的一束光沿着与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、上的、点，最后回到点，则等于（

）

A． B． C． D．6．（2024·四川成都·模拟预测）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．7．（2023·四川·模拟预测）函数在上的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

8．（2022·新疆·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（

）A． B．C． D．9．（2023·河南新乡·二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．10．（23-24高一下·河南·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A．7 B．5 C．9 D．11二、多选题11．（2021·河北沧州·二模）若关于的方程在区间上有且只有一个解，则的值可能为（

）A． B． C．0 D．112．（2023·湖南郴州·一模）已知函数向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（

）A．的最小正周期为B．点是图像的一个对称中心C．在的值域为D．函数在上单调递增13．（2023·山西临汾·一模）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．的图象关于点中心对称B．的图象关于直线对称C．在上单调递减D．将的图象向左平移个单位，可以得到的图象14．（2024·广西·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，则关于的说法正确的是（

）A．最小正周期为 B．偶函数C．在上单调递减 D．关于中心对称15．（2021·福建·模拟预测）如图所示，函数，的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，以下结论正确的是（

）A．点的纵坐标为B．是的一个单调递增区间C．对任意，点都是图象的对称中心D．的图象可由图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位得到16．（23-24高三上·重庆·期末）下列函数中，其图象关于点对称的是（

）A． B． C． D．三、填空题17．（2023·北京海淀·一模）已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为．18．（22-23高三下·上海松江·阶段练习）已知函数，则函数的最小正周期是．19．（2022·上海静安·一模）函数，当y取最大值时，x的取值集合是．20．（2023·上海虹口·一模）设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则．21．（2023·四川达州·一模）已知函数，则的值为.22．（2022·江西·模拟预测）函数的最大值为．【能力提升训练】一、单选题1．（2023·湖北武汉·一模）已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（

）A． B． C． D．2．（2023·河北·模拟预测）已知函数（）在上有三个零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2023·江苏南通·二模）记函数的最小正周期为T．若，且，则（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（

）A． B．1 C． D．25．（2023·江西赣州·一模）已知函数的最小正周期为，，且的图像关于点中心对称，若将的图像向右平移个单位长度后图像关于轴对称，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．6．（2022·四川绵阳·二模）已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（

）A． B．C． D．7．（2023·河南·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数 B．在区间上单调递增C．图象的一个对称中心为 D．的最小正周期为π8．（2023·河北唐山·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（

）A．1为的周期 B．的图象关于点对称C． D．的图象关于直线对称9．（2023·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．B．C．不等式的解集为D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增10．（2023·河北衡水·一模）已知，周期是的对称中心，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题11．（2023·全国·三模）已知函数的定义域均为，为偶函数，，且当时，，则（

）A．的图象关于点对称B．C．D．方程在区间上的所有实根之和为14412．（2024·江苏·模拟预测）设函数，则（

）A．是偶函数 B．在上单调递增C．的最小值为 D．在上有个零点13．（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（

）A．的周期为 B．的一条对称轴为C．是奇函数 D．在区间上单调递增14．（2023·山东威海·一模）已知函数的部分图像如图所示，则（

）A． B．C．在上单调递增 D．若为偶函数，则15．（2023·辽宁朝阳·模拟预测）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．三、填空题16．（2023·陕西宝鸡·二模）如图是函数的部分图像，则的单调递增区间为．17．（2024·湖北·二模）已知函数满足恒成立，且在区间上无最小值，则．18．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数（，）在区间内单调，在区间内不单调，则ω的值为．19．（2024·北京·三模）已知函数，若是偶函数，则；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是.20．（2021·甘肃兰州·模拟预测）函数，的值域是．

