高考数学二轮复习专题一函数与导数第11讲极值点偏移问题含答案及解析

第11讲极值点偏移问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】对称化构造函数 2【考点二】比值代换 3【专题精练】 4考情分析：极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色．真题自测真题自测一、解答题1．（2021·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.考点突破考点突破【考点一】对称化构造函数一、单选题1．（2023·四川泸州·二模）已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2022·吉林·三模）已知函数的极大值点为0，则实数m的值为；设，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为．四、解答题6．（2023·山东泰安·二模）已知函数，.(1)当时，讨论方程解的个数；(2)当时，有两个极值点，，且，若，证明：（i）；（ii）.7．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.规律方法：对称化构造函数法构造辅助函数(1)对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．(2)对结论x1x2>xeq\o\al(2,0)型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),x)))，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1＋lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成两变量即可．【考点二】比值代换一、解答题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，，且，求证：．2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知．(1)当时，讨论函数的极值点个数；(2)若存在，，使，求证：．3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．(1)当时，判断在区间内的单调性；(2)若有三个零点，且．（i）求的取值范围；（ii）证明：.4．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设，为函数（）的两个零点．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．5．（2023·陕西安康·二模）已知函数，（e为自然对数的底数）(1)当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值；(2)若，方程有两个根，（），求证：．规律方法：比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝eq\f(x1,x2)化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．专题精练专题精练一、单选题1．（2023·江西·模拟预测）已知，，，，则（

）A． B． C． D．2．（2022·四川成都·一模）已知，且，则下列说法正确的有（

）①；②；③；

④.A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④3．（22-23高三上·河北衡水·期末）已知，则（

）A． B．C． D．二、多选题4．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若恒成立，则B．当时，的零点只有个C．若函数有两个不同的零点，则D．当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是5．（2023·湖南永州·二模）已知，，，，则有（

）A． B．C． D．6．（2021·山东德州·二模）已知函数，则（

）A．B．若有两个不相等的实根、，则C．D．若，x，y均为正数，则7．（2023·河北衡水·一模）直线：与的图象交于、两点，在A､B两点的切线交于，的中点为，则（

）A． B．点的横坐标大于1C． D．的斜率大于08．（22-23高三·全国·阶段练习）已知函数，，则下列说法正确的是（）A．在上是增函数B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为C．若有两个零点，则D．若，且，则的最大值为三、解答题9．（2024·广东湛江·一模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．10．（2022·山东·模拟预测）已知函数.(1)若有两个零点，的取值范围；(2)若方程有两个实根、，且，证明：.11．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；12．（2022高三·全国·专题练习）已知函数，，当时，恒成立．(1)求实数的取值范围；(2)若正实数、满足，证明：．13．（2022高三·全国·专题练习）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求的取值范围；(2)记两个极值点为，且.若，证明：.14．（2023·河南·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当时，若，求证：

