第五章 机械能及其守恒定律教案4

第五章机械能及其守恒定律

本章综述

本章内容是在学生学习完动力学的基本知识，明确力与运动的关系的基础上，引入能量

的概念，探讨从能量的角度和守恒的观点来解决物理问题的方法,是高中物理中的重要内容,

是高考的重点和热点。

本章从追寻自然界中的守恒量入手，以牛顿第二定律为依据，引入功和能的概念，探究

做功与能量转化的关系一一动能定理，并且归纳出应用动能定理解决问题的一般方法及规

律。开始让学生从能量的角度以全新的视角来分析物理问题。另外，本章还从功是能量转化

的量度入手，分析了动能与重力势能、弹性势能之间转化时遵循的规律一一机械能守恒定律,

把机械能守恒定律的条件、内涵以及使用它解决问题时的步骤和规律。在此基础上，教材还

介绍了能量的转化和守恒定律、能量的利用、新能源的开发和利用等知识，使学生能够认识

到能源的开发、环境的保护与可持续发展的关系，培养学生学以致用、理论联系实际的能力。

通过本章的学习，要求学生理解功、功率的概念及求法；理解动能定理的内涵，熟练学

握应用动能定理解决物理问题的方法步骤；掌握机械能守恒定律适用的条件，并能够应用机

械能守恒定律分析解决问题：了解能量转化和守恒定律的内容以及能源的开发和利用与可持

续发展的关系。

本章内容分为五个单元：第一单元（第一、二、三节）分析功和功率的概念及计算方法,

介绍动能和重力势能的概念；第二单元（第四、五节）探究重力势能、弹性势能的概念及其

变化，以及重力做功的特点；第三单元（第六、七节）探究做功与动能变化的关系一动能定

理及其应用；第四单元（第八、九节）探究机械能守恒定律及其应用；第五单元（第十节）

介绍能量的转化和守恒定律以及可持续发展。

第一节追寻守恒量

自主探究

1.射箭的时候，为什么要先把弓弦拉满，再放手，箭才能够飞射出去？

射箭的时候，把弓弦拉满，在弓弦中储存了弹性势能，放手后，弹性势能转化为箭的动

能，箭才能飞出去。

2.打滑梯是小朋友喜欢的一种游戏，小朋友先从一侧费力的爬到高处，然后从另一侧,

快乐的滑下。你能分析一下这是为什么呢？

小朋友爬到高处，他的重力势能增加，下滑的过程，他的重力势能转化为他的动能,

所以就能快乐的滑下了。

3.荡秋千也是小朋友们喜欢的活动，你能分析一下，小朋友在荡秋千的过程中，能量是

怎样转化的吗？

小朋友从最低点向高处荡起过程中，动能转化为重力势能；从高处摆下的过程中，重力

势能转化为动能。

教材详解

1.动能的概念

动能指物体由于运动而具有的能量，是机械能的一种形式。反映了物体在运动时对外做

功的能力，例如汽车和自行车以相同的速度撞击物体时，汽车的破坏力更强就是因为汽车的

动能比自行车大的原因C动能的大小与物体的质量和速度有关C

2.势能的概念

物体间存在着跟起位置有关的力时，物体具有的跟其相对位置有关的能量，我们称为势

能。常见的势能有重力势能和弹性势能，就重力势能而言，可以通俗的表为：物体由于被举

高而具有的能量，例如物体从高处落下来，能够对其它的物体做功就是这个道理，空气锤、

打夯机的工作原理就在于此。而弹性势能指的是由于物体发生弹性形变而具有的能量，弓箭、

弹弓等都是使物体先储存弹性势能然后对外做功。

3.机械能

机械能指物体由于机械运动而具有的能量，包括动能、弹性势能和重力势能三种形

式，组成机械能的各种形式的能量之间可以互相转化。

4.能量之间的转化

物体具有的各种形式的能量之间是可以相互转化的，而能量的转化是通过做功来实现

的，功是能量转化的量度。

5.对于能量和做功的关系

(1)具有能的物体，不一定都处在做功的过程中，如：悬挂着的钢球，它虽然没有做功,

但它具有重力势能。

(2)做功的过程，一定伴随着能量的转化。如打桩机被举高的重锤落下来砸在石桩上，

重锤在下落的过程中重力做功，将重力势能转化为动能；被压缩的弹簧将放在弹簧上面的祛

码弹起时，弹力做功将弹簧的弹性势能转化为跌码的动能。

合作讨论

例题1.关于功和能的联系与区别，下列说法中正确的是：

A.功就是能，所以它们具有相同的单位B.功是能量的量度

C.功是能量转化的量度，所以它们具有相同的单位

D.汽车在水平上行驶时，牵引力做的功使汽车的势能增加

思路：本题考查功、能的概念及它们之间的关系，需要深入理解功和能的概念。

解析：功和能的单位都是焦耳，但是不能说功就是能，因为功是过程量，做功的过程就

是能量转化的过程，所以功是能量转化的量度，而不能说功是能量的量度。

汽车在水平路面上行驶时，势能不变，所以牵引力做的功使汽车的动能增加。

答案：C

例题2.一质量均匀不可伸长的绳索.重为G.A、R两端固定在天花板卜,如图所示.

