第二十三章 旋转（知识归纳+题型突破）（八大题型134题）（解析版）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第二十三章旋转（知识归纳+题型突破）

课标要求

基础知识归纳

题■一旋转三要素_

、题型二图形旋转性质的应用,

题型三图形旋转的规律探究

题型四坐标系内的图形旋转

、题型五图形中心对称的性质应用,

题型六中心对称图形

题型七坐标系内的关于原点的对称问题

题型八一的综

考点9:雌上

1.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质:一个图形和旋转得到的图形中，对

应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.

2.了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质;成中心对称的两个图形中，对应点的连线经

过M称中心，且被对称中心平分.

3.探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.

4.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.

基础知识归纳

1、旋转

把一个平面图形绕着平面内的一点O转动一个角度。（旋转中心：。点，旋转角：转动的角度）

2、性质

①对应点到旋转中心的距离相等

②对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角

③旋转前后的图形全等

3、中心对称

把一个图形绕着某一点0旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，这两个图形关于这个点对称或中心

对称

4、性质①对称点所连线段都经过时称中心，且被对称中心所平分

②中心对称的图形是全等图形

5、中心对称

把一个图形绕着某一点。旋转180度后能与原图形重合，主体：一个图形，而中心对称指的是两个

4、关于原点对称的坐标P(x,y)-P(-x,-y)

重要题型

题型一旋转三要素

【例1】如图，AA8C和A4OC都是等边三角形.

(1)AA4C沿着所在的直线翻折能与AAOC重合；

(2)如果AA3C旋转后能与AAZX?重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是

(3)请说出2中一种旋转的旋转角的度数.

【答案】(1)AC；(2).点A、点C或者线段AC的中点；(3)60°

【分析】(1)因为A48C和A4OC有公共边AC,翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可：(2)将△ABC

旋转后与A4OC重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；(3)以点A、点C为旋转中心时都旋

转60。，以AC中点旋转时旋转180。.

【详解】(1)・・•MBC和AAQC都是等边三角形，

・•・MBC和MDC是全等三角形，

•••△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合.

故填AC;

(2)4AABC旋转后与AADC重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60。或以点C为旋转中心顺时针旋

转60。,或以AC的中点为旋转中心旋转180。即可；

（3）以点A、点C为旋转中心时都旋转60。，以AC中点旋转时旋转180。.

【点睛】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可.

巩固训练:

1.（2023・全国•九年级专题练习）如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得

)

C.点CD.点、D

【分析】根据旋转的性质，作两组对■应点所连线段的垂宜平分线，交点即为旋转中心，即可得.

【详解】解：如图所示，两组对应点所连线段的垂直平分线的交点4即为旋转中心,

故选:B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质.

2.《2023春•福建漳州•八年级统考期末）如图，在7x5方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形

乙，则其旋转中心是（）

A.点、MB.点NC.点、PD.点。

【答案】A

【分析】先确定点A与点£为对应点，点4和点厂为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平

分线上，也在质的垂直平分线上，所以作AE的垂直平分线和斯的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心.

【洋解】解：•••甲经过旋转后得到乙，

，点A与点E为对应点，点8和点尸为对应点，

・•・旋转中心在A左的垂直平分线上，也在M的垂直平分线上，

作AE的垂直平分线和所的垂直平分线，它们的交点为M点，如图，

即旋转中心为M点.

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质：对■应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角；旋转前、后的图形全等.

3.（2023春泗川成都•八年级统考期末）如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了4点，若NO/W=50。,

则秋千旋转的角度为（）

A.50°B.60°C.80°D.90°

【答案】C

【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答.

【详解】・・・/QVT=50。，小刚的位置从A点运动到了A点，

JAO=OAr,

・•・NQW=NQVA=50。，，

・•・ZA,OA=\80°-50°-50°=80°,

，秋千旋转的角度为80°

故选C.

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

4.（2021秋广东江门•九年级台山市新宁中学校考期中）如图，将心48c中，N8=32。，ZC=90°,将其

绕点A顺时针方向旋转到.4SG的位置，使得。、4妫在同一条直线上，那么旋转角的度数为（）

B

A.32°B.90°C.122°D.132°

【答案】C

【分析】根据三角形的外角的性质得到=NAC8+N8即可解答.

【详解】解：:在用ABC中，ZB=32°,ZC=90°,C、A、片在同一条直线上，

ZBABi=ZACB+NB=90°+32c=122°,

故选C.

