北师大版初中数学初三年级上册册全书知识点讲义（基础）

北师大版初中数学初三上册全书知识点讲义（基础）

菱形（基础）

【学习目标】

1.理解菱形的概念.

2.掌握菱形的性质定理及判定定理.

【要点梳理】

【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】

要点一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行

四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

要点二、菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.

要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分

成完全全等的两部分.

（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底X高；另

一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线

互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

要点三、菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是

在四边形的基础上加上四条边相等.

【典型例题】

类型一、菱形的性质

^^1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE_LAB交AB的延长线于点E,CF

_LAD交AD的延长线于点F,求证：DF=BE.

D乙------V

ARE

【思路点拨】连接AC,根据菱形的性质可得AC平分/DAE,CD=BC,再根据角平分线的

性质可得CE=FC,然后利用HL证明RtACDF^RtACBE,即可得出DF=BE.

【答案与解析】

证明：连接AC,

:四边形ABCD是菱形，

；.AC平分NDAE,CD=BC,

VCEXAB,CFXAD,

；.CE=FC,ZCFD=ZCEB=90°.

在RtACDF与RtACBE中，

icF=CE'

ARtACDF^RtACBE（HL）,

【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相

垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的

距离相等.同时考查了全等三角形的判定与性质.

举一反三：

【变式1]（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交

AC于点O,连接BO,且NAED=50。，贝I|/CBO=度.

【答案】50；

解：在菱形ABCD中，

AB/7CD,.,.ZCDO=ZAED=50°,

CD=CB,ZBCO=ZDCO,

.,.在ABCO和ADCO中，

'CD=CB

<NBCO=/DCO，

co=co

.,.△BCO丝△DCO(SAS),

.•.ZCBO=ZCDO=50°.

【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）例1]

【变式2】菱形ABCD中，NA：NB=1：5,若周长为8,则此菱形的高等于（）.

1

A.-B.4C.1D.2

2

【答案】C；

提示：由题意，ZA=30°,边长为2,菱形的高等于1X2=L

2

类型二、菱形的判定

^^2、如图所示，在△ABC中，CD是/ACB的平分线，DE〃AC,DF〃BC,四边形DECF是

菱形吗?试说明理由.

【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE〃AC,DF〃:BC知四边形DECF是平行四边

形，再由N1=N2=N3得到邻边相等即可.

【答案与解析】

解：四边形DECF是菱形，理由如下：

DE//AC,DF/7BC

四边形DECF是平行四边形.

CD平分NACB,/.N1=N2

:DF/7BC,

Z2=Z3,

Z1=Z3.

CF=DF,

•，.四边形DECF是菱形.

【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形,

再由一对邻边相等来判定它是菱形.

举一反三：

【变式】如图所示，AD是AABC的角平分线，EF垂直平分AD,分别交AB于E,交AC于F,

则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由.

【答案】

解：四边形AEDF是菱形，理由如下：

,/EF垂直平分AD,

ZkACF与ADOF关于直线EF成轴对称.

ZODF=ZOAF,

又：AD平分NBAC,即/OAF=NOAE,

ZODF=ZOAE.；.AE〃DF,

同理可得：DE〃AF.

四边形AEDF是平行四边形，EO=OF

又,:OAEDF的对角线AD、EF互相垂直平分.

OAEDF是菱形.

^^3、如图所示，在AABC中，ZBAC=90°,AD_LBC于点D,CE平分/ACD,交AD于点

G,交AB于点E,EFLBC于点F.求证：四边形AEFG是菱形.

【思路点拨】由角平分线性质易知AE=EF,欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形

AEFG是平行四边形或AG=GF=AE即可.

【答案与解析】

证明：方法一：CE平分NACB,NBAC=90°，EF±BC,

AE=EF,Nl+N3=90°,/4+N2=90°.

Z1=Z2,

N3=N4.

EF±BC,AD±BC,；.EF〃AD.

/4=N5.N3=N5.

AE=AG.EF「7AG.

四边形AEFG是平行四边形.

又•:AE=AG,

四边形AEFG是菱形.