2025二轮复习专项训练13三角函数的图象与性质[考情分析]高考必考内容，重点考查三角函数的图象与性质及三角函数图象变换的正用、逆用，多以选择题和填空题的形式考查，也在解答题中出现，难度中等．【练前疑难讲解】一、三角函数的图象及变换图象变换(先平移后伸缩)y＝sinxeq\o(→,\s\up7(向左φ>0或向右φ<0),\s\do5(平移|φ|个单位长度))y＝sin(x＋φ)eq\o(→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1,ω)(ω>0)倍),\s\do8(纵坐标不变))y＝sin(ωx＋φ)eq\o(→,\s\up7(纵坐标变为原来的AA>0倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)．(先伸缩后平移)y＝sinxeq\o(→,\s\up10(横坐标变为原来的\f(1,ω)(ω>0)倍),\s\do8(纵坐标不变))y＝sinωxeq\o(→,\s\up7(向左φ>0或右φ<0),\s\do7(平移\f(|φ|,ω)个单位长度))y＝sin(ωx＋φ)eq\o(→,\s\up7(纵坐标变为原来的AA>0倍),\s\do5(横坐标不变))y＝Asin(ωx＋φ)．二、三角函数的解析式确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ，常用的方法有：五点法、特殊点法．三、三角函数的性质三角函数的常用结论(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求得．(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·云南曲靖·一模）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（

）A．B．函数的最小正周期是C．函数的图象关于直线对称D．将函数的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称4．（2023·广东肇庆·二模）函数的部分图像如图所示，，则下列选项中正确的有（

）A．的最小正周期为B．是奇函数C．的单调递增区间为D．，其中为的导函数三、填空题5．（2023·内蒙古包头·一模）记函数的最小正周期为T．若为的极小值点，则的最小值为．6．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）在中，角的对边分别为，若且，则的取值范围为.参考答案：题号1234答案CAACAD1．C【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.2．A【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．3．AC【分析】利用图象求出函数的解析式，代值计算可判断A选项；利用正弦型函数的周期性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.【详解】由图可知，，函数的最小正周期满足，则，，B错；所以，，，可得，因为，所以，，则，可得，所以，，则，A对；，所以，函数的图象关于直线对称，C对；将函数的图象向左平移个单位长度以后，得到函数的图象，所得函数为非奇非偶函数，D错.故选：AC.4．AD【分析】根据题意可求得函数的周期，即可判断A，进而可求得，再根据待定系数法可求得，再根据三角函数的奇偶性可判断B，根据余弦函数的单调性即可判断C，求导计算即可判断D.【详解】解：由题意可得，所以，故A正确；则，所以，由，得，所以，则，又，所以，则，由，得，所以，则为偶函数，故B错误；令，得，所以的单调递增区间为，故C错误；，则，故D正确.故选：AD.5．14【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的极小值点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为所以最小正周期，又所以，即；又为的极小值点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：146．【分析】根据用余弦定理得到，再结合正弦定理化简得，从而可得，则化为，利用对勾函数单调性求解范围即可.【详解】由余弦定理得，将代入，则，故，又由正弦定理得，且，整理得，因为，故或（舍去），得，于是，由于，则，而函数在上单调递增，所以，即.故答案为：【基础保分训练】一、单选题1．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·山西·一模）定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称C．图象的一个对称中心为D．在区间上单调递增4．（2023·四川乐山·二模）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（

）A． B．C． D．5．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在长方形中，，，从上的一点发出的一束光沿着与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、上的、点，最后回到点，则等于（

）

A． B． C． D．6．（2024·四川成都·模拟预测）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．7．（2023·四川·模拟预测）函数在上的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

8．（2022·新疆·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（

）A． B．C． D．9．（2023·河南新乡·二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．10．（23-24高一下·河南·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A．7 B．5 C．9 D．11二、多选题11．（2021·河北沧州·二模）若关于的方程在区间上有且只有一个解，则的值可能为（

）A． B． C．0 D．112．（2023·湖南郴州·一模）已知函数向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（

）A．的最小正周期为B．点是图像的一个对称中心C．在的值域为D．函数在上单调递增13．（2023·山西临汾·一模）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．的图象关于点中心对称B．的图象关于直线对称C．在上单调递减D．将的图象向左平移个单位，可以得到的图象14．（2024·广西·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，则关于的说法正确的是（

）A．最小正周期为 B．偶函数C．在上单调递减 D．关于中心对称15．（2021·福建·模拟预测）如图所示，函数，的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，以下结论正确的是（