【点睛】本题考查了平角的定义，旋转性质、三角形外角的性质，找到旋转角并掌握三角形外角的性质是

解题的关键.

5.（2023・江苏•八年级假期作业）如图，如果将正方形甲旋转到王方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有

)

乙

甲

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以48,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置.

【详解】解：如图，

乙

甲

绕A点逆时针旋转90。，可到正方乙的位置；

绕C点顺时针旋转9（）。，可到正方乙的位置；

绕AC的中点8旋转180。，可到正方乙的位置；

故选：C.

【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转

角，对应点到旋转中心的距离相等：特别注意容易忽略点注

6.（2023春・江苏•八年级专题练习）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为

旋转中心的是（）

A.M或O或NB.E或。或CC.E或O或ND.M或O或C

【答案】A

【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABC。顺时针旋转90。，A点对应点为“，8点对应点为

E,C点对应点为立。点对•应点为G,则可得到正方形EFG”：

若以。为旋转中心，把正方形A6CD旋转180。，A点对应点为G,8点对应点为“，。点对应点为E,。点

对应点为F,则可得到正方形EFG，；

若以N为旋转中心，把正方形ABC。逆时针旋转90。，A点对应点为F,B点对应点为G,C点对应点为”,

D点对应点为E,则可得到正方形EFGH.

故选A.

7.（2023春・山东滨州•八年级统考期末）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到A9C,

则旋转中心的坐标是.

【分析】根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，则对应点连线的垂直平分线的交点即为旋

转中心.

【详解】如图，连接A4'，BB',分别作线段/VT，的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点P（T,T）,

点P（T-l）即为旋转中心.

故答案为：

【点睛】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为

旋转中心）是解题的关键.

8.（2023春•山东荷泽•八年级统考期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都

在格点上.线段A/3绕着某一定点顺时针旋转一个角度。（0。＜。＜180。）后，得到线段A0（点A、4分别

是A、8的对应点，也都在格点上），则。的大小是.

【答案】90390度

【分析】首根据旋转的性质确定旋转中心为点。，即可解决问题.

【详解】解：如图，连接町由网格作的垂直平分线，交于点O,

・••点。为旋转中心，

:.NAOV=90。，即旋转角为90°，

故答案为：90°.

【点睛】本题主要考查了旋转角度的确定，画出图形能快速解决问题.

9.（2022秋・广东汕头•九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图，A8C在平面直角坐标系中的位置，且

4（5,5）,将其绕点P顺时针旋转得到.A7TC,则点尸的坐标是,旋转角是度.

【答案】(4,4)90

【分析】根据旋转性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此可求解.

【详解】解：如图，点P(4,4)为旋转中心，旋转角/4%=90。，

2

6

5

4

3A9

2----

1B-

^1~1~2-^~~456攵

故答案为:(4,4),9().

【点睛】本题考查坐标与图形变换-旋转，解答的关键是熟知对应点连线的垂宜平分线的交点即为旋转中心.

10.(2023春・福建福州•八年级福州日升中学校考期末)如图，在平面直角坐标系中，A8C的三个顶点坐

标为4-3,4),B(T,2),C(-2,l),/8C绕原点逆时针旋转90。，得到△人片&，△4片&向右平移6个单

位，再向上平移2个单位得到△人,为G.

(1)画出△和△A避2c2;

(2)「(4份是/8C的4c上一点，/8C经旋转、平移后点。的对应点为鸟，则点6的坐标是

(3)若，A8C直接旋转得到△&8C，则旋转点M坐标是

【答案】(1)见解析

(2)「。+6,a+2)

(322.4)

【分析】(1)先根据点绕原点逆时针旋转90。坐标变换规律得出点4,耳，C，再顺次连接即可得△A4C：

根据坐标平移规律得出点A?,B?,C2,然后顺次连接即可得△A与G；

(2)根据点绕原点逆时针旋转90。坐标变换规律、坐标平移规律即可得；

(3)对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.

【详解】(1)解.：根据旋转的性质得到△A4G，

根据平移的性质得到2c2,女「图所示:

（2）解：由（1）坐标变换规律得：6（-〃，〃），鸟（-"6,4+2）；

故答案为：（-〃+6,。+2）；

（3）解：若.A8c直接旋转得到如图,

则旋转点M坐标是（2,4）.

故答案为：（2,4）.

【点睛】本题考查了画旋转图形、平移图形、旋转中心，掌握点坐标变换规律是解题关键.