第11讲极值点偏移问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 5【考点一】对称化构造函数 5【考点二】比值代换 17【专题精练】 26考情分析：极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色．真题自测真题自测一、解答题1．（2021·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.参考答案：1．（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【分析】(1)首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.【详解】(1)f(x)的定义域为．由得，，当时，；当时；当时，．故f(x)在区间内为增函数，在区间内为减函数，(2)[方法一]：等价转化由得，即．由，得．由（1）不妨设，则，从而，得，①令，则，当时，，g(x)在区间内为减函数，，从而，所以，由（1）得即．①令，则，当时，，在区间内为增函数，，从而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最优解】：变形为，所以．令．则上式变为，于是命题转换为证明：．令，则有，不妨设．由（1）知，先证．要证：．令，则，在区间内单调递增，所以，即．再证．因为，所以需证．令，所以，故在区间内单调递增．所以．故，即．综合可知．[方法三]：比值代换证明同证法2．以下证明．不妨设，则，由得，，要证，只需证，两边取对数得，即，即证．记，则.记，则，所以，在区间内单调递减．，则，所以在区间内单调递减．由得，所以，即．[方法四]：构造函数法由已知得，令，不妨设，所以．由（Ⅰ）知，，只需证．证明同证法2．再证明．令．令，则．所以，在区间内单调递增．因为，所以，即又因为，所以，即．因为，所以，即．综上，有结论得证．【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.考点突破考点突破【考点一】对称化构造函数一、单选题1．（2023·四川泸州·二模）已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2022·吉林·三模）已知函数的极大值点为0，则实数m的值为；设，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为．四、解答题6．（2023·山东泰安·二模）已知函数，.(1)当时，讨论方程解的个数；(2)当时，有两个极值点，，且，若，证明：（i）；（ii）.7．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.参考答案：题号1234答案CDADABD1．C【分析】先利用同构法与构造函数，将题设条件转化为，再利用导数研究函数的图象与性质，结合图像即可排除AD，利用特殊值计算即可排除B，再利用极值点偏移的解决方法即可判断C.【详解】因为，，所以，则，即，令，则，，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增,所以，对于，总有，即在上单调递增，故，即在上恒成立，所以对于，对于任意，在上取，则，所以当且趋向于0时，趋向于无穷大，当趋向于无穷大时，趋向于无穷大，趋向于0，故趋向于无穷大，所以的大致图像如图所示：.对于AD，因为，，不妨设，由图象可知，，故，故AD错误；对于B，假设成立，取，则，显然不满足，故B错误；对于C，令，又，则，所以在上单调递增，又，则，即，又，则，因为，所以，又，在上单调递增，所以，即，故C正确.故选：C.【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于利用同构法转化等式，从而构造函数，并研究其图像的性质，由此判断得解.2．D【分析】根据零点可将问题转化为，构造，求导即可根据函数的单调性得函数的大致图象，即可根据图象求解A，根据极值点偏移，构造函数，结合函数的单调性即可求解B，根据可得，即可求解C，根据不等式的性质即可求解D.【详解】由可得，令，其中，则直线与函数的图象有两个交点，，由可得，即函数的单调递增区间为0,1，由可得，即函数的单调递减区间为1,+∞，且当时，，当时，，，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故A错误；由图可知，，因为，由f'x>0可得，由f'x所以，函数的增区间为，减区间为，则必有，所以，，则，令，其中，则，则函数ℎx在上单调递减，所以，，即，即，又，可得，因为函数的单调递减区间为，则，即，故B错误；由，两式相加整理可得，所以，，可得，故C错误；由图可知，则，又因为，所以，，故D正确.故选：D.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.3．AD【分析】A.先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而得到A选项.B.先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而可知B选项错误.C.通过，得到，进而可得与的大小关系,进而可知C选项错误.D.与C选项同样的方法即可判断.【详解】A.

令则，所以在单调递减，在上单调递增，且，故.令则，所以在上单调递减，且

即

故选项A正确B.

令则，所以在单调递增，在上单调递减，且，故.令所以在上单调递减，且

即

故选项B错误C.