今在最低点C施加一竖直向下的力将绳拉至D点，在此过程中，绳索AB的重心位置:

A.逐渐升高B.逐渐降低C.先降低后升高D.始终不变

解析：物体的重心不一定在物体上，对于一些不规则物体要确定其重

心比较困难。本题中，绳子的重心就很难标出，需要通过其他的途径确定。

当用力将绳上某点C拉至D,外力在不断的做功，而物体的动能

不增加，因此外力做功必然转化为物体的重力势能。重力势能增加，说明

物体的重心升高了。外力不断做正功，重心就不断的升高。

答案：A

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1.对于功和能的关系，下列说法中正确的是：

A.功就是能，能就是功B.功可以变为能，能可以变为功

C.做功的过程就是能量的转化过程

D.功是物体能量的量度

2.关于功和能，下列说法中正确的是：

A.功和能的单位相同，它们的概念也相同B.做功的过程就是物体能量转化的过程

C.做了多少功，就有多少能量发生了转化

D.各种不同形式的能量可以互相转化，而且在转化的过程中，能的总量是守恒的

3.关于功和能的关系，下列说法正确的是：

A.物体做了多少功，就表示它原来具有多少能B.物体具有多少能，就能做多少功

C.物体做了多少功，就有多少能量消失

D.能量从一种形式转化为另一种形式时，可以用功来量度能量转化的多少

4.一根压缩着的弹簧把一小球弹出时，弹力对小球做了5ooJ的功，则弹簧的弹性势能

减小了，小球的动能增加了。

第二节功

自主探究

L有一个小朋友用力推大楼的墙体，累的气喘吁吁、满头大汗，那么他对墙做功了吗?

功是力对位移的积累过程，力对物体做功的条件是物体在力的方向上

有位移。小朋友用力推大楼的墙体时，虽然对墙体施加了力的作用，但是

墙体却没有在力的方向上产生位移，所以小朋友并没有对墙做功。

2.举重运动员在举起杠铃的过程中，杠铃受几个力的作用？它们对杠

铃做功吗？

杠铃在被举起的过程中，受到运动员对它的作用力和重力的作用。这

两个力都对杠铃做功，期中运动员对杠铃的作用力做正功，重力做负功。

3.如图为耕牛耕地的情景，如果耕牛对耕犁的拉力为凡在耕犁前进S的过程中，耕

牛对耕犁做的功为多大？

耕牛对耕犁的拉力与耕犁前进的距离虽然不在同一条直线上，

但是我们可以分析出耕犁的位移在拉力F的方向上有投影，即物体

在力的方向上有位移，所以拉力F对耕犁做功。做功的大小可以通

过功的计算式W=FScosB计算。

4.做功的过程就是能量转化的过程，你分析下列实例中做功实

现了那些能量的转化?

如图，起重机吊起货物的过程中对货物做功,货物的重力势能

增加。

如图，汽车在启动的过程中，牵引力对汽车做

功，汽车的动能增加。

射箭运动员拉开弓弦的过程中，对弓弦做功，

增加了弓弦的弹性势能。

教材详解

1.功的概念

一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，这个力就对物体做了功。

例如，在右图中物体在斜向上的力F作用下沿水平地面

运动的过程中，力F就对物体做了功，物体受到的摩擦力了

也对物体做了功；小球从高空落下的过程中，重力就对小球

做了功；弹簧将一个小球弹出，弹力就对小球做了功。总之，

重力、弹力、摩擦力都可以对物体做功。

2.功的两个不可缺少的要素

一是要有作用在物体上的力的作用，二是物体必须在力的方向上有位移。两个条件

缺一不可,而且必须注意力是在位移方向卜的力：位移是力的方向卜的位移°如卜图中,物

体沿水平地面运动时，弹力N和重力mg都存在，经过一段时间后物体也存在位移，但是重

力、弹力与物体的位移都垂直，这两个力都不对物体做功。

3.功的定义公式W=FScosO

对于此式的理解（1）此式是功的定义式，但是只能用来直接求解恒力对物体做的功，

变力对物体做的功不能直接用该式计算。（2）此式中的S指的是物体的对地位移，如果给

定的位移不是对地的，需要转化为对地位移再来计算。（3）此式中的。指的是物体受到的

恒力F与物体的对地位移S正向间的夹角。（4）做功与物体的运动形式无关，也就是说当

F、S、。确定后，功W就有确定的值。（5）功是过程量，是力对空间的积累量。（6）式

中力F的单位是N；位移S的单位是m,定义的功的单位是焦耳（J）。

4.功的正负

功是标量，但是功有正负之分。（1）当功的定义式中0。46<90°时，cos6>>0,W

为正值，即力对物体做正功，力是物体运动的动力，使物体的能量增加。（2）当功的定义

式中6=90。，cos6>=0,W=0,表示力对物体不做功，力对物体既不起动力作用，也不

起阻力作用，力没有使物体的能量发生变化。（3）当功的定义式中夕>90°时，cos6»<0,

W为负值，力对物体做负功（或者说物体克服阻力做功），力是物体运动的阻力，使物体

的能量减少。

功的正负既不表示大小，也不表示方向，只表示动力做功还是阻力做功。比较力对物体

做功多少时，只看功的大小，不管功的符号。

5.合力功的求法

在分析功的问题中，有时常计算物休受到的合外力对物休做的功，由合力与分力的等效

替代关系知，合力与分力做功也可以等效替代。一个物体同时受到几个力的作用，发生位移

时，合外力做的功可以由两种方法求得（1）由于功是标量，可以分别求出物体受到的各个

分离对物体做的功，然后取代数和，即W=W/+W2+g+必+……（2）也可以根据平行四边

形定则，先求物体受到的合外力，然后再求合外力对物体做的功。

6.需要说明的几个问题

（1）摩擦力对物体做功的特点

摩擦力是物体间存在的阻碍其相对运动或相对运动趋势的力，其方向与相对运动或相对

与运动趋势的方向相反。但是，摩茶力的方向却即可以与物体运动的方向相同，也可以相反,

还可以垂直，即摩擦力对物体既可以做正功，也可以做负功，还可以做零功。

例如右图中，若把木板B放在光滑的水平地面上，物块A以某一速度

冲上木板B,并在B上相对木板向右滑动的过程中，对物块A分析易知，B’