方法二：CE平分/ACB,NBAC=90°,EF±BC,

AE=EF,Zl+Z3=90°,N4+N2=90°.

N3=/4.

:EF±BC,AD±BC,；.EF/7AD.

Z4=Z5.；.N3=N5.

AE=AG.

在AAEG和AFEG中，AE=EF,Z3=Z4,EG=EG,

AAEG^AFEG.

AG=FG.

AE=EF=FG=AG.

四边形AEFG是菱形.

【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件.

举一反三：

【变式】如图所示，在口ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作

AG/7DB交CB的延长线于点G.

⑴求证:DE/7BF；

(2)若NG=90°,求证四边形DEBF是菱形.

D.

G

【答案】

证明：⑴口ABCD中，AB〃CD,AB=CD

,/E、F分别为AB、CD的中点

11

DF=-DC,BE=-AB

22

DF〃BE.DF=BE

四边形DEBF为平行四边形

DE/7BF

(2)证明：,/AG/7BD

/G=NDBC=90°

ADBC为直角三角形

又：F为边CD的中点.

1

BF=-DC=DF

2

又：四边形DEBF为平行四边形

四边形DEBF是菱形

类型三、菱形的应用

^^4、如图所示，是一种长0.3机，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边

BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2m,

宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖.试问：

(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块？

⑵全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形？

【答案与解析】

解：墙壁长4.2加，宽2.8机，矩形瓷砖长0.3加，宽0.2加，4.2+0.3=14,2.84-0.2

=14,则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面.

(1)则至少需要这种瓷砖14X14=196(块).

(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一

半.另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积

的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13X13=

169个，面积相等的菱形一共有196+169=365(个).

【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个

数和阴影菱形的个数.将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案,

不要忽略周围图形的拼接.

【巩固练习】

一.选择题

1.（2015•潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边

C.菱形的对角线互相垂直D.对角线互相垂直的四边形是菱形

2.（2016•莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对边相等B.对角相等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

3.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2,那么菱形ABCD的周长

是（）

C.12D.16

4.如图，在菱形ABCD中，AB=5,ZBCD=120°,则AABC的周长等于（）

A.20B.15C.10D.5

5.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若NBAC=50°,则/ABC等于（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

6.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为（）

二.填空题

7.已知菱形的周长为40。九，两个相邻角度数之比为1：2,则较长对角线的长为cm.

8.（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm,高AE长为«cm,则对角线AC长和

BD长之比为L

9.已知菱形ABCD两对角线AC=8cm,BD=6cm,则菱形的高为.

10.（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,

OE±BC,垂足为点E,则OE=.

11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,AB=13,AC=10,过点D作DE〃AC

交BC的延长线于点E,则4BDE的周长为.

12.如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABC的顶点B的坐标为（8,4）,则C点的坐标为.

三.解答题

13.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB+PE

的最小值是百，求AB的值.

14.如图，在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB,CD的中点，连接DE、BF、BD.若ADLBD,

则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论.

DFC

15(2015春•泰安校级期中)如图，在回ABC中，0ABC=9O°,BD为AC的中线，过点C作

CEBBD于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取

FG=BD,连接BG、DF.

(1)求证：BD=DF；

(2)求证：四边形BDFG为菱形；

(3)若AG=13,CF=6,求四边形BDFG的周长.

【答案与解析】

选择题

L【答案】D；

2.【答案】D

【解析】•••菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；

平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；

菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直.

故选D.

3.【答案】D；

【解析】BC=2EF=4,周长等于4BC=16.

4.【答案】B；

【解析】VZBCD=120°,ZB=60°,又；ABCD是菱形，；.BA=BC,.'△ABC是等边三角

形，故可得AABC的周长=3AB=15.

5.【答案】C；

【解析】：四边形ABCD是菱形，；./BAC=L/BAD,CB〃AD,VZBAC=50°,ZBAD

2

=100°,；CB〃AD,AZABC+ZBAD=180°,AZABC=180°-100°=80°.