又在单调递增

故选项C错误D.由C可知，

又在单调递减

故选项D正确故选：AD4．ABD【分析】由已知与有两个不同的交点，利用导数研究函数性质，结合图象确定的范围，判断A，要证明只需证明，结合函数单调性只需证明，故构建函数，利用导数证明结论，判断B，利用比差法比较，判断C，利用的范围，结合指数函数性质证明，判断D.【详解】方程，可化为，因为方程有两个不等的实根，所以与有两个不同的交点，令，则，令，可得，当时，，函数在单调递减，当时，，函数在单调递增，，当时，，且，当时，，当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故，当时，，，根据以上信息，可得函数的大致图象如下：，且，故A正确．因为，构造，，在上单调递增，，，即，由在单调递增所以，故B正确．对于C，由，，所以，又，所以，则，所以，故C错误．对于D，由，可得，所以，D正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．5．1【分析】求出函数的导函数，即可得到，从而求出，令，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数草图，即可得到，再令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解；【详解】解：，则，则，解得，此时，，当时，当时，所以在上的单调递增，在0,+∞上单调递减，则在处取极大值，符合题意；令，则构造函数，则．因为，所以当时ℎ'x>0，当时ℎ'即ℎx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，又易知的图象如图所示：不妨令，令∵∴在上单调递增，即∵，∴，即∵，∴∵在上单调递减，∴故答案为：1；6．(1)答案见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（1）方法1，由，可得，后令，利用导数知识可得其值域即可知解的情况；方法2，，利用导数知识可知时，的单调性与零点情况，又利用可知当时，，即可得解的情况；（2）（i）由题可得，由结合单调性可得，后通过构造可证；（ii）由（i）可知，后说明，即可证明结论.【详解】（1）方法一：，.设，则.设，则，单调递减.，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减.，当时，方程有一解，当时，方程无解；方法二：设，则.设，则.单调递增当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增.，方程有一解.当时，.令,令，则在上单调递增，又，则在上单调递减，在上单调递增，则.即，无解，即方程无解.综上，当时，方程有一解，当时，方程无解．（2）（i）当时，，则，，是方程的两根.设，则，令，解得，在上单调递减，在上单调递增.，，当时，，，.由.令，，，.等价于.设，，则，单调递增，，，即，，综上，；（ii）由（i）知，，..由（i）知，，设，，则.单调递减，，即..设，，则.单调递增，又，当时，.，，即命题得证.【点睛】关键点睛：本题涉及讨论函数零点及极值点偏移问题.对于零点问题，常利用分离参数法和研究函数单调性解决，还可以利用数形结合思想转化为函数图象与直线的交点问题；对于极值点偏移问题，关键是将多变量转变为单变量，常利用引入参数或不等关系构造新函数证明结论.7．(1)结论见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，再按分类探讨的正负作答.（2）等价变形给定等式，结合时函数的单调性，由，，再构造函数，，利用导数、均值不等式推理作答.【详解】（1）函数的定义域为，求导得则，由得，若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减；所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由，两边取对数得，即，由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，，而，时，恒成立，因此当时，存在且，满足，若，则成立；若，则，记，，则，即有函数在上单调递增，，即，于是，而，，，函数在上单调递增，因此，即，又，则有，则，所以.【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.规律方法：对称化构造函数法构造辅助函数(1)对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．(2)对结论x1x2>xeq\o\al(2,0)型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),x)))，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1＋lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成两变量即可．【考点二】比值代换一、解答题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，，且，求证：．2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知．(1)当时，讨论函数的极值点个数；(2)若存在，，使，求证：．3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数．(1)当时，判断在区间内的单调性；(2)若有三个零点，且．（i）求的取值范围；（ii）证明：.4．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设，为函数（）的两个零点．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．5．（2023·陕西安康·二模）已知函数，（e为自然对数的底数）(1)当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值；(2)若，方程有两个根，（），求证：．