对A的摩擦力对A做负功；对B分析，A对B的摩擦力使B物体也会向右运动，对物体B

做正功。如果物体B固定在水平地面上，A在B上滑行的过程中，A对B的摩擦力就不会

对其做功（木板B的位移为零）。

（2）什么情况下力对物体不做功？

判断作用在物体上的力对物体是否做功，应抓住两点：一是这个物体是否发生了位移;

二是位移是不是沿力的方向或在力的方向上有没有分量。因此，力对物体不做功可能有两种

情况：一是位移等于零；二是位移（或速度）与力的方向垂直。例如，一个物体在拉力作用

下沿水平地面匀速运动，拉力和摩擦力对物体做功，而重力和地面的支持力由于与物体的运

动方向垂直，都不做功。再如，用力推车但是没有推动，车的位移为零，虽然对车施加了力

的作用，但是没有对车做功。

（3）如何比较力对物体做功的大小

功是标量，只有大小，没有方向，但是功有正负。负功既不表示与正功的方向相反，也

不表示它的大小比正功小。那么，如何比较力对物体做功的多少呢？我们在比较物体做功的

多少时，只需要比较功的数值大小，不考虑符号。

但是，功是能量转化的量度，力对物体做正功，物体的能量增加；力对物体做负功，物

体的能量减小。如果物体收到的力，既有对物体做正功的、也有对物体做负功的，计算总功

时，却需要带着功的符号，正取加，负做差。

合作讨论

例题1.小物块位于光滑斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，如图所示，从地面上看,

在小物体沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力：

A.垂宜于接触面，做功为零B.垂直于接触面，做功不为零。

C.不垂直于接触面，做功为零D.不垂直于接触面，做功不为零。

思路:解决本题的关键就是要抓住力对物体做功的两个要素:一是要有力作用在物体上;

二是物体在力的方向上要有位移。

解析：对物块受力分析，它所受斜面的作用力为弹力，故其方向垂直于接触面，斜向上,

如图所示。由于水平地面光滑，小物块沿斜面下滑的过程中，斜面要向右滑动，即从地面上

看，物块A的位移不与斜面平行，即斜面对小物块的作用力不与物块对地位移垂直，因而

做功不为零C

答案：B

例题2.如图所示，质量为m的物体沿倾角为a的粗糙斜面下滑了

一段距离S,物体与斜面间的动摩擦因数为〃，试求物体所受各力在下

滑过程中对物体所做的功，及这些力所做的总功。

思路：分析本题的关键，是对物体进行正确的受力分析，把握功的计算式W=KScosa

的a的物理意义，并且要注意功的正负以及总功的求法。

解析：对物体受力分析可知，物体受竖直向下的重力G,垂直于斜面向上的支持力N,

沿斜面向上的滑动摩擦力力在垂直于斜面方向上物体受到的合外力为零，可得

N=mgcosa

由滑动摩擦定律可得f=jutngcosa

根据功的定义可得，重力对物体做的功为WG=mgssina

斜面支持力对物体做的功为=mgcosa-Scos90°=0

滑动摩擦力对物体做的功为Wf=jurngscos180°=-jumgs

所以合外力对物体做的总功为W=WG+WN+Wf=mgs(s\na-//cosa)

答案：=mgssina、=0、Wf=-〃ng$、W=根gs(sina-4cosa)

例题3.用水平恒力F作用在质量为M的物体上，使之在光滑的水平面上沿力的方向移

动距离S,恒力做功W1；再用此恒力作用于质量为m(m<M)的物体上，使之在粗糙水平

地面上移动同样的距离S,恒力做功W2，则两次恒力做功的关系为：

A.Wi>W2B.W)<W2C.W)=W2D.无法判断

思路：求功时，必须明确哪个力在哪个过程中做功。根据功的定义，力F做的功只与

恒力F和物体在力的方向通过的位移有关，与物体受到的其它力以及物体的运动状态无关。

解析：物体在粗糙水平地面上移动的距离与物体在光滑水平地面上移动的距离相同，物

体受到的恒力F的大小和方向不变，所以在两种情况下，力F对物体做的功相同，即W产W2。

答案：C

例题4.质量为M的长木板放在光滑的水平地面上，一个质量为m的滑块以某一初速度

沿木板的表面从A点滑至B点的过程中，在木板上前进的距离为L,此过程中，木板前进

的距离为S,如图所示。若滑块与木板间摩擦因数为〃，求摩擦1

力对滑块、对木板做的功各为多少？2J।—

思路：分析本题时，要注意功的计算式W=FS中，S指的S

是物体的对地位移，如果题目中没有直接的给出物体的对地位移，需要计算或转化为对地位

移。

解析：对滑块分析，滑块的对地位移为S+L,摩擦力阻碍其运动，对它做负功，即

叱777g(S+L)。木板的对地位移为S,摩擦力充当其运动的动力，对它做正功，即

W2=RtngSo

注意：通过本题的分析，我们可以得到不少的启示：(1)作用力和反作用力的大小虽

然相等，但是它们所做的功却不一定相等。(2)摩擦力不一定做负功。(3)计算功时，公

式中的位移S应取物体的对地位移。

答案：叱=-即g(S+£)、％=M72gs

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1.质量为m的物块A始终附着在楔形物块B的倾角为0的斜面上，