6.【答案】D；

【解析】ZDAF=ZFA0=Z0AE=30°,所以2BE=CE=AE,3BE=3,BC^^BE^^3.

二.填空题

7.【答案】1073；

【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120。，较长对角线为2—1。2—5?=1。上.

8.【答案】1：

【解析】如图，设AC,BD相较于点0,

回菱形ABCD的周长为8cm,

团AB=BC=2cm,

团高AE长为«cm,

0BE=7AB2-AE2=1（cm），

团CE二BE=lcm,

团AC=AB=2cm,

团0A=1cm,AC回BD,

EI0B={AB2（的）,

ElBD=2OB=2A/3cm,

回AC：BD=1：

24

9.【答案】一cm；

5

【解析】菱形的边长为5,面积为工x6x8=24,24

则高为——cm.

25

10.【答案】丝

5.

【解析】•••四边形ABCD为菱形,

；.AC_LBD,OB=OD」BD=3,OA=OC」AC=4,

22

在RtZXOBC中，V0B=3,0C=4,

.\BC=^2^2=5,

VOEXBC,

."AOE»BC=.1OB«OC,

22

.OE=3X4=12.

55

故答案为空.

5

11.【答案】60；

【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt^AOB中利用勾股定理求出

0B=12,BD=20B=24,DE=20C=10,BE=2BC=26,ZVBDE的周长为60.

12.【答案】(3,4)；

【解析】过B点作BD_LOA于D,过C点作CE_LOA于E,BD=4,0A=x,AD=8—x,

x2=（8-x）2+42,解得尤=5,所以0E=AD=8—5=3,C点坐标为（3,4）.

三.解答题

13•【解析】

解:VZABC=120°

.•.ZBCD=ZBAD=60°；

AB

:菱形ABCD中，AB=AD

AABD是等边三角形；

又：E是AB边的中点，B关于AC的对称点是D,DEXAB

连接DE,DE与AC交于P,PB=PD；

DE的长就是PB+PE的最小值百；

设AE=x,AD=2x,

DE=d（2x）~=y/3x=y/3,所以x=l,AB=2x=2.

14•【解析】

四边形BFDE是菱形，

证明：VAD±BD,

.,△ABD是直角三角形，且AB是斜边,

：E为AB的中点,

1

；.DE=—AB=BE,

2

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.DC〃AB,DC=AB,

为DC中点，E为AB中点，

11

；.DF=—DC,BE=-AB,

22

；.DF=BE,DF〃BE,

...四边形DFBE是平行四边形，

VDE=EB,

...四边形BFDE是菱形.

15.【解析】

证明：0BABC=9O°,BD为AC的中线，

[3BD=』AC,

2

0AG0BD,BD=FG,

团四边形BGFD是平行四边形，

0CF0BD,

EICF0AG,

又回点D是AC中点，

HDFJAC,

2

0BD=DF；

(2)证明：0BD=DF,

团四边形BGFD是菱形，

(3)解：设GF=x,则AF=13-x,AC=2x,

团在RtEIACF中，0CFA=9O°,

E1AF2+CF2=AC2,即(13-X)2+62=(2x)2,

解得：x=5,

，四边形BDFG的周长=4GF=20.

矩形（基础）

【学习目标】

1.理解矩形的概念.

2.掌握矩形的性质定理与判定定理.

【要点梳理】

要点一、矩形的定义

有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.

要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是

一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

要点二、矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线

可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对

称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形

的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角

看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

要点三、矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判

定平行四边形是矩形.

要点四、直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角

三角形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三

角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30。所对的

直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

【典型例题】

类型一、矩形的性质

1、(2015•云南)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,M,N分别是AB,CD的

中点，P是AD上的点，且回PNB=3回CBN.

(1)求证：EIPNM=20CBN；

(2)求线段AP的长.

【思路点拨】(1)由MNI3BC,易得回CBN=I3MNB,由已知回PNB=3I3CBN,根据角的和差不

难得出结论；

(2)连接AN,根据矩形的轴对称性，可知回PAN=I3CBN,由(1)知IBPNM=2EICBN=2EIPAN,

由ADE1MN,可知回PAN=I3ANM,所以EIPAN=E1PNA,根据等角对等边得到AP=PN,再用勾

股定理列方程求出AP.