参考答案：1．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求出函数的导数，然后分类讨论的取值情况，从而可求解.（2）结合（1）中结论可知，从而求出，，然后设并构造函数，然后利用导数求解，然后再构造函数证明，从而求解.【详解】（1）因为函数的定义域是0,+∞，，当时，f'x<0，所以在0,+当时，令，解得，当时，f'x>0，单调递增；当时，f'x<0综上所述，当时，的减区间为0,+∞，无增区间；当时，的增区间为，减区间为．（2）因为是函的两个零点，由（1）知，因为，设，则，当x∈0,1，，当x∈1,+∞，所以在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，．又因为，且，所以，．首先证明：．由题意，得，设，则两式相除，得．要证，只要证，即证．只要证，即证．设，．因为，所以在1,+∞上单调递增．所以，即证得①．其次证明：．设，．因为，所以φx在上单调递减．所以，即．所以②．由①②可证得．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）利用导数研究函数的零点问题．2．(1)函数的极值点有且仅有一个(2)证明见解析【分析】（1）对函数进行求导，然后分和两种情况对函数的单调性进行研究，即可得到答案；（2）由可得（*），通过证明单调递增，（*）转化为，接着证明成立，即可求解【详解】（1）当时，，则，当时，，故在上单调递增，不存在极值点；当时，令，则总成立，故函数即在上单调递增，且，，所以存在，使得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；故在上存在唯一极值点，综上，当时，函数的极值点有且仅有一个．（2）由知，整理得，（*），不妨令，则，故在上单调递增，当时，有，即，那么，因此，（*）即转化为，接下来证明，等价于证明，不妨令（），建构新函数，，则在上单调递减，所以，故即得证，由不等式的传递性知，即．【点睛】思路点睛：应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.3．(1)在上单调递减，在上单调递增(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）多次求导后，借助导数的单调性及正负即可判断原函数的单调区间；（2）（i）原条件可转化有三个不等实根，从而构造函数，研究该函数即可得；（ii）借助的单调性，得到，从而将证明，转化为证明，再设，从而将三个变量的问题转化为单变量问题，即可构造函数，证明其在上大于即可.【详解】（1）当时，，，令，，令，可得，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，又，，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；（2）（i）有三个零点，即有三个根，由不是该方程的根，故有三个根，且，令，，故当时，，当时，，即在、上单调递增，在上单调递减，，当时，，时，，当时，，时，，故时，有三个根；（ii）由在上单调递增，，故，由（i）可得，且，即只需证，设，则，则有，即有，故，，则，即，即只需证，令，则恒成立，故在上单调递增，则，即得证.【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3.若函数存在两个零点且，令，求证：；4.若函数中存在且满足，令，求证：.4．(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出定义域，求导，得到的单调性和极值情况，根据函数零点个数，得到，求出，结合题目条件，得到当时，，根据零点存在性定理得到在内存在唯一零点，同理得到在内存在唯一零点，从而求出答案；（2）设，由可得，令，故，，推出要证，即证，构造，，求导，对分子再构造函数，证明出，在定义域内单调递减，故，即，证明出结论.【详解】（1）的定义域为R，，当时，f'x<0，当时，f故在内单调递减，在单调递增，故要使有两个零点，则需，故，由题目条件，可得，当时，因为，又，故在内存在唯一零点，又，故在内存在唯一零点，则在R上存在两个零点，故满足题意的实数的取值范围为；（2）证明：由（1）可设，由可得，令，则，所以，故，所以，要证，即证，即证，因为，即证，即，令，，，令，则，当时，，当时，，故在0,1内单调递减，在1,+∞单调递增，所以，所以，令得，故，在定义域内单调递减，故，即，，，则，证毕．【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方5．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题可求得过原点的与相切的直线方程：，后利用切点即在图像上，也在切线上，可求得相应切点横坐标，后由切线斜率为1可求得b；（2）由题可得有两个根，令，则可得方程有两个根，则.通过令，，可将证明，转化为证明，后构造函数，，通过其单调性可证明结论.【详解】（1）当时，，设直线与的切点为，则切线斜率为，切线方程为.因即在图像上，也在切线上，则，故切线斜率为1，则切线方程为.又，，设直线与的切点为，则切线斜率为，切线方程为.因即在图像上，也在切线上，则，又切线斜率为1，则；（2）当时，，则由题可得有两个根，令，则可得方程有两个根，则.令，，则，.注意到，则构造函数，.因，则在上单调递增，得.故命题得证.【点睛】关键点点睛：本题涉及函数切线方程与极值点偏移问题，难度较大.（1）问解题关键为注意到切点即在函数图像上，也在切线上.（2）问为极值点偏移问题，解题关键为将双变量消元为单变量，常构造差函数或以两变量之差，之商构造函数以达到消元目的.规律方法：比值代换法是指通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝eq\f(x1,x2)化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．专题精练专题精练一、单选题1．（2023·江西·模拟预测）已知，，，，则（

