北师大版九年级上册数学全册教案（2021年11月修订）

第一章特殊平行四边形

1.1菱形的性质与判定

1.1.1菱形及其性质

6学❽@

1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力.

2.能运用综合法证明菱形的性质定理和判定定理.

3.体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法

建学。©

掌握菱形的性质

建学流

运用菱形的性质解决与菱形有关的问题

翔课由。

1.提问：什么是平行四边形?平行四边形中相邻两边有何关系？学生回顾交流.

2.教师出示生活中菱形的例子,引出这类特殊的平行四边形一一菱形.

学生活动:观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片.

教师：同学们,在观察图片后，你们能从中发现熟悉的图形吗?你们认为它们

有什么样的共同特征呢?

D,C

AB

图1-1-1

学生1：图片中有八年级学过的平行四边形.

教师:请同学们观察，图片中的平行四边形与图ITT中的ABCD相比较,

还有不同点吗？

学生2:图片中的平行四边形不但对边相等,而且任意两条邻边也相等.

教师：同学们观察得很仔细，这就是我们今天要研究的一类特殊的平行四边

形一一菱形.

通学

菱形的概念:有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.

•想一想

教师:菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列

举一些这样的性质吗？

学生:菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.

教师:你认为菱形还具有哪些特殊的性质吗？同学互相交流讨论.

学生活动:分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发

言,并汇总结果.

教师活动:教师巡视,并参与到学生的讨论中，启发同学们类比平行四边形,

从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时评

价，积极引导、激励学生.

•做一做

教师组织学生活动，即用菱形纸折一折.

教师:请同学们用菱形纸片折一折,并回答下列问题：

(1)菱形是轴对称图形吗?如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置

关系？

(2)菱形中有哪些相等的线段？

学生活动:分小组折纸,探索教师问题的答案.组长组织,并汇总结果.

教师活动：教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正确

的结论.学生研讨完毕,教师要展示，汇总学生的折纸方法以及相应的结论，以便

于后面的教学.

通过折菱形纸片，得出以下结论：

(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,两条对称轴互相垂直；

(2)菱形的四条边相等；

(3)菱形的对角线互相垂直.

教师:通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的了解,下面我们要

对菱形的第(2)(3)条性质进行严格的逻辑证明.

教师出示幻灯片，引导学生证明.

已知:如图1-卜2,在菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点0.图1-

1-2

求证：(DABB=C=CD=AD；

(2)AC±BD.

师生共析:①菱形不但对边相等,而且邻边相等,这样就匕以证明菱形的四条

边都相等了.②因为菱形是平夕亍四边形,所以点0是对角线AC与BD的中点；又因

为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论了.

学生活动:写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理.

教师活动:书写板书.

证明：(1)・・•四边形ABCD是菱形，

AAB=CD,AD=BC(菱形的双边相等).

XVAB=AD,AAB=BC=CD=AD.

(2)・・・AB二AD,「•△ABD是等腰三角形.

又;四边形ABCD是菱形，

・・・OB=OD(菱形的对角线互相平分).

在等腰三角形ABD中，

VOB=OD,AA01BD,即AC1BD.

由上边的证明得出以下定理：

定理:菱形的四条边相等.

定理:菱形的对角线互相垂直.

®题0蟀

例题讲解

图1-1-3例1如图1-1-3,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点0,Z

BAD=60°,BD=6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.

师生共析:①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°,这样就可以得到等边

三角形ABD,因为BD=6,所以菱形的边长也是6.②菱形的对角线互相垂直,可以得

到直角三角形A0B;根据菱形的对角线互相平分,可以得到0B=3,根据勾股定理就

可以求出0A的长度;再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC=2OA,求出AC.

教师活动：引导学生思考,书写解答步骤.

解：・四边形ARCD是菱形，

・・・AB=AD（菱形的四条边相等），

AC_LBD（菱形的对角线互相垂直），

0B=0D=12BD=12X6=3（菱形的对角线互相平分）.

在等腰三角形ABD中，

・・・NBAD=60°,・・・Z\ABD是等边三角形.

，AB=BD=6.

在RtAAOB中，由勾股定理,得0A2+0B2=AB2,

A0A=AB2-0B2=62-32=33.

・・・AC=20A=63（菱形的对角线互相平分）

【巩固练习】

教材随堂练习

补充练习：图1-1-4.

如图1-1-4,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点0,BD=12cm,AC=6cm,

求菱形的周长.

通堂。©

本节课应掌握：

1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.

Dc

/、两组对边一」平行£组邻边相等/记八、一

/缶边形］分别平行/四边形/

A----BABB

2.菱形的性质：菱形具有平行四边形的所有性质，除此之外还有以下特殊性质:①

菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;②菱形的四条边相等;③菱

形的对角线互相垂直平分.

