2023-2024学年陕西省西安南开高级中学高二（上）期末数学试卷含答案

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年陕西省西安南开高级中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间向量m=(−2,1,−3)，n=(4,−1,x)，且m⊥n，则xA.3 B.2 C.−3 D.−42.双曲线的一个顶点为(2,0)，虚半轴长为22，则双曲线的标准方程是(

)A.x24−y22=1 B.3.4个人排成一排，则甲不站两边的站法有(

)A.8种 B.10种 C.12种 D.24种4.某商品的地区经销商对2023年1月到5月该商品的销售情况进行了调查，得到如下统计表.发现销售量y(万件)与时间x(月)成线性相关，根据表中数据，利用最小二乘法求得y与x的回归直线方程为：y=0.48x+0.56.则下列说法错误的是(

)时间x(月)12345销售量y(万件)11.62.0a3A.由回归方程可知2024年1月份该地区的销售量为6.8万件

B.表中数据的样本中心点为(3,2.0)

C.a=2.4

D.由表中数据可知，y和x成正相关5.设随机变量X～N(μ,σ2)，且P(X<a)=3P(X≥a)，则P(X≥a)=A.0.75 B.0.5 C.0.3 D.0.256.直线l：y=kx−2与圆C：x2+y2−6x−7=0交于A，B两点，则A.[7,4] B.[27,8]7.小张、小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东凤凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率P(B|A)=(

)A.23 B.59 C.458.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱B1C1的中点.动点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：

①存在点P，使得PA1=PE；A.0B.1C.2D.3二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X～B(4,p)，且E(X)=43，则(

)A.p=23 B.D(X)=89 C.10.已知(x−2x)n的展开式的各二项式系数的和为128A.n=7 B.展开式中x的系数为280

C.展开式中所有项的系数和为−1 D.展开式中的第二项为T11.设A，B是一次随机试验中的两个事件，且P(A−)=13，P(B)=1A.A，B相互独立 B.P(A−+B−)=12.下列说法正确的是(

)A.(1−2x)8展开式中x4项的系数为1120

B.样本相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

C.根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到χ2=3.218，依据α=0.05的独立性检验(x0.05=3.841)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知焦点为F1，F2的椭圆的方程为F：x2a2+y29=1，且|F14.已知变量x和y的统计数据如右表：若由表中数据得到经验回归直线方程为y=0.8x+a，则x=10时的残差为______(注：观测值减去预测值称为残差x678910y3.54566.515.若多项式(x−1)3+(x+1)4=x16.某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有______种不同的涂色方法．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

等差数列{an}的公差为d，数列{an}的前n项和为Sn．

(1)已知a1=32，d=−12，Sm=−15，求m及18.(本小题12分)

已知直线l：3x−4y+5=0与圆C：x2+y2−6x−2y+a+5=0相切．

(1)求实数a的值；

(2)已知直线m：kx−y+2=0与圆C相交于A，B两点，若△ABC的面积为219.(本小题12分)

在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=10，取AD的中点O，连接OP.请建立适当的空间直角坐标系，并解答下列问题：

(1)求异面直线PB与AD所成角的余弦值；

(2)求PD与平面PBC所成角的正弦值．20.(本小题12分)

在“双减”政策背景之下，某校就推进学校、家庭、社会体育教育的“一体化”，实现“教会、勤练、常赛”的核心任务.学校组织人员对在校学生“是否喜爱运动”做了一次随机调查.共随机调查了18名男生和12名女生，调查发现，男、女生中分别有12人和6人喜爱运动，其余不喜爱．

(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：喜欢运动不喜欢运动总计男女总计根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，能否据此推断性别与喜爱运动有关？

(2)从被调查的女生中抽取3人，若其中喜爱运动的人数为ξ，求ξ的分布列．

附参考公式及参考数据：χ2=n(ad−bcα0.400.250.100.010x0.7081.3232.7066.63521.(本小题12分)

某工厂引进新的生产设备M，为对其进行评估，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．

(1)为评估设备M对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量y和原料中的该材料含量x之间的相关关系，现取了8对观测值，求y与x的线性回归方程．

(2)为评判设备M生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)；

①P(μ−σ<X≤μ+σ)≥0.6826；②P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≥0.9544；③P(μ−3σ<X≤μ+3σ)≥0.9974．

评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级．

(3)将直径小于等于μ−2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品.从样本中随意抽取2件零件，再从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数Y的数学期望E(Y)．

附：①对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，…，(x22.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为(1,0)，其中一条渐近线的倾斜角为π3．

(1)求C的标准方程；

(2)过点T(2,0)作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足|AE|⋅|TB|=|EB|⋅|AT|，证明：点参考答案1.C

2.C

3.C

4.A

5.D

6.D

7.D

8.D

9.BC

10.AC

11.ABD

12.ACD

13.16

14.−0.1

15.15

16.96

17.解：等差数列{an}的公差为d，

(1)a1=32，d=−12，Sm=−15，

因为Sm=ma1+m(m−1)2d=32m−m(m−1)2×12=−15，

整理得m2−7m−60=018.解：(1)将圆C：x2+y2−6x−2y+a+5=0化为标准方程，

得(x−3)2+(y−1)2=5−a，故圆心C(3,1)，半径为5−a．

因为直线l：3x−4y+5=0与圆C相切，所以|3×3−4×1+5|32+42=5−a，

解得a=1，所以圆C的标准方程为(x−3)2+(y−1)2=4．

(2)设圆心C到直线m的距离为19.解：(1)∵PA=PD=10，且O为AD的中点，AD=2，

∴PO⊥AD，PO=PA2−(12AD)2=3，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

取BC中点E，连接OE，则OE⊥AD，

以O为坐标原点，OE，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,−1,0)，B(2,−1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,3)，C(2,1,0)，

∴PB=(2,−1,−3)，AD=(0,2,0)，

∴cos<PB，AD>=PB⋅AD|PB|⋅|AD|=0−2+04+1+9×2=−1414，

故异面直线PB与AD所成角的余弦值为1414．

(2)由(1)得PD=(0,1,−3)，PB=(2,−1,−3)20.解：(1)根据题意，补全2×2列联表如下：喜欢运动不喜欢运动总计男12618女6612总计181230∴K2=30×(12×6−6×6)218×12×18×12≈0.833<2.706，

∴根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分的把握判断喜爱运动与性别有关．

(2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，

∴P(ξ=0)=36C6

ξ

0

1

2

3

P

1

9

91

21.解：(1)∵i=18xi=52，i=18yi=228，∴x−=528，y−=2288，

∴b=i=18xiyi−8x−y−i=18xi2−8x−2=1849−8×528×2288478−8×(528)2=367140，a=y−−bx−=2288−367140×528=3209Y012PCCC故E(Y2)=0×C942C10