）A． B． C． D．2．（2022·四川成都·一模）已知，且，则下列说法正确的有（

）①；②；③；

④.A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④3．（22-23高三上·河北衡水·期末）已知，则（

）A． B．C． D．二、多选题4．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若恒成立，则B．当时，的零点只有个C．若函数有两个不同的零点，则D．当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是5．（2023·湖南永州·二模）已知，，，，则有（

）A． B．C． D．6．（2021·山东德州·二模）已知函数，则（

）A．B．若有两个不相等的实根、，则C．D．若，x，y均为正数，则7．（2023·河北衡水·一模）直线：与的图象交于、两点，在A､B两点的切线交于，的中点为，则（

）A． B．点的横坐标大于1C． D．的斜率大于08．（22-23高三·全国·阶段练习）已知函数，，则下列说法正确的是（）A．在上是增函数B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为C．若有两个零点，则D．若，且，则的最大值为三、解答题9．（2024·广东湛江·一模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．10．（2022·山东·模拟预测）已知函数.(1)若有两个零点，的取值范围；(2)若方程有两个实根、，且，证明：.11．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；12．（2022高三·全国·专题练习）已知函数，，当时，恒成立．(1)求实数的取值范围；(2)若正实数、满足，证明：．13．（2022高三·全国·专题练习）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求的取值范围；(2)记两个极值点为，且.若，证明：.14．（2023·河南·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当时，若，求证：参考答案：题号12345678答案DBDBCBCDADBCABD1．D【分析】先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而得到A选项；先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而可知B选项错误；通过，得到，进而可得与的大小关系,进而可知C选项错误；D与C选项同样的方法即可判断.【详解】对于A，，，令,则，所以在单调递减，在上单调递增，且，故.令则，所以在上单调递减，且，，，，