如图所示，下列说法中正确的是[]0X

A.若B向右匀速移动距离s,则B对A做的功为零B

B.若B向上匀速移动距离s,则B对A做的功为mgs

C.若B向左以加速度a移动距离s,则B对A做的功为mas

D.若B向下以加速度a移动距离s,则B对A做的功为m(g+a)s

2.如图所示，质量为m的物休A静止于倾角为6的斜面休B上，斜面体B的质量为

M,现对该物体施加一个水平向左的推力F,使物体随斜面体一起沿水平向左匀速运动，移

动S,则在此过程中斜面体B对物体A所做的功为F

A.FSB.wigSsin0cos。C.mgSsin0D.O?

3.关于功的概念，下列说法中正确的是：

A.位移大，力对物体做的功一定多B.受力小，力对物体做功一定小

C.物体静止，则力对物体一定不做功D.力的大小和物体在力的方向上的位移大小

决定功的多少。

4.如图所示，质量相同的两个物体与水平面间的动摩擦因数相同，分别用与水平方向夹

角相同的力B和Fz作用在物体卜，使物体均能在水平而

上做匀速直线运动，甲图中B为拉力，乙图中F2为推力，

当两物体经过相同位移时，Fi和Fz对物体做的功分别为

Wi和W2，则

A.W1>W2B.WI<W2C.W1=W2D.无法比较

5.一个人从4m深的水井中匀速提取50N的D水桶到地面，在水平道路上匀速行走了

12m,再匀速走下6m深的地下室，求整个过程中人用来提水桶的力对水桶做的功？

课后习题答案

1.图5.2-8表示物体在力F的作用下在水平面上发生了一段位移h分别计算这三种情形

下力对物体做的功。设这三种情形下力和位移的大小都相同：F=10N./=2mo角夕的大小

如图所示.

甲8二150。乙夕=30°丙夕=30。

答案：根据力对物体做功的计算式W=EScos6可得，甲图中力F对物体做的功为

叱=F5cos(180°-150°)=10V3J,乙图中力F对物体做的功为

W,=FSCOS(1800-30O)=-10A/3J,丙图中力F对物体做的功为

叱=FSCOS30°=10A/3JO(应用公式时注意。指的是物体受到的外力F和位移S正向之

间的夹角).

2.用起重机把重量为2.0xl(X*N的物体匀速的提高了15m,钢绳的拉力做了多少功？重

力做了多少功？物体克服重力做了多少功？这些力所做的总功是多少？A7

答案：对物体受力分析如图所示，由于物体匀速上升，所以7=〃吆，上升】口

15m的过程中，绳中拉力T对物体做的功明=，//=3.0乂1()51,重力的方向与mg

物体运动方向相反，对物体做负功WG=T〃g-H=-3.OxK)5j0重力对物体做负功，也

5

可以说物体克服重力做正功叫=^H=3.0X10JO这些力对物体做的总功

W=WT+WG=O.