）A．点的纵坐标为B．是的一个单调递增区间C．对任意，点都是图象的对称中心D．的图象可由图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位得到16．（23-24高三上·重庆·期末）下列函数中，其图象关于点对称的是（

）A． B． C． D．三、填空题17．（2023·北京海淀·一模）已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为．18．（22-23高三下·上海松江·阶段练习）已知函数，则函数的最小正周期是．19．（2022·上海静安·一模）函数，当y取最大值时，x的取值集合是．20．（2023·上海虹口·一模）设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则．21．（2023·四川达州·一模）已知函数，则的值为.22．（2022·江西·模拟预测）函数的最大值为．参考答案：题号12345678910答案DBDACCADCD题号111213141516答案ACBCACBCDBCBCD1．D【分析】利用三角恒等变换公式以及正弦函数的图象性质求解.【详解】,若，因为，所以，因为在区间内没有零点，所以，解得；若，因为，所以，因为在区间内没有零点，所以，解得；综上，，故选:D.2．B【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，则，即，且，所以.故选：B.3．D【分析】根据题意可求出的值，从而可得到的解析式，再根据解析式逐项分析即可．【详解】依题可知，于是，于是，∴，∴，∴，对于A，由，则的最小正周期为，故A错误；对于B，将的图象向右平移个单位长度后得，则，所以不关于原点对称，故B错误；对于C，由，所以不是图象的一个对称中心，故C错误；对于D，由，则，所以在区间上单调递增，故D正确．故选：D．4．A【分析】由图像可知，该函数为奇函数，根据奇偶函数的定义，得出A，B为奇函数，再根据函数图像中，判断出A对，B错；由图像得，判断出C，D错误，即可得出答案．【详解】对于A，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故A正确；对于B，函数，因为，所以函数为奇函数，又，故B错误；对于C，函数，因为，故C错误；对于D，函数，，故D错误，故选：A．5．C【分析】记，设，由几何关系用逐个三角形推出，再由中，，最终求出结果.【详解】记，根据对称性得到，，设，，在中，，，在中，，，在中，，，在中，，，，得．故选：C