逑后3钺

课本习题1.1

第一章特殊平行四边形

1.1菱形的性质与判定

1.1.1菱形的判定

.速学®©

1.探索并掌握菱形的判定方法,积累经验,并能综合运用，形成解决问题的

能力；

2.经历菱形的判定方法的探索过程,在活动中发展合情推理的意识和主动

探究的习惯,初步掌握说理的基本方法,发展有条理表达的能力.

3.通过设置问题情境,丰富学生的生活经验,激发学生学习数学和应用数

学的兴趣和意识.

逆学

菱形的判定方法.

建学期陶

菱形的判定方法的综合运用.

速课③Q

复习引入：

i.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.

2.菱形的特殊性质：（1）菱形是轴对称图形；（2）菱形的四条边相等；⑶菱形

的对角线互相垂直.

今天我们就来研究一下如何判定一个四边形是菱形.

.速学电

思考（1）:除了运用菱形的定义，你还能找出判断一个平行四边形是菱形的其

他方法吗？

猜想1:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形

是菱形.

D

图1-1-5

已知:如图1-1-5,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD互相垂直且交于点0.

求证：四边形ABCD是菱形.

证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・0A=0C（平行四边形的对角线相互平分）.

XVAC1BD,

ABD所在直线是线段AC的垂直平分线，

.•.AB=BC,

・•・四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

得出结论：

判定定理1对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

•议一议

已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角

线吗？

图1-1—7

小刚做法:如图分别以A,C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧,两条弧

分别相交于点B,D,依次连接A,B,C,D,四边形ABCD看上去是菱形.

你认为小刚的做法正确吗?你是怎样做的？

图1-1-8学生:小刚的做法正确.还可以作AC的垂直平分线MN,交AC于点0,在

MN上取0B=0D,依次连接A,B,C,D,四边形ABCD是菱形，

思考（2）:除了运用对角线，你还有其他判定菱形的方法吗？

猜想2:四边相等的四边形是菱形.

B

图1-1-9

已知：如图1-1-9,在四边形ABCD中,AB二BOCD=DA.

求证：四边形ABCD是菱形.

证明:VAB=CD,BC=AD,

・•・四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.

又・.,AB=BC,

・・・四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

得出结论：

判定定理2四边相等的四边形是菱形.

思考:这里的条件能否再减少一些呢？能否有三条边相等的四边形就是菱形了呢?

猜一猜,并试着画一画.

学生:动手操作,得到有三条边相等的四边形不一定是菱形.

•做一做

你能用折纸等办法得到一个菱形吗?动手试一试.

小颖做法：先将一张长方形的纸对折、再对:

:折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了i

:一个菱形.

对折再对折沿虚线剪下

你能说说小颖这样做的道理吗？

学生：小颖这样做的道理，四边相等的四边形是菱形.

例题讲解

图1-1-6例2如图1-1-6,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线

与边AD,BC分别交于点E,F,求证：四边形AFCE是菱形.

证明：・・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・AE〃FC（平行四边形的对边平行），

TEF垂直平分AC,'AO=OC,NAOE=NCOF=90°.

・・・△AOEgACOF（ASA）,/.EO=FO,

・・・四边形AFCE是平行四边形1对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

又・.・EF_LAC,

・・・四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

•例题讲解

图1TT0例3已知:如图在ABCD中,对角线AC与BD相交于点

0,AB=5,0A=2,0B=1.

求证：ABCD是菱形.

证明：在AAOB中，

VAB=5,0A=2,0B=l,

・・・AB2=A02+0B2.

•••△AOB是直角三角形，NAOB是直角.

AAC1BD.

・・・ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

图1-1-11例4如图1-1-11,四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD

为10cm.

求：（1）对角线AC的长度；

（2）菱形ABCD的面积.

解：⑴・・•四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点E,

.・.NAED=90°（菱形的对角线互相垂直），

DE=12BD=12X10=5（cm）（菱形的对角线互相平分）.

・・・AE=AD2-DE2=132-52=12（cm）.

・・・AC=2AE=2X12=24（cm）（菱形的对角线互相平分）.

（2）S菱形ABCD=SAABD+SACBD

=2SAABD=2X12XBDXAE

=2X12X10X12=120（cm2）.•做一做

图1-1-12如图1TT2,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠部分ABCD是菱形

吗?为什么？

解:重叠部分ABCD是菱形.理由如下：

过点A作AH±BC交BC于点H,过点C作CQ±AB交AB于点Q.

VAD/7BC,AB/7CD,

・・.四边形ABCD是平行四边形.

又VSABCD=BC•AH=AB・CQ,且两张纸条等宽，

JAH二CQ,，AB=BC.

・・・四边形ABCD是菱形.

【巩固练习】

1.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）.

A.等腰梯形B.正方形

C.矩形D.菱形

2,下列说法中正确的是（）.