即,故选项A错误；对于B，，

令，则，所以在单调递增，在上单调递减，且，故.令所以在上单调递减，且，，，，，，即，故选项B错误；对于C，，，

，又在单调递增，，，故选项C错误；对于D，由C可知，，又在单调递减，，故选项D正确.故选：D.2．B【分析】令，利用导数讨论其单调性后可判断①②④正负，利用极值点偏移可判断③的正误.【详解】令，则，当时，；当时，；故在上为增函数，在上为减函数，而，，故，而，故，故①错误.又，故，故②正确，此时，故④正确.设，则（不恒为零），故在上为增函数，故，必有即，所以，即，由的单调性可得即，故③成立.故选：B.【点睛】思路点睛：导数背景下不等关系的讨论，注意根据等式或不等式的关系构建新函数，并结合单调性来比较大小关系，在不等式关系的讨论中，注意利用极值点偏移来处理大小关系.3．D【分析】变形a，b，构造函数比较a，b的大小，构造函数比较的大小，利用极值点偏移的方法判断的大小作答.【详解】依题意，，，令，，当时，，即，函数在上单调递减，，即，因此，令，，当时，，当时，，函数在上单调递减，，而，函数在上单调递增，显然，则方程有两个不等实根，，有，，而，则有，令，，，即函数在上单调递减，当时，，即，因此，即有，而，在上单调递增，于是得，即，取，，于是得，又，在上单调递增，从而，所以，D正确.故选：D【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.4．BC【分析】采用分离变量法可得，利用导数可求得的单调性，进而得到最大值，从而得到，知A错误；根据恒成立可知单调递增，利用零点存在定理可说明存在唯一零点，知B正确；要得到，只需得到，可化简得到，从而将问题转化为证明，设，利用导数可说明，即可判断C正确；将恒成立的不等式变形为，根据单调递增可得，即，利用导数的知识即可判断D错误.【详解】对于A，定义域为，由得：，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，则，A错误；对于B，定义域为，，当时，，在上单调递增，又，，，使得，当时，有且仅有一个零点，B正确；对于C，，，；要证，只需证，即证，不妨令，则只需证，令，则，令，则，在上单调递增，，，即恒成立，，C正确；对于D，当时，由得：，即，；令，则，在上单调递增，由得：，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题、零点个数问题和极值点偏移的问题；本题D选项中恒成立问题求解的关键是能够利用同构法，将恒成立的不等式转化为同一函数不同函数值的大小关系比较问题，进而通过构造函数，利用函数单调性得到自变量的大小关系，从而化简恒成立的不等式.5．BCD【分析】令，，求导可求得的单调性，利用极值点偏移的求解方法可求得AB正误；由，可确定，结合单调性可得CD正误.【详解】令，，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，且；若，则，令，则，当时，，，在上恒成立，在上单调递减，，即，又，，，，，，在上单调递增，，即，A错误；，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，且；由得：；设，，则；当时，，，在上单调递减，，即，又，，又，，，，在上单调递增，，即，B正确；，，，，又，，在上单调递减，，则，C正确；，又，，在上单调递增，，则，D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题考查了导数中的极值点偏移问题，处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导后可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.6．AD【分析】A：代入直接计算比较大小；B：求的导函数，分析单调性，可得当有两个不相等实根时、的范围，不妨设，则有，比较的大小关系，因为，可构造，求导求单调性，计算可得成立，可证；C：用在上单调递增，构造可证明；D：令，解出，，做差可证明.【详解】解：对于A：，又，，，所以，则有，A正确；对于B：若有两个不相等的实根、，则，故B不正确；证明如下：函数，定义域为，则，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，则且时，有，所以若有两个不相等的实根、，有，不妨设，有，要证，只需证，且，又，所以只需证，令则有当时，，，所以有，即在上单调递增，且，所以恒成立，即，即，即.对于C：由B可知，在上单调递增，则有，即，则有，故C不正确；对于D：令，则，，，，，故D正确；故选：AD.【点睛】知识点点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小；（2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.7．BC【分析】通过为两函数图象交点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，研究的图象，数形结合可判断A；联立两条切线求得点的横坐标，利用极值点偏移思想可求得之间关系，即可判断B；通过构造函数建立之间的关系，将问题转化为二次函数两根之间距离问题可判断C正确；化简，结合前面的条件可判断D.【详解】对A，因为直线与曲线交于、两点，有两个不同正根，即直线与曲线有两个不同的交点.在上单调递减，在单调递增，且，，故A错误.对B，由题意得，，设令在单调递减.，在单调递减，.，又，.的方程：，的方程：，联立可解得，故选项B正确.对C，设，，，且，，设,，，，，是的两个根，是方程的两根，，所以C正确.对D，，，可以利用对数均值不等式证明如下：对数均值不等式：，，，，，，，即<1,，.所以D错误.故选：BC【点睛】函数综合问题的处理，要通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合图象寻找等与不等关系，研究问题需要探究的结论，选择题还要注意特值，验证，排除等方法的灵活运用.8．ABD【分析】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得在上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为，令，利用导数可求得，由可知B正确；C选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，知，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值，知D正确.【详解】对于A，当时，，令，则，，，当时，恒成立，在上单调递增；在上单调递增，根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；对于B，当时，，又为正实数，，，当时，恒成立，在上单调递增，则由得：，即，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，则正实数的最小值为，B正确；对于C，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，则；不妨设，则必有，若，则，等价于，又，则等价于；令，则，，，，，即，在上单调递增，，即，，可知不成立，C错误；对于D，由，得：，即，由C知：在上单调递减，在上单调递增；，，则，，，即，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即的最大值为，D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于（）的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导后可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.9．(1)在上单调递增，上单调递减，(2)见解析【分析】（1）求出f'（2）由，得，设，画出的图象可得；由，设，对ℎx求导可得，又，再由在1,+∞上单调递减，可得，即可证明.【详解】（1）由题意可得，所以，的定义域为0,+∞，又，由，得，当时，f'x>0，则在0,1当时，f'x<0，则在1,+（2）由，得，设，，由，得，当时，，则在0,1上单调递增，当时，，则在1,+∞上单调递减，又，，且当趋近于正无穷，趋近于，的图象如下图，所以当时，方程有两个根，证明：不妨设，则，，设，，所以ℎx在0,+∞又ℎ1=0，所以，即，又，所以，又，，在1,+∞上单调递减，所以，故.【点睛】关键点点睛：（1）解此问的关键在于求出的导数，并能根据导数的符号结合相关知识判断出单调性；（2）解此问的关键在于把转化为来证，又，构造，对ℎx求导，得到ℎx的单调性和最值可证得，即可证明.10．(1)(2)证明见解析【分析】（1）分析可知，由参变量分离法可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；（2）令，其中，令，，分析可知关于的方程也有两个实根、，且，设，将所求不等式等价变形为，令，即证，令，其中，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立.【详解】（1）解：函数的定义域为.当时，函数无零点，不合乎题意，所以，，由可得，构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，，由可得，列表如下：增极大值减所以，函数的极大值为，如下图所示：且当时，，由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，故实数的取值范围是.（2）证明：因为，则，令，其中，则有，，所以，函数在上单调递增，因为方程有两个实根、，令，，则关于的方程也有两个实根、，且，要证，即证，即证，即证，由已知，所以，，整理可得，不妨设，即证，即证，令，即证，其中，构造函数，其中，，所以，函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.11．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的定义域和导数，再根据和分类讨论，即可得出函数的单调性；（2）由可得，是方程的两不等实根，从而可将问题转化为是方程的两不等实根，即可得到和的范