3.一质量为m=60kg的滑雪运动员从高h=10m的斜坡上自由下滑。如果运动员在下滑过

程中所受的阻力F=50N,斜坡的做角6=30°,运动员滑至坡底的过程中，

F

/

上\h

方向沿斜面向下，与他所受支持力的方向垂直，所以支持力N对其做功为J

0o重力对其做功%=mgSsine=6000J；阻力F对其做功为

W=F5cosl800=-1000Jo这些力所做的总功为W=%+%.=5000J。

4.一个重量为10N的物体，在15N的水平拉力的作用下，一次在光滑水平地面上移动

0.5m,另一次在粗糙水平地面上移动相同的距离，粗糙面与物体间的动摩擦因数为0.2。在

这两种情况下，拉力所做的功各是多少？拉力做的功是否相同？各力对物体所做的总功是否

相同？

答案：力对物体做的功仅与力及物体在力的方向上的位移有关。在本题中，物体在光滑

水平地面上和粗糙水平地面上受到的拉力F大小相同，物体在力方向上通过的位移相同的，

故拉力对物体做的功是相同的%=FS=7.5J。物体在光滑水平地面上运动时，拉力F即

为其所受的合外力，所以各力对物体做的总功为叱=%=7.5/；物体在粗糙水平地面上

运动时，物体受到的摩擦力对物体做负功W/所以各力对物体做的总功

叫=%+叼=6.5Jo

第三节功率

自主探究

1.在研究力对物体做功的过程中，我们不仅关心做功的多少，还

十分关注做功的快慢，那么我们如何比较力对物体做功的快慢呢？显

然要比较做功的快慢，就是看在相同时间内谁做的功多，或做相同的

功谁用的时间少。我们用力在单位时间内对物体所做的功来比较做功

的快慢，即功率。

•用挖土机来挖土，与人工挖土相比较，在同样的时间里，

挖土机做的功比人工多得多，那么人工与挖土机比较哪一个功

率大？

在相同的时间内，挖土机做的功比人工挖土做的功多,

说明挖土机做功比人工做功快，即挖土机的功率比人工做功的

功率大。

•在右图中，马车、小汽车、卡车、摩托车在公路上行驶，它们的功率相同吗？

在一般情况下，卡车发动机的功率最大，马拉车时做功的功率最小；小汽车发动机

的功率比卡车的小，比摩托车发动机的功率大；摩托车发动机的功率要比马拉车的功率大。

•请说出你见过的3种机器铭牌上的功率。

例如滚筒式半自动洗衣机的电动机功率为325W,SG-CRL型豪华饮水机的功率为

31.25W,HD-90型摩托车发动机的功率为38OOW等。需要注意的是，

机器铭牌上所标的功率是机器正常工作的额定功率。

2.汽车在行驶的过程中，如果遇到爬坡或者是泥泞路面，就会通过

换挡的方式来降低车速，你能分析一下是为什么呢？

机车发动机的功率期中产指的是发动机的牵引力。在机车发动机功率不变的情

况下，机车的速度越小，牵引力越大，所以汽车在行驶的过程中，

遇到爬坡或者泥泞的路面时，要降低车速来增大牵引力。

3.F1是世界上最昂贵、速度最快的运动，这项运动已于今年9

月成功引进我国。F1赛车发动机的功率约为175KW,而体积比它

大的多的大公共汽车的发动机功率约为150KW,你能不能解释一下

这是为什么吗？

F,赛车的速度快、启动快，需要在很短的时间内达到很大的速度，需要发动机在

很短的时间内做较多的功，所以R赛车的体积虽然比公共汽车的小，但是发动机的功率却

要比公共汽车发动机的功率大。

教材详解

1.功率

不论是人力直接做功，还是使用牛、马等畜力做功，或者是利用机械做功，人们不仅关

注做功的多少，还十分关注做功的快慢。为表征做功的快慢引入功率的概念。

(1)定义：功W跟完成这些功所用时间t的比值，叫做功率。

W

(2)公式：P=y

(3)功率是一个标量，只有大小而无方向，其单位为瓦特(W),IW=\J/S.

(4)这个表达式是功的定义式，适用于任何情况下功率的计算。但是，在中学阶段，

我们应用该式分析问题时，一般解决一段时间内的平均功率。

2.瞬时功率和机车功率

把功的定义式W=FS代入功率的定义式可得尸=—=—=Fv,则功率的计算式

tt

P二/口常用于计算物体的瞬时功率。

(1)在物体做匀速运动时，P=计算得功率与P=：计算得的功率相同，即平均

功率与瞬时功率相同。

(2)计算瞬时功率时，式尸二/口中的速度v应该物体的瞬时速度，若式中的速度v

为平均功率，该式也可以计算平均功率。

(3)在利用公式尸计算功率时，速度I，应该是物体在力的方向上的分量，如果力

F与速度v之间的夹角为%则计算公式为P=Fucosa。

(4)机车功率的计算公式也为尸=尸也但是尸指的是机车的牵引力而不是机车受到

的合外力。

3.额定功率与实际功率

额定功率是发动机正常工作时的最大功率，通常都在铭牌上标明。机器工作时，必须受

额定功率的限制，这是基本原则。发动机的输出功率(即实际功率)，可以小于额定功率，

在某些情况下，实际功率也可以大于额定功率，但不允许长时间超过额定功率。

4.机动车的起动问题

(1)机车以额定功率起动

P

机车以恒定功率起动后，若运动过程受到的阻力/不变，由于牵引力尸=一，随着机车

V

速度V增大，尸不断减小。根据牛顿第二定律产一/=机。知，当速度U

增大时，加速度a减小，其运动情况是做加速度不断减小的加速运动。

直到户=f时，。减小到零，此后速度不再增大，机车将保持最大速度

匕做匀速直线运动，其M图像如图所示。

(2)机车以恒定的加速度起动

由牛顿第二定律尸-『=〃也知，当机车的加速度。保持不变时，发动机牵引力产恒定,

再由P=R2知，〃一定，发动机的实际输出功率。随I，的增大而增大，直到输出功率达到

额定功率Po。需要注意的是，当发动机的功率达到额定功率的瞬间，机车的加速度仍为小

此时的牵引力仍为尸=6々+/。此后，机车的输出功率不再变化，所以机车将做加速度逐

渐减小的加速运动，直到加速度减为零，速度达到%=/为止。

所以，机车以恒定的加速度a起动时，其匀加速能够达到最大速

度为＜=P/(ma+f),保持加速度不变的时间为

t=P/(ma+f)a，其v-t图像如图所示。

合作讨论

例题1.如图所示，重物的质量为1kg,动滑轮质量不计，竖直向二拉动细绳，使重物从

静止开始以5m/s2的加速度上升，则拉力尸在1s内对物体做的功为多大？拉力尸在1s末的

瞬时功率是多大呢？(g取10mg)

思路：分析本题的关键是要理解机械装置可以省力但是不省功，以及平均功率和瞬时功

率的处理方法。

解析：对物体和滑轮受力分析，由牛顿第二定律得：

2F-mg=ma

由运动规律可得在1s内物体上升的高度和1s末的速度分别为□

,12

h=—atv=at

2

根据动滑轮的特点以及功的定义可得，在1s内力尸做的功为

W=F-2h

Is末力尸对物体做功的瞬时功率为

P=F2v

联立上述方程，代入数据可得

W=18.75JP=75W

思考：在1s内拉力F的平均功率是多大呢？

例题2.汽车质量51,其发动机的额定功率为37.5KW,汽车在平直公路上从静止启动，

开始一段时间内以加速度a=1.0m/s2做匀加速运动，最后做匀速运动的速度为54km/h,则汽

车做匀加速运动的牵引力是N.汽车做匀加速运动的时间是S.