A.有两边相等的平行四边形是菱形

B,两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形

D,四个角相等的四边形是菱形

巡堂。©

本节课应掌握：

菱形的判定方法：（D对角线互相垂直的平行四边形是菱形；⑵四边相等的四边

形是菱形.

树后磔5

课本习题1.2,1.3

第一章特殊平行四边形

1.2矩形的性质与判定

1.2.1矩形的性质

建学@@

1.了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质.

2.经历探索矩形的概念和性质的过程,发展学生合情推理的意识；掌握几何思维

方法.

3.培养严谨的推理能力，以及自主合作的精神;体会逻辑推理的思维价值.

逆学❽

掌握矩形的性质，并会运用.

速学漪

理解矩形的特殊性.

然课腼

利用一个活动的平行四边形教具做演示，使平行四边形的一个内角变化,让学生

注意观察.在演示过程中让学生思考：

(1)在运动过程中四边形还是平行四边形吗？

学生:是平行四边形.

(2)在运动过程中四边形不变的是什么？

学生:对边仍保持相等,对边仍分别平行.

(3)在运动过程中四边形改变的是什么？

学生:角的大小.

(4)角的大小在改变过程中有特殊值吗?

学生:有特殊值一一90°.

这时的平行四边形是什么图形呢?这就是我们今天要研究的另一类特殊的平行四

边形一一矩形.

通学磔B

矩形的概念:有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.

­想一想

教师:矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一

些这样的性质吗？

学生:对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分,邻角互补.

教师:矩形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴？

学生:矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.

教师：你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流.

学生：由平行四边形对边平行以及一个角变为90°,可以得到该角的补角也是

90°,从而得到:矩形的四个角都是直角.

评析:实际上,在小学学生已经学过长方形四个角都是90°,这里学生不难理解.

教师活动:用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学

生证明(口述).

学生活动：观察发现矩形的两条对角线相等.口述证明过程中充分利用三角形全

等(SAS)来证明结论.

图1-2-1

口述:如图・・,四边形ABCD是矩形,

AZABC=ZDCB=90o,AB=DC.

又・・・BC为公共边，

.,.△ABC^ADCB(SAS),

AAC=BD.

由此得到以下定理：

定理:矩形的四个角都是直角.

定理:矩形的对角线相等.

•议一议

如图1-2-2,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E,那么BE是RtAABC中一条怎

样的特殊线段?它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？

学生活动:观察、思考后发现BE是RtAABC中斜边AC上的中线,且BE=12AC.由

此归纳直角三角形的一个性质定理：

定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

教师:下面我们一起来证明这个定理.

己知：如图1-2-3,在RtAABC中，BE是斜边AC上的中线.求证:BE=12AC.

证明：如图1-2-3,分别过点A,C作BC,AB的平行线,两平行线交于点D.

・・・四边形ABCD是平行四边形.

又・・・NABC=90°,

・・・平行四边形ABCD是矩形,连接ED.

AAC=BD.

XVBE是RtAABC的斜边AC上的中线，

・••点E是AC的中点，即两条龙角线的交点.

・・・线段BE在线段BD上.

ABE=DE=12BD=12AC.

师生回忆:在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半1避免混淆）.

」出题愚。

例题讲解

图1-2-4

例1如图1-2-4,在矩形ABCD中，两条对角线相交于点0,ZA0D=120°,AB=2.5,

求这个矩形对角线的长.（投影显示）

师生共析:利用矩形对角线相等且平分得到0A=0D,由于NA0D=120。，故而，可以

发现N0DA=30°.又因为NDAB=90°,且在直角三角形中，30°角所对的边等于斜

边的一半，所以BD=2AB=5.

解：・・•四边形ABCD是矩形，

AZDAB=90°（矩形的四个角都是直角），

AC=BD（矩形的对角线相等），

0A=0C=12AC,OB=OD=12BD（矩形的对角线互相平分）.

A0A=0D.

VZA0D=120°,

.•.Z0DA=Z0AD=12X（180°-120°）=30°,

ABD=2AB=2X2.5=5.

【巩固练习】

补充练习：

1.已知:如图1-2-5,从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线,其延长线与

ZBAD的平分线相交于点E.求证:AOCE.

m1-2-5

思路点拨:要证明AOCE,可以考虑证明NE二NCAE.因为AE平分NBAD,所以

ZDAE=ZBAE,从图中发现NCAE=NDAE-NDAC.另外一个条件是CE±BD,这样过

点A作AFJ_BD于点F,贝ljAF〃CE,可以将NE转化为NFAE,而NFAE=NBAE-/BAF.

现在只要证明NBAF=NDAC即可，而实际上，NBAF=NBDA二NDAC,问题迎刃而解.

如图1-2-6,在aABC中，NA=2NB,CD是4ABC的高,E是AB的中点，求

证:DE=12AC.