【答案与解析】

解：(1)回四边形ABCD是矩形，M,N分别是AB,CD的中点，

0MNEIBC,

00CBN=0MNB,

fflPNB=30CBN,

0EIPNM=20CBN；

(2)连接AN,

根据矩形的轴对称性，可知回PANWCBN,

团MN团AD,

RH1PAN二回ANM,

由(1)矢口团PNM=2回CBN,

团回PAN=R1PNA,

0AP=PN,

EAB=CD=4,M,N分别为AB,CD的中点，

回DN=2,

设AP=x,则PD=6-x,

在RtHPDN中

PD2+DN2=PN2,

0(6-x)2+22=X2,

解得：

3

所以AP=里.

3

APp

M-------------------

R

【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角

的倍差关系得到NPAN=/PNA,发现AP=PN是解决问题的关键.

举一反三：

【高清课堂417081矩形例7]

【变式】如图，RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,点P为AB边上任一点，过P分别

作PELAC于E,PFLBC于F,则线段EF的最小值是.

A

C尸3

12

【答案】-；

5

提示：因为ECFP为矩形，所以有EF=PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.

类型二、矩形的判定

^^2、(2016•济宁一模)如图，在AABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过

A点作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.

(1)求证：D是BC的中点.

(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.

【思路点拨】

(1)因为AF〃:BC,E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEFgZkDEC,故有BD=DC；

(2)由(1)知，AF=DC且AF〃DC,可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF,

故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定.

【答案与解析】

（1）证明：VAF/7BC,

ZAFE=ZDCE（1分）

是AD的中点，

；.AE=DE.（2分）

VZAEF=ZDEC,

/.△AEF^ADEC.（3分）

；.AF=DC,

,/AF=BD

；.BD=CD,

；.D是BC的中点；（4分）

(2)四边形AFBD是矩形，(5分)

证明：VAB=AC,D是BC的中点，

；.AD_LBC,

.\ZADB=90°,（6分）

VAF=BD,AF〃BC,

四边形AFBD是平行四边形，（7分）

.••四边形AFBD是矩形.

【总结升华】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质.要熟知这些判定定理才会灵

活运用，根据性质才能得到需要的相等关系.

举一反三：

【变式】如图，在AABC中，AB=AC,D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.

求证：四边形ADCE是矩形.

【答案】

证明：•..四边形ABDE是平行四边形，

；.AE〃BC,AB=DE,AE=BD

为BC的中点，

；.CD=BD

；.CD〃AE,CD=AE

...四边形ADCE是平行四边形

VAB=AC

Z.AC=DE

平行四边形ADCE是矩形.

Cs、如图所示，口ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H.

求证：四边形EFGH是矩形.

【思路点拨】AE、BE分别为/BAD、NABC的角平分线，由于在口ABCD中，NBAD+/ABC=

180°,易得NBAE+NABE=90°,不难得到NHEF=90°,同理可得NH=NF=90°.

【答案与解析】

证明：在口ABCD中，AD/7BC,

ZBAD+ZABC=180°,

AE、BE分别平分/BAD、ZABC,

ZBAE+ZABE=-ZBAD+-ZABC=90°.

22

NHEF=/AEB=90°.

同理：NH=NF=90°.

.，"四边形EFGH是矩形.

【总结升华】（1）利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”

来判定.（2）本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形.

类型三、直角三角形斜边上的中线的性质

^^4、如图，ZsABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分/BAC交BC于点D,点E为AC的中

点，连接DE,则4CDE的周长为（）

A.20B.12C.14D.13

【解析】

解：VAB=AC,AD平分NBAC,BC=8,

；.AD_LBC,CD=BD=-BC=4,

2

:点E为AC的中点，

1

；.DE=CE=—AC=5,

2

ACDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.