11.（2022秋・河南周口•九年级统考期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有一个RtZXABC,且A（-l,3）,

8（3,1）,C（3,3）,已知.AAG是由ABC旋转得到的.

,旋转角是,度;

⑵以（1）中的旋转中心为中心，分别画出AAG逆时针旋转90。、180。后的三角形;

（3）设RlZ\A6C两直角边8C=a,AC=b,斜边A8=c,利用变换前后所形成的图案证明勾股定理.

【答案】（1）0（0,。），90

（2）见解析

（3）见解析

【分析】（1）根据CG，A3的垂比平分线交于点O,则旋转中心为坐标是0（0,0）,勾股定理的逆定理可得

乙408=90。，进而即可求解；

（2）根据旋转的性质画出旋转图形即可求解；

（3）由旋转的过程可知，四边形CGGG和四边形是正方形.根据S正方M0G=S正方形+4sz5c,

进而即可求解.

【洋解】（1）解：如图所示,

CC„AB的垂直平分线交于点0,则旋转中心的坐标是。(0,0)，

又；OA2=OB2=12+32=10,^=22+42=2(),

・••ZAOB=90。

即旋转角是90度.

故答案为:0(0,0),90.

(3)由旋转的过程可知，四边形CGGG和四边形948是正方形.

,:S正方形cgGJ=S正方形M&B+4S&X,

设RtZXABC两直角边8C=a,AC=b,斜边A8=c,

2J

:.(«+/?)"=c2+4x-ab,a2+2ab+b2=c2+2ab.

：•a1+lr=c2.

【点睛】本题考查了勾股定理，找旋转中心，旋转角，画旋转图形，勾股定理的证明，熟练掌握旋转的性

质是解题的关键.确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心.

12.（2023春・广东梅州•九年级校考开学考试）如图，直线〃?、〃相交于点P，且所成的锐角为45。，画出4ABe

关于直线，〃的对称图形,A&C,然后画出..AB'C关于直线〃的对称图形△4WC〃，你能发现ABC与

有什么关系吗？若是平移，指出平移的方向和距离；若是旋转，指出旋转的中心和角度.

【答案】作图见解析，.A8C绕点P逆时针旋转90。得到

【分析】利用轴对称的性质画出AEC和△/V7TC",然后根据轴对称的性质得到Q4=%i,PB=PB：

PC=PC",^APAT==NCPC”=90。,从而可判断AA5C绕点P逆时针旋转90。得到△△"/＜（_；”.

【详解】解：如图，A6C和△AWC"为所作.

A8C和A9C关于直线〃?的对称，

PA=PA,%与直线〃?夹角等于P/V与直线机的夹角，

A'B'C和△4〃ZTC"关于直线〃的对称，

・..PAn=PAf,BT与直线〃夹角等于PA与直线〃的夹角，

APA=PA^Z4PA*=2x45°=90°,

同理得到依二28〃，NBPB"=90。,PC=PC",ZCPC*=90°,

.,“A8C绕点。逆时针旋转90。得到AA〃8〃C".

【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然

后按原图形中的方式顺次连接对称点.也考查了旋转的性质.

题型二图形旋转性质的应用

【例2】（2022秋・湖北荆州•九年级统考期中）如图，ABC中，Z5=I5°,ZACB=25°,45=4cm,ABC

逆时针旋转•定角度后与VADE重合，且点C恰好成为4。的中点.

（1）指出能转中心，并求出旋转的度数；

⑵求出NBAE的度数和AE的长.

【答案】（1）旋转中心为点A,旋转的度数为140。⑵NB4E=80。，AE=2

【分析】（1）根据图形可得旋转中心为点4根据一角形的内角和定理求出N7MC,结合旋转的性质即可

得出旋转角的度数；

（2）

【详解】（1）解：ZBAC=180°-ZB-ZACB=180o-15o-25o=140°,

即ZBAD=140°,

所以旋转中心为点A,旋转的度数为140。；

（2）解：逆时针旋转一定角度后与VADE重合，

...N£4O=N3AC=140°,AE=AC,AD=AB=4,

NBAE=360。-140°-l40。=80°:

•・•点C恰好成为AD的中点，

AC=—AD=2,

2

.\AE=2.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应角相等，对应边连线

的夹角等于旋转角.

【例3】如图I,在等腰RtZXABC中，A8=8C=8,N8=90。，D、E分别为A3、8c上的点，且8D=8E=6,

将」）BE绕B点逆时针旋转a（00<a<l80°）.

（2）若a=60。，求A。的长：

（3）在一旋转过程中，直接写HIC。的最大值.