思路点拨:本题可从E是AB的中点切入,考虑应用三角形中位线定理.应用

三角形中位线定理必须找到另一个中点.分析可知,既可以取3C的中点F,也可以

取AC的中点G进行尝试.证法一：取BC的中点F,连接EF,DF,如图1-2-7(1).

VE为AB的中点,・・,EF12AC,・♦・ZFEB=ZA.

VZA=2ZB,AZFEB=2ZB.

〈CD是aABC的高，

，在RtACDB中，DF=12BC=BF,/.Z1=ZB,

AZFEB=2ZB=2Z1=Z1-Z2,

AZ1=Z2,.e.DE=EF=12AC.

证法二:取AC的中点G,连接DG,EG,如图1-2-7⑵.

〈CD是△ABC的高，

・••在RtAADC也DG=12AC=AG.

YE是AB的中点，・・・GE〃BC,・・・N1=NB,

.・・ZGDA=ZA=2ZB=2Z1.

XVZGDA=Z1+Z2,AZ1+Z2=2Z1,

AZ2=Z1,/.DE=DG=12AC

聋堂心翁

本节课应掌握：

1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，因此，矩形是平行四边形

的特例,具有平行四边形的所有性质.

2.矩形的性质：

(1)边的性质:对边平行且相等.

⑵角的性质：四个角都是直角.

⑶对角线的性质:对角线互相平分且相等.

(4)对称性:矩形是轴对称图形.

、理后

课本习题1.4

第一章特殊平行四边形

1.3正方形的性质与判定

1.3.1正方形及其性质

通学®©

1、在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，体验数学发

现的过程，并得出正确的结论.

2、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，并形

成文本信息与图形信息相互转化的能力.

通学萌

掌握正方形的概念、性质。

建学霞图

运用正方形的性质进行有关的论证和计算。

遂课

复习引入：

1.什么叫作平行四边形?什么叫作矩形？

2.矩形有哪些性质？

3.矩形与平行四边形有什么共同之处?有什么不同之处？

你知道如何判定一个四边形是矩形吗？

事例引入：

小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物,于是找来两根长度相等的短木条

和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？

这就是今天我们要研究的矩形的判定方法.

通学期B

.做一做

图1-2-8是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的

形状会发生变化.

图1-2-8

教师:随着Na的变化，两条定角线将发生怎样的变化？

学生:一条对角线由长变短,另一条对角线由短变长.

教师:当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜

想？

学生:平行四边形的四个角均为直角.猜想:对角线相等的平行四边形是矩形.

由此得到矩形的一个判定定理：

定理:对角线相等的平行四边形是矩形.

教师:下面我们来证明此定理.

图1-2-9

己知：如图1-2-9,在ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.

求证：ABCD是矩形.

证明：・・・四边形ABCD是平行四边形，

・・・AB=DC,AB〃DC.

又TBOCB,AC=DB,

AAABC^ADCB.

:.NABONDCB.

VAB/7DC,

ZABC+ZDCB=180°,

.•.ZABC=ZDCB=12X180°=90°.

・・・ABCD是矩形（矩形的定义）

•想一想

教师:我们知道矩形的四个角都是直角.反过来,一个四边形至少有几个角是直角

时,这个四边形就是矩形呢?请证明你的结论,并与同伴交流.

学生:一个四边形至少有三个角是直角时,这个四边形才是矩形.

证明略（提示:一个四边形的内角和为360。，已知三个内角均为90。，从而可求

出最后一个内角也为90°）.

由此得到矩形的一个判定定理：

定理:有三个角是直角的四边形是矩形.

•议一议

你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形?如果仅有一根较长的

绳子,你怎样检查?请说明检查方法的合理性,并与同伴交流.

学生:先用绳子测量门框的两组对边,若两组对边分别相等,则门框为平行四边形;

再用绳子测量门框的对角线,若两条对角线相等,则门框为矩形.

.出题令每

例题讲解

图1-2-10

例2如图1-2T0,在ABCD中,对角线AC和BD相交于点0,AAB0是等边三角

形,AB=4,求ABCD的面积.

解：:四边形ABCD是平行四边形，

/.0A=0C,0B=0D.

又二•△ABO是等边三角形，

A0A=0B=AB=4,

/.0A=0B=0C=0D=4,

AAC=BD=20A=2X4=8,

・•・ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.

AZABC=90°（矩形的四个角都是直角）.

在RtAABC中，由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,

ABC=AC2-AB2=82-42=43.

ASABCD=AB・BC=4X43=163

例3如图1-2-11,在矩形ABCD中,AD=6,对角线AC与BD交于点0,AE±BD,垂足

为点E,ED=3BE.求AE的长.

解：•.•四边形ABCD是矩形，

・・・NBAD=90。（矩形的四个角都是直角），

AC=BD（矩形的对角线相等），

A0=C0=12AC,B0=D0=12BD（矩形的对角线互相平分），

AA0=B0=D0=12BD.

VED=3BE,ABE=0E.

