经济管理数学第2章 微分学及其应用

经济管理数学何良材编著重庆大学出版社2.1导数概念2.1.1引例引例1变速直线运动的瞬时速度.假设物体作匀速直线运动，那么物体在任何时刻的速度都等于运动路程除以运动时间．但假设物体做非匀速直线运动，且知其运动规律为s＝s(t)，应如何求它在t＝t0时的瞬时速度呢？这个问题可以通过下述方法解决：当时间t从t0变到t0＋Δt时，物体所经过的路程为第2章微分学及其应用于是，在Δt时间内物体的平均速度为引例2产品总本钱的变化率.设某产品的总本钱C随产量x而确定，那么C是x的函数，记作C＝C(x)(x＞0)，通常称它为本钱函数．试求产量为x0个单位时，总本钱的变化率．当产量x从x0变化到x0＋Δx时，总本钱取得相应的改变量于是，在产量x由x0变到x0＋Δx时，总本钱的平均变化率为

显然，当Δx→０时，极限值就可认为是产量为x0个单位时总本钱的变化率．2.1.2导数定义定义2.1设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx(≠0)时，函数f(x)取得相应的增量Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx→０时，比值的极限存在，那么称函数f(x)在点x0处可导，并把该极限叫做函数y=f(x)在点x0处的导数，记作f′(x0)，即也可记作.如果此极限不存在，那么称函数y=f(x)在x0处不可导．由导数定义还可将求导数方法概括为以下三步：算增量：Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)；写比值：Δ；求极限：.例求函数1)

在点x=1处的导数．解2.1.3导数的几何意义如图2.1所示，设P(x0，f(x0))为曲线y=f(x)上一点，当自变量在x0处取得增量Δx时，在曲线y=f(x)上相应得到另一点Q((x0＋Δx)，f(x0＋Δx))，连接这两点得割线PQ，设其倾角为φ，那么割线PQ的斜率为：图2.1即平均变化率表示割线PQ的斜率．2.1.4函数可导与连续的关系定理2.1假设函数y=f(x)在点x0处可导，那么y=f(x)在点x0处连续．反之不真.例设，判断f(x)在x=0处的连续性及可导性．解

故，又f(0)=0，所以f(x)在x=0处连续.

可知f′+(0)≠f

′-(0),即f(x)在x=0处不可导．2.2求导方法2.2.1导数定义求导法例设y=f(x)=c(c为常数)，求y'

．解因为Δy=f(x＋Δx)－f(x)=c－c=0所以即例

设y=sinx，求y′．解

2.2.2四那么运算求导法定理2.2设函数u(x)与v(x)在x处可导，那么(u±v),uv,在x处可导，且例，求y′．解2.2.3反函数求导法定理2.3设函数x=φ(y)在某一区间内单调、连续、可导，且φ′(y)≠0，那么其反函数y=f(x)在对应区间内可导，且换句话说：即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例设y=arcsinx(－1＜x＜1)，求y′．解因为y=arcsinx(－１＜x＜１)与

互为反函数，由反函数求导法，得即类似地2.2.4复合函数求导法(1)复合函数求导定理2.4设函数u=φ(x)在点x处可导，函数y=f(u)在对应点处可导，那么复合函数y=f［φ(x)］在点x处可导，且设那么复合函数

的导数为或例设y=(2x＋1)3，求y′．解设u=2x＋1，那么y=(2x＋1)3可看成由y=u3和u=2x＋1复合而成，由复合函数求导法那么得例设y=sine-x，求y′.解(2)隐函数求导法求隐函数F(x，y)=0的导数，一般是将方程两端同时对自变量x求导，遇到含y的项就把它看成是x的函数y(x)，同时利用复合函数的求导法那么，然后从所得的关系式中解出y′，就得到所求隐函数的导数．例求由方程所确定隐函数的导数y′与y′(0)．解将xy－ex＋ey=0两边同时对x求导数，并注意到y是x的函数，ey是x的复合函数．于是有解出y′，得又将x=0代入方程xy－ex＋ey=0，得y=0.所以.*(3)对数求导法具体做法是：先取对数，然后按隐函数求导法那么求导.例设，求y′．解方程两边取自然对数由隐函数求导法那么，将上式两边同时对x求导得解出y′，得即2.2.5初等函数求导公式(1)导数根本公式(2)函数和差积商求导法那么(3)反函数求导法那么设y=f(x)是x=φ(y)的反函数，那么即(4)复合函数求导法那么设y=f(u)，u=φ(x)，那么复合函数y=f［φ(x)］的导数为

或2.2.6高阶导数求法二阶及二阶以上的导数，统称为高阶导数．从高阶导数的定义可知，要求函数y=f(x)的高阶导数，只要反复运用求导方法，逐阶求导即可．例求y=x3－2x2＋3x＋7的各阶导数．解例求y=sinx的n阶导数．解