6．C【分析】借助正切函数的二倍角公式可得，结合函数定义域及正切型函数的周期性计算即可得.【详解】，，又，可得，即，且、，故.故选：C.7．A【分析】首先判断函数的奇偶性，即可排除C、D，再由特殊值排除B，即可判断.【详解】因为，，则，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D；又，由于，所以，故排除B；故选：A8．D【分析】由定义域判断A；利用特殊函数值：、的符号判断B、C；利用奇偶性定义及区间单调性判断D.【详解】A：函数的定义域为，不符合；B：由，不符合；C：由，不符合；D：且定义域为，为偶函数，在上单调递增，上单调递减，结合偶函数的对称性知：上递减，上递增，符合.故选：D9．C【分析】根据函数的零点和单调性求出，从而可得根据函数在上单调，即可求的取值范围.【详解】，因为在上存在零点，所以，解得．又在上单调，所以，即，解得，则，则则解得．故选：C.10．D【分析】求出，根据可得ω，从而可求其最小值.【详解】，，，由题可知，，，解得，，又，当时，取得最小值11．故选：D．11．AC【分析】整理换元之后，原问题转化为在区间上有且只有一个解，即的图象和直线只有1个交点.作出简图，数形结合可得结果.【详解】整理可得，令，因为，则.所以在区间上有且只有一个解，即的图象和直线只有1个交点.由图可知，或，解得或.故选：AC.12．BC【分析】A选项，根据为偶函数及，得到，进而得到A错误；B选项，计算出，B正确；C选项，由得到，从而结合图象求出值域；D选项，由得到，结合图象得到答案.【详解】由题意得，，解得，因为，所以只有当，满足题意，A选项，，故最小正周期，A错误；B选项，，故，故点是图像的一个对称中心，B正确；C选项，，则，故，C正确；D选项，，则，由于在上不单调，故在上不单调递增，D错误.故选：BC13．AC【分析】用余弦函数的图像与性质，采用整体代入的思想对选项逐一判断即可.【详解】由可知，解得，所以函数的对称中心为，故A选项正确；令解得，所以函数的对称轴为，，故B选项错误；令，解得，所以函数的单调递减区间为，故C选项正确；将的图象向左平移个单位得，故D选项错误；故选：AC14．BCD【分析】A选项，根据辅助角公式，平移和伸缩变换得到，从而得到的最小正周期；B选项，由函数奇偶性定义得到B正确；C选项，由得到，由整体法得到函数的单调性；D选项，，故D正确.【详解】A选项，，的图象向右平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到，所以的最小正周期为，A错误；B选项，的定义域为R，且，故是偶函数，B正确；C选项，由得，由于在上单调递减，所以在上单调递减，C正确；D选项，，，所以D选项正确.故选：BCD.15．BC【分析】首先求出函数的周期，再根据的面积，求出的纵坐标，即可求出函数解析式，再根据正切函数的性质一一判断即可；【详解】解：因为，所以最小正周期，即，又的面积为，所以，所以，即的纵坐标为，故A错误；因为，所以，所以，因为所以，所以，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，故B正确；令，，解得，，所以函数的对称中心为，，故C正确；将图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到，再将函数向左平移个单位，得到，故D错误；故选：BC16．BCD【分析】利用三角函数的性质，把代入验证即可判断得解.【详解】对于A，当时，，A不是；对于B，当时，，B是；对于C，当时，，C是；对于D，当时，，正切值不存在，D是.故选：BCD17．（不唯一）【分析】根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】由，因为在区间上单调递减，且，所以有，因此的一个取值可以为，故答案为：18．【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得函数的最小正周期.【详解】，故，故答案为：．19．．【分析】把作为一个整体，结合二次函数性质求解．【详解】，又，所以时，，此时．故答案为：．20．【分析】根据对称轴与对称中心的最小距离即可得到周期,将对称轴代入即可得到关于的等式,再根据的范围即可得到解析式.【详解】解:由题知,因为对称轴与对称中心的最小距离为,所以,即,所以,此时,因为对称轴为,故有:,即,因为,所以,故.故答案为:21．【分析】根据题意，由函数解析式代入计算，即可得到结果.【详解】因为函数，则.故答案为：22．/【分析】分子分母同时除以，然后使用基本不等式可得.【详解】解：∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．故答案为：【能力提升训练】一、单选题1．（2023·湖北武汉·一模）已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（

）A． B． C． D．2．（2023·河北·模拟预测）已知函数（）在上有三个零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2023·江苏南通·二模）记函数的最小正周期为T．若，且，则（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·江苏苏州·期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（

）A． B．1 C． D．25．（2023·江西赣州·一模）已知函数的最小正周期为，，且的图像关于点中心对称，若将的图像向右平移个单位长度后图像关于轴对称，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．6．（2022·四川绵阳·二模）已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（

）A． B．C． D．7．（2023·河南·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数 B．在区间上单调递增C．图象的一个对称中心为 D．的最小正周期为π8．（2023·河北唐山·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（

）A．1为的周期 B．的图象关于点对称C． D．的图象关于直线对称9．（2023·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．B．C．不等式的解集为D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增10．（2023·河北衡水·一模）已知，周期是的对称中心，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题11．（2023·全国·三模）已知函数的定义域均为，为偶函数，，且当时，，则（

）A．的图象关于点对称B．C．D．方程在区间上的所有实根之和为14412．（2024·江苏·模拟预测）设函数，则（

）A．是偶函数 B．在上单调递增C．的最小值为 D．在上有个零点13．（2022高二下·浙江绍兴·学业考试）将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（