XVAE1BD,AAB=A0.AAB=A0=B0,

即△ABO是等边三角形，・・・NAB0=60。.

AZADB=90°-ZAB0=90°-60°=30°,

AAE=12AD=12X6=3.

例4如图在AABC中,AB=AC,AD是AABC的一条角平分线,AN为AABC的

外角ZCAM的平分线,CE1AN,垂足为点E.求证：四边形ADCE是矩形.

证明：VAD平分NBAC,AN平分NCAM,

AZCAD=12ZBAC,ZCAN=12ZCAM,

AZDAE=ZCAD+ZCAN=12（ZBAC+ZCAM）=12X180°=90°.

在AABC中，

VAB=AC,AD为NBAC的平分线，

AAD1BC,AZADC=90°.

XVCE1AN,AZCEA=90°.

...四边形ADCE为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).

想一想

在例4中,若连接DE,交AC于点在如图1-2-13).

图1-2-13

⑴试判断四边形ABDE的形状,并证明你的结论.

(2)线段DF与AB有怎样的关系?请证明你的结论.解：(1)四边形ABDE是平行四

边形.证明如卜：

由例4可知四边形ADCE是矩形，

・・・AN〃BC,AE=DC.

，AE〃BD.

，四边形ABDE是平行四边形.

(2)DF=12AB.证明如下：

由例4可知四边形ADCE是矩形，

・・・AF=FC=FE=DF,.二DF=12AC.

又「AB=AC,・・・DF=12AB.

【巩固练习】

教材随堂练习

补充练习：

1.己知:如图1-2-14,在菱形ABCD中,对角线AC和BD相交于点0,CM/7BD,DM〃

AC.求证：四边形0CMD是矩形.

图1-2-14

2.己知:如图1-2-15,ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证:

四边形EFGH是矩形.

通堂o©

本节课应掌握：

矩形的判定定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四

边形是矩形。

、承后外

课本习题1.5,1.6

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

通学®©

【知识与技能】

使学生掌握正方形的概念，知道正方形具有矩形和菱形的一切性质，并会用

它们进行有关的论证和计算.

【过程与方法】

学会用正方形的性质解决一些问题，进一步发展学生的推理能力，促进其

逐步掌握说理的基本方法.

【情感态度与价值观】

通过分析正方形的概念、性质与矩形、菱形的概念、性质的联系和区别，

对学生进行辩证唯物主义教育.

通学萌

正方形的性质.

通学漪

正方形的性质.

遨具电管

多媒体课件.

询课g

（课件展示问题）1.在我们的生活中除了平行四边形、矩形、菱形外，还有

什么特殊的平行四边形呢？

2.展示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？

【教学说明】学生回答后，再展示图片，使学生感受到生活中到处存在数学，

激发学习热情.

通学❿

一、思考探究，获取新知

1.做一做：用一张长方形的纸片折出一个正方形.

2.观察：这个正方形具有哪些性质？

【教学说明】让学生在动手操作中对正方形产生感性认识.

【归纳结论】正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且

互相垂直平分.

3.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个

图直观地说明吗？

【教学说明】小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受

变化过程，更清晰地了解各四边形之间的联系与区别.

1.见教材P21例1.

2.如图，AABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形

的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中互相全等的三角形的对数

为()

A.12B.13C.26D.30

解析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三

角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏.设AB=3,

图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10

对全等三角形；斜边长为正的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2

的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对.故选C.

3.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A(0,1),点B(0,0),则点C,

D坐标分别为(1,0)和(1,1).(只写一组)

解析：首先根据正方形ABCD的点A(0,1),点B(0,0),在坐标系内找

出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C,D的坐标.・・,正方形ABCD的

点A(0,1),点B(0,0),・・・AD〃x轴，CD〃y轴，这样画出正方形，即可得出

C与D的坐标，分别为：C(1,0),D(1,1).

4.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC,BC上，AG_LEF,垂足为G,

且AG=AB,求NEAF度数.

分析：根据角平分线的判定，可得出△ABFgZXAGF,故有NBAF二NGAF,再

证明△AGEgAADE,有NGAE=NDAE,所以可得NEAF=45。.

解：在RtAABF与RtAAGF中,

VAB=AG,AF=AF,ZB=ZG=90°,

/.△ABF^AAGF(HL),

AZBAF=ZGAF,

同理易得：ZiAGE丝Z\ADE,

有NGAE二NDAE；

即NEAF=NEAG+NFAG

=-(ZDAG+ZBAG)

2

弓NDAB=45。，

故NEAF=45°

【教学说明】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定.

5.如图,正方形ABCD中，AB=3,点E、F分别在BC、CD上，且NBAE=30°,

ZDAF=15°.

(1)求证：DF+BE=EF；

(2)求NEFC的度数.