所以同理2.3微分2.3.1微分概念引例1

一正方形金属板因受热而膨胀，其面积A=A(x)=x2，当边长由x变到x+Δx，求面积改变量ΔA的近似值．图2.3解相应的面积改变量为第一局部2xΔx是Δx的线性函数，其系数2x正好是A=x２的导数，即图2．3中画斜线的那两个矩形面积之和；第二局部(Δx)２，因，所以(Δx)２是Δx的高阶无穷小，即图2.3中画网线的小正方形的面积．定义2.2假设函数y=f(x)在点x处有导数f′(x)，那么f′(x)Δx叫做函数y=f(x)在点x处的微分，记作dy

或df(x)，即或例求函数y=x2＋1当x由1变到1.01时的增量Δy与微分dy．解因为2.3.2微分的几何意义函数y=f(x)的微分dy的几何意义是：函数y=f(x)的图形在(x，f(x))点处所引切线在区间［x，x+Δx］上的纵坐标的增量．2.3.3微分的运算例设y=x2ln

x2＋cosx，求dy．解：2.4导数的应用2.4.1微分中值定理定理2.5(拉格朗日中值定理)设函数y=f(x)在闭区间［a，b］上连续，开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使得推论1设f′(x)=0，那么f(x)=C,x∈(a,b)．推论2设f′(x)=g′(x),那么f(x)-g(x)=C,x∈(a,b)．2.4.2罗彼达法那么也可写成

f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(a<ξ<b)(2.11)例求.解定理2.6(罗彼达法那么)设函数f(x)，g(x)满足以下条件：例求解2.4.3函数的性态(1)函数的增减性定理2.7设函数f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导．１)假设在(a，b)内f′(x)＞０，那么f(x)在［a，b］上单调增加．２)假设在(a，b)内f′(x)＜０，那么f(x)在［a，b］上单调减少．例讨论函数y=f(x)=x３-３x的增减性．解

令解之，有x=-1，1．当-

∞＜x＜-１或１＜x＜+∞时，有y′＞０，从而函数在区间(-

∞，-１)和(1，+∞)内单调增加．

当-1＜x＜1时，y′＜0，从而函数在区间(-1，1)内单调减少，如图2.7所示.图2.7(2)函数的极值定义2.3设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，如对于这邻域内任一点x都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)是f(x)的一个极大值．如对于这个邻域内任一点x都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)是f(x)的一个极小值．定理2.8(极值判定定理)设函数f(x)在点x0的某个邻域内可导，且f′(x0)=０,1)假设x＜x0时，f′(x)＞０；x＞x0时，f′(x)＜０，那么f(x)在x0处取得极大值．2)假设x＜x0时，f′(x)＜０；x＞x0时，f′(x)＞０，那么f(x)在x0处取得极小值．3)假设在x0的两侧，f′(x)保持同号，那么f(x)在x0处没有取得极值．例求函数f(x)=(x-１)2(x-２)3的极值．解第一步：求导数第二步：求驻点，令f′(x)=０，即解得驻点

第三步：判极值，列表2.1讨论f′(x)的符号变化，确定f(x)的极值.

由表2.1可知，f(x)有：极大值f(１)=０，极小值

f(x)在x=２的两侧均单调增加，所以f(x)在x=２处无极值．*(3)曲线的凹向性与拐点定义2.4假设曲线弧位于(a，b)上每一点处切线的上方，就称曲线在(a，b)上是上凹的(或凹的，或凹向向上)；假设曲线弧位于(a，b)上每一点处切线的下方，就称曲线在(a，b)上是下凹的(或凸的，或凹向向下)；且曲线上上凹与下凹局部的分界点称为该曲线的拐点．根据f″(x)的符号给出判定函数图形的凹向性及拐点的法那么．定理2.9设函数f(x)在(a，b)内具有二阶导数．1)如在(a，b)上有f″(x)＞０，那么函数y=f(x)对应的曲线向上凹．2)如在(a，b)上有f″(x)＜０，那么函数y=f(x)对应的曲线向下凹．3)如x0∈(a，b)使f″(x0)=0，且在x0附近f″(x)变号，那么点(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，假设在x0附近f″(x)不变号，那么点(x0，f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点．例求曲线y=３x4－４x3＋１的增减区间、极值、凹向区间及拐点，并描出图形．解