思路：分析本题的关键是要把握对于机车而言P=中产指的是机车的牵引力。当机

车匀加速启动时，牵引力不变，速度不断增大，机车功率不断增大，直到达到额定功率。此

后，汽车的功率不变，速度增加，牵引力减小，加速度减小，当牵引力等于阻力时，汽车以

最大速度匀速行驶。

解析：设机车所受的阻力为了，由题意得：

3

_^=37.5xlO;v=25xlo3Af

%15

对加速过程，由牛顿第二定徐得：

F-f=ma

代入数据可得：尸=7.5x1()3N

设汽车发动机的功率达到额定功率时速度为口，所用的时间为t

则：=Fvv-at

代入数据可得汽车保持匀加速运动的时间为

t=5s

例题3•人的心脏每跳一次大约输送8x10-5m3的血液，正常人血压(可看作心脏压送血

液的压强)的平均值约为1.5x104尸。，心跳约每分钟70次，据此估测心脏工作的平均功率。

思路：分析解决本题的关键是要把这个联系实际的、研究对象不明确的实例，抽象为我

们熟悉的、简单的物理模型。

解析：人的心脏每跳一次愉送的血液看作长为L,截面积为S的液柱，则心脏每跳动一

次，需做功W=FS=pSL=p/^V

心跳每分钟70次，则心脏做功的平均功率为

nW

p=—=l.4W

点评：这类题目联系具体的生活实例，而且研究对象不明确，需要学生明确题目涉及到

的物理原理，并且能够从生活实例中抽象出我们需要的、简化了的物理模型，再来求解题目。

有利于提高学生对知识的迁移、运用，以及培养学生分析、综合的能力。

例题5.如图所示，在自动扶梯以恒定的速度v运转时，第一次有一个人站在扶梯上相对

扶梯静止不动，扶梯载他上楼的过程中对他做功Wi，电机带动扶梯做功的功率为Pi，第二

次这个人在运动的扶梯上又以相对扶梯的速度J同时匀速向上走，

则这次扶梯对该人做功为W2,电机带动扶梯做功的功率为P2,以orz

下说法中正确的是：

A.W|>W2，PI>P2B.WI>W2,P|=P2""

C.W|=W2,P1>P2D.W1=W2,P1=P2

思路：分析本题要把握功的计算式中W=^Scosa中，S指的是物体的对地位移；发

动机功率的计算式为P=Mucosa。注意在两种情况中，人和扶梯均做匀速直线运动，扶

梯对人的作用力均与人的重力构成平衡力。但是，第二次人要相对于扶梯运动，使上楼的时

间变小。

解析：在扶梯上，人相对于扶梯静止不动和人相对于扶梯匀速向上运动，相对于地面来

说，人都做匀速直线运动，两次人均出于平衡状态，两次人的受力情况相同。即扶梯对人的

支持力与人的重力大小相等。又因为两种情况下，扶梯的速度大小不变，所以由

P=Fucosa可得，两种情况下，电动机带动扶梯的功率相等，即P二P2。

第二种情况中，人上楼的时间要比第一次上楼的时间段（人的对地位移相等），又由于

电动机的输出功率不变，所以由W=尸/由得，第二次扶梯对人做的功比第一次做的功少，

即W〉W2。所以本题的正确答案为B。

答案：B

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1.质量为根的物体沿倾角为。的斜面滑到底端时的速度大小为v,则此时重力的瞬时

功率为:

A.mgvB.w^vsin。C.mgvcos。D.mgvtan°

2.关于功率公式P二M和尸;四的说法正确的是：

A.由P=W/t知，只有知道W和t就可以求出任意时刻的功率。

B.由P=Fv只能求某一时刻的瞬时功率。

C.由P=Fv知，汽车的功率与它的速度成正比。

D.MP=Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比。

3.设飞机飞行中所受阻力与速度得平方成正比，如果飞机以速度以匀速飞行，其发动机

的功率为P,则飞机以2,匀速飞行时，其发动机的功率为：

A.2PB.4PC.8PD.无法确定

4.关于功和功率，下列说法中正确的是：

A.不同物体做相同的功，它们的功率一定相等B.物体做功越多，它的功率就越大

C.物体做功越快，它的功率就越大D.发动机的额定功率与实际功率可能相等也可能不

等

5.自由下落的物体，在第一秒内的物体，在第1s内、第2s内、第3s内重力的平均功率

之比为：

B.l:2:3C.1:3:5D.1:4:9

6.在平直的公路上以一般速度（约为5m/s）行驶的自行车所受阻力约为车和人总重量

的0.02倍，则崎车人的功率最接近于（车和人的总质量约为100kg）

A.O.lkwB.lOOOkwC.lkwD.lOkw

7.质量为m=lUl的汽车，在平直路面上行驶时，具发动机的功率和所受的阻力都不变。

已知汽车速度w=5.0m/s时，其加速度为ai=0.75m/s2；速度V2=10.0m/s时，其加速度

2

a2=0.25m/so求：（1）汽车发动机的功率P

（2）汽车能够达到的最大速度。

8.汽车发动机的额定功率为6Jkw,质量为5xl03%g,当汽车在水平路面上行驶时，遇

到的阻力是车重的0.1倍，若汽车从静止开始保持以Im/s2的加速度做匀加速直线运动，这

一过程能维持多长时间？（g取lOm/s?）

课后习题答案

1.一台电动机工作时的功率是10kw,要用这台电动机匀速提升2.7x109g的货物，提

升的速度将是多大？

答案：当货物匀速提升时，电动机的牵引力与物体的重力相等，即/=mg,

由功率的计算式P=尸口可解得货物得速度为u=（）.04加/so

2.一台抽水机每秒能把30kg的水抽到10m高的水塔上，不计额外功的损失，这台抽水

机输出的功率是多大？如果保持这一输出功率，半小时内能做多少功？

答案：抽水机在一秒内能把30kg的水抽到10m高的水塔上，则抽水机对水做的功等于

水克服重力做的功，即W=mg%=3xl（）3/,所以抽水机的输出功率为

3

p=W/r=3xlOW<>如果保持这一功率不变，半小时内做的功为W=R'=5.4xl06j。

2.有一个力F.它在不断增大.某人以此为条件，应用尸=下射进行了如下推导八根据

P=Fv,F增大则P增大；又根据u=P/尸，P增大则v增大；在根据尸=「），v增大

则F减小。这个人的推导结果与已知条件相矛盾。他错在哪里？

答案：该人在推导过程中没有注意到，应用公式分析时的条件控制。只有在速度不变的

情况下，才有第一种结论；在F不变的情况下，才有第二种结论；在P不变的情况下，才

有第三种结论。

4.质量为m的汽车在平直公路上行驶，阻力F保持不变。当它以速度V、加速度a加速

前进时，发动机的实际功率正好等于额定功率，从此时开始，发动机始终在额定功率下工作。

（1）汽车的速度和加速度将如何变化？说明理由。

（2）如果公路足够长，汽车最后的速度是多大？

答案：（1）设汽车的牵引力为尸'，额定功率为P,由尸=厂也汽车加速前进，速度不

断增加，则牵引力不断减小，由牛顿第二定律?'-尸=〃以得，汽车的加速度将不断减小。

（2）当牵引力与汽车受到的阻力相等时，汽车的速度最大，则%=尸/尸。

第四节重力势能

自主讨论

1.蓬松的白雪，给人以恬静、美丽的感觉。然而雪崩爆发时，以排山倒海之势，摧毁沿

途的一切，给人类、给自然界带来灾难。这是为什么呢？c

这是因为雪一旦被举高，就具有了一定的能量。而当它从所处的高处落

下时，这些能就会以做工的方式释放出来。当雪山上的积雪，从高处迅速滑下，形成雪崩时,

把自身的能量通过做功的方式释放出来，造成灾害。

2.影响小球势能大小的因素有哪些?

我们准备两个大小相同的小球，一个钢球、一个木球，再盛一盆细纱。在沙盆上方的同

一高度释放两个小球，钢球的质量大，在沙中陷的深一些。

让钢球分别从不同的高度落下，钢球释放的位置越高，在沙中陷的越深。

根据这个实验，你能分析出重力势能与哪些因素有关吗？

3.如右图，一个质量为m的小朋友想爬上高为H,倾角为。的斜面顶端，他采取了两

条路径，第一次从斜面的底端竖直向上爬；第二次是沿着斜面向上履，根据我们过去所学

的功的计算，分析一下这两次中，小朋友克服重力做的功的大小分别

为多大？

小朋友沿着甲路径向上爬行时，克服重力做的功为W=mgHo

小朋友沿着乙路径向上爬行的过程中，克服阻力做的功为

H

W=mg•sin。=mgH°

sin。

这说明了重力对物体做的功与路径有关系吗？

4.重力势能与物体的质量和物体被举高的高度有关，其大小为

Ep=mgh,式中的h指的是物体离哪里的高度呢？

重力势能具有相对性，公式中的h指的是物体所处的位置离选定的势

能零势面的高度差。例如，右图中如果选桌面处为重力势能的零势面，则物体在A处的重

力势能为与,=/趣以1,如果选择地面处为重力势能的零势面，则物休在A处的重力势能为

Ep=mg(H1+H2).选择不同的零势能面，物体在同一位置的重力势能可以不同。

教材详解

L势能

凡是由相互作用的物体之间的相对位置决定的能量都叫做势能。

被举高的重物，被拉伸的弹簧等都具有对外做功的本领，从而它们都具有势能。势能的

存在是由于物体间的相互作用力。众所周知，力的作用是相互的，通常我们把相互作用的物

体的全体叫做系统。势能是相互作用的系统所共有的，且由物体在系统内的相对位置所决定

的。

由于力的性质不同，势能的形式也不同，常见的有重力势能、弹性势能、分子势能等。

2.重力势能

（1）概念：由物体与地面相对位置所决定的势能叫做重力势能。

重力势能是一个描述物体运动状态的物理量，即重力势能对应一个时刻。

（2）表达式：EP=mgh

（3）单位：在国际单位制中，重力势能的单位是焦耳（J）。

3.重力势能的相对性

重力势能具有相对性，大小与零势能面的选取有关，要想确定一个物体所具有的重力势

能，必须选择零势能面。在公式"中，h就是物体相对于零势能面的高度，如果不

确定零势能面，物体的重力势能是没有意义的，习惯上选择地面或系统的最低点做为重力势

能的零势面。在表述物体的重力势能时，如果小说明所选的零势面，一般指相对地血的重力

势能。

当物体在零势能面以上时，重力势能取正值：当物体在零势能面以下时，重力势能取负

值；当物体处在零势能面上时，重力势能为零。

重力势能是标量，只有大小而无方向，但是有正、负，其正、负表示与零势面上物体势

能的相对大小。比较重力势能的大小时，需要带正负号。

4.重力做功的特点

重力的方向始终是竖直向下的，根据功的计算式可以归纳出重力做功的特点：与路径无

关，仅仅决定与初末位置的高度差。

如图所示，倾角为夕的斜面上，质量为m的物体沿斜面下滑了距离s,重力沿斜面向下

的分力为mgsin。，所以重力对物体做的功为W=/ngs・sin。，而

s-sin夕是物体在竖直方向上下落的高度h,即重力对物体做的功为

W=mgh,所以重力对物体做的功与路径无关，仅决定于初末位置........j''