【答案】（1）见解析；（2）人0=2/5；（3）。。的最大值为14.

【分析】（1）利用旋转的性质得出角度相等，再证明A瓦注C6E即可:

（2）添加辅助线，构造直角三角形，再由勾股定理即可求解：

（3）判断出点。在C8的延长线二时，CO最大，即可得出结论.

【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，ZABD=NCBE,

在△48。和△C8E中，

AB=CB

<NABD=Z.CBE,

BD=BE

：.YABD^VCBE（SAS）,

：.AD=CE.

（2）过点。作于点尸，

当a=60。，即NABD=60°,

•••80=6,ZBFD=90°,ZABD=60°,

・•・ZBDF=30°,

：・BF=3,DF=3+,

*/AB=8,

，AF=AB-BF=S-3=5,

在Rt4D77中，DF=36,AF=5,

・••由勾股定理得：AQ=2jii,

（3）如图,

则有：CDWDB+BC,

・•・当点。、点/?、点C三点共线时，CD最大，最大值为3C+6£）=8+6=14.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，判断出“以注£8£是解本题的

关键.

巩固训练

1.（2023秋・山东济南•八年级统考期末）如图，将ABC绕点4按逆时针方向旋转100°,得到VA8C,若

点夕在线段8C的延长线上，则N3的度数为（）

A.40°B.60°C.70°D.80°

【答案】A

【分析1由旋转的性质可得N846'=100。.AB=AB\由等边对等角的性质可得NB=即可求解.

【详解】解：•・•将，/WC绕点4按逆时针方向旋转100。，

••・/84夕=100。，AB=ABf,

/B=NAB，B=-(180°-100°)=40°,

故选：A.

【点睛】本题主要考查r旋转，等腰三角形，熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，是解题的关键.

2.(2023秋•辽宁辽阳•九年级统考期末)如图，正方形。48。的边长为2,将正方形O48C绕原点。逆时针

旋转45，则点8的对应点用的坐标为()

y八

----------------C

A'O~x

A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,72)D.(-272,0)

【答案】D

【分析】点B绕原点。逆时针旋转45后落在x轴负半轴上，根据08的长度即可确定点用的坐标.

【详解】解：连接。8,如图，

Bp---------------C

、、

、、

、、

、X

、、、

A~O~x

•・•正方形。48c的边长为2,

：.OA=AB=2,N6L48=90°,ZBOA=45°,

由勾股定理得：06=004=20;

•.*/8Q4=45。，

・••点4绕原点。逆时针旋转45后落在X轴负半轴上，

：・OB\=OB=2xH,

・••点片的坐标为(—2立,0),

故选：D.

【点睛】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是关键.

3.（2022秋・河北保定•九年级校联考期中）如图，在矩形A8CO中，AO=3.将矩形ABC。绕点A逆时针

旋转，得到矩形AEAG.点8的对应点£落在。。上，且。£=EF.则AB的长为（）

A.3行B.4C.5D.3

【答案】A

【分析】由旋转的性质得到石/=AD=3,?D90?,AB=AE，由"七=七〃得到/兄=3,根据勾股定理得

到A£=3&，即可得至I」AB的长.

【详解】•・•将矩形A8CD绕点A逆时针旋转，得到矩形AE/P,

/.EF=BC=AD=3,?。90?,AB=AE.

♦：DE=EF,

：.DE=3,

：•AEHALP+ED?=打+32=3拉，

，A8=AE=3&，

故选：A

【点睛】此题考查了旋转的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和勾股定理计算是

解决本题的关键.

4.（2022秋•辽宁鞍山•九年级统考期中）如图，在RtzMBC中，ZACT=90°,N8=30。,AC=1,将丛8c

绕点。逆时针旋转得到△A'8'C,此时点A恰好在边上，Ab与BC交于点。，则9。长为（）

D

H

3

A.2B.2\/3C.—D.5/3

【答案】C

【分析】首先证明.ACA'是等边三角形，再证明CD4'是直角三角形，求出4。即可解决问题.

【详解】解：•・•在RtZ^ABC中，乙4c6=90。，AC=\,ZB=30°,

・•・AB=2AC=2,

'BC=\IAB?-AC27展=R,

•・•将C/WC绕点c逆时针旋转得到,

/.AC=CA,A8=A3'，

VZ4=90°-Z^=60°,

・・・，4CA是等边三角形，

/.AA,=AC=A,C=l,

：.A'C=A'8=1,

JZA'C8=N8=30°,

•・・NC47T=NA=60。，

/.NCAA'=180。-ZACD-NC4'O=90°,

・•・A!D=-A!C=-

22

*/A,B,=AB=2,

13

・•・B'D=2--=-.