【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线

合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

举一反三：

【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD,AC、BD相交于点0,P是平行四边形ABCD外一

点，且/APC=NBPD=90°.求证：平行四边形ABCD是矩形.

【答案】

解：连接0P.

,/四边形ABCD是平行四边形.

A0=C0,B0=D0,

NAPC=NBPD=90°,

11

0P=-AC,0P=-BD,

22

AC=BD.

**•四边形ABCD是矩形.

【巩固练习】

选择题

1.（2015春•宜兴市校级期中）下列说法中正确的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.平行四边形的对角线平分一组对角

D.矩形的对角线相等且互相平分

2.若矩形对角线相交所成钝角为120。，短边长3.6。〃，则对角线的长为（）.

A.3.6cmB.7.2cmC.1.8cmD.14.4：cm

3.矩形邻边之比3：4,对角线长为10。〃，则周长为（）.

A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm

4.（2016•海南）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且2〃卜Zl=60°,

则/2的度数为（）

5.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小

组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）

A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等

C.测量一组对角是否都为直角D.测量其中三角形是否都为直角

6.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F,BELDF交DF的延长线于点

E,已知NA=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是（）

A.273B.373C.4D.473

二.填空题

7.矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于0,ZA0B=60°,AC=10cm,则AB=cm,

BC=cm.

8.在△ABC中，ZC=90°,AC=5,BC=3,则AB边上的中线CD=.

9.（2016•巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连结AE,如果/ADB=30。,

则/E=度.

10.（2015•重庆模拟）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且NAED=90°,AD=10,则AB

11.如图，口ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若4ACD的面

积为3,则图中阴影部分两个三角形的面积和为.

12.如图，RtZkABC中，ZC=90°,AC=BC=6,E是斜边AB上任意一点，作EF_LAC于F,

三.解答题

13.如图，矩形ABCD的对角线相交于点0,OFXBC,CE±BD,0E：BE=1：3,0F=4,

求NADB的度数和BD的长.

闻-

14.如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G,DELAG于

E,且DE=DC,根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.

15.（2015•通州区一模）已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,点F在BC的延

长线上，且CF=BC,连接DF,点G是DF中点，连接CG.求证：四边形ECGD是矩形.

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】D；

【解析】回对角线相等的平行四边形是矩形，回A不正确；

团对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，0B不正确；

回平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，回C不正确;

团矩形的对角线互相平分且相等，回D正确；

2.【答案】B；

【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.

3.【答案】B；

【解析】由勾股定理，可算得邻边长为和8。九，则周长为28。〃.

4【答案】C.

【解析】过点D作DE〃a,

:四边形ABCD是矩形，

AZBAD=ZADC=90",

N3=90°-N1=90°-60°=30°,

\'a//b,

；.DE〃a〃b,

.\Z4=Z3=30°,N2=/5,

AZ2=90°-30°=60°.

故选C.

5.【答案】D；

6.【答案】A；

【解析】先证AADF以ABEF,则DF为AABC中位线，再证明四边形BCDE是矩形,BE=百,

可求面积.

二.填空题

7.【答案】5,573；

【解析】可证AAOB为等边三角形，AB=AO=CO=BO.

8.【答案】J3十4；

【解析】由勾股定理算得斜边AB=•，CD='AB=卑.

22

9【答案】15.

【解析】连接AC,

:四边形ABCD是矩形，

；.AD〃BE,AC=BD,且NADB=NCAD=30°,

ZE=ZDAE,

又；BD=CE,

；.CE=CA,

/.ZE=ZCAE,

ZCAD=ZCAE+ZDAE,

/.ZE+ZE=30°,即/E=15°,

故答案为：15.

10.【答案】5；

【解析】回矩形ABCD中，E是BC的中点，

0AB=CD,BE=CE,0B=0C=9O°,

可证得EIABEEBDCE(SAS),

回AE=DE,

00AED=9O°,0HDAE=45<),

H3BAE=90°-回DAE=45°,

fflBEA=0BAE=45",

0AB=BE=lAD=lxlO=5.