为便于判定函数的增减区间、极值、凹向区间及拐点，将上述各根x1=０，x2=23，x3=依次插入函数定义域(－∞，+∞)，将其分成四个区间，列出表2.2讨论．

由表2.2知：减区间为(－∞，１)，增区间为(１，＋∞)；上凹区间为，下凹区间为；拐点为；极小点为x=１，极小值为y(１)=０，见图2.9．图2.9图2.13

令S′=０，得驻点由于,因此S在处取得极小值，也就是最小值．这时相应的高为(2)边际分析边际本钱设C=C(x)是某产品的总本钱函数，其中x为产品量，那么称总本钱C对产量x的导数C′(x)为产量x单位时的边际本钱．相应曲线称为边际本钱曲线，常记作MC．边际本钱的经济意义是：边际本钱C′(x)近似地等于在产量x单位的水平上再生产一个单位产品所增加的本钱．或者说，C′(x)近似地等于第x＋１个单位产品的本钱.边际收益设R=R(x)是某产品的总收益函数，其中x为产量，那么称R对产量x的导数R′(x)为产量x单位时的边际收益．相应曲线称为边际收益曲线，常记作MR．边际收益的经济意义是：边际收益R′(x)近似地等于在产量x单位的水平上再生产一个单位的产品所增加的收益．或者说，R′(x)近似地等于第x＋１个单位产品的收益．边际利润设L=L(x)是某产品的总利润函数，其中x为产品量，那么称总利润L对产量x的导数L′(x)为产量x单位时的边际利润．相应曲线称为边际利润曲线，常记作ML．边际利润的经济意义是：边际利润L′(x)近似地等于在产量x单位的水平上再生产一个单位的产品所增加的利润．或者说，L′(x)近似地等于第x＋１个单位产品的利润．边际需求设Q=Q(P)是某商品的需求函数，其中P为商品的价格,那么称需求量Q对价格P的导数Q′(P)为价格P单位时的边际需求，相应曲线称为边际需求曲线，常记作MQ．边际需求的经济意义是：边际需求Q′(P)近似地等于价格在P货币单位的水平上，再增加一个货币单位所增加的需求量．也称P=P(Q)的导数P′(Q)为边际价格．它近似地等于销售量在Q的水平上，再增加一个单位的销售量所增加的价格．例某商品的本钱函数和收益函数各为：其中x是商品的销售量，试求该商品的边际本钱、边际收益和边际利润．解边际本钱是本钱函数的导数，故商品的边际本钱为：边际收益是收益函数的导数，故商品的边际收益为因利润函数等于收益函数减去本钱函数，即边际利润是利润函数的导数，故商品的边际利润为：实际上(3)弹性分析1)定义2.5

设函数y=f(x)在x处可导，称两个相对改变量之比值，当Δx→０时的极限(如存在的话)为函数y=f(x)在x处的弹性(或相对变化率)，记为η，有即2)几个常用经济量的弹性①需求弹性需求函数是受多因素(如该商品的价格、消费者的收入水平，其他代用品价格等)的影响，这里仅考虑价格这一主要因素，设商品需求函数为Q=Q(P)，且在P处可导(其中P为价格、Q为需求量)，那么称为该商品在P处的需求弹性，或称需求Q对价格P的弹性.例设某商品需求量对价格的函数关系为试求需求量Q对价格P的弹性，并说明其经济意义．解根据需求弹性定义：有即其经济意义：表示当价格P上涨(或下跌)1%时，需求量Q近似减少(或增加)1.1P%．②收入弹性设R=R(x)是某产品的总收益函数(其中x为产量)，且在点x处可导，那么称

为该产品在点x处的收入弹性，其经济意义的解释留给读者完成．例设某种商品的销售额R与价格P之间的函数关系为

试求，当价格P=1.00元与1.50元水平时，销售额函数的弹性，并说明其经济意义．解由弹性定义有

当P=1.00元时，；当P=1.50元时，.其经济含义是：当价格在1.00元水平时，价格上涨1％，该商品的销售额还可增加0.48％；但当价格在1.50元水平时，价格上涨1%，该商品的销售额将下降0.047％．③本钱弹性设C=C(x)是某产品的总本钱函数(其中x为产品量)，且在点x处可导，那么称为该商品在点x处的本钱弹性．其经济意义的解释留给读者．④函数弹性的图解法设函数y=f(x)的曲线已作出，A(x0，y0)为该曲线上一点，由弹性定义有

由图2.17知：其中α1为过A点的切线AB与x轴的夹角．又图2.17

其中α2为OA与x轴的夹角，结合以上三式得从而得出y=f(x)在x0处弹性的几何图解法步骤：第一步,作出y=f(x)的曲线；第二步,过曲线上点A(x0，y0)分别作切线AB与线段OA，得到其与x轴夹角α1与α2；第三步,按公式求出弹性．2.5多元函数微分学2.5.1偏导数与全微分概念(1)二元函数的连续性偏导数的研究根底是多元函数．这里以二元函数为主．定义2.6设某研究过程中有三个变量x，y，z，假设当变量x，y在其变化范围内任取一对数值时，变量z按照一定法那么总有确定的数值与之对应，那么称z叫x，y的二元函数，记作定义2.7设z=f(x，y)在点P0(x0，y0)及其附近有定义，点P(x0＋Δx，y0+Δy)为P0点附近的另一点，当Δx→0，Δy→0(即P→P0)，假设增量

满足那么称z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处连续，且P0(x0，y0)称z=f(x，y)的连续