22

故选：C

【点睛】本题考查直角三角形30度角的性质、勾股定理.、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型.

5.（2023•宁夏•统考中考真题）如图，在A8C中，N84C=90。，AB=AC,BC=2.点、D在BC上,且

BD.CD=\.3.连接A。，将线段A。绕点A顺时针旋转90。得到线段AE,连接8£,DE.则一比应的面

积是（）

E

BDC

13a彳

A.-B.：C.二D.-

4842

【答案】B

【分析】证明“0。丝△AE8,得到3E=CDNA5E=NC,推出D8E为直角三角形，利用sRM的面积

等于^BDBE,进行求解即可.

2

【详解】解：VZBAC=90°,AB=AC,

・•・ZABC=ZC=45°,/BAD+ZC4D=90。，

,:将线段AO绕点A顺时针旋转90°得到线段AE,

/.AD=AE,/BAD+4BAE=ZDAE=90°,

ZCAD=ZBAE,

在AADC和AAES中,

AD=AE

<ACAD=NBAE,

AB=AC

^ADC^/XAEB,

・•・BE=CD./LABE=ZC=45°,

・•・ZEBD=ZABE+ZABC=90。，

•••BC=2,BD:CD=1:3,

]133

・•・BD=2x-=-,BE=CD=2x-=-,

4242

••一ADE的面积等于=

22228

故选B.

【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质.熟练掌握旋转的性质，得

到三角形全等是解题的关键.本题蕴含手拉手全等模型，平时要多归纳，多总结，便于快速解题.

6.（2023春・河北保定•八年级保定市笫十七中学校联考期末）在《数学知识PK赛》上，天逸同学给竞争对

手抛出了一道旋转题，做为观赛选手，请大家都来挑战一下：如图，将/WC绕点A逆时针旋转70。，得到

NADE,若点。在线段4c的延长线上，则N8的大小是()

A.45°B.55°C.60°D.100°

【答案】B

【分析】根据旋转的性质得=/BAD=70。，再利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：由旋转的性质得A8="＞，/BAD=7。。,

：.=1(180°-ZBAD)=55°,

故选:B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题

的关键.

7.(2023秋・新疆和田•九年级统考期末)如图，/4C是等边三角形，点。在“3C内，PA=2,将绕

点A逆时针旋转得到△QAC,则PQ的长等于()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据等边三角形的性质推出AC=A8,NC4B=60。.根据旋转的性质得出，CQAg.B/%,推出

AQ=AP,ZCAQ=ZBAP,求出NPAQ=60。,得出aAP。是等边三角形，即可求出答案.

【详解】解：是等边三角形，

.\AC=AB,ZC4B=6O°,

•••将绕点A逆时针旋转得到△Q4C

CQ哙BPA,

/.AQ=AP,NCAQ=NBAP,

/.ZCAB=ZCAP+ZBAP=NCAP+ZCAQ=60°,

即Z^4g=60°,

・•.△AP。是等边三角形，

:.QP=PA=2,

故选：B.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是

得出/XAP。是等边三角形，注意“有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，

每个角都等于60。.

8.（2022秋•广东深圳•九年级校考开学考试）如图，正方形A8CD的边长为6,点E、尸分别在ABAD上，

若CE=3小,且NEC〃=45。，则CF的长为（）

A.25/loB.3x/5C.D.—>/5

J0

【答案】A

【分析】将,CDF绕点。逆时针旋转90。到CBM,易证△（?所与CEM全等得到仪=£例，利用勾股定

理求出8£=3,则4E=3,设OF=x,利用勾股定理建立方程求解工，再通过勾股定理求算CF.

【详解】解：•・•四边形A8CO是正方形，

：.CD=CB=AB=AD,ZD=ZA=ZABC=90°,

将,CDF绕点C逆时针旋转90。到.C8M,如图所示，

:.CF=CM,DF=BM,/D=NCBM=骄,ZDCF=ZBCM,

/CBE+NCBM=90。，

：.E、3、M三点共线，

*/ZECF=45°,

/./DCF+/BCE=45。,

・•・/ECM=/BCE+/BCM=45°=ZECF,

又•：CE=CE,

二.CEF包CEM(SAS),

，EF=EM,

/.AE=3,

DF-BM-x,则E/7=ME=x+3,AF=6-x»

在Rt-AM中，由勾股定理得：AE2+AF2=EF2,

:.32+(6-X)2=(X+3)2

解得：x=2,

，DF=2,

**-CF=Vctf+BF=2x/io

故选：A.