分析：（1）延长EB至G,使BG=DF,连接AG.利用正方形的性质，证明△

AGE^AAFE,AFAE^AGAE,得出DF+BE=EF；

（2）根据△AGEgZ\AFE及角之间的关系从而求得NEFC的度数;

解：（1）延长EB至G,使BG=DF,连接AG,

EC

・・•四边形ABCD是正方形，

AAB=AD,ZABG=ZADF=ZBAD=900,

BG=DF,

.'.△ABG^AADF,

AAG=AF,

VZBAE=30",ZDAF=15°,

.,.ZFAE=ZGAE=45°,

VAE=AE,

/.△FAE^AGAE,

.e.EF=EG=GB+BE=DF+BE；

（2）VAAGE^AAFE,

ZAFE=ZAGE=ZDFA=90°-ZDAF=75°,

AZEFC=1800-ZDFA-ZAFE=180°-75°-75°=30°,

.•.ZEFC=30°.

【教学说明】学生独立完成以培养学生的独立意识.

建堂。©

1.师生共同回顾正方形有哪些性质？

2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思

路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可

让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，

及时查漏补缺.

避书卷阶

平行

有一期福功相等四边涔

正方形定义

有一个篇是直角

有一组邻边相等

画研或对务如相"个

有一个角是亶角判定

叵而斗.时面a等M

逑后

1.布置作业:教材“习题1.7”中第2、3题.

2.完成练习册中相应练习.

通学。©

本课虽然是学习正方形的性质，实际上应起到对平行四边形、矩形、菱形性

质的复习、归纳和总结的作用，培养学生的发散思维能力.

第一章特殊平行四边形

1.3正方形的性质与判定

13.2正方形的判定

通学®©

【知识与技能】

1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算.

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.

【过程与方法】

经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知，在探

索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.

【情感态度与价值观】

通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主

义教育，提高学生的逻辑思维能力.

通学萌

正方形的判定方法.

逆学前

正方形的判定方法.

枣具金

多媒体课件.

加课。Q

（课件展示问题）宁宁在商场看中了一块方形纱巾，但不知是否是正方形,

只见销售员阿姨拉起纱巾的一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾

的另一组对角，只见另一组对角也能完全重合，认为是正方形，把纱巾给了宁宁.

你认为手上的纱巾一定是正方形吗？

【教学说明】采用情境引入，使学生主动的联想、想象、积极地发散思维,

也体现了数学建模思想.

通学电（B

一、思考探究，获取新知

1.引导学生把实际问题转化为数学问题.“对折两次，能够完全重合”实际

上告诉了我们什么？小组讨论说一说.

2.汇报讨论结果，统一结果.对折两次可以得出四边相等，也可以得出对角

线垂直平分，即纱巾的两条充角线是对称轴，即只能保证纱巾是菱形.

【教学说明】学生自己动手用纸代替纱巾折一折，鼓励学生说出自己的结论

和想法.

思考：由矩形变为正方形还需要哪些条件？由菱形变为正方形还需要哪些

条件？

【教学说明】引导学生独立思考，得到正方形所需要的条件.

【归纳结论】对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有

一个角是直角的菱形叫做正方形.

二、典例精析，掌握新知

1.见教材P23例2.

2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（D）

A.当AB=BC时，它是菱形

B.当AC_LBD时，它是菱形

C.当NABO90。时，它是矩形

D.当AOBD时，它是正方形

解析：A、正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形；B、正确，对角线互相

垂直的平行四边形是菱形；C、正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；D、

不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形.故选D.

3.用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩

形、正方形）；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形，一定可以拼

成的图形是（A）

A.(1)(2)(5)B.(2)(3)(5)

C.(1)(4)(5)D.(1)(2)(3)

解析：两个全等的直角三角形直角边重合拼成的四边形一定是平行四边形；

直角边重合拼成的三角形一定是等腰三角形；斜边重合拼成的四边形一定是矩形.

【教学说明】本题考查学生的动手能力，有些题只要学生动手就能很快解决，

注意题目的要求有“一定”二字.

4.已知：如图，D是AABC的BC边上的中点，DE1AC,DF1AB,垂足分别是

E、F.且BF=CE

RD

(1)求证：AABC是等腰三角形；

(2)当NA=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论.

分析：先利用HL判定RtZXBDF空RtZ\CDE,从而得到NB二NC,即△ABC是等

腰三角形；

由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方

形.

(1)证明：VDE1AC,DF1AB,

・・・NBFD=NCED=90°,

又・・・BD=CD,BF=CE,

ARtABDF^RtACDE,

・・・NB=NC.

故AABC是等腰三角形；

(2)解：四边形AFDE是正方形.

证明：VZA=90°,DE.LAC,DF1AB,

・・・四边形AFDE是矩形，

XVRtABDF^RtACDE,

・・・DF=DE,

，矩形AFDE是正方形.