的高度差。推广到一般的曲面，此结论仍然是成立的。

另外，重力做功的大小与物体的运动状态无关，与物体受到的其它力无关。如上图中,

斜面是否光滑，物体是否还受到其它力的作用，重力做的功总是W=

5.重力做功与重力势能变化的关系

重力对物体做功，物体的重力势能一定变化，而且重力势能的变化仅与重力做功有关。

重力对物体做功的大小，等于物体重力势能的减小量。重力对物体做正功，物体的重力势能

减小；重力对物体做负功，物体的重力势能增力口，即乂--AEp。

物体的重力势能的大小与零势能面的选取有关，但重力势能的变

化量的大小与零势能面的选取无关。AO--

例如右图中，位置A离地面的高度为九，位置B离地面的高为生,此

我们选择地面为重力势能的零势面时，物体处在A时的重力势能为一

mg%，而如果选择B位置为重尢势能的零势面，物体处在A时的重

力势能就变成了，咫（色-九）。选择不同的势能零点，同一个物体处在同一个位置时所具有

的重力势能是不同的。但是，如果我们研究物体从A到B的过程中，物体重力势能的变化

量，选择地面处为重力势能零点时，有AEp=EpA-EpB=mg%-7塔%,如果选择B位置

为重力势能的零势面时，物体在B处时的重力势能为七:=0,则A到B的过程中，物体

重力势能的变化量为△"=E'PA-E'PB=?ng（h「2一。=mg%,显然物体的重力

势能的变化量与重力势能的选取无关。

合作讨论

例题1.一实心立方体铁块与一实心立方体木块质量相等，将它们放在同一水平地面上,

下列结论中正确的是：

A.铁块的重力势能大于木块的重力势能B.铁块的重力势能等于木块的重力势能

C.铁块的重力势能小于木块的重力势能D.上述三种情况都有可能

思路：分析本题的关键是明确重力势能的定义式EP=mgh中各物理量的意义，其中h指

的是物体的重心与势能零点的高度差。

解析：由于铁块和木块的密度不同，所以，质量相等的铁块和木块，木块的体积较大,

放在同一水平地面上时，木块的重心高，因此，木块的重力势能较大。

答案：C

例题2.在水平地面上平铺n块砖，每块砖的质量为m,厚度为h,如将砖一块一块地

叠放起来，至少需要做多少功？

思路:分析本题的关键是抓住重力做功与重力势能变化量之间的关系。叠放砖的过程中,

外力做的功至少与物体克服重力做功相同，而物体克服重力做的功又等于物体重力势能的增

加量。

解析：对n块砖整体研究，从它们平铺在地面上到一块一块叠放起来，外力所做的功至

少等于豉所增加的重力势能。即

W=nmg•(g/?/?)-nmg•(；力)=gn(n-V)mgh

答案：^n(n-l)/ngh

例题3,将横截面积为S的玻谪管弯成如图3所示的连通器，放在水平桌面上，左、右

管处在竖直状态，先关闭阀门K,往左、右管中分别注入高度为hl和h2、密度为P的液体,

然后打开阀门K,直到液体静止在上述过程中，液体的重力势能减小了多少。［1

2

A.Pgs(hj-hj)B.-Pgs(hj-h2)

3

C.^-Pgs-h2)C.qpgs(h]-h2)

思路：分析本题的关键是抓住重力做功与重力势能变化的关系以及重力做功的特点，采

用等效法分析。

解析：从打开阀门K后，左管中的液体流向右管，直到两管液面相平，相当于把左管

中高为"二々2的液体，，搬”到右管中，其重心下降的高度为色二空，所以该过程中，

22

液体重力势能的减小量为AEp=pgs(/了.(”2=；内式生一九尸

224

答案：c

点评：本题考查重力做功的特点以及重力做功与重力势能变化的关系，角度巧妙，需要

运用等效的思维方式，才能简单的突破本题，对于提高学生分析问题解决问题的能力，培养

学生开阔的思维具有较好的作用。

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1.下列说法中正确的是：

A.地面上的物体重力势能一定为零B.质量大的物体重力势能一定大

C.不同的物体中离地面最高的物体重力势能最大

D.离地面有一定高度的物体其重力势能可能为零

2.关于重力势能，下列说法中正确的是：

A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定

B.物体与零势面的距离越大，它的重力势能也越大

C一个物体的重力势能从一5J变化到一3J,重力势能变小了

D.重力势能的减小量等于重力对物体做的功

3.物体在运动过程中克服重力做功为100J,则下列说法中正确的是：

A.物体的重力势能一定增加了100JB.物体的重力势能一定减小了IOOJ

C.物体的动能一定增加IOOJD.物体的动能一定减小100J.

4.质量为m的小球，从离桌面H面处由静止下落，桌面离地面的高度为h,如图所示,

若以桌面为参考面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中

重力势能的变化是：

A.mgh,减少mg(H-h)B.mgh,增加mg(H+h)H

厂、

C.-mgh,增加mg(H-h)D.-mgh,减少mg(H+h)'II1f

5、在高处的某一点将两个质量相同的小球以相同的速率%---------------上

分别竖直上抛和竖直下抛，下列结论正确的是(不计空气阻力)：

A.从抛出到刚着地，重力对两