【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定、勾股定理等等.正确作出辅助

线构造全等三角形是解题的关键.

9.（2023春・江苏南通•八年级南通田家炳中学校考阶段练习）如图，在菱形A8CO中，AB=2,ND48=60°,

把菱形ABCD绕点、A顺时针旋转3（）。得到菱形ABCD，则图中阴影部分的面积为（）

A.1+>/3B.1—\/3C.3D.3-\/3

【答案】D

【分析】根据菱形的性质可得=4）=2,A,C三点共线，根据S用影部分=5a瓦.-SgEc,可得S阴影部分.

【详解】解：如图,

DC

连接AC,6。相交「。，BC与CDJE点.

.・•四边形A8c。是菱形，ZDAB=60°,

.■.zCAB=300=ZCAZ),AC1BD,AO=CO,BO=DO,

人4=2,

:.DO=\,AO=ADO=Q,

/.AC=2x/3,

.・菱形ABCD绕点A顺时针旋转30。得到菱形ABCD，

.•.N£M3=30°,AD=Aiy=2,

「.A,/%,。三点共线，

:.Cry=CA-AD'=243-2

XvZACB=30°,

:.D,E=y/3-\»CE=6D'E=3-B

'''Spj影部分=^AAflC-1yl,

•'与影部分=耳入2"'1-耳入（#-1卜（3-/）=3-百,

故选：D.

【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题.

10.（2023・全国•九年级专题练习）如图，将.ABC绕点A逆时针旋转得到VAO£1，点C和点E是对应点，若

ZG4E=90°,AB=4i，则。。的长为（）

Ey------D

B.2&D.4夜

【答案】A

【分析】根据旋转的性质可得NE4C=ND4B=90°,AD=AB，进而勾股定理即可求解.

【详解】解：将A8C绕点A逆时针旋转得到ZC4E=90°,

AZ£4C=ZZMB=90o,AD=AB^

在RtZ\AB0中，AB=4i，

・•・BDZADRAB?=2,

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，根据旋转的性质得出N£4C=ND44=90。，AD=AB,是解

题的关键.

II.（2023春•天津北辰•九年级校考阶段练习）如图，将ABC绕点。顺时针旋转得到OEC,使点A的对

应点。恰好落在边A8上，点8的对应点为E,连接席.下列结论错误的是（）

A.ABVEBB.CA=CDC.BC=CED.ZA=NEBC

【答案】A

【分析】利用旋转的性质得AC=CO,BC=EC,ZACD=NBCE,再根据等腰三角形的性质即可得出

Z4=ZEBC,再根据ZEBC=ZEBC+ZABC=ZA+ZABC=180°-ZACB即可求解.

【详解】解：ABC绕点、C顺时针旋转得到,DEC,

:.AC=CD,BC=EC,ZACD=NBCE,

180°—NACOI8()o—N5CE

:.ZA=ZCDA=NEBC=/BEC=

~2~~1~

•••选项B、C正确,

/.ZA=NEBC,

二选项D正确.

•/ZEBA=Z.EBC+ZABC=ZA+ZABC=180°—NAC8不一定等于90。，

二•选项A不一定正确；

故选A.

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等腰三角形的性质.

12.（2022秋•黑龙江大庆•八年级校联考期中）如图，"C绕点A顺时针旋转某个角度得到VAOE.已知

ZZMC=60°,ZBAE=100°,BC、OE相交于点F,BC、AO相交于点G,则NZMB的度数为.

【答案】20。/20度

【分析】根据旋转的性质得N8AD=NC4E,求出NB4O+NC4E=40。即可得出答案.

【详解】解：由旋转的性质得NBAO=NC4£,

VZZ^4C=60°,ZBAE=100°,

・•・/BAD+ZC4E=/BAE-Z1DAC=1（X）°-60°=40°,

：.ZBAD=ZCAE=20°,

故答案为：20°.

【点睛】本题考查了旋转的性质，熟知对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角且旋转角相等是解题

的关键.