22

11.【答案】3；

【解析】根据平行四边形的性质求出AD=BC,DC=AB,证△ADC0/\CBA,推出4ABC的

面积是3,求出ACXAE=6,即可求出阴影部分的面积.

12.【答案】12；

【解析】推出四边形FCGE是矩形，得出FC=EG,FE=CG,EF〃CG,EG/7CA,求出NBEG

=NB,推出EG=BG,同理AF=EF,求出矩形CFEG的周长是CF+EF+EG+CG

=AC+BC,代入求出即可.

三.解答题

13.【解析】

解：由矩形的性质可知0D=0C.

又由OE：BE=1：3可知E是0D的中点.

又因为CE_LOD,根据三线合一可知0C=CD,即0C=CD=0D,

即△OCD是等边三角形，故NCDB=60°.

所以NADB=30°.

又因为CD=20F=8,

即BD=20D=2CD=16.

14.【解析】

证明：：四边形ABCD是矩形，

，AD〃BC,DC=AB.

NDAE=NAFB.

VDE=DC,；.DE=AB.

VDEXAG,；.NDEA=/ABF=90°.

AABF^ADEA.

15.【解析】

证明：EICF=BC,

fflC点是BF中点，

国点G是DF中点，

EICG是I3DBF中位线，

0CGEIBD,CG=£BD，

国四边形ABCD是菱形，

EIACEIBD,DE=1BD，

fflDEC=90°,CG=DE,

0CG0BD,

四边形ECGD是矩形.

正方形（基础）

【学习目标】

1.理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；

2.掌握正方形的性质及判定方法.

【要点梳理】

【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）知识要点】

要点一、正方形的定义

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形,

更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.

要点二、正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

1.边一一四边相等、邻边垂直、对边平行；

2.角一一四个角都是直角；

3.对角线一一①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；

4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.

要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四

个等腰直角三角形.

要点三、正方形的判定

正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是

直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互

相垂直(即菱形).

要点四、特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为:

要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

(2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

(3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

(4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

(1)若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.

(2)若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

(3)若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

【典型例题】

类型一、正方形的性质

C1、(2016•台湾)如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG,其中E点在AD

上.若/ECD=35。，ZAEF=15°,则/B的度数为何？()

A.50B.55C.70D.75

【思路点拨】由平角的定义求出/CED的度数，由三角形内角和定理求出ND的度数，再

由平行四边形的对角相等即可得出结果.

【答案】C.

【解析】

解：：四边形CEFG是正方形，

ZCEF=90",

,/ZCED=180°-ZAEF-ZCEF=180°-15°-90°=75°,

ZD=180°-ZCED-ZECD=180°-75°-35°=70°,

•..四边形ABCD为平行四边形，

.•.NB=ND=70。（平行四边形对角相等）.

故选C.

【总结升华】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟

练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出/D的度数是解决问题的关键.

举一反三：

【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且

CE=CF,连接DE,BF.求证：DE=BF.

【答案】

证明：：四边形ABCD是正方形，

；.BC=DC,NBCD=90°

为BC延长线上的点，

.\ZDCE=90°,

/.ZBCD=ZDCE.

在4BCF和4DCE中，

BC=DC

<ZBCF=NDCE,

CF=CE

：.ABCF^ADCE（SAS）,

；.BF=DE.

【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）例D

【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE,AC,BE相交

于点F,则NBFC为（）

【答案】B；

提示：•.,四边形ABCD是正方形，

/.ZBAD=90°,AB=AD,ZBAF=45°,

VAADE是等边三角形，

AZDAE=60°,AD=AE,

AZBAE=90°+60°=150°,AB=AE,

ZABE=ZAEB=1(180°-150°)=15

2

AZBFC=ZBAF+ZABE=45°+15°=60°；

故选：B.

C2、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG,点E、

F分别在AG上，连接BE、DF,Z1=Z2,Z3=Z4.

(1)证明：ZiABE乌Z\DAF；

(2)若/AGB=30。，求EF的长.

【思路点拨】要证明4ABE0Z\DAF,已知N1=N2,N3=/4,只要证一条边对应相等即可.要

求EF的长，需要求出AF和AE的长.