5.如图，己知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,E是BD延长线

上的点，且AACE是等边三角形.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若NAED=2NEAD,求证：四边形ABCD是正方形.

分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由题意易得

COE,AZA0E=ZC0E=90°,ABE1AC,工四边形ABCD是菱形；

（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形.由题意易得NADONDAE+N

DEA=15°+30°=45°,,・,四边形ABCD是菱形，・・・NBAD=2NDA0=90°,2四边形

ABCD是正方形.

证明：（1）•・•四边形ABCD是平行四边形，

・・.AO=CO.

VAACE是等边三角形，

AE01AC（三线合一）

・・・四边形ABCD是菱形.

（2）从上易得：^AOE是直角三角形，

,ZAED+ZEA0=90°

VAACE是等边三角形，

/.ZEA0=60°,

:.ZAED=30°

丁ZAED=2ZEAD

AZEAD=15",

・•・ZDA0=ZEA0-ZEAD=45°

•・,四边形ABCD是菱形，

・•.ZBAD=2ZDA0=90°

・・・平行四边形ABCD是正方形.

【教学说明】学生先独立完成，然后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.

既达到巩固新知识的目的又能让学生意识到数学知识的应用是非常容易的.养成

学以致用的好习惯.

避堂O©

1.师生共同回顾正方形有哪些判定定理？

2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

通书命船

边对边平行、四条边相等

<~0----------------------------------------

角三个角都是直角

,对角线「相等且互相垂直平分

正方形［

避后独

1.布置作业：教材“习题L8”中第3、4题.

2.完成练习册中相应练习.

建学。©

前边已经学习了平行四边形、矩形、菱形的判定方法，正方形的判定是平行

四边形、矩形、菱形的判定的综合.可以通过本节的学习总结、归纳前面所学内

容，理清学习中存在的一些模糊概念，有助于我们发展演绎推理能力.

第二章一元二次方程

2.1认识一元二次方程

2.1.1一元二次方程

通学®©

1.要求学生会根据具体问题列出一元二次方程.通过“未铺地毯区域有多宽”，“梯

子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程,体会方程的模型思想，培

养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力.

2.通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念,培养学生归纳分

析的能力.

学学

一元二次方程的概念.

通学前

如何把实际问题转化为数学方程.

理课

导语:小学五年级学习过简易方程,上初中后学习了一元一次方程,二元一次方程

组,可化为一元一次方程的分式方程,运用方程方法可以解决众多代数问题和几

何求值问题,是一种常见的数学方法.从这节课开始学习一元二次方程知识,先来

学习一元二次方程的有关概念.

通学期B

播放“未铺地毯区域有多宽”的课件

图2-1-1

幼儿园活动教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面的正中间铺设一块

面积为18m2的地毯（如图2-1-1）,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.你能

求出这个宽度吗？

教师:根据这一情境,结合已知量你想求哪些量？

学生:想求出地毯的长和宽.

教师:根据条件，你能列出关于这个量的什么关系式？

学生:地毯的长x地毯的宽=18.

教师:如果设所求的宽度为x叫那么你能列出怎样的方程？

学生:地毯的长为(8-2x)m,地毯的宽为(5-2x)m,根据题意,可列方程为(8-2x)(5-

2x)=18.板书等式102+112+122=132+142,提出问题

观察下面等式：102+112+122=132+142,你还能找到五个连续整数，使前三个数的

平方和等于后两个数的平方和吗？

教师:如果将这五个连续整数中的第一个数设为x,那么怎样用含x的代数式表示

其余四个数？

学生:第二个数是x+1,第三个数是x+2,第四个数是x+3,第五个数是x+4.

教师:根据题意，你能列出怎样的方程？

学生:x2+(x+l)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.

播放“梯子的底端滑动多少米”的课件

如图2-1-2,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为

8m.如果梯子的顶端下滑1ni,那么梯子的底端滑动多少米？

(1)(2)

图2-1-2

教师:你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？

学生:根据勾股定理，可以知道滑动前梯子底端距墙的距离为6m.

教师:如果设梯子底端滑动xm.那么你能列出怎样的方程？

学生：(x+6)2+72=102.

•议一议

由上面三个问题,我们可以得到三个方程：

(8-2x)(5-2x)=18.

x2+(x+l)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.

(x+6)2+72=102.

教师:这三个方程有什么共同痔点？

学生:这三个方程都只含有一个未知数,未知数的最高次数是2.

教师：还有没有其他的共性？比如:从整式和分式的角度,展开、整理后的形式的角

度.

学生:它们都是整式.

由此得到一元二次方程的概念:只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化

成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a20)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.

一元二次方程的一般形式:我冶把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,aWO)称为一元二

次方程的一般形式，其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别

称为二次项系数和一次项系数.

例1将方程3x(x-l)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中

的二次项系数、一次项系数和常数项.

分析：一元二次方程的一般形式是加+版+c=0(在0),因此，方程3x(x・l)

=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等.