13.（2023•吉林松原•校联考二模）如图，在矩形A8CO中，A8=3,/3C=4.将矩形沿施翻折，使点A恰好

落在边8C上的A处，再将四边形。。图绕点A逆时针旋转90。得到四边形CR交BE于点、F,则

△EFC1的面积为

【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得四边形入网E是正方形，4BE是等腰直角三角形，四边形

ACOE是矩形，四边形GRKA是矩形，由此可得.GEQ是等腰直角三角形，由此即可求出G£=GE=2,

根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】解：•.•四边形468是矩形，将矩形沿的翻折，使点八恰好落在辿3C上的A处,

・•・四边形八网后是正方形,

・•・A8==4E=AE=3,且a%BE是等腰直角三角形，

.•・必4£=“七8=45。，AC=6C—44=4—3=1,

VED=AD-AE,\C=BC-\B,CD=AyE,

・・.£O=AC.ED//A.C.ZC=90°.

・•・四边形ACQE是矩形，

•・•将四边形SEA、绕点A逆时针旋转90。得到四边形C.D.E.A，

・•・四边形是矩形，CQ〃A4，

...AG=AC=I,ZEC1F=Z£4）E,=90°,ZC.FE=ZC.EF=45°,

••・C£=AE-AG=3-I=2,户是等腰直角三角形,

CtE=CF=2,

•**S&C、EF=/C[尸・C[E=-x2x2=2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查矩形与折叠，等腰三角形的性质的综合，掌握矩形的性质，折叠的性质，正方形的

性质，等腰直角三角形的性质的综合运用是解题的关键.

14.（2022秋•河北保定•九年级校联考期中）如图，将RI/XA8C绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt^AOE,

（1）△ABO是等腰三角形吗?（选填“是”或“否”）；

（2）若48=百,/8=60。，则C£>=.

【答案】是6

【分析】（1）根据旋转的性质，口1可达到答案；

（2）根据旋转的性质得=由/8=60。，于是可判断二4）8为等边三角形，根据等边三角形的性质

得BD=AB=B然后利用8=3C—进行计算.

【详解】解：（1）由旋转的性质，可知：AD=AB,

・•・△45。是等腰三角形，

故答案为：是；

（2）VZ2?=6O°,ZZMC=90°,

・•・ZC=90°-60°=30°,

，BC=2AB=2逐,

由旋转的性质知，AI3=AD,

•••△A3。是等边三角形，

***BD=AB=\/5，

则。。=8。-8。=2痒6=技

故答案为：73.

【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；

对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等边三角形的判定与性质.

15.（2023秋•陕西安康•九年级统考期末）如图，在A8C中，AB=AC,。是BC的中点，将八4£心绕点A

逆时针旋转90。得瓦'，点。，C分别对应点E,F,连接CG若NBAC=62。，则NC正的度数为

【答案】14

【分析】由等腰三角形的性质可得80=0ZACB=Z4BC=59°,由旋转的性质可得■=AC,

ZG4F=90°,ZAFE=ZACD=59°,即可求解.

【详解】解：・・・A8=AC,。是BC的中点，NE4C=62。，

:・BD=CD,ZACB=ZABC=59°,ADJ.BC,

■:将AADC绕点A逆时针旋转90。得八AEF,

AAF=AC,ZC4F=90°,ZAFE=ZACD=59°,

・•・ZAFC=ZACF=45°,

/.ZCFE=59°-45°=14°,

故答案为：14.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

16.(2022秋•辽宁鞍山•九年级统考期中)如图，A3C中，BC=AC,NAC8=90。；CH1AB,ABC绕

点8顺时针旋转120。，点A,C的对应点分别为A，，C',过H作C”的垂线，垂足为。，若。。=6+1,

【答案】V2

【分析】如图，设C"=x,延长A8,交。。延长线与E，根据等腰直角三角形的性质旋转的性质及三角

形外角性质可得出NE=30。，AB=AB=2x,BH=CH=AH=x,根据含30。角的直角三角形的性质可用x

分别表示出AZ、4。、DE、日/的长，利用线段的和差关系，结合OC=G+1列方程求出x的值，根据

勾股定理即可得答案.