【答案与解析】

(1)证明：：四边形ABCD是正方形，

；.AD=AB,

VZ1=Z2,Z3=Z4,

.'.△DAF^AABE.

(2)解：：四边形ABCD是正方形，NAGB=30°,

；.AD〃BC,

.•.Zl=ZAGB=30°,

：N1+/4=NDAB=9O°,

：N3=N4,

；./1+/3=90°,

AZAFD=180°-(Z1+Z3)=90°,

；.DF_LAG,

.,.DF=-AD=1

2

AF=6

VAABE^ADAF,

；.AE=DF=1,

EF=y/3—1

【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方

法.而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件.

举一反三：

【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC,分别以AB,BC为边做正方形ABEF

和正方形BCMN连接FN,EC.求证：FN=EC.

【答案】

证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，

AB=BE=EF,BC=BN,ZFEN=ZEBC=90°,

VAB=2BC,即BC=BN=，A3

2

；.BN=工BE,即N为BE的中点，

2

；.EN=NB=BC,

/.△FNE^AECB,

；.FN=EC.

类型二、正方形的判定

^^3、如图所示，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZBAC,/ABC的平分线相交于点D,且DE

LBC于点E,DFLAC于点F,那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由.

【答案与解析】

解：是正方形，理由如下：

作DGLAB于点G.

:AD平分NBAC,DF±AC,DG±AB,

DF=DG.

同理可得：DG=DE.DF=DE.

DF±AC,DE±BC,/C=90°,

四边形CEDF是矩形.

DF=DE.

四边形CEDF是正方形.

【总结升华】（1）本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形.（2）证明正

方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形.

举一反三：

【变式】如图，点0是线段AB上的一点，OA=OC,0D平分/AOC交AC于点D,OF平分NC0B,

CFL0F于点F.

（1）求证：四边形CDOF是矩形;

（2）当NAOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由.

【答案】

（1）证明：TOD平分NAOC,OF平分NCOB（已知），

・・・NA0C=2NC0D,NC0B=2NC0F,

VZA0C+ZB0C=180°,

.'.2ZC0D+2ZC0F=180°,

.\ZC0D+ZC0F=90o,

・・・ND0F=90°；

VOA=OC,OD平分NAOC（已知），

AOD±AC,AD=DC（等腰三角形的“三线合一”的性质），

・・・NCD0=90°,

VCF±OF,

・・・NCF0=90°

・・・四边形CDOF是矩形；

（2）当NA0C=90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：

VZA0C=90°,AD=DC,

・・・OD=DC；

又由（1）知四边形CDOF是矩形，则

四边形CDOF是正方形；

因此，当NA0C=90°时，四边形CDOF是正方形.

类型三、正方形综合应用

Cd、如图，在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的

对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（龙轴

的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点0）,顶点C、D都在第一象限.

（1）当NBA0=45°时，求点P的坐标；

（2）求证：无论点A在无轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在NA0B

的平分线上；

【答案与解析】

解：（1）当NBA0=45°时，ZPA0=90°，

在RtZkAOB中，0A=»AB=»a,在RtZkAPB中，PA=-AB=—«.

22、22

...点P的坐标为a

~2

7

（2）如图过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为爪N,

则有/PMA=/PNB=NNPM=NBPA=90°,

ZBPN+NBPM=ZAPM+NBPM=90°

.•.ZAPM=ZBPN,又PA=PB,

△PAM丝△PBN,

PM=PN,

又•:PN±0N,PM±0M

于是，点P在NAOB的平分线上.

【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.

【巩固练习】

一.选择题

1.（2016・陕西）如图，在正方形ABCD中，连接BD,点O是BD的中点，若M、N是

边AD上的两点，连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点Nz,则图中的全等三角

形共有（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

2.（2015•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A.四条边相等B.对角线互相垂直平分

C.对角线平分一组对角D.对角线相等

3.如图，正方形ABCD的边长为4c加，则图中阴影部分的面积为（）而.

A.6B.8C.16D.不能确定

4.顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所