解：去括号，得

移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3f-&x-10=0.

其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.

注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符

号.

例2(学生活动：请二至三位同学上台演练)将方程(x+l)2+(x-2)(x+2)

=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数，一次项、

一次项系数，常数项.

分析：通过完全平方公式和平方差公式把(X+1)2+(x-2)(x+2)=1化成

ax^+bx+c^(£#0)的形式.

解：去括号，得壮+2；1+1+式2-4=1.

移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为1+叱2=0.

其中二次项为二次项系数为1,一次项为工,一次项系数为1,常数项为

-2.

一元二次方程的根的概念：

(1)类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念.

(2)下面哪些数是方程~+5户6=0的根？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

【巩固练习】

教材第4页练习第1,2题.

补充练习：

1.判断下列方程是否为一元二次方程.

(1)3x+2=5y-3；(2)f=4；

(3)3^--=0；(4)f-4=(x+2)2；

X

(5)av2+Z?x+c=0.

解：(1)(3)(4)(5)不是一元二次方程.

(2)是一元二次方程.

2.以・2为根的一元二次方程是(D).

A.1=0B.X2-A-2=0C.X2+X+2=00.^+%-2=0

3.已知方程5f+mr-6=0的一个根是x=3,则m的值为-13.

例3求证：关于x的方程(加2_8加+17)r+Z/nr+lR,不论团取何值该方程

都是一元二次方程.

分析:要证明不论m取何值该方程都是一元二次方程，只要证明加2_8m+17#0

即可.

证明：m2-8/n+17=(w-4)2+1,

*.*(w-4)2>0,/.(w-4)2+1>0,

(zw-4)2+1#0,即/-8加+17#0.

，不论〃［取何值，该方程都是一元二次方程.

【巩固练习】

补充练习：

1.下列方程哪些是一元二次方程？

(l)7x2-6x=0;(2)2x2-5xy+6y=0;

(3)2x2-13x-l=0;(4)y22=0;

(5)x2+2x-3=l+x2.

2.关于x的方程(k—3)x2+2x—l=0,当k时,该方程是一元二次方程.

3.关于x的方程(k2—l)x2+2(k—l)x+2k+2=0,当k时,该方程是一元二次方

程，当k时,该方程是一元一次方程.

通堂。©

本节课要掌握：

1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成

ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a^O)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式:我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,aWO)称为一元

一次方程的一般形式，其中ax2,bx,c分别称为一次项、一次项和常数项,a,h分

别称为二次项系数和一次项系数.

逆后犍

课本习题2.1

第二章一元二次方程

2.1认识一元二次方程

2.1.1一元二次方程的解及近似解的估算

通学®©

1.探索一元二次方程的解或近似解.

2.培养学生的估算意识和能力.

3.经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识.

通学萌

探索一元二次方程的解或近似解.

通学®®

培养学生的估算意识和能力.

曲课M

在上一节课中,我们得到了如下的两个一元二次方程：

(8-2x)(5-2x)=18,即2x2-13x+ll=0;

(x+6)2+72=102,即x2+12x-15=0.

发现了一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用.上一节课的两个问题是

否已经得以完全解决?你能求出各方程中的x的值吗？

通学期B

估算教室未铺地毯区域的宽

教室未铺地毯区域的宽x(m),满足方程(8-2x)(5-2x)=18,你能求出x吗？

教师:x可能小于0吗?说说你的理由.

学生:x不可能小于0,因为x表示区域的宽度.

教师:x可能大于4吗?可能大于2.5吗?为什么？

学生:x不可能大于4,也不可能大于2.5,因为当x大于4和x大于2.5时，将分

别使原矩形地面的长和宽小于0,不符合实际情况.

教师:完成下表：

0.511.52

(8-2x)(5-2x)

学生:表格从左到右依次填入28,18,10,4.

教师：你知道教室未铺地毯区域的宽x(m)是多少吗?还有其他求解方法吗？与同

伴交流.

学生:区域宽度为1米.

另解：因为8-2x比5-2x多3,将18分解为6X3,令8-2x=6,解得x=l.

・做一做

梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102,也就是x2+12x-15=0.

(1)小明认为底端也滑动了1ni,他的说法正确吗?为什么？

(2)底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？

⑶你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？

(4)x的整数部分是几?十分位是几？

附学生对第(3)问的说理过程如下：

在此题中，我认为x的取信范围是OVxV4.首先,梯子滑动的距离x>0是显而易

见的，在图2T-3中，求得BO6m,而BDV10m,因此CDV4m.所以x的取值范围

是0VxV4.

学生完成下面的表格：

X01234

X2+12%-15-15-2133049

虽然没能在这些整数取值中找到方程的解，但通过表格分析发现,当x的取值是1

和2时,所对应代数式的值是-2和13,而且随着x的取值越大,相应代数式的值

也越