【详解】如图，延长AB，交QC延长线与七，设C"=x，

VBC=AC,NAC8=90。，CHLAB,

/.ZA=ZABC=ZBCH=45°,BH=CH=AH=x,

*/A8C绕点8顺时针旋转12()。，点A,C的对应点分别为4,C,

，NC4C=120°,ZCBA=ZABC=45°,AB=AB=2x,

，Z.CBE=180°-ZCBA-ZCTC=15°,

•••ZE=ZBCH-NCBE=30°,

••BE=2BH=2x♦HE=VBE2—BH1=0x,

，AE=4x，

;AD±CD，

AAD=^AE=2x,DE7AE2-Alf=2瓜，

,・，DC=G+1,EH=DE-DC+CH,

旧X=2也K-(6+1)+x,

解得：x=l,

・•・AC=\/CH2+AH2=42x=y/2■

故答案为：O

【点睛】本题考查旋转的性质、笔腰直角三角形的性质、三角形外角性质、含30。角的直角三角形的性质及

勾股定理，熟练掌握旋转的性质及30。角所对直角边等于斜边一半的性质是解题关键.

17.（2022秋•辽宁铁岭•九年级校联考期中）如图，在正方形ABC。内作㈤F=45。，AE交BC于点、E,AF交

CQ于点尸，连接EF,过点A作AHJ.所，垂足为H,将△4£中绕点A顺时针旋转90。得至lj.ABG，若BE=2,

OF=3,则AH的长为.

【答案】6

【分析】根据旋转的性质及正方形的性质可知E4G丝E4*SAS）,再根据全等三角形的性质可知A8=〃/,

最后利用勾股定理解答即可.

【详解】解：由旋转的性质可知：^ABG^ADF,

：.AG=AF,ZBAG=ZDAF,DF=BG,

•・•四边形A8CO是正方形，

r.AB\D=AECF=ZABC=90°,AB=AD=BC=CD,

•・•ZE4F=45°,

•••ZR4E+NE4O=45。，

AZBA£+ZBAG=45°,

，ZE4G=NBAE+/BAG=45°,

A_E4G^AE4F（SAS）,

•：AHLEF，ZABC=90°,EF=EG,

:.AB=AH,

•・•DF=3,

・•・DF=BG=3,

*/BE=2,

EG=BE+BG=5,

，EF=5,

设正方形的边长为x,则EC=x-2,FC=x-3,

・••在Rt.EFC中，EF2=EC2+FC2,

:.（X-2）2+（X-3）?=25,

解得：百=6,x2=-1（舍去），

即AB=6,

••AU—AD=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握正方形的性

质及旋转的性质是解题的关键.

18.（2023•全国•九年级专题练习）如图，在矩形A8CO中，4B=8,AD=4,将矩形48co绕点8旋转一定

角度后得矩形48C。，A'B交CD于点、E,且庭=4E，则CE的长为.

Dr

【答案】3

【分析】设CE=AE=x,则BE=3-x,在Rt/CE中，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得到

答案.

【详解】解：设CE=AE=x,

AB=8,AO=4,将矩形A8CQ绕点8旋转一定角度后得矩形A'8C'。'，

.e.BE=8-x,BC=AD=4,

在RtBCE中,CE?+BC?=啥，

/.（8-x）2=x2+42,

解得：x=3,

・••CE的长为：3,

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、旋转的性质，是解

题的关键.

19.（2023春・河北保定•八年级保定十三中校考期末）图中48c和VAOE是两个等边三角形，其中A8=6,

⑴将两三角形按图1放置（点A,D,C在同一条直线上），连接线段8。，CE,求线段CE的长:

⑵洛VAOE绕点A逆时针旋仪，如图2所示，直线80,C£相交于点尸，连接AF.求证：

ZBFC=ZA/'B=ZAFE；

(3)以图1的位置为起点，将V4OE绕点A逆时针旋转仪0。＜。＜360。)，当点用,。，E恰好在一条直线上

时，直接写出线段a1的长度.

【答案】(1)36；

⑵见详解；

,.、3\/?3±3

2

【分析】(I)由.48。是等边三角形，AC=6,A0=3,得到8O_LAC,求出8。，再证明AAB原△ACE,

得到C£=8O=3G即可；

(2)分别过点A作AN_L8O于点N,AM_LEC于点M,先证明AABZ运△ACE,得到CE=8O,

48。=NACE,由三角形内角和定理得到N8bC=N84C=60。，再证明△ABNgAACM,得到4V=AM,

则可证明"平分N区在，故可知44。=44产E=g/B"石=60。则问题可证；

(3)当A,D,E共线时，过点A作A〃_LOE于点，，分别求出AH=—,在利用勾股定理

22

求;II4”,从而求出B。，由CE=80问题可解.

【详解】(1)VAC=6,AD=3,

・•・BD1AC

/.ZADB=90°

,BD=ylAB2-AD2=762-32=343

•・•48c和VAOE是两个等边一角形，

/.AB=AC,AD