）A．的周期为 B．的一条对称轴为C．是奇函数 D．在区间上单调递增14．（2023·山东威海·一模）已知函数的部分图像如图所示，则（

）A． B．C．在上单调递增 D．若为偶函数，则15．（2023·辽宁朝阳·模拟预测）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．三、填空题16．（2023·陕西宝鸡·二模）如图是函数的部分图像，则的单调递增区间为．17．（2024·湖北·二模）已知函数满足恒成立，且在区间上无最小值，则．18．（2023·辽宁·模拟预测）已知函数（，）在区间内单调，在区间内不单调，则ω的值为．19．（2024·北京·三模）已知函数，若是偶函数，则；若圆面恰好覆盖图象的最高点或最低点共3个，则的取值范围是.20．（2021·甘肃兰州·模拟预测）函数，的值域是．参考答案：题号12345678910答案BACCBBCCCD题号1112131415答案ACABCADACBD1．B【分析】根据函数图象可知，是函数的两个零点，即可得，利用已知条件即可确定的值.【详解】根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的；由图可知，利用整体代换可得，所以，若为已知，则可求得.故选：B2．A【分析】由条件结合零点的定义可得在上有三个根，结合正弦函数性质列不等式可求的取值范围.【详解】令，则，当时，则，因为函数在上有三个零点，所以，∴，故选：A.3．C【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得ω=154.【详解】根据最小正周期，可得，解得；又，即是函数的一条对称轴，所以，解得.又，当时，ω=154.故选：C4．C【分析】由周期公式求得，结合换元法即可求得最大值.【详解】由题意，解得，所以，当时，，所以在区间上的最大值为，当且仅当时等号成立.故选：C.5．B【分析】根据周期范围得出范围，根据对称中心得出的值，并结合范围得出的值，即可得出的解析式，根据函数图像平移后的解析式变化得出，即可根据图像关于轴对称，得出，再根据的范围得出实数的最小值.【详解】，，且，，即，的图像关于点中心对称，，且，即，解得，，取，，，将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，的图像关于轴对称，，解得，，的最小值，令，得，故选：B.6．B【分析】计算，再考虑和两种情况，得到倾斜角范围.【详解】，则，设直线的倾斜角为，故，所以当时，直线的倾斜角；当时，直线的倾斜角；综上所述：直线的倾斜角故选：B7．C【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，解得，即函数的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；当时，，此时无意义，故在区间上单调递增不正确，故B错误；当时，，正切函数无意义，故为函数的一个对称中心，故C正确；因为，故是函数的一个周期，故D错误.故选：C8．C【分析】举例判断A，B，D错误，再由条件结合奇函数的性质和周期函数的性质列关系式论证C正确.【详解】因为为定义域为奇函数，周期为，故函数满足条件，令可得，，函数的最小正周期为4，对称中心为，，函数没有对称轴，A错误，B错误，D错误；因为函数是定义在上的奇函数，所以，取可得，，因为的一个周期为2，所以，取可得，，由可得，函数为周期为4的函数，所以，C正确；故选：C.9．C【分析】由图象求出的表达式后逐一验证选项即可.【详解】由函数图象可知，最小正周期为，所以，将点代入，得，又，所以，故，故A错误；所以，故B错误；令，则，所以，，解得，，所以不等式的解集为，故C正确；将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，令，，解得，，令得，因为，故D错误.故选：C.10．D【分析】根据条件，列出方程即可求得，然后根据对称中心以及周期范围求出，即可得到的解析式，从而得到结果.【详解】因为，由可得，且，所以，又因为是的对称中心，故解得且，即所以，当时，即，所以故选:D11．AC【分析】利用对称性证明选项A正确；利用函数的周期得到，即可判断选项B；利用周期性证明，即可判断选项C；在同一坐标系内作出与在上的大致图象，利用周期性和等差数列求解，即可判断选项D.【详解】因为为偶函数，所以，即，又，可得，故的图象关于点对称，故A正确；，故是以4为周期的周期函数，根据题意，，故，故B错误；，其中，故，故C正确；是周期函数，最小正周期是8，由得其对称轴为，显然与的图象有公共的对称轴，方程的实根是与的图象的公共点的横坐标，在同一坐标系内作出与在上的大致图象，如图，可知，所以，由图易知在上的三个零点之和构成首项为4，公差为24的等差数列，故在区间上的所有实根之和为，故D错误．故选：AC【点睛】方法点睛：零点问题的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（作出函数的图象分析判断）；（3）方程